ENONCÉ DES TRAVAUX DIRIGÉS. On modélise une couche limite idéalisée en présence de rotation par les équations. et t + f u = 1 p

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1 Couche limite atmosphérique, 3HY SEE, O. Thual ENONCÉ DES TRAVAUX DIRIGÉS EXERCICE 0.1 Spirale d Ekman On modélise une couche limite idéalisée en présence de rotation par les équations t f v = 1 ρ p x + K v t + f u = 1 p ρ y + K v, 1 où uz vz sont les vitesses du vent supposées ne dépendre que de l altitude z. On suppose que la masse volumique ρ, le coefficient de viscosité turbulente K le paramètre de Coriolis f = 2 Ω sin φ sont constants. On considère le cas p x = ρ G x p y = ρ G y où G x G y sont des constantes. On s intéresse aux solutions stationnaires t = v t = 0. 1 Quelles sont les principales hypothèses qui conduisent au choix de ce modèle? Interpréter les termes de ce modèle. Justifier les hypothèses de l énoncé. Couche limite atmosphérique On se place dans la couche limite atmosphérique on se ramène au cas G x = 0 G y 0 par rotation des axes. 2 Au somm de la couche limite, on suppose que u v ne dépendent plus de z. En déduire leurs valeurs respectives notées u g v g. Que représente ce vent? Comparer les isobares le vent en altitude. 3 On suppose que l on a u = v = 0 au sol situé en z = 0. Justifier cte condition aux limites. 4 On note ũ = u u g ṽ = v v g les vents agéostrophiques. En pose A = ũ + i ṽ, montrer que le système s écrit 2 A = 2 i γ 2 A où γ > 0 est une constante que l on précisera. 2 5 En déduire les expressions de uz vz en notant que 1 + i 2 = 2 i. 6 Tracer l allure des profils uz vz en fonction de l altitude. Quelles sont les valeurs maximales respectives de u v? Calculer A 0. En déduire l allure de l hodographe des vitesses dans un plan u, v. Montrer que le vent juste au-dessus du sol est à 45 du vent en altitude. 7 Calculer tracer la contrainte de cisaillement τ exercées par le vent sur le sol. Quel angle fait-elle avec le vent géostrophique? 8 Donner une expression de l épaisseur δ de la couche limite d Ekman. Estimer la valeur numérique de l épaisseur de la couche d Ekman dans le cas d une cuve remplie d eau animée d un vitesse de rotation d un tour par seconde, en supposant que l écoulement reste laminaire. 9 On suppose que δ 1000 m pour une couche limite atmophérique turbulente neutre aux moyennes latitude f 10 4 s 1. En déduire une estimation grossière d une viscosité turbulente constante K caratérsitique de cte couche limite. Couche limite océanique On se place dans la couche limite océanique en supposant G x = G y = 0. On modélise donc la couche limite océanique en rotation par les équations stationnaires f v = K f u = K v, où uz vz

2 2 Couche limite atmosphérique, 3HY SEE, O. Thual sont les vitesses du courant supposées ne dépendre que de la profondeur z. On suppose que le vent exerce une contrainte τ = ρ u 2 e x en surface. 10 Calculer la spirale d Ekman dans ce cas. On pourra noter u 0 = u 2 / f K. Calculer l angle entre le vent le courant de surface. 11 Comparer la direction de la tension de vent le courant moyenné sur la profondeur de l océan supposées grande devant la couche limite. Viscosité turbulente variable sans rotation On suppose que f = 0 G x = G y = 0 mais u+ = u g où u g est un vitesse imposée. On modélise la viscosité turbulente par la relation Kz = k z d u où k = 0.41 est la constante de Von Karman u = τ/ρ est la vitesse de frottement supposée connue τ la contrainte de cisaillement vérifiant ρ Kd + z 0 = τ. On suppose que ud + z 0 = Calculer uz pour cte la couche limite turbulente. Que représente z 0? 13 Justifier que le phénomène de spirales d Ekman atmosphériques océaniques reste qualitativement le même lorsqu on utilise une viscosité turbulente variable représentative des observations. EXERCICE 0.2 Ondes de gravité internes On considère les équations d Euler compressibles pour un gaz parfait qui s écrivent 1 Dρ ρ Dt = div U, ρ DU Dt = grad p ρ g e z, DΘ p r Dt = 0, p = ρ r T Θ = T cp p r, 2 D où U = u, v, w est le champ de vitesse, Dt = t + U grad la dérivée particulaire, p le champ de pression, g = 9.81m/s 2 la gravité, e z le vecteur unitaire de la verticale, ρ le champ de masse volumique, Θ le champ de température potentielle, T le champ de température, p r = 1000 hpa la pression de référence r = 287 J/kg/ K, c p = 1004 J/kg/ K des constantes de la loi des gaz parfaits pour l air. On cherche à justifier l approximation de Boussinesq valable pour les faibles nombres de Mach M = U a /c où U a = 10 m/s est l ordre de grandeur de la vitesse du vent c est la vitesse du son qui vaut c r = 340 m/s pour les valeurs de référence ρ r = 1.2 kg/m 3 Θ r = 17 C. 1 À partir des lois d état, montrer que dρ = ρ/θ dθ + 1/c2 dp où c 2 = dp dρ est la carré de la Θ vitesse du son qui vérifie c = γ a p/ρ = γ a r T avec γ a = c p /c v c p = c v + r. Montrer que pour les faibles nombres de Mach M 1, on peut écrire dρ/ρ dθ/θ. Justifier que l on peut remplacer une des lois d état par la loi ρ ρ r /ρ r = Θ Θ r /Θ r pour des variations modérées de ρ Θ autour des valeurs de référence constantes ρ r Θ r. L approximation de Boussinesq consiste à remplacer les équations d Euler compressibles 2 par le modèle : div U = 0, DU Dt = 1 Θ Θr grad p + g 1 e ρ r Θ z, r DΘ Dt = 0. 3

3 Couche limite atmosphérique, 3HY SEE, O. Thual Quelles sont les hypothèses transformations qui permtent d obtenir ce modèle 3 à partir équations d Euler compressibles 2? Montrer l égalité entre le nombre d équations de champs inconnus dans les deux systèmes. Comment calculer ρ T à partir des solutions du modèle 3? 3 On considère l état de base stationnaire [p, U, Θ] = [pz, 0, Θz]. Exprimer pz en fonction de Θz en supposant que p0 = p r. Tracer pz dans le cas Θz = Θ r 1 + N0 2 z/g où N 0 est une constante. 4 On considère des pites perturbations de l état de base en notant [u, w, p, Θ] = [ũ, w, pz+ p, Θz+ Θ] où ũ, w, p Θ sont pits. On définit Nz, la fréquence de Brunt-Väisälä, par la relation N 2 = g dθ Θ r dz z. Montrer que les équations linéarisées s écrivent sous la forme ũ x + w = 0, ũ t = 1 p ρ r x, w t = 1 ρ r p + γ Θ Θ t = 1 γ N 2 w, où γ est une constante que l on précisera. 5 On suppose que N = N 0 est constant on cherche alors des solutions du système linéarisé sous la forme ũ, w, p, Θ = û, ŵ, p, Θ expikx + imz iωt. Écrire le système linéaire que vérifient les amplitudes complexe de cte onde plane. 6 En supposant que ω 0, éliminer û, p, Θ pour n obtenir qu une seule équation en ŵ. En déduire la relation de dispersion des ondes gravité internes peut s écrire ω 2 = N0 2 k2 avec K = k K 2 + m On note K = k e x + m e z, K = k 2 + m 2, e k = 1 K K = cos θ e x + sin θ e z e θ = sin θ e x + k cos θ e z. Montrer que la relation de dispersion peut s écrire ω = ±N 0 K = ±N 0 cos θ. Montrer ensuite que le champ de vitesse d une onde de gravité interne peut s écrire, dans l espace réel, sous la forme Ũx, y, z, t = U m cosk x ω t e θ, où U m est un nombre réel quelconque. Relier le fait que les trajectoires soient parallèles aux plans des phases à l incompressibilité du fluide. 8 Interpréter physiquement ces oscillations en considérant une particule solide de volume V constant de densité ρ = ρz constante oscillant autour de la position z contraintes par le gradient de pression du fluide à rester dans un plan de phase. 9 Tracer les courbes iso-ω de la relation de dispersion ω = ΩK = N 0 cos θ dans le plan k, m en ne considérant que les ω 0. En déduire que la vitesse de groupe c g, définie par c g K = Ω k e x + Ω m e z, est perpendiculaire à la vitesse de phase c ϕ K = ΩK K e k. Mtre en relation ce résultat avec la direction des trajectoires.

4 4 Couche limite atmosphérique, 3HY SEE, O. Thual On fait osciller une sphère autour de sa position moyenne avec une pulsation ω 0. Un faisceau lumineux traverse l expérience. Les fluctuations de densité, influant sur l indice de réfraction de la lumière, sont visualisés sur un écran. Expliquer l existence de la croix de Saint-André observée sur la figure relier l angle de ses branches à ω 0 N 0. Discuter la forme de cte croix lorsque ω 0 varie. 11 On considère maintenant que l écoulement est généré par le déplacement à la vitesse c 0 e x d une surface rigide ondulée de longueur d onde L 0 = 2π/k 0 d amplitude h m, c est-à-dire par une condition aux limites de glissement sur la surface mobile d équation z = hx, t = h m sin[k 0 x c 0 t]. On suppose que h m est suffisament pit pour que l approximation linéaire reste valide. Décrire les vecteurs d onde des ondes de gravité admissibles pour ce problème en invoquant la stationnarité de l onde dans le repère mobile.

5 Couche limite atmosphérique, 3HY SEE, O. Thual EXERCICE 0.3 Similitude longueur de Monin-Obukov On considère le modèle suivant de la couche limite atmosphérique : x + v y + w x u2 + y v u + w u = 1 ρ r p x + ν v x u v + y v2 + w v = 1 p ρ r y + ν w x u w + y v w + w2 = 1 ρ r p + g Θ Θr Θ x u Θ + y v Θ + w Θ = κ = 0, 4 2 u x u y u 2, 5 2 v x v y v 2, 6 1 Θ r 2 Θ x Θ y Θ 2 + ν 2 w x w y w 2 où U = u, v, w est le champ de vitesse, p le champ de pression, Θ le champ de température potentielle, g = 9.81m/s 2 la gravité, ν = m 2 /s la viscosité cinématique, κ = m 2 /s la diffusivité moléculaire, ρ r = 1.2 kg/m 3 une valeur de référence constante. 1 Indiquer brièvement les hypothèses conduisant à ce modèle. 2 En supposant v = w = 0, x = y = 0 donc pz, t, uz, t Θz, t indépendants de x y, montrer que ces équations en moyenne de Reynolds s écrivent F u = ν 2 u 2, F v = 0, 0 = 1 ρ r p t + g Θ Θr 1 Θ r Θ F Θ, 7 8 = κ 2 Θ 2, avec p t = p + ρ r w 2, F v = v w où F u F Θ sont des champs que l on exprimera en fonctions des fluctuations u, w Θ. Que représentent ces quantités? Couche limite stationnaire neutre Dans un premier temps, on se place dans le cas neutre Θ = Θ r stationnaire t = 0. On suppose que la couche limite de hauteur H = 1000 m est telle que uh = u g où u g = 10 m/s est le vent géostrophique. On suppose que la contrainte τ = ρ r ν u w est constante on définit la vitesse de frottement u par la relation τ = ρ r u 2. On suppose que uz 0 = 0 où z 0 est la hauteur de frottement. 3 On suppose tout d abord que z 0 = 0 on que u w = 0 pour z [0, z visc ] tout près d un sol très lisse. En déduire l expression de uz/u en fonction de z de la longueur δ = ν/u sur cte couche visqueuse. 4 Rrouver ce résultat à une constante multiplicative λ près par analyse dimensionnelle avec les seules hypothèse suivantes : z est un profil qui ne dépend que de u, ν z, 0 0 z reste pit. On considérera successivement les deux grandeurs adimensionnées ν u 2 z u. 5 On suppose maintenant que z 0 δ u w ν ne sont pas nuls sol rugueux. On considère le modèle de longueur de mélange qui s écrit u w = K avec K = l2 z lz = k z où

6 6 Couche limite atmosphérique, 3HY SEE, O. Thual k = 0.41 est la constante de Von Karman. Exprimer uz/u en fonction de k z/z 0 tracer son allure. Exprimer u en fonction de k, u g, H z 0. Calculer les valeurs de u pour z 0 = 0.1 mm mer, z 0 = 1 cm herbe, z 0 = 1m ville z 0 = 100m montagne. 6 Rrouver ce résultat par analyse dimensionnelle avec les seules hypothèse suivantes : z est un profil qui ne dépend que de u z. Couche limite stationnaire stratifié ou instable On se place encore dans le cas stationnaire t = 0 mais en présence d une stratification Θ z stable négative ou instable positive. Le profil de vitesse est forcé par les conditions aux limites uh = u g, uz 0 = 0 on suppose que u w = u 2 est constant, la viscosité moléculaire étant négligeable. On suppose également que le flux de chaleur est constant, ce qui entraine que Θ w = Θ u où Θ est une constante positive cas stable ou négative cas instable avec la convention u 0. 7 En supposant que Θ ne dépendent que de u, Θ, z du coefficient g/θ r qui intervient dans le terme de flottablité du modèle, montrer que l on peut écrire z z u z = F z Θ z u L Θ z = F Θ avec L = u2 Θ r, L k g Θ où L est la longueur de Monin-Obukov. 8 Expliquer avec des arguments simples pourquoi la couche limite atmosphérique est stable pour L > 0, instable pour L < 0 neutre pour L =. Indiquer le signe de dθ dz z pour ces différents cas. 9 En notant ζ = z/l, k φ m ζ = F u ζ k φ h ζ = F Θ ζ où k = 0.41 est la constante de Von Karman, les relations de Businger-Dyer, basées sur des campagnes expérimentales, s écrivent φ m ζ = { ζ 1 4 pour 2 ζ ζ pour 0 ζ 1 φ h ζ = { ζ 1 2 pour 2 ζ ζ pour 0 ζ 1 Tracer ces φ m φ h en fonction de ζ. Discuter la stabilité de la couche en fonction du signe de ζ.. φ 6 5 z ζ L = 100 L = 1000 L = u 10 Exprimer uz/u Θz/Θ en fonction de k, z, z 0 L dans le cas d une couche limite stable. 11 En utilisant la condition uh = u g, exprimer uz pour L > 0 tracer son allure pour L = 100 m, L = H L = cas neutre. Comparer les limites L H L H.