MatsEnClaircom - Tous droits réservés pplication4 Pour 3, on pose : 3 Calculer f (5) ; eprimer f (5 + ) à l aide de Eprimer le tau d accroissement de

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "MatsEnClaircom - Tous droits réservés pplication4 Pour 3, on pose : 3 Calculer f (5) ; eprimer f (5 + ) à l aide de Eprimer le tau d accroissement de"

Transcription

1 MatsEnClaircom - Tous droits réservés ctivité Formule du coefficient directeur de (B) Calculer le coefficient directeur de la droite (B) lorsque (;5) et B (4;7) y Formule : a( B) B B y pplication Calculer le coefficient directeur de la droite (B) avec (3 ; 7) et B(5 ; ) ctivité Point sur la courbe d une fonction Soit f la fonction définie sur par : + 3 On considère le point appartenant à la courbe de f et dont l abscisse est, et le point M de la courbe de f et dont l abscisse est + Calculer l ordonnée du point Montrer que l ordonnée du point M est : pplication ym Pour tout réel, on pose : + 5 On note le point de la courbe de f d abscisse 3 et M celui d abscisse 3 + Calculer f (3), et eprimer f (3 + ) à l aide de Donner l epression du coefficient directeur de la droite (M) en fonction de ctivité3 Tau d accroissement Pour tout réel on pose : ² Montrer que f ( + ) f () M est égal à + 6 f ( + ) f () Le nombre s appelle «tau d accroissement de f entre et +» Définition Le tau d accroissement de f entre a et a + est : ( ) f ( a + ) f ( a) Ta pplication3 Pour cacune des fonctions suivantes, eprimer le tau d accroissement de f entre a et a + pour la valeur de a indiquée f ( ) 5 +, a , a Le mot «accroissement» d une fonction entre deu nombres donnés ne signifie pas que la fonction est nécessairement croissante sur un intervalle contenant ces deu nombres ctivité4 Nombre dérivé de f en a Pour tout réel, on pose : Donner le tau d accroissement de f entre 3 et 3 + Vers quel nombre tend le tau d accroissement lorsque tend vers 0? Ce nombre s appelle «nombre dérivé de f en a 3», et il se note : f (3) Définition Le nombre dérivé de f en a, noté f ( a) est : f ( a + ) f ( a) lim 0 Le tau d accroissement de f entre a et a+ est le coefficient directeur de la droite (M) où et M sont les points de la courbe de f d abscisses respectives a et a+ Le nombre dérivé s interprète donc comme le coefficient directeur de ce que devient la droite (M) lorsque tend vers zéro, donc comme le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point Interprétation du nombre dérivé Par définition, la tangente à la courbe de f au point d abscisse a est la droite passant par et de coefficient directeur le nombre dérivé de f en a

2 MatsEnClaircom - Tous droits réservés pplication4 Pour 3, on pose : 3 Calculer f (5) ; eprimer f (5 + ) à l aide de Eprimer le tau d accroissement de f entre 5 et 5 + à l aide de 3 En déduire le nombre dérivé de f en 5 4 Vérifier en représentant sur l écran de la calculatrice la courbe de f ainsi que la tangente à cette courbe au point d abscisse 5 Formule de la tangente ( ) y f ( a) a + f ( a) pplication6 Pout tout réel, on pose : ² + 9 Quel est le tau d accroissement de f entre et +? En déduire le nombre dérivé de f en a 3 Calculer une équation de la tangente à la courbe de f au point d abscisse 4 Vérifier à la calculatrice en traçant la tangente à la courbe de f au point d abscisse ide : ctivité7 ctivité5 Commande «nbredérivé()» Pour tout réel, on pose : En utilisant la commande nbredérivé( ), déterminer le nombre dérivé de f en a pplication5 Pour, on pose : l aide de la calculatrice, donner le nombre dérivé de f en a En revenant à la définition, calculer f () ctivité6 Formule de la tangente Soit f une fonction, le point d abscisse a de sa courbe représentative et T la tangente à cette courbe au point Quelle est l ordonnée de? Soit d d équation : ( ) y f ( a) a + f ( a) a Montrer que le point appartient à d b Quel est le coefficient directeur de d 3 Que représente la droite d pour la courbe de f? Courbe représentative de f et quelques tangentes Lire grapiquement f () et f () Donner une équation de la tangente à C f en Lire grapiquement f (3) et f (3) 3 Que valent f () et f (4)?

3 MatsEnClaircom - Tous droits réservés pplication7 ctivité9 Pour caque fonction f définie sur, calculer l epression f ( ) f ( ) Les tangentes à C f en, B, C, D et E sont indiquées Que vaut f ( ), f ( ) Donner une équation de la tangente à Cf en Donner une équation des tangentes à C f en B, C, D et E 3 Résoudre f ( ) 0 ctivité8 Soit f la fonction définie sur par Soit 0 un réel quelconque En revenant à la définition du nombre dérivé, calculer f ( 0) En déduire : f ( ), f (0), f (), f () 3 Définir la fonction dérivée f en donnant l epression f ( ) Formule pplication8 si f, alors ( ) Soit f la fonction définie sur * par Soit 0 un réel non nul En revenant à la définition du nombre dérivé, montrer que: f ( 0) ( ) En déduire f ( ), f ( ), f (), f () 3 Définir la fonction dérivée f en donnant l epression f ( ) 0 Formules si a + b alors f ( ) a si si si pplication9 b alors f ( ) 0 a alors f ( ) a alors f ( ) 3 Soit f la fonction définie sur par ( ) Développer f ( ), puis à partir de cette forme développée, calculer f ( ) On se propose de vérifier à la calculatrice le calcul de f ( ) : dans Y : entrer l epression f ( ), désactiver le symbole contrôlant l afficage de la courbe ( on ne souaite pas tracer cette courbe ) dans Y : entrer «nbredériv(y(x),x,x)» dans Y3 : entrer ce qui a été obtenu comme epression pour f ( ), coisir le tracé en gras Coisir le paramétrage suivant : Vous devez obtenir : Formule si, alors f ( ) 3

4 MatsEnClaircom - Tous droits réservés ctivité0 Pour tout dans [ 0;+ [, on pose : Montrer que le tau d accroissement de f entre 4 et 4 + est : En déduire le nombre dérivé de f en Soit 0 un nombre strictement positif a Montrer que le tau d accroissement de f entre 0 et 0 + est : + + b En déduire que f ( 0) 0 0 c Définir la fonction dérivée f en donnant l epression f ( ) Sur quel intervalle f est-elle définie? 0 pplication Calculer f ( ) pour cacune des fonctions f suivantes : ( 3 ) 3 + ( ) ctivité3 On a utilisé la calculatrice en entrant dans Y, et en posant YnbreDérivé(Y(X),X,X) On obtient : Formule si, alors f ( ) Courbe de en trait fin et courbe de en gras Traiter les questions suivantes, par lecture grapique : pplication0 Pour tout [ [ Calculer f ( ) En déduire f () 0;+, on pose : Donner une équation de la tangente à la courbe de f au point de C f d abscisse ctivité Calculer f ( ) pour cacune des fonctions f suivantes (3 + ) ( 4) On donnera f ( ) sous une forme telle que l on puisse en étudier le signe ( on ne demande pas d effectuer cette étude de signe ) Formules u v u v v u u v v u + u v v ( ) Dresser le tableau de variation de la fonction f Dresser le tableau de signes de sa dérivée f 3 Eiste-il un lien entre le sens de variation de f et le signe de sa dérivée f? Le téorème fondamental L idée à retenir : le sens de variation d une fonction et le signe de sa dérivée sont liés Plus précisément, pour toute fonction f dérivable sur un intervalle I : f est croissante sur I f est positive sur I I f est décroissante sur I f est négative sur I f est constante sur I f est toujours nulle sur Pour les eercices de type «sciences économiques» Recette Pri à l unité quantité produite Bénéfice Recette Coût total Ctotal ( q) Cmoyen( q) q C ( q) C ' ( q) ( approimation ) marginal total 4

5 MatsEnClaircom - Tous droits réservés Eercice5 Eercice Soit f définie sur { } par : + Montrer que le tau d accroissement de f entre et + est égal à : En déduire le nombre dérivé de f en a 3 Donner une équation de la tangente à la courbe de f au point d abscisse Eercice Pour tout réel, on pose : Calculer f ( ) Résoudre l équation f ( ) 3 + En déduire les abscisses des points et B de la courbe de f pour lesquels la tangente est parallèle à la droite d équation y 3 Vérifier à la calculatrice en traçant la courbe de f et les tangentes à cette courbe en et en B Eercice3 Pour tout [0; + [,on pose : Calculer une équation de la tangente à la courbe de f au point d abscisse 4 On note g la fonction affine dont cette droite est la représentation grapique En utilisant le fait que pour proce de 4 les valeurs de g( ) et ont des valeurs proces, donner une estimation de calculatrice Eercice4 On pose, pour tout réel : 4,08 sans utiliser la ² + + Justifier que la fonction f est bien définie sur Calculer f ( ) 3 Etudier le signe de f ( ) 4 Dresser le tableau de variation de f Courbe représentative de f et tangente en Dresser le tableau de signes de f ( ) Résoudre l équation : f ( ) 0 3 Dresser le tableau de signes de f ( ) 4 Que vaut f () et que vaut f ()? Donner une équation de la tangente à C f en Eercice5 Pour tout : ( 4 + 4)( 5) On note C f la courbe représentative de f dans un repère ortogonal Résoudre l équation f ( ) 0 et donner une interprétation grapique des solutions obtenues On se propose de calculer f ( ) de deu façons différentes Première métode Développer l epression f ( ), puis calculer la fonction dérivée à partir de cette forme développée de f ( ) Deuième métode Calculer en utilisant la formule ( ) u v 3 Résoudre l équation f ( ) 0 et donner une interprétation grapique des solutions obtenues 4 Donner une équation de la tangente T à la courbe de f au point d abscisse 5 Il semble eister un point B de la courbe C f distinct de et en lequel la tangente est parallèle à la droite T Calculer l abscisse du point B 5

Nombre dérivé et tangente

Nombre dérivé et tangente Nombre dérivé et tangente I) Interprétation graphique 1) Taux de variation d une fonction en un point. Soit une fonction définie sur un intervalle I contenant le nombre réel a, soit (C) sa courbe représentative

Plus en détail

Dérivation : cours. Dérivation dans R

Dérivation : cours. Dérivation dans R TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition

Plus en détail

Dérivation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES

Dérivation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Capitre 4 Dérivation Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Dérivation Nombre dérivé d une fonction en un point. Tangente à la courbe représentative d une fonction dérivable

Plus en détail

Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)

Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre

Plus en détail

O, i, ) ln x. (ln x)2

O, i, ) ln x. (ln x)2 EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats Le plan complee est muni d un repère orthonormal O, i, j Étude d une fonction f On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0; + [ par : f = ln On

Plus en détail

DÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation )

DÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation ) DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Eercice 0 ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f() = - 2 + 6 pour [-4 ; 4]. ) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité

Plus en détail

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

Dérivation : Résumé de cours et méthodes

Dérivation : Résumé de cours et méthodes Dérivation : Résumé de cours et métodes Nombre dérivé - Fonction dérivée : DÉFINITION (a + ) (a) Etant donné est une onction déinie sur un intervalle I contenant le réel a, est dérivable en a si tend vers

Plus en détail

Logistique, Transports

Logistique, Transports Baccalauréat Professionnel Logistique, Transports 1. France, juin 2006 1 2. Transport, France, juin 2005 2 3. Transport, France, juin 2004 4 4. Transport eploitation, France, juin 2003 6 5. Transport,

Plus en détail

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette

Plus en détail

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet

Plus en détail

Exprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 %

Exprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 % 23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une

Plus en détail

Fonctions homographiques

Fonctions homographiques Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie

Plus en détail

Commun à tous les candidats

Commun à tous les candidats EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle

Plus en détail

C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une

C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une TLES1 DEVOIR A LA MAISON N 7 La courbe C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur R. On note f ' la fonction dérivée de f. La tangente T à la courbe

Plus en détail

Cours Fonctions de deux variables

Cours Fonctions de deux variables Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté

Plus en détail

Seconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction.

Seconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction. Seconde Généralités sur les fonctions Exercices Notion de fonction. Exercice. Une fonction définie par une formule. On considère la fonction f définie sur R par = x + x. a) Calculer les images de, 0 et

Plus en détail

Complément d information concernant la fiche de concordance

Complément d information concernant la fiche de concordance Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours

Plus en détail

Exercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part

Exercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part Eercices Alternatifs Une fonction continue mais dérivable nulle part c 22 Frédéric Le Rou (copleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: applications-continues-non-derivables/. Version

Plus en détail

Exercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part

Exercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part Eercices Alternatifs Une fonction continue mais dérivable nulle part c 22 Frédéric Le Rou (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: applications-continues-non-derivables/. Version

Plus en détail

SINE QUA NON. Découverte et Prise en main du logiciel Utilisation de bases

SINE QUA NON. Découverte et Prise en main du logiciel Utilisation de bases SINE QUA NON Découverte et Prise en main du logiciel Utilisation de bases Sine qua non est un logiciel «traceur de courbes planes» mais il possède aussi bien d autres fonctionnalités que nous verrons tout

Plus en détail

Bien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction

Bien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction Antécédents d un nombre par une fonction 1) Par lecture graphique Méthode / Explications : Pour déterminer le ou les antécédents d un nombre a donné, on trace la droite (d) d équation. On lit les abscisses

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

FctsAffines.nb 1. Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008. Fonctions affines

FctsAffines.nb 1. Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008. Fonctions affines FctsAffines.nb 1 Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008 Fonctions affines Supports de cours de mathématiques de degré secondaire II, lien hpertete vers la page mère http://www.deleze.name/marcel/sec2/inde.html

Plus en détail

Développements limités. Notion de développement limité

Développements limités. Notion de développement limité MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un

Plus en détail

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10 PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?

Plus en détail

Exo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs

Exo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication

Plus en détail

Baccalauréat ES Amérique du Nord 4 juin 2008

Baccalauréat ES Amérique du Nord 4 juin 2008 Baccalauréat ES Amérique du Nord 4 juin 2008 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats f est une fonction définie sur ] 2 ; + [ par : 4 points f (x)=3+ 1 x+ 2. On note f sa fonction dérivée et (C ) la représentation

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la

Plus en détail

Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S )

Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 01 Septembre 010 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 006-007) Lycée Stendhal, Grenoble

Plus en détail

BACCALAUREAT GENERAL MATHÉMATIQUES

BACCALAUREAT GENERAL MATHÉMATIQUES BACCALAUREAT GENERAL FEVRIER 2014 MATHÉMATIQUES SERIE : ES Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 5 (ES), 4 (L) 7(spe ES) Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformement à la

Plus en détail

Exercice 3 (5 points) A(x) = 1-e -0039' -0 156e- 0,039x A '() -'-,..--,-,--,------:-- X = (l_e-0,039x)2

Exercice 3 (5 points) A(x) = 1-e -0039' -0 156e- 0,039x A '() -'-,..--,-,--,------:-- X = (l_e-0,039x)2 Les parties A et B sont indépendantes. Partie A Exercice 3 (5 points) Commun à tous les candidats On considère la fonction A définie sur l'intervalle [1 ; + 00 [ par A(x) = 1-e -0039' ' x 1. Calculer la

Plus en détail

Développements limités, équivalents et calculs de limites

Développements limités, équivalents et calculs de limites Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(

Plus en détail

Fonction inverse Fonctions homographiques

Fonction inverse Fonctions homographiques Fonction inverse Fonctions homographiques Année scolaire 203/204 Table des matières Fonction inverse 2. Définition Parité............................................ 2.2 Variations Courbe représentative...................................

Plus en détail

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue

Plus en détail

Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques

Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Savoir-faire théoriques (T) : Écrire l équation différentielle associée à un système physique ; Faire apparaître la constante de temps ; Tracer

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours. Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Les Conditions aux limites

Les Conditions aux limites Chapitre 5 Les Conditions aux limites Lorsque nous désirons appliquer les équations de base de l EM à des problèmes d exploration géophysique, il est essentiel, pour pouvoir résoudre les équations différentielles,

Plus en détail

Baccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé.

Baccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé. Baccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé. L usage d une calculatrice est autorisé Durée : 3heures Deux annexes sont à rendre avec la copie. Exercice 1 5 points 1_ Soit f la

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction

Plus en détail

F411 - Courbes Paramétrées, Polaires

F411 - Courbes Paramétrées, Polaires 1/43 Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d un arc, Courbure F411 - Courbes Paramétrées, Polaires Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/ fournie/ Année 2012/2013

Plus en détail

t 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre :

t 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre : Terminale STSS 2 012 2 013 Pourcentages Synthèse 1) Définition : Calculer t % d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par t 100. 2) Exemples de calcul : a) Calcul d un pourcentage : Un article coûtant

Plus en détail

Etude de fonctions: procédure et exemple

Etude de fonctions: procédure et exemple Etude de fonctions: procédure et exemple Yves Delhaye 8 juillet 2007 Résumé Dans ce court travail, nous présentons les différentes étapes d une étude de fonction à travers un exemple. Nous nous limitons

Plus en détail

Exercices types Algorithmique et simulation numérique Oral Mathématiques et algorithmique Banque PT

Exercices types Algorithmique et simulation numérique Oral Mathématiques et algorithmique Banque PT Exercices types Algorithmique et simulation numérique Oral Mathématiques et algorithmique Banque PT Ces exercices portent sur les items 2, 3 et 5 du programme d informatique des classes préparatoires,

Plus en détail

Séquence 8. Fonctions numériques Convexité. Sommaire

Séquence 8. Fonctions numériques Convexité. Sommaire Séquence 8 Fonctions numériques Conveité Objectifs de la séquence Introduire graphiquement les notions de fonctions convees et de fonctions concaves. Établir le lien entre le sens de variation d une fonction

Plus en détail

Problème 1 : applications du plan affine

Problème 1 : applications du plan affine Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette

Plus en détail

FONCTION EXPONENTIELLE ( ) 2 = 0.

FONCTION EXPONENTIELLE ( ) 2 = 0. FONCTION EXPONENTIELLE I. Définition Théorème : Il eiste une unique fonction f dérivable sur R telle que f ' = f et f (0) =. Démonstration de l'unicité (eigible BAC) : L'eistence est admise - Démontrons

Plus en détail

Circuits RL et RC. Chapitre 5. 5.1 Inductance

Circuits RL et RC. Chapitre 5. 5.1 Inductance Chapitre 5 Circuits RL et RC Ce chapitre présente les deux autres éléments linéaires des circuits électriques : l inductance et la capacitance. On verra le comportement de ces deux éléments, et ensuite

Plus en détail

3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements

3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements 3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements Développer une expression consiste à transformer un produit en une somme Qu est-ce qu une somme? Qu est-ce qu un produit?

Plus en détail

Suites numériques 4. 1 Autres recettes pour calculer les limites

Suites numériques 4. 1 Autres recettes pour calculer les limites Suites numériques 4 1 Autres recettes pour calculer les limites La propriété suivante permet de calculer certaines limites comme on verra dans les exemples qui suivent. Propriété 1. Si u n l et fx) est

Plus en détail

CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.

CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES. CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires

Plus en détail

Terminale SMS - STL 2007-2008

Terminale SMS - STL 2007-2008 Terminale SMS - STL 007-008 Annales Baccalauréat. STL Biochimie, France, sept. 008. SMS, France & La Réunion, sept 008 3 3. SMS, Polynésie, sept 008 4 4. STL Chimie de laboratoire et de procédés industriels,

Plus en détail

Baccalauréat technique de la musique et de la danse Métropole septembre 2008

Baccalauréat technique de la musique et de la danse Métropole septembre 2008 Baccalauréat technique de la musique et de la danse Métropole septembre 008 EXERCICE 5 points Pour chacune des cinq questions à 5, trois affirmations sont proposées dont une seule est exacte. Pour chaque

Plus en détail

Chapitre 0 Introduction à la cinématique

Chapitre 0 Introduction à la cinématique Chapitre 0 Introduction à la cinématique Plan Vitesse, accélération Coordonnées polaires Exercices corrigés Vitesse, Accélération La cinématique est l étude du mouvement Elle suppose donc l existence à

Plus en détail

Equations cartésiennes d une droite

Equations cartésiennes d une droite Equations cartésiennes d une droite I) Vecteur directeur d une droite : 1) Définition Soit (d) une droite du plan. Un vecteur directeur d une droite (d) est un vecteur non nul la même direction que la

Plus en détail

F7n COUP DE BOURSE, NOMBRE DÉRIVÉ

F7n COUP DE BOURSE, NOMBRE DÉRIVÉ Auteur : S.& S. Etienne F7n COUP DE BOURSE, NOMBRE DÉRIVÉ TI-Nspire CAS Mots-clés : représentation graphique, fonction dérivée, nombre dérivé, pente, tableau de valeurs, maximum, minimum. Fichiers associés

Plus en détail

Exercice 1 Trouver l équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point (x 0,y 0,z 0 ) donné :

Exercice 1 Trouver l équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point (x 0,y 0,z 0 ) donné : Enoncés : Stephan de Bièvre Corrections : Johannes Huebschmann Exo7 Plans tangents à un graphe, différentiabilité Exercice 1 Trouver l équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point

Plus en détail

LE PROCESSUS ( la machine) la fonction f. ( On lit : «fonction f qui à x associe f (x)» )

LE PROCESSUS ( la machine) la fonction f. ( On lit : «fonction f qui à x associe f (x)» ) SYNTHESE ( THEME ) FONCTIONS () : NOTIONS de FONCTIONS FONCTION LINEAIRE () : REPRESENTATIONS GRAPHIQUES * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

Plus en détail

Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013

Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013 Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013 A. P. M. E. P. EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 5 points Une entreprise informatique produit et vend des clés USB. La vente de ces clés est réalisée

Plus en détail

Les indices à surplus constant

Les indices à surplus constant Les indices à surplus constant Une tentative de généralisation des indices à utilité constante On cherche ici en s inspirant des indices à utilité constante à définir un indice de prix de référence adapté

Plus en détail

Loi binomiale Lois normales

Loi binomiale Lois normales Loi binomiale Lois normales Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 204/205 Table des matières Rappels sur la loi binomiale 2. Loi de Bernoulli............................................ 2.2 Schéma de Bernoulli

Plus en détail

Fiche PanaMaths Calculs avec les fonctions sous Xcas

Fiche PanaMaths Calculs avec les fonctions sous Xcas Fiche PanaMaths Calculs avec les fonctions sous Xcas Cette fiche destinée aux élèves des classes de Terminale requiert un premier niveau de connaissance du logiciel Xcas. Définition d une fonction Fonctions

Plus en détail

ÉVALUATION FORMATIVE. On considère le circuit électrique RC représenté ci-dessous où R et C sont des constantes strictement positives.

ÉVALUATION FORMATIVE. On considère le circuit électrique RC représenté ci-dessous où R et C sont des constantes strictement positives. L G L G Prof. Éric J.M.DELHEZ ANALYSE MATHÉMATIQUE ÉALUATION FORMATIE Novembre 211 Ce test vous est proposé pour vous permettre de faire le point sur votre compréhension du cours d Analyse Mathématique.

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire 1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit

Plus en détail

Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables

Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement

Plus en détail

10 leçon 2. Leçon n 2 : Contact entre deux solides. Frottement de glissement. Exemples. (PC ou 1 er CU)

10 leçon 2. Leçon n 2 : Contact entre deux solides. Frottement de glissement. Exemples. (PC ou 1 er CU) 0 leçon 2 Leçon n 2 : Contact entre deu solides Frottement de glissement Eemples (PC ou er CU) Introduction Contact entre deu solides Liaisons de contact 2 Contact ponctuel 2 Frottement de glissement 2

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité

Plus en détail

Les devoirs en Première STMG

Les devoirs en Première STMG Les devoirs en Première STMG O. Lader Table des matières Devoir sur table 1 : Proportions et inclusions....................... 2 Devoir sur table 1 : Proportions et inclusions (corrigé)..................

Plus en détail

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère

Plus en détail

Rappels sur les suites - Algorithme

Rappels sur les suites - Algorithme DERNIÈRE IMPRESSION LE 14 septembre 2015 à 12:36 Rappels sur les suites - Algorithme Table des matières 1 Suite : généralités 2 1.1 Déition................................. 2 1.2 Exemples de suites............................

Plus en détail

Licence Sciences et Technologies Examen janvier 2010

Licence Sciences et Technologies Examen janvier 2010 Université de Provence Introduction à l Informatique Licence Sciences et Technologies Examen janvier 2010 Année 2009-10 Aucun document n est autorisé Les exercices peuvent être traités dans le désordre.

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables

Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2014 Table des matières

Plus en détail

Fonctions linéaires et affines. 1 Fonctions linéaires. 1.1 Vocabulaire. 1.2 Représentation graphique. 3eme

Fonctions linéaires et affines. 1 Fonctions linéaires. 1.1 Vocabulaire. 1.2 Représentation graphique. 3eme Fonctions linéaires et affines 3eme 1 Fonctions linéaires 1.1 Vocabulaire Définition 1 Soit a un nombre quelconque «fixe». Une fonction linéaire associe à un nombre x quelconque le nombre a x. a s appelle

Plus en détail

Union générale des étudiants de Tunisie Bureau de l institut Préparatoire Aux Etudes D'ingénieurs De Tunis. Modèle de compte-rendu de TP.

Union générale des étudiants de Tunisie Bureau de l institut Préparatoire Aux Etudes D'ingénieurs De Tunis. Modèle de compte-rendu de TP. Union générale des étudiants de Tunisie Modèle de compte-rendu de TP Dipôle RC Ce document a été publié pour l unique but d aider les étudiants, il est donc strictement interdit de l utiliser intégralement

Plus en détail

EPFL 2010. TP n 3 Essai oedomètrique. Moncef Radi Sehaqui Hamza - Nguyen Ha-Phong - Ilias Nafaï Weil Florian

EPFL 2010. TP n 3 Essai oedomètrique. Moncef Radi Sehaqui Hamza - Nguyen Ha-Phong - Ilias Nafaï Weil Florian 1 EPFL 2010 Moncef Radi Sehaqui Hamza - Nguyen Ha-Phong - Ilia Nafaï Weil Florian 11 Table de matière Ø Introduction 3 Ø Objectif 3 Ø Déroulement de l eai 4 Ø Exécution de deux palier de charge 6 Ø Calcul

Plus en détail

1 Savoirs fondamentaux

1 Savoirs fondamentaux Révisions sur l oscillogramme, la puissance et l énergie électrique 1 Savoirs fondamentaux Exercice 1 : choix multiples 1. Quelle est l unité de la puissance dans le système international? Volt Watt Ampère

Plus en détail

Livret 10. Mise à jour février 2008. Département Tertiaire

Livret 10. Mise à jour février 2008. Département Tertiaire Élaborer mon étude financière Livret 10 Calculer mon seuil de rentabilité Mise à jour février 2008 Département Tertiaire Avertissement au lecteur Le présent fascicule fait l'objet d'une protection relative

Plus en détail

Cours 9. Régimes du transistor MOS

Cours 9. Régimes du transistor MOS Cours 9. Régimes du transistor MOS Par Dimitri galayko Unité d enseignement Élec-info pour master ACSI à l UPMC Octobre-décembre 005 Dans ce document le transistor MOS est traité comme un composant électronique.

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

Coefficients binomiaux

Coefficients binomiaux Probabilités L2 Exercices Chapitre 2 Coefficients binomiaux 1 ( ) On appelle chemin une suite de segments de longueur 1, dirigés soit vers le haut, soit vers la droite 1 Dénombrer tous les chemins allant

Plus en détail

a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b

a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b I Définition d une fonction affine Faire l activité 1 «une nouvelle fonction» 1. définition générale a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe

Plus en détail

Chapitre 4: Dérivée d'une fonction et règles de calcul

Chapitre 4: Dérivée d'une fonction et règles de calcul DERIVEES ET REGLES DE CALCULS 69 Chapitre 4: Dérivée d'une fonction et règles de calcul Prérequis: Généralités sur les fonctions, Introduction dérivée Requis pour: Croissance, Optimisation, Études de fct.

Plus en détail

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P

Plus en détail

EXPLOITATIONS PEDAGOGIQUES DU TABLEUR EN STG

EXPLOITATIONS PEDAGOGIQUES DU TABLEUR EN STG Exploitations pédagogiques du tableur en STG Académie de Créteil 2006 1 EXPLOITATIONS PEDAGOGIQUES DU TABLEUR EN STG Commission inter-irem lycées techniques contact : dutarte@club-internet.fr La maquette

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

EXERCICES - ANALYSE GÉNÉRALE

EXERCICES - ANALYSE GÉNÉRALE EXERCICES - ANALYSE GÉNÉRALE OLIVIER COLLIER Exercice 1 (2012) Une entreprise veut faire un prêt de S euros auprès d une banque au taux annuel composé r. Le remboursement sera effectué en n années par

Plus en détail

I. Cas de l équiprobabilité

I. Cas de l équiprobabilité I. Cas de l équiprobabilité Enoncé : On lance deux dés. L un est noir et l autre est blanc. Calculer les probabilités suivantes : A «Obtenir exactement un as» «Obtenir au moins un as» C «Obtenir au plus

Plus en détail

f n (x) = x n e x. T k

f n (x) = x n e x. T k EXERCICE 3 (7 points) Commun à tous ls candidats Pour tout ntir naturl n supériur ou égal à, on désign par f n la fonction défini sur R par : f n (x) = x n x. On not C n sa courb rprésntativ dans un rpèr

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 13 avril 2011

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 13 avril 2011 Corrigé du baccalauréat S Pondichéry avril EXERCICE Commun à tous ls candidats Parti I points. L ax ds ordonnés st asymptot à C au voisinag d ; la fonction étant décroissant sur ] ; + [, la limit quand

Plus en détail

Chapitre 11. Séries de Fourier. Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction 2 - périodique :

Chapitre 11. Séries de Fourier. Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction 2 - périodique : Chapitre Chapitre. Séries de Fourier Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction - périodique : c c a0 f x dx c an f xcosnxdx c c bn f xsinn x dx c L objet de

Plus en détail

I. Ensemble de définition d'une fonction

I. Ensemble de définition d'une fonction Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux

Plus en détail

Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels

Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3

Plus en détail

STATISTIQUES A DEUX VARIABLES

STATISTIQUES A DEUX VARIABLES Evaluation de Mathématiques Bac Pro Date : STATISTIQUES A DEUX VARIABLES Liste des capacités, connaissances et attitudes évaluées Capacités Connaissances Attitudes Evaluation A l aide des TIC, représenter

Plus en détail

Découverte du logiciel ordinateur TI-n spire / TI-n spire CAS

Découverte du logiciel ordinateur TI-n spire / TI-n spire CAS Découverte du logiciel ordinateur TI-n spire / TI-n spire CAS Mémento Ouvrir TI-Nspire CAS. Voici la barre d outils : L insertion d une page, d une activité, d une page où l application est choisie, pourra

Plus en détail

Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé

Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient

Plus en détail