Centrale MP 2003 Math 1 Partie I

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1 Cerale MP 3 Mah Parie I I.A.Soi g() = e cos()+ie si() = e e i. Lafocio g es coiue sur [;[ e lim jg()j = lim e =. Doc g es iégrable sur [;[, doc aussi ses paries réelles e imagiaires. Ue primiive de > e ( +i) éa > +i e( +i) de limie ulle e (car +i e( +i) = e p ) o a Z g()d = + i e( +i) = e e ( + i)(cos() + i si()) = ((cos() si()) + i(cos() + si())) il e résule par séparaio des paries réelles e imagiaires, que : e e cosd = (cos() si ()) e e e si d = (cos () + si()) I.B. La soluio géérale de y y = es y = e. O uilise alors la méhode de variaio de la cosae : ()e es soluio de y y = cos() si e seuleme si ()e = cos (). Doc () = K + R e cos ()d :K éa ue cosae. Les soluios sur R de y y + cos = so doc K + R e cos ()d e. O cherche ue soluio Y borée. Or lim > (e ) =. pour avoir ue soluio borée il fau doc e doc K = R O a alors Y () = e µ Z lim K + e cos()d = e cos()d. soi K + R e cos() d = R e cos()d e cos d = (cos () si()), focio claireme borée sur R. La soluio géérale sur R de y y + cos = es doc Y = e + (cos si ). Remarquos que Y () es la seule soluio borée sur R. De même la soluio géérale sur R de y y + si = es e + (cos + si). I.C.. D après la première quesio Á es bie dé ie. Elle es e oure claireme liéaire e, oujours d après la première quesio, les images des focios cos e si appariee à : Á(cos) = Á(si) = cos si cos + si Á dé i bie u edomorphisme de. D après la première quesio, la marice de Á das la base (cos;si) es µ I.C.. Si f() = acos + bsi o sai que f() = p a + b cos( ') de sore que jjfjj = p q a + b. Alors f () = a+b b a cos + si de sore que jjf a jj = +b = p jjfjj. jjf jj = p jjfjj Il e résule que jjf jj = p jjfjj e doc sup R (jf j) > Aisi, pour oue focio f, la suie (f ) N coverge uiforméme sur R vers la focio ulle. II.A. Parie II e d coverge car > e es coiue posiive sur [;[ (car > ) e lim e =.

2 Sio repred la méhode dela variaio de lacosae dela mêmemaière eaceme qu e I.B.,o rouve que lasoluio géérale sur ];[ de y y + = es : Y () = + Z e da e oujours comme au I. : si il eise ue soluio borée sur [a;[ c es Y () = e Rese à véri er que cee focio es borée: Y () e e d car µ e e = e d: O a doc Y a sur ou iervalle [a;[ iclus das ];[.e Y es borée quad ed vers Y () = e + e De l epressio de la soluio géérale, il e découle que Y es la seule soluio borée quad ed vers : e d ² O a, au voisiage de +, e» avec e coiue, posiive, o iégrable sur ];]. Doc par équivale R e iégrable sur ];] e doc lim e + d =, e doc e ajoua la cosae d lim > + e d = es pas ² De l epressio de la soluio géérale, il e découle que lim > + Y () = pour ou R. II.B. D après le héorème de Cauchy-Lipschiz pour ue équio di éreielle liéaire résolue du premier ordre, o dispose bie de l eisece e de l uicié de la soluio Y m elle que Y m ( m ) = y m pour ou poi M( m ;y m ) du demi-pla >. O a d après l équaio : Y m ( m ) Ym( m ) + m = doc Ym( m ) = si e seuleme si y m = m. Doc H es iclus das la brache d hyperbole y = avec >. C es l esemble des pois des courbes iégrales à agee horizoale. Réciproqueme si (X;Y ) es u poi de cee demi hyperbole, il eise ue soluio y de l équaio di éreielle passa par ce poi (Cauchy Lipschiz) e e ce poi y (X) = Doc H es la brache d hyperbole y = avec > La focio > éa de classe C il e résule que oue soluio es de classe C e aisi o a le droi de dériver l équaio E f e doc Ym ( m) Ym ( m) = doc Y m m ( m) = si e seuleme si Ym ( m)+ = soi si e seuleme m si Y m ( m ) m + =. m Doc T es iclus das la courbe d équaio y = pour > : l aure iclusio découle aussi de Cauchy Lipschiz. II.B. par iégraio par paries, o a R X O sai déja que > e T es la courbe d équaio y = pour > Si la dérivée secode Y " chage de sige e u poi de T o u poi d i eio au graphe C : O peu remarquer que e u el poi Ym( m ) = <. m R X e d = e e X e d: X es iégrable sur [;[. O a aussi > e, coiue,posiive gligeable deva =, doc iégrable sur [;[. E lim e X X > =. Doc par passage à la limie Y X () = e e d Par ue secode iégraio par paries o a : Y () = + e Y (). Aisi la courbe iégrale C es sriceme comprise ere les courbes H e T. II.B.3 voir graphe e aee e 3 d doc

3 ² Le graphe H es évide. ² Pour T o pose T() =, focio C sur R +, de dérivée e o a T()» >, T()» + >, T() =. + = 3 3 égaive si, posiive si. ² Comme Y () < o a Y () = Y () < (pesez à E f ) e doc Y es oujours décroissae. D où l allure de C. ² Y () > Y (), Y () ed vers e + e e, De plus e Y ()» e d où ue brache parabolique vericale C coupe H e u poi au plus sio, par le héorème de Rolle, Y s aulerai ce qui es impossible car C es au-dessus de C elle-même sriceme au dessus de T. De plus e Y ()» e d où ue brache parabolique vericale. D ou l allure de C. C coupe H sio Y serai sriceme moooe sur ];[, ce qui es icompaible avec les limies e e. ² Y () < Y () doc C es oujours e dessous de C doc a foriori de H e doc la dérivée es oujours égaive. Y () ed vers e + e vers e, De plus e Y ()» e d où ue brache parabolique vericale C coupe T e so poi d i eio E e e Y T ed vers e e vers e. La focio Y T es coiue sur ];[ e chage de sige sur ce iervalle, doc y adme ue racie. Parie III III.A. E es o vide (coie la focio ulle) e es sable par combiaiso liéaire e e e : Soie (f ;f ) E e ( ; ) C o doi morer que f + f E.Par hypohèse: 9 R, lim f() = f () 9 R, lim = O pose alors > ma( ; ) e f ) + f () = f () + f ()! > : + : = E es u sous-espace de C (I; C) III.A.bis ) comme [;[½ [ ;[ les focios f e g so iégrables sur [;[ e doc F e G so dé ies. Pour morer la égligeabilié o revie au quai caeurs: f << g ) 8" > ;9X; X ) jf()j "g() Si o iègre l iégalié sur [;[ o a : soi 8" > ;9X; X ) jf ()j jf()jd f << g ) F << G "g()d "G() III.A.er O a e ( e e ), e e, car e > doc pour > S = [ ;[ e pour, S = R + Doc pour X = sup( ;), X ) e ( e e ) ) e ( e ) Remarque : ou impore quel réel sriceme posiif) Si o iègre pour X sur [;[ (les deu focios éa coiues, posiives, égligeable deva e o a : e d e lim z > z e z = e III.B. Pour f E, > e f() es iégrable sur [;[ car la focio es coiue e lim e µ f() = lim + e µ f() = Il e résule, de lamême maière que précédemme par laméhode de la variaio de lacosae, que la soluio géérale sur I de l équaio E f es y() = e K R e f (). 3

4 y E, 9 ;lim e K R doc K = R e f () e K R e f () Il eise au plus ue soluio das E : f () = e R e f () =. Or lim e =. Doc si eise lim K R e f () = e = R e f ()d e f ()d = Rese à véri er que f E. Doc rouver el que lim f() or f E doc 9, f << f() << ) e f() << e les deu focios so coiues iégrables sur [ ;[ (pour I ), la secode focio éa posiive doc d après les quesios III.A.bis e III.A.er : e f()d << doc f () << e comme f es coiue f E. III.C. o a f = Á(f ) doc f f + f = pour ou. Désigos par K u segme quelcoque de I. e d e ² (i) ) (ii)supposos que la suie (f ) coverge uiforméme sur K vers ue focio oée F. Alors la suie (f ) égale à la suie (f f ) coverge uiforméme sur K vers la focio F F doc vers la focio ulle. Le héorème de dérivaio de la limie d ue suie de focios C s applique alors (CVS de la suie (f )e CVU de la suie (f ) ) ce qui prouve que la focio F es dérivable sur K de dérivée la focio ulle. Ce qui prouve que F es cosae sur K puisque K es u iervalle. ² (ii) ) (i) es évide ² Remarque 5/ : le suje iiialise sur ou compac me semble fau si K es pas u iervalle. III.D. Les deu iégrales proposées eise : - > ( ) f()e es coiue sur [;[ e ( ) f()e» + jf()je << > ++a e e doc lim > (. - u > u lim f( + u)e u es coiue sur [;[ (car + u I ) e jf( + u)j << u > ( + u) a» u > a e doc u u f( + u)e u = O raisoe alors par récurrece sur pour morer f () = e ( ) f()e d ² la formule proposée éa vraie pour = par dé iio de Á: ² Supposos la formule vraie au rag. f () = e ( ) f()e d E oa que f = Á (f ), il vie par hypohèse de récurrece que f () = e par paries ere e A e dériva f ()e = e u f(u) du (de dérivée e f()) : ( ) ( )! f ()e d. Iégros AZ ( ) f ()e d = ( )! AZ (A ) f (A)e A + ( ) f()e d Or il eise R el que f (A) << A lorsque A!. Doc Il e découle que (A ) f (A)e A A» A > f (A)e A << A > A + e A de limie ulle ( ) ( )! f ()e d = ² E coclusio f () = e ( ) f()e d ( ) f()e d ce qui prouve que la formule es vraie au rag +. Z A Z A ( ) ² Or f()e ( ) u d = f( + u)e u du par chageme de variable u =. 4

5 doc e passa à la limie (o a déjà prouver l iégrabilié) III.E.Si f kerá alors > f () = ulle. Aisi Á es ijecive de E das lui-même. ( ) f()e ( ) u d = f( + u)e u du e f()d es la focio ulle doc de dérivée ulle ce qui implique que f es la focio ² Si f = Á(f) alors f véri e l équaio di éreielle f f + f = doc, f = f f E puisque E es u espace vecoriel e que f e f so das E. Aisi Im(Á) es iclus das l esemble des applicaios g de classe C sur I elles que g e g appariee à E. ² Réciproqueme soi g ue applicaio de ce espace. Si o pose f = g g, alors f E (car sous-espace vecoriel) e g véri e l équaio y y + f =. Or g apparie à E doc g = f = Á(f) d après l uicié de la quesio III.B. ² E coclusio Á es u isomorphisme de E sur l esemble des applicaios g de classe C sur I elles que g e g appariee à E (de plus Á es dé ie par Á (g) = g g ): Parie V. V.A. Si f es périodique e coiue sur R alors elle es borée sur R doc e f() es iégrable sur [;[ e doc par variaio de la cosae la soluio géérale sur R de E f es oujours du ype y = e +f () avec f () = e e f(). ² O a égaleme (même chageme de variable q au III.D ) f () = que f P. e u f( + u) du ce qui prouve immédiaeme De l epressio de la soluio géérale, il e résule que f es l uique soluio de E f apparea à P. ² f es ue focio périodique e de classe C sur R a foriori coiue e de classe C par morceau de sore que sa série de Fourier coverge ormaleme sur R vers elle-même. V.B. Comme f es de classe C la relaio ere coe cies de Fourier (qui se rerouve par iégraio par parie) doe : c k (f ) = ik:c k(f ) Par ailleurs f f + f = de sore que c k (f ) c k (f ) + c k (f) =. Aisi ( + ik)c k (f ) + c k (f) = V.C. ² P \ K es évidemme rédui à la focio ulle ce qui prouve que la somme es direce ² si f P, o cherche ue décomposiio f = p + k; p périodique de valeur moyee ulle e k cosae. Le calcul de l iégrale R ¼ R f dos alors k = ¼ ¼ f()d e doc p() = f() k. ² O véri e alors que cee décomposiio covie : f apparie bie à P K. Aisi P = P K. ² De la quesio V.B. résule e pariculier que si la valeur moyee de f es ulle, il e va de même de celle de f car c (f ) = c (f) Aisi P es u sous-espace supplémeaires de sable par Á. ² si f = k es ue cosae o a f = e R ke d = e (ke ) = k doc K es sable par Á. Soi f P Pour, f es somme de sa série de Fourier d après la quesio V.A. e sa valeur moyee es ulle, doc c (f) = Doc g () = X c k(g )e ik + c k (g )e ik. kn Par ailleurs c k (g ) = ik c k(g ) d après la quesio V.B. e doc c k (g ) = ck (g ik ) de sore que g () = XkN ik c ( ik) k (g )e ik + c (+ik) k (g )e Or, pour k N, o a j ikj p e, comme la série de Fourier de g coverge ormaleme, la série X kn jc k(g )j + jc k (g )j coverge (o oe S sa somme). S Il e résule que jg ()j ( p pour ou réel ce qui prouve bie la covergece uiforme de la suie (g ) ) vers la focio ulle. 5

6 Soi f P f se décompose e f = g + k avec g P e k la valeur moyee de f. O a alors Á(f) = Á(g) + Á(k): Or Á(k) = k (cf sabilié de K ) e doc Á(f) = Á(g) + k e par récurrece Á (f) = Á (g) + k. Comme Á (g) coverge uiforméme vers, Á (f) coverge uiforméme vers k sa valeur moyee E coclusio, pour f P, la suie (f ) coverge uiforméme sur R vers la valeur moyee de f. 6