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1 CCP 23 - Math 2 PC Titre : Produits iiis et octio Gamma PARTIE I Pour tout ombre réel u ], [, o déiit la octio ϕ u de la variable réelle t ar : -Pour tout t [, [, ϕ u t) = cos ut, -La octio ϕ u est ériodique de ériode 2 5 y Fig grahe de ϕu) our u = 3 I La octio ϕ u est cotiue ar morceau sur R Il suit d établir la cotiuité e our e déduire, ar 2-ériodicité, la cotiuité de ϕ u sur R Pour t [, 3[,o a ϕ u t) = ϕ u t 2) = cos ut 2) et lim ϕ u t) = cos u qui est t + égal à lim ϕ u t) cqd t La cotiuité e ermet d écrire ϕ u t) = cos ut our tout t [, ] Etablissos maiteat la arité de ϕ u sur R Pour tout t R +, il eiste N tel que t [2 ), 2 + )[ O a doc ϕ u t) = ϕ u t 2) ϕ u est clairemet aire sur [, ] doc ϕ u t 2) = ϕ u 2 t) Ei ϕ u t + 2) = ϕ u t) car t ] 2 ), 2 + )] cqd Il e résulte que a u) = Le calcul doe ϕ u t) cos t dt = 2 ϕ u t) cos t dt our tout N a u) = 2 cos ut cos t dt = cosu )t + cosu + )t dt = [ ] siu )t siu + )t + = ) 2u si u u u + u 2 2 La octio ϕ u est de classe C ar morceau et cotiue sur R, doc sa série de Fourier coverge ormalemet sur R vers ϕ u Comme ϕ u est aire, o a b u) = our tout N, aisi t R, ϕ u t) = si u u + + ) = 2u si u u 2 2 cos t

2 I2 Pour t = le calcul de la somme de la série de Fourier de ϕ u doe, arès divisio ar si u : cos u u ], [, si u = + u + 2u u 2 2, d où l égalité demadée ) I3 O cosidère la série de octios de terme gééral u ) = l 2 2, N Pour N et [, [, o a u ) déii, égati et équivalet à 2 lorsque +, 2 aisi la série de octios u coverge simlemet sur [, [ La octio u est de classe C sur [, [ avec u ) = Pour tout [, a] avec [, a] [, [, o a u ) 2a 2 qui est le terme gééral a2 d ue série umérique covergete, aisi la série de octios u coverge ormalemet sur tout segmet [, a] Il e résulte, d arès le théorème de dérivatio d ue série de octios, que la somme + = u est de classe C sur [, [ et que [, [, Aisi our tout [, [, + = u ) = = + ) + + u ) = u 2 ) = = = = 2 2 = I2 cos u si u u du+ + u ) = = }{{} = [ l ] si u = l u si cos si si l = l I4 Soit s ) N la suite de octios déiies our tout R ar la récurrece : ) s ) =, s ) = 2 2 s ) our tout N I4 Pour tout, o a s ) s ) et s ) de même sige que s ) La suite s ) ) est décroissate et ositive, doc covergete Comme la suite s )) est de sige costat, elle est doc égale, au sige rès, à la suite covergete s ) ) Aisi, la suite de octios s ) N coverge simlemet sur R vers ue octio s I42 Soiet N et R avec o) récisé das l éocé) Par déiitio, o a s ) = 2 k 2 =! 2 k ) k + ) Il e résulte, k= avec des chagemets d idices, que s + ) =! 2 =! 2 k ) k + + ) = +! 2 k ) k + ) k= k= k ) + + ) k + ) = + + s ), d où l égalité demadée Pour R ié, l égalité s + ) = + + s ) est valable our tout > Le assage à la limite lorsque + doe s + ) = s) 2

3 I43 La octio s est ulle e, car s ) = our tout Pour ], [, o a s ) > et l s ) = l + u k ), aisi, d arès I3, lim l s si si ) = l + l = l + La octio eoetielle est cotiue sur R doc lim s ) = e l si, soit s) = + si Soit R et = sa artie etière O a doc s) = ) s ) et [, [, si ) aisi s) = ) si O obtiet doc s) = our tout R Das la littérature, ce résultat est aelé déveloemet eulérie de sius PARTIE II O cosidère la suite ) N de octios déiies our tout R ar : ) = + ) + ) = + k) )! )! II II Soit N Pour +, o a ) =, aisi II2 O suose que / Z O a doc ) our N Pour tout >, o a + ) de même sige que ) E osat N = ma{, }, o obtiet doc +) Le calcul doe +) ) l +) ) = + ) + ) et ) k= lim ) = + > our tout N = l + ) + l + ) ) = O 2 Aisi la série de terme gééral l +) ), déiie à artir du rag N est covergete Pour tout N, u télescoage des termes doe l k+) = l +) k=n k ) N ) ce qui imlique + ) = N )e S) où S ) = l k+) est le terme gééral k=n k ) d ue suite covergete vers S)) Il e résulte que la suite )) N coverge vers N )e S) O ote la octio lim, déiie sur R tout etier + II2 Pour R, o obtiet, arès calculs, + ) = + ) + ) Le assage à la limite lorsque + doe alors ) = + ) O a ) = our tout N doc ) = Avec la relatio ) = + ), o établit, ar récurrece sur, que ) = )! our tout N II3 Si Z, l u des etiers ou est égati ou ul doc ) ) = = Si R\Z, alors s ) our tout N et, arès calculs, o obtiet si 3

4 ) ) = Le assage à la limite lorsque + doe alors l égalité s ) + demadée ) ) = s), aelée ormule des comlémets das la littérature II4 O se roose d établir que, our tout R et tout N, o a la relatio : ) ) = 2) k= + k ) Nota : comme la relatio ) est trivialemet vériiée our =, o suosera désormais 2, ce qui redra cohéret le roduit écrit das II44 II4 O suose = avec N, alors ) = d arès II Ue divisio euclidiee doe ) = q + r avec q, r) N 2 et r [, [ Pour k = r, o a + k = q, aisi + k = d arès II, ce qui aule la artie droite de ) La relatio ) est doc vériiée lorsque Z II42 O suose que est as etier égati, et soit u élémet quelcoque de N O a Par ailleurs k= + k ) ) = + j) )! = + k )! k= i= ) = + ) k= k [ )!] j= + k ) + i k= i= + k + i) Pour chaque i [, [ et k variat das [, [, les etiers i + k décrivet l esemble [i, i + )[ La réuio doe l esemble [, [, aisi Il e résulte que k= k= + k ) + 2 ) = [ )!] ) + k ) est égal à 2 j= + j) [ )!] )! ) qui est strictemet ositi et e déed as de ) Le terme de gauche admet ue limite égale à + k ) lorsque + k= Il e résulte que le terme de droite admet ue limite, ositive ou ulle et qui e déed que de, lorsque + O la ote A O obtiet alors l égalité demadée ) = A + k= + k ) II43 Pour = la relatio ci-dessus, doe ) = A ) + k k= ) k Sachat que ) =, u décalage d idices k + k doe A = 4

5 Le chagemet de arcours des idices k k doe l autre égalité : A ) k = A k ) Avec le roduit de deu et le résultat II3, o obtiet A 2 si k = aisi A 2 = si k II44 O a ) ) =, aisi le olyôme a our zéros comlees, les racies de l uité z k = e 2ik avec k =,, Le olyôme 2 2 cos 2k + a our zéros comlees, les 2 racies de l uité e 2ik = z k et e 2ik = z k = z k Aisi le olyôme 2 2 cos 2k ) +, de degré 2 2, a our esemble de zéros {z k, z k /k =,, } Il coïcide avec l esemble des zéros de ) 2 de même degré et même coeiciet domiat, aisi ) 2 = 2 2 cos 2k + ) E doat à la valeur, o obtiet 2 = 2 2 cos 2k }{{} = 4 si k 2 4 si 2 k Il e résulte, coaissat le sige, que si k = 2 Avec le derier résultat de II43, sachat que A, il viet A = 2 2 Combié avec la relatio établie e II42, o obtiet l égalité ) demadée, aelée ormule multilicative de Gauss das la littérature PARTIE III Soit Γ la octio de la variable réelle déiie ar Γ) = + e t t dt III Pour R, l alicatio h : t e t t est cotiue et ositive sur ], + [ O a h t) t, aisi h est itégrable sur ], ] si et seulemet si > t ), aisi h est itégrable sur [, + [ our tout O a h t) = t + O t 2 Il e résulte que la octio Γ est déiie sur D =], + [ La octio h :, t) e t t est cotiue sur ], + [ 2, aisi que chacue de ses dérivées artielles k h k :, t) lk t e t t 5 2

6 Pout tout segmet [a, b] D et tout, t) [a, b] ], + [, o a k h h, t) φ [a,b] t) et, t) k lk t φ [a,b] t) où φ [a,b] t) = e t ma{t a, t b } Comme les octios φ [a,b] et l k tφ [a,b] sot itégrables sur ], + [, il résulte des théorèmes sur la cotiuité et la dérivatio des itégrales à aramètre, sur u itervalle, que Γ est idéiimet dérivable sur D III2 Pour tout ], + [ et tout N o ose G ) = ) t t dt III2 Soit g ) = u) u du our tout N et > Ue itégratio ar arties, valide, doe our : ] g ) = [ u) u } {{ } u + u) du = g + ) ) k + ) Il e résulte que g ) = + ) + k ) g k + k) our tout k [, ] Arès calculs, o obtietg ) = et g! ) = + k) Pour N, le chagemet de variable t = u doe g ) = G ) E remlaçat ar la valeur de ), o ulle, o obtiet G ) = + ) ) III22 O vériie aisémet étude directe ou coveité) que e + our tout R O e déduit que e t + t et e t t our tout t [, ] E élevat à la uissace, o obtiet les iégalités demadées : e t e t + ) t O e déduit que, our tout t [, ], e t k= t ) = e [ t e t t ) ] [ e t ) ] t2 2 III23 Soit a [, ] L iégalité a) a est vériiée our = Suosos-la vériiée our, alors t ) et a) + = a) a) a) a) = + )a + a 2 + )a Il e résulte, ar récurrece sur, que l o a a) a our tout N E combiat avec le derier résultat de III22, o obtiet e t t ) [ )] e t t2 2 = t2 e t III24 Pour ], + [, o a e t t ) ) t dt = Γ) G ) + e t t dt + L eistece de Γ) imlique que lim e t t dt = + t + e t Γ + 2) Par ailleurs, dt qui ted vers lorsque + 6 t + e t dt

7 Il e résulte que lim G ) = Γ) + D arès III2, o a lim G ) =, aisi ) = + ) Γ) Cette eressio de Γ) est aelée orme limite d Euler das la littérature III3 D arès III et III24, o a est idéiimet dérivable sur ], + [ Avec la relatio ) = + ), o établit, ar récurrece sur, la classe C de sur ], + [ our tout N Il e résulte que est idéiimet dérivable sur R 7

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