Travaux pratiques de Mathématiques. Ajustement

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1 I.U.T de Sant-azare Département de Géne cvl E LETTRES CAPITALES OM(S) : PRÉOM(S) : GROUPE : Travaux pratques de Mathématques Ajustement Travaux pratques de Mathématques joseoun.fr Page 1 / 7

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3 Etude d un ajustement par la méthode des mondres carrés ETUDE 1 On donne les valeurs d un ndce bourser au premer de chaque mos entre les mos de janver et de jullet d une année donnée. Mos janver févrer mars avrl ma jun jullet Rang : x Indce : ETUDE Le tableau c-dessous donne l évoluton du SMIC horare en euros de 007 à 013 : Année Rang de l année x SMIC horare brut 8,44 8,67 8,8 8,86 9,09 9,31 9,43 ETUDE 3 Une entreprse de Géne cvl achète une machne-outl pour la réalsaton de pèces d assemblages destnées à la constructon de charpentes métallques. Cette machne coûte euros à l achat. Le tableau d amortssement c-dessous donne la valeur en euros de cette machne après x années d utlsaton : Année : x Valeur : On consdère la sére statstque ( x ; z ) avec z = ln( ). Détermner l équaton de la drote D de régresson de z en x obtenue par la méthode des mondres carrés. Traval demandé Les questons concernent chacune des études c-avant. 1] A l ade d un tableur, représenter le nuage de ponts pus détermner l équaton de la drote d ajustement lnéare. ] Après consulté les rappels de cours c-après, écrre un programme Sclab qu, après avor demandé à l'utlsateur la lste des valeurs x et la lste des valeurs, permet de calculer et d'affcher les coordonnées du pont moen G ans que l équaton de la drote de régresson de en x. Remarques : 1. Pour sasr une lste de valeurs, l sufft d utlser la tpographe suvante : x = [1,5,7,10,14] permet de créer un vecteur lgne comportant 5 colonnes. x(1,4) renvoe 10 x(1,5) renvoe 14. Créer des fonctons à l ade de la commande «functon». Cela permet de smplfer l écrture du programme prncpal. 3. Affcher 4 décmales pour les valeurs numérques calculées. 3] Applquer votre programme aux valeurs du tableau c-avant et détermner l équaton de la drote. Comparer avec les résultats obtenus avec le tableur. Travaux pratques de Mathématques joseoun.fr Page 3 / 7

4 Drote de régresson lnéare au sens des mondres carrés Il s agt de détermner les réels a et b tels que l écart quadratque moen EQ ( a; b) sot mnmal afn d obtenr le coeffcent drecteur et l ordonnée à l orgne de la drote, notée D Y / X, la plus proche possble du nuage de ponts. Une telle drote est appelée drote de régresson lnéare de Y en X au sens des mondres carrés. Covarance La covarance de X et de Y est le nombre, noté cov(, avec : X X, défn par la formule suvante : 1 ( x X )( Y ) = x. X Y 1 cov( X, = = 1 = 1 1 x1 + x x = x = et Y = = = 1 = 1 Écart quadratque moen mnmal Les valeurs de a et b telles que l écart quadratque moen EQ ( a; b) sot mnmal ont les expressons suvantes : avec cov( X, a = Var( X ) 1 1 cov( X, = x. X Y et Var( X ) = x X =1 = 1 Le pont moen appartent à la drote D /, on en dédut la valeur de b : Y X b = Y a X Remarque La drote de régresson lnéare de Y en X au sens des mondres carrés passe toujours par le pont G X ; Y. moen du nuage ( ) Coeffcent de détermnaton Coeffcent de corrélaton On note EQ mn la valeur mnmale de l écart quadratque moen EQ ( a; b) pour les valeurs suvantes de a et de b : cov( X, a = et b = Y a X Var( X ) Pour ces valeurs de a et de b, la valeur mnmale EQ mn de l écart quadratque moen a l expresson suvante : EQ = mn Var 1 ( ) ( r avec r cov ( X, 1 = et Var( = Y Var( X ) Var( = 1 Coeffcent de détermnaton Le coeffcent r est appelé coeffcent de détermnaton. On a les négaltés suvantes : 0 r 1 et 0 EQmn Var( Travaux pratques de Mathématques joseoun.fr Page 4 / 7

5 Remarques 1. S la valeur de r est proche de 1 alors la valeur de nuage sont tous très proches de la drote D /.. S la valeur de r est proche de 0 alors la valeur de de Y. Dans ce cas, on consdère que la dsperson des valeurs Y X EQ mn est proche de 0. Dans ce cas, les ponts du EQ mn est élevée comparatvement à la varance (dsperson mesurée par la varance de n est pas drectement lée à la dsperson des valeurs x. Il semble alors peu probable que Y dépende lnéarement de X. 3. En général, on conclue en faveur d une dépendance lnéare de Y par rapport à X lorsque le coeffcent de détermnaton r est supéreur ou égal à Dans le cas contrare, on rejette l hpothèse d une dépendance lnéare. Coeffcent de corrélaton Le coeffcent r est appelé coeffcent de corrélaton de Y et de X : avec s ( X ) = Var( X ) et s ( = Var( cov( X, r = et 1 r 1 s( X ) s( La valeur de r est du sgne du coeffcent drecteur a de la drote de régresson lnéare D /. Y X Travaux pratques de Mathématques joseoun.fr Page 5 / 7

6 Les fonctons et structures Structure répéttve Pour k de 1 jusqu'à n Fare {Tratement 1} FnPour Structure alternatve S {condton} Alors {Tratement 1} Snon {Tratement } FnS rand() La foncton rand() permet de générer un nombre aléatore strctement comprs entre 0 et 1. La lo sélectonnée par défaut est la lo unforme. modulo(a, m) Renvoe le reste de la dvson eucldenne de a par m. Exemple : x = modulo(3, 4) ; x content la valeur 3 car 3 = 4*5 + 3 = modulo(5, ) ; content la valeur 1 z = modulo(8, ) ; z content la valeur 0 t = zeros(1, 100) La foncton zeros(n, p) défnt une matrce de n lgnes et de p colonnes dont tous les termes sont nuls. La foncton zeros(1, 100) défnt un vecteur lgne de 100 colonnes dont tous les termes sont nuls. t(1, ) = 6 place la valeur 6 dans la deuxème colonne du vecteur lgne t. dsp(t) dsp(t) : Affche les éléments d un vecteur lgne ( ou d une matrce ou d une varable). Affchage de pluseurs varables prntf ("Encadrement : %f%s%f\n",a," < xsol < ",b); L'affchage est le suvant : Encadrement : 3.41 < xsol < La chaîne de caractères "%s%f%\n" est appelée chaîne de formatage : %s : affchage d'une chaîne de caractères (strng). % : affchage d'un nombre enter (nteger). %f : affchage d'un nombre réel (float). \n : Effectue un retour à la lgne après l'affchage. %0.8f : Force l'affchage du réel avec 8 décmales. functon L'nstructon «functon» permet de défnr une foncton utlsateur. functon z = f(x) z = x^ + x + endfuncton f(1) renvoe 4 nt La foncton nt() renvoe la troncature à l'unté d'un nombre. nt(3.5) renvoe 3 Travaux pratques de Mathématques joseoun.fr Page 6 / 7

7 return L nstructon return permet de sortr d une foncton et de retourner à l endrot de l appel. break L nstructon break permet de sortr d une boucle for (nterrupton d une boucle). length(a) length(a) revoe le nombre d élément d un vecteur ou d une matrce. sum Sot a = [5,8] a(1,1) a pour valeur 5 et (1,) a pour valeur 8. s = sum(a) ; s est un reel et s = 13. n = a.^ ; n est un vecteur et n = [5,64] p = sum(n) ; p est un réel et p = 89. Exemple d affchage de la console : Entrer les valeurs des abscsses : x = [x1,x,...,xn] ; x = [0,1,,3,4,5,6] Entrer les valeurs des ordonnées : = [1,,...,n] ; = [8.44,8.67,8.8,8.86,9.09,9.31,9.43] Pont moen : G( ; ) Equaton de la drote : = x Travaux pratques de Mathématques joseoun.fr Page 7 / 7