Master 2 IMOI, Université de Lorraine Méthodes numériques avancées pour la résolution des EDP. Volumes Finis. J.-F. Scheid

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1 Master IMOI, Unversté de Lorrane Méthodes numérques avancées pour la résoluton des EDP Volumes Fns J.-F. Sched Année 06-07

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3 Table des matères Equatons ellptques 5. Introducton Quelques rappels sur les solutons d équatons ellptques lnéares Exstence, uncté et régularté des solutons Prncpes du maxmum Volumes Fns pour les problèmes ellptques D Mallage Formulaton en Volumes Fns Système lnéare Convergence Equaton ellptque D à coeffcents dscontnus Volumes Fns pour les problèmes ellptques D Mallage Formulaton en Volumes Fns Exemples de mallages admssbles Système lnéare Estmatons d erreurs Equaton ellptque D avec coeffcents dscontnus Equatons parabolques 5. Introducton Exstence et uncté des solutons Prncpes du maxmum Volumes Fns pour l équaton de la chaleur en dmenson d espace Schéma d Euler explcte Schéma d Euler mplcte Equaton de la chaleur en D d espace et Volumes Fns Dscrétsaton en espace Schéma explcte en temps Schéma mplcte en temps Equaton de transport Introducton Mallage Formulaton en Volumes Fns Système lnéare Condton de stablté Equatons de Stokes Introducton Mallages Formulaton en Volumes Fns

4 4 TABLE DES MATIÈRES 4.3. Approxmaton de la dvergence Approxmaton de l équaton de Stokes Equatons de Naver-Stokes ncompressbles Introducton Sem-dscrétsaton en temps Formulatons en Volumes Fns Appendces 5 A Modélsaton des équatons de Naver-Stokes et équatons de Stokes 53 A. Introducton A. Conservaton de la masse A.3 Lo fondamentale de la dynamque - lo de comportement A.4 Conservaton du volume A.5 Admensonalsaton des équatons de Naver-Stokes A.6 Réductons des équatons B Eléments d analyse matrcelle. 59 B. Matrce réductble B. Matrce à dagonale domnante B.3 Matrce monotone B.4 Localsaton des valeurs propres C Quelques négaltés. 65 C. Inégalté de Cauchy-Schwarz C. Inégalté de Young C.3 Inégalté de Gronwall C.4 Inégalté de Gronwall dscrète Références 67

5 Chaptre Equatons ellptques. Introducton Les méthodes de Volumes Fns sont construtes à partr d une formulaton ntégrale basée drectement sur la forme forte des équatons à résoudre. Les ntégrales ne portent pas sur tout le domane dans lequel sont posées les équatons, mas sur des cellules dsjontes appelées volumes de contrôles. En comparason, la méthode des Eléments Fns s appue également sur une formulaton ntégrale des équatons, appelée formulaton varatonnelle ou encore formulaton fable) fasant ntervenr des "fonctons tests" et où les ntégrales portent sur tout le domane. Dans la méthode des Volumes Fns, les termes de dvergence apparassant dans les EDP à résoudre sont tratés en utlsant le théorème de la dvergence. Ans, les ntégrales de volume d un terme de dvergence sont transformées en ntégrales de surface. Ces termes de flux sont ensute évalués aux nterfaces entre les volumes de contrôle et les flux aux nterfaces sont approchés par une foncton de flux numérque. Les méthodes de Volumes Fns ont été ntalement développées et mses au pont pour des los de conservaton hyperbolques. Les méthodes de Volumes Fns sont conservatves car on mpose que le flux entrant dans un volume de contrôle sot égal au flux sortant du volume adjacent. Ces méthodes sont par conséquent très ben adaptées à la résoluton de los de conservaton. Le développement pour des équatons ellptques et parabolques est plus récent. Un avantage de la méthode des Volumes Fns par rapport à la méthode des Dfférences Fnes est qu elle permet de résoudre des EDP avec des géométres complexes dans la mesure où elle utlse des mallages non-structurés. Dans la méthode des Volumes Fns, le domane supposé polygonal) est dscrétsé par un mallage consttué de volumes de contrôles qu sont des petts) volumes dsjonts en 3D, des polygones en D, des segments en D. Les volumes de contrôles peuvent être construts autour des ponts d un mallage ntal par tétraédrsaton/trangulaton. Dans ce chaptre, on commence par présenter la méthode des Volumes Fns pour des équatons ellptques D pus D) et on s ntéressera ensute à l équaton de transport D. On développera une méthode de Volumes Fns pour les équatons de Stokes et enfn on résoudra les équatons de Naver- Stokes ncompressbles par un schéma sem-mplcte en temps et une formulaton Volumes Fns upwnd pour le terme de convecton lnéarsé.. Quelques rappels sur les solutons d équatons ellptques lnéares Dans cette secton on rappelle quelques proprétés des solutons d équatons ellptques lnéares. Pour un domane ouvert connexe) Ω R n borné et de frontère Ω régulère, on consdère le problème aux lmtes suvant pour une foncton u : Lu := dv A u) + c u = f dans Ω.) u = 0 sur Ω.) où A est une matrce de talle n n avec A = Ax) = a j x)),j n pour x Ω et on suppose que les coeffcents a j C Ω). Les fonctons f et c sont données et on suppose que la foncton c CΩ) est 5

6 6 CHAPITRE. EQUATIONS ELLIPTIQUES postve ou nulle.e. cx) 0, x Ω. Les opérateurs dfférentels apparassant dans.) sont défns par u = grad u = u,, u n u ), dv u =, x x n x pour x = x,, x n ) et u = u,, u n ). L opérateur L apparaît sous forme dvergentelle et on dot lre n ) u dv A u) = a j. x x j En partculer, avec la matrce A = I d on obtent L = l opérateur laplacen défn par n u u = x.,j= = On dt que l équaton.) est unformément) ellptque ou ben que l opérateur L est ellptque s n α > 0 tel que Ax)ξ, ξ R n = a j x)ξ ξ j α ξ, ξ R n, x Ω,.3),j= où, R n désgne le produt scalare dans R n. On supposera désormas que la condton d ellptcté.3) est vérfée... Exstence, uncté et régularté des solutons Pour les quelques résultats d exstence, d uncté et de prncpe du maxmum rappelés c-après, on pourra consulter par exemple [],[5],[5],[]. Commençons par le cas de la dmenson avec Ω = 0, ). Dans ce cas, le problème s écrt = au ) + c u = f dans 0, ).4) u0) = u) = 0..5) S f, c C[0, ]) avec c 0 et s a C [0, ]) avec ax) α > 0 pour tout x 0, ) ), alors le problème.4)-.5) admet une unque soluton classque u C [0, ]). Dans le cas de la dmenson quelconque avec Ω R n un domane borné et réguler, on a le résultat suvant d exstence de soluton fable ). S f L Ω), c CΩ) avec c 0 et s les coeffcents a j CΩ) vérfent.3), alors le problème.)-.) admet une unque soluton fable u H 0 Ω) Lax-Mlgram) et u H C f L où C est une constante ndépendante de u et f. S de plus, a j C Ω) alors u H Ω) 3 ) et u vérfe les équatons.)-.) au sens presque partout. Donnons enfn un résultat de régularté dans les espaces de Hölder. Pour 0 < α <, on défnt les espaces C 0,α Ω) = {u C 0 ux) uy) Ω), sup x y x y α < } et pour m N, C m,α Ω) = {u C m Ω), D β u C 0,α Ω) avec β = m}, où β est un mult-ndce β = β,, β n ) et D β = β x β xβn n avec β = β + β + + β n.. Cette condton ne tradut ren d autre que la condton d ellptcté.3) dans le cas D.. u est soluton fable de.),.) s u H 0 Ω) et vérfe Ω A u v + Ω c uv = Ω fv, v H 0 Ω). 3. On a supposé Ω réguler ; en général, on n a pas la régularté u H Ω) s Ω présente des cons rentrants par exemple.

7 .3. VOLUMES FINIS POUR LES PROBLÈMES ELLIPTIQUES D 7 S a j C k+,α Ω) vérfent.3) et f, c C k,α Ω) avec c 0, alors l exste une unque soluton u C k+,α Ω). Ces résultats d exstence ndquent un effet régularsant d un opérateur ellptque, par rapport aux données. Par exemple pour l opérateur Laplacen A = I d ), s on prend un second membre f aléatore entre -00 et 00) sur le pavé unté Ω = 0, ) 0, ) on obtent une soluton plus régulère, comme l llustre la fgure.. S à présent on prend cette soluton comme second membre de l équaton de Laplace, on obtent une soluton encore plus régulère cf. Fg..). Remarques sur la régularté des solutons. L étude de la convergence d approxmaton de soluton dot tenr compte de la régularté de la soluton exacte. S la soluton est fable L, H, ), l faut regarder la convergence dans L, H, ; s la soluton est régulère C, ), alors on peut regarder la convergence dans L, H, H, L, C, C,... Prncpes du maxmum On donne à présent quelques résultats de prncpe du maxmum pour des solutons classques. On suppose que a j C Ω) vérfent.3) et c CΩ) avec c 0. Sot u C Ω) C 0 Ω) vérfant Lu = f dans Ω. ) On prend c 0. S f 0 resp. f 0) alors u attent son maxmum resp. mnmum) sur Ω. ) S c 0 et f 0 alors nf u u sup u. Cec montre qu avec c 0 et f 0, s on chost en Ω Ω partculer u Ω = 0 alors on obtent u 0. ) S f 0 et u Ω 0 alors u 0 dans Ω. v) Prncpe de Hopf) Sot f 0 et sot x 0 Ω tel que ux 0 ) > ux), x Ω. On suppose que u est dérvable en x 0. S c 0 ou ben s ux 0 ) = 0, alors où n désgne la normale extéreure à Ω. u n x 0) > 0,.3 Volumes Fns pour les problèmes ellptques D On présente la méthode des Volumes Fns pour les équatons ellptques en D, en consdèrant le problème modèle suvant { u P ) x) = fx), x 0, ) u0) = u) = 0, où f est une foncton donnée. A la fn de la secton, on applque la méthode au cas d une équaton ellptque D avec des coeefcents dscontnus..3. Mallage On dscrétse l ntervalle [0, ] en ntrodusant un mallage T de l ntervalle [0, ] défn de la façon suvante : Soent N volumes de contrôle appelés auss cellules, notés pour =,, N : avec les ponts x + [0, ] tels que 0 = x =]x, x + [ < x 3 < < x N < x N+ =.

8 8 CHAPITRE. EQUATIONS ELLIPTIQUES Terme source ntal f Soluton de - u = f x Soluton de - u = u Fgure. Effet régularsant du Laplacen.

9 .3. VOLUMES FINIS POUR LES PROBLÈMES ELLIPTIQUES D 9 A chaque cellule, on assoce un pont centre) x tel que : 0 = x 0 = x < x < < x On ntrodut alors les pas de dscrétsaton < x < x + h = = x + x = x + x h +.3. Formulaton en Volumes Fns < x + < < x N+ = x N+ =. On consdère les approxmatons u de la soluton u de P ) dans chaque cellule. On a donc N nconnues. Plus précsément, u est une approxmaton de la valeur moyenne de u dans : u ux) dx = x+ ux) dx pour N. h x On ntègre alors l équaton dfférentelle de P ) sur chaque cellule. On a u x) dx = fx)dx, ce qu donne où f désgne la valeur moyenne de f dans,.e. f = h fx) dx. La quantté u x + la cellule, au pont x = x + décentrées : u x + u x + ) + u x ) = h f.6) ) resp. u x )) représente le flux rentrant resp. flux sortant) assocé à resp. en x = x ). On approche le flux u x + ) par dfférences ) ux + ) ux ) x + x ou u x + ) ux + ) ux + ) x + x +..7) Les approxmatons.7) tradusent la consstance des flux numérques. Du fat des décentrements, l s agt d approxmatons d ordre Oh) avec h = maxh ). Au pont x = x +, on ntrodut les flux numérques F assocé à la cellule + et F + assocé à la cellule + + : F + = u + u x + x, F + + = u + u +..8) x + x + On mpose alors la conservaton des flux numérques à travers le pont x = x + F + = F + + Cette condton correspond à la contnuté du flux exacte) u en x = x +. En combnant.8) avec.9), on obtent F + = F + = u + u = u + u..0) + x + x h + Le schéma numérque correspondant à l approxmaton de.6) par.7) avec.0), s écrt : et on fxe u + u ) h + + u u ) h :.9) = h f pour N,.) u 0 = u N+ = 0..)

10 0 CHAPITRE. EQUATIONS ELLIPTIQUES.3.3 Système lnéare On regroupe les N nconnues dans le vecteur u = u,, u N ) et on note b = b,, b N ) avec b = h f. Sot A la matrce de talle N N défne par α β 0 β α β A = β N α N β N 0 β N α N.3) avec α = h + h + > 0, β = h + < 0. Les relatons.),.) s écrvent Au = b..4) On remarque que β + α + β = 0 pour N et que α > β, α N > β N. La matrce A est rréductble et à dagonale fortement domnante, elle est donc nversble cf. Annexe B)..3.4 Convergence On a le résultat de convergence suvant cf. exercces). Théorème. Sot f C[0, ]) et u C [0, ]) l unque soluton de P ). Sot u l unque soluton du schéma "Volumes Fns".4). On note l erreur e = ux ) u pour N avec e = e 0, e,, e N, e N+ ) où e 0 = e N+ = 0. Alors l exste une constant C 0 dépendant de u mas ndépendant de h = max h + ), telle que e := max e Ch,.5) N N ) / e + e ) e,h := Ch..6) =0 h + Dans l estmaton.6),,h représente une norme H0 donc au mons) d ordre Oh). dscrète. L approxmaton en Volumes Fns est.3.5 Equaton ellptque D à coeffcents dscontnus On décrt à présent la méthode des Volumes Fns pour un problème ellptque D avec des coeffcents varables et dscontnus. Les ponts de dscontnuté des coeffcents coïncdent avec les extrémtés des cellules du mallage. Pour une foncton f régulère dans [0, ], on consdère le problème suvant P ) { βu ) = f dans [0, ] u0) = u) = 0..7) La foncton β est défne dans l ntervalle [0, ] et constante par morceaux : βx) = { β + s x > α β s x < α,.8)

11 .3. VOLUMES FINIS POUR LES PROBLÈMES ELLIPTIQUES D où α ]0, [ et β +, β sont deux constantes strctement postves. La soluton fable) u H0 0, ) du problème.7) est contnue dans [0, ], régulère dans chaque sous-ntervalle [0, α[, ]α, ] et elle vérfe βu = f dans [0, α[ ]α, ].9) uα + ) = uα ).0) [ βu ] β + u α + ) β u α ) = 0.) où on a noté va ) = lm x a vx) et va + ) = lm x a + vx). x + On utlse le mallage de l ntervalle [0, ] précédemment défn cf. Secton.3.) avec h = = x. On notera auss h + = x + x > 0, h + + = x + x + > 0. On suppose que le mallage coïncde avec la dscontnuté de la foncton β c est-à-dre qu l exste k tel que : α = x k+..) En ntégrant l équaton dfférentelle.9) sur la cellule y comprs la cellule k ), on obtent après ntégraton par partes et en utlsant la relaton.) pour la cellule k : βx )u x ) + βx + )u x + ) = h + + f.3) où f = fx) dx, pour tout =,, N. Soent F + la cellule obtenus en approchant respectvement les flux βx + dfférences décentrées consstance des flux) : F + = βx ) u + u ) + h +, F + + et F + les flux numérques assocés à )u x ) et βx + )u x + ) par + = βx + ) u + u + )..4) + h + + Le schéma "Volumes Fns" s écrt F F + + = h f, N. On mpose la conservaton des flux numérques à travers les ponts x + F + = F + + : ce qu donne βx + ) u + h + u ) = βx + ) u + u + )..5) + h + + qu est l analogue dscret de.). On note F + La relaton.5) permet d élmner u + F + F F + = F + et le schéma "Volumes Fns" s écrt = h f, N..6) dans l expresson de F +. On obtent u+ u = β + x + x ),.7)

12 CHAPITRE. EQUATIONS ELLIPTIQUES avec β + = β + pour > k et β + = β pour < k. Pour = k, le coeffcent β k+ est donné par : β k+ = h k+ h+ k+ β + h + k+ β,.8) où h k+ par h + k+ = h + +h k+ k+ et h. k+ = x k+ x k. Le coeffcent β k+ est la moyenne harmonque de β + et β pondérée Etude numérque de la convergence. On peut montrer cf. [6, Theorem.3]) que le schéma.6).8) vérfe les estmatons.5) et.6) c est-à-dre que le schéma est au mons d ordre Oh) pour les normes L et H0 dscrète. Dans ce paragraphe, on étude numérquement la convergence du schéma Volumes Fns précédent et on montre qu on obtent dans certanes stuatons mallages unformes et postons des centres) un ordre de convergence en h plus grand que. On compare également avec le même schéma obtenu en prenant le coeffcent β comme la moyenne arthmétque.e. β = β + β + )/) k+ k+ au leu de la moyenne harmonque.8). Pour commencer, donnons une soluton exacte de.9)-.) dans le cas où f γ R. La soluton exacte u est alors donnée dans ce cas par u x) = γ x + µ x) pour x [0, α] β ux) = u x) = γ β + x)x µ) pour x [α, ].9) avec µ = α α)β β + ) αβ + α)β. La Fgure. montre la soluton exacte avec f γ = 0, β = 4, β + = et α = u α = x Fgure. Soluton exacte de.7) avec α = 0.4, β = 4, β + = et f γ = 0. Avec un mallage non-unforme.e. les h sont du même ordre mas dfférents) et des centres x qu ne sont pas aux mleux des cellules, on obtent les ordres de convergence ndqués dans le Tableau. en comparant les cas de la moyenne harmonque et arthmétque vor auss Fgure.3).

13 .3. VOLUMES FINIS POUR LES PROBLÈMES ELLIPTIQUES D mallage non-unforme centres quelconques moyenne arthmétque erreur L erreur H Oh / ) mallage non-unforme centres quelconques moyenne harmonque erreur L erreur H Oh) Oh) erreur 0-3 erreur h h Fgure.3 Equaton ellptque d avec coeffcents dscontnus : ordres de convergence pour un mallage non-unforme avec des centres de cellules quelconques ; moyenne arthmétque à gauche) et moyenne harmonque à drote) des coeffcents. mallage non-unforme e e,h moyenne harmonque Oh) Oh) moyenne arthmétque Oh) Oh / ) Table. Ordres de convergence numérquement obtenus avec un mallage non-unforme ; comparason moyenne harmonque/moyenne arthmétque des coeffcents Avec la moyenne harmonque.8), lorsque les centres des cellules sont choss aux mleux, on obtent numérquement un ordre de convergence en Oh ) pour la norme, que le mallage sot unforme ou non vor le Tableau. et la Fgure.4). Par alleurs, un mallage unforme seul.e. h = h pour tout ) ne sufft pas à obtenr un ordre en Oh ) pour la norme. En effet, un mallage unforme avec des centres qu ne sont pas au mleux des cellules ne fournt pas un ordre en Oh ). moyenne harmonque centres mleux e e,h mallage non-unforme Oh ) Oh) mallage unforme Oh ) Oh 3/ ) Table. Ordres de convergence numérquement obtenus avec les centres aux mleux des cellules moyenne harmonque) ; comparason mallage unforme/non-unforme L ordre de convergence du schéma Volumes Fns avec la moyenne arthmétque des coeffcents n est pas améloré avec un mallage unforme n en chosssant les centres aux mleux des cellules.

14 4 CHAPITRE. EQUATIONS ELLIPTIQUES mallage non-unforme centres mleux moyenne harmonque erreur L erreur H Oh) mallage unforme centres mleux moyenne harmonque erreur L erreur H Oh 3/ ) erreur Oh ) erreur Oh ) h h Fgure.4 Equaton ellptque d avec coeffcents dscontnus : ordres de convergence avec les centres aux mleux des cellules et moyenne harmonque des coeffcents ; mallage non-unforme à gauche) et unforme à drote)..4 Volumes Fns pour les problèmes ellptques D On va résoudre l équaton de Posson par une méthode de Volumes Fns dans un domane polygonal Ω R. On cherche une foncton u = ux) défne pour x Ω R, vérfant { u = f dans Ω P ) u = g sur le bord Ω avec des fonctons f, g L Ω) données. On suppose que la soluton u de P ) possède la régularté u H Ω). C est vra par exemple s Ω est convexe, f L Ω) et g H 3/ Ω) vor [4]). On va d abord défnr un mallage admssble au sens des Volumes Fns, pus on donnera la formulaton en Volumes Fns du problème P ). On donnera ensute des exemples concrets de mallages admssbles. Enfn, on termnera la secton en tratant un problème ellptque à coeffcents dscontnus..4. Mallage On défnt un mallage T de Ω par des volumes de contrôle ou cellules) de la façon suvante :. Les volumes de contrôle sont des polygônes convexes qu forment une partton de Ω : Ω = T et L =,, L T, L.. Pour chaque cellule, l exste un pont x appelé centre, tel que les proprétés suvantes soent vérfées : a) Pour chaque cellule L adjacente à, on a x x L et le segment de drote x, x L ) est perpendculare à l arête e commune aux deux cellules et L cf. Fgure.5). On notera e = L). b) Pour chaque arête e appartenant au bord Ω, la drote passant par x et perpendculare à l arête e, ntersecte e cf. Fgure.6). Un tel mallage sera dt admssble au sens des Volumes Fns.

15 .4. VOLUMES FINIS POUR LES PROBLÈMES ELLIPTIQUES D 5 e x x L y e L Fgure.5 Cellules admssbles d un mallage "Volumes Fns" Ω e Ω e x y e x Cellule admssble Cellule non admssble Fgure.6 Condton d admssblté du mallage pour les cellules du bord Après avor établ à la secton suvante la formulaton en Volumes Fns du problème P ), on donnera des exemples de mallages admssbles au sens des Volumes Fns. Il s agt de mallages trangulares et de mallages de type Voronoï..4. Formulaton en Volumes Fns On ntègre l équaton de Posson sur une cellule. u dx = Par la formule de la dvergence, on obtent f dx u n dγ = f.30) où n désgne la normale untare drgée à l extéreur de et où on a noté f la valeur moyenne de f dans la cellule.e. f = f dx..3) On note E l ensemble des arêtes de la cellule et on décompose le bord de la cellule : La relaton.30) s écrt alors e E = e E e. e u n,e dγ = f.3) où on a noté n,e la normale untare à e drgée vers l extéreur de. Par alleurs, pour toute arête ntéreure e.e. qu n appartent pas au bord Ω, telle que e = L), la proprété suvante est satsfate pour toute soluton u H Ω) de P ) : u n,e dγ = u L n L,e dγ.33) avec n,e = n L,e. e e

16 6 CHAPITRE. EQUATIONS ELLIPTIQUES Schéma VF. On approche le flux à travers l arête e : u n,e dγ F,e.34) e où F,e est le flux numérque à travers l arête e, assocé à la cellule. Le schéma "Volumes Fns" s écrt e E F,e = f, T.35) Constructon des flux numérques. On consdère les nconnues u ) T assocées à chaque volume de contrôle, avec les approxmatons u ux)dx. On désgne également par u e ) e E des valeurs assocées aux arêtes de la cellule. Ces valeurs seront utlsées de façon ntermédare et fnalement élmnées. On va dstnguer les cas selon qu une arête e appartent ou non au bord Ω. Sot une arête e d une cellule telle que e Ω c est-à-dre qu n appartent pas au bord de Ω. a) Pour un centre x / e, le flux numérque F,e est chos égal à : F,e = u e u ) d,e e.36) où d,e est la dstance de x à l arête e. Le chox de F,e est donné pour x / e de sorte que d,e 0. L approxmaton.34) avec.36) correspond à la consstance des flux numérques. Pour élmner les valeurs u e ), on suppose qu l y a conservaton des flux numérques à travers les arêtes. Précsément, pour l arête e = L) commune aux deux volumes de contrôle et L, on mpose : F,e = F L,e..37) C est l analogue dscret de la proprété de conservaton.33). On écrt alors : ce qu donne Par conséquent, On obtent donc F,e = u e u ) e = u e u L ) e = F L,e d,e d L,e d L,e u + d,e u L = d,e + d L,e ) u e. }{{} dx,x L ) u e = d L,eu + d,e u L. x x L F,e = u L u ) e..38) x x L b) Pour un centre x e, on chost encore la relaton.38) pour le flux numérque F,e on a toujours x x L ). Sot une arête e d une cellule telle que e Ω c est-à-dre qu appartent au bord de Ω. a) S x e, alors on chost avec F,e = u e u ) d,e e.39) u e = g dγ..40) e e

17 .4. VOLUMES FINIS POUR LES PROBLÈMES ELLIPTIQUES D 7 b) s x e Ω, alors on prend F,e = 0 et on chost u = u e = g dγ e Ω)..4) e e Autrement dt, dans ce cas, la valeur u est connue dans la cellule. En résumé, le schéma "Volumes Fns" s écrt F,e = f, e E avec : T s e Ω avec e = L) alors F,e = u L u ) x x L e s e Ω, on pose u e = g dγ e e ) s x e, alors F,e = u e u ) e d,e ) s x e, alors F,e = 0 et on prend u = u e.4) Remarque : S on consdère des condtons lmtes de Neumann homogènes u n = 0 sur une parte Γ Ω, on mpose alors F,e = 0 pour toute arête e Γ. Remarque : Les ntégrales dans.4) peuvent être calculées avec des formules de quadrature. Par exemple, on peut utlser les formules suvantes : fx)dx = fx ) + O ), g dγ = e gx ) + O e ) s x e Ω..4.3 Exemples de mallages admssbles e. Grlle. Pour Ω =]0, [ ]0, [, on peut utlser un mallage cartésen unforme pour smplfer). Sot N le nombre de ponts de dscrétsaton dans les drectons x et y. On note h = N le pas de dscrétsaton. Pour, j =,, N, les cellules j sont défnes par j =]x, x + [ ]y j, y j+ [ avec x Les centres x j des cellules sont les barycentres des cellules : = )h et y j = j )h. x j = x, y j ) avec x = x + h = h et y j = y j + h = j h.. Mallage trangulare. On consdère une trangulaton du domane Ω, admssble au sens des Eléments Fns : s deux trangles ont une arête commune alors ls ont deux sommets communs. On suppose que tous les angles des trangles sont plus petts que π/. En conséquence, dans un trangle les médatrces s ntersectent à l ntéreur du trangle. Les volumes de contrôle sont les trangles de la trangulaton et les centres x des cellules sont choss comme les centres de masse des trangles.e. l ntersecton des médatrces cf. Fgure.7). Avec l hypothèse sur les angles, les centres x se trouvent à l ntéreur des trangles. On remarquera qu une trangulaton de Delaunay ne fournt pas nécessarement des trangles ayant tous des angles π/.

18 8 CHAPITRE. EQUATIONS ELLIPTIQUES x Fgure.7 Mallage trangulare. Intersecton des médatrces à l ntéreur des trangles s les angles sont plus petts que π/. z z x x Fgure.8 Cellules de Voronoï 3. Mallage Voronoï. Sot P un ensemble de ponts appartenant au domane Ω. On défnt les cellules de Voronoï par rapport à chaque pont x P par : x = {y Ω, x y < z y, z P, z x}. La constructon des cellules de Voronoï est basée sur la détermnaton des régons délmtées par les médatrces des segments jognant les ponts de P cf. Fgure.8). Les volumes de contrôles sont choss comme étant les cellules de Voronoï assocées à une trangulaton de Delaunay du domane Ω. A chaque cellule de Voronoï, on assoce le centre x qu est un sommet de la trangulaton cf. Fgure.9)..4.4 Système lnéare Pour fxer les dées, on chost un mallage de Voronoï. En partculer, pour les cellules ayant au mons) une arête sur le bord de Ω, le centre x appartent au bord Ω cf. Fgure.0). Avec le mallage de Voronoï, le schéma "Volumes Fns" s écrt F,e = f, T e E e Ω avec F,e = u L u ) e s e Ω, e = L) x x L u = u e = g dγ s e Ω e e.43) On numérote,, N les N cellules ntéreures.e. les cellules qu ne possèdent pas d arêtes appartenant au bord Ω. On range les nconnues dans le vecteur u = u,, u N ) R N et le système lnéare s écrt alors Au = b.44)

19 .4. VOLUMES FINIS POUR LES PROBLÈMES ELLIPTIQUES D 9 e x L x L n,e S Fgure.9 Cellules de Voronoï assocées à une trangulaton de Delaunay x Ω Fgure.0 Cellule d un mallage de Voronoï sur le bord avec la matrce A de talle N N. On prend pour smplfer la condton lmte g 0 sur le bord Ω. Le second membre b R N est alors donné par f b =., N f N La matrce A est de la forme : e,l e,l Ω. e L, A = d L,. e L, L L d L, d,l. e L,L d L,L. e L,L d L,L e,l d,l e,l d,l e,l. e L,L L e L,L Ω. e L,L d L,L e L,L d L,L e L,L L e L,L Ω L L.45) On a noté e,l = L) Ω l arête commune aux cellules et L et d,l = x x L. Les cellules L, L,... sont les cellules ntéreures ayant une arête en commun avec la cellule cf. Fgure.).

20 0 CHAPITRE. EQUATIONS ELLIPTIQUES L L Fgure. Cellules adjacentes à la cellule La matrce A est symétrque, elle est à dagonale fortement domnante et rréductble 4. Elle est donc nversble cf. Proposton B.3). En fat, on a A j 0 pour tous j et j N A j 0 pour N. La matrce A est donc une M-matrce cf. Proposton B.5). Assemblage de la matrce A. Dans la pratque, pour construre la matrce A, on parcourt les arêtes du mallage de Voronoï. Pour une arête ntéreure courante e = L), on ajoute les contrbutons des deux cellules adjacentes et L : + e e d e d e.. e + e d e d e avec d e = x x L. Lorsqu on parcourt l arête ntéreure e = L), on calcule les coeffcents A, L), AL, ) et on met à jour les coeffcents A, ), AL, L) :.4.5 Estmatons d erreurs A, ) A, ) + e /d e AL, L) AL, L) + e /d e A, L) e /d e AL, ) e /d e On établt des estmatons d erreurs en norme H et L dans le cas où u = 0 sur le bord Ω. On ntrodut T un mallage admssble de Ω et on note E l ensemble des arêtes de T avec la décomposton E nt = {e E, e Ω} l ensemble des arêtes ntéreures, E ext = {e E, e Ω} l ensemble des arêtes du bord de Ω. On désgnera par E l ensemble des arêtes de la cellule T. On note d e la dstance défne par { x x d e = L s e = L E nt dstx, e) s e E ext E, T 4. En effet, supposons que A sot réductble cf. Annexe B). Alors l exste I, J non-vdes formant une partton de {,, N} tels que A,j = 0 pour tout, j) I J. Sot 0 I et on consdère I 0 l ensemble des ndces des cellules ntéreures qu sont adjacentes à la cellule 0. On a A 0,m < 0 pour tout m I 0 et donc I 0 J =, I 0 I. Sot alors I 0 0) et on consdère I l ensemble des ndces des cellules ntéreures qu sont adjacentes à la cellule. On a A,m < 0 pour tout m I et donc I J =, I I. On contnue avec un ndce I 0 I tel que { 0, } et on consdère I l ensemble des ndces des cellules ntéreures qu sont adjacentes à la cellule. On a A,m < 0 pour tout m I et donc I J =, I I. On construt ans les ensembles I k d ndces des cellules ntéreures qu sont adjacentes à la cellule k et les ndces k I 0 I I k avec k { 0,,, k } tels que I 0 I I k ) J =, I 0 I I k ) I. On obtent nécessarement I 0 I I N ) = {,, N} = I et donc J = ce qu est mpossble d où la contradcton. La matrce A est donc rréductble. L L

21 .4. VOLUMES FINIS POUR LES PROBLÈMES ELLIPTIQUES D et on suppose que Cette hypothèse mplque en partculer que x Ω, T. d e 0, e E..46) Pour les estmatons d erreurs, on a beson de défnr la norme H0 dscrète. Sot XT ) l ensemble des fonctons de Ω dans R qu sont constantes sur chaque cellule de T. Pour u XT ), on défnt la norme u,t = e E ) / e D e u).47) d e où D e u = On a une négalté de Poncaré pour la norme H 0 { u u L s e = L E nt, u s e E E ext. dscrète vor par exemple [6])..48) Lemme. Inégalté de Poncaré dscrète) Pour tout u XT ), on a u L Ω) damω) u,t où damω) désgne le damètre du plus pett cercle contenant le domane Ω. On note h la talle du mallage défn par h = maxdam), T ) où dam) désgne le damètre du plus pett cercle contenant la cellule. Les estmatons d erreurs de la méthode des volumes fns.43) pour le problème P ) sont les suvantes cf. démonstraton en exercce). Théorème. Sot T un mallage admssble de Ω vérfant.46). On suppose que la soluton u de P ) avec u = 0 sur Ω vérfe u C Ω). Sot u ) T la soluton du système.43) et on défnt la foncton δ T XT ) avec δ T x) = ux ) u pour presque tout x. Alors, l exste une constante C > 0 ndépendante de h = maxdam), T ) telle que δ T L Ω) + δ T,T Ch..4.6 Equaton ellptque D avec coeffcents dscontnus On généralse la secton précédente en consdérant un problème ellptque où les coeffcents de l EDP sont dscontnus. On consdère un domane Ω R polygonal convexe se décomposant en deux sousdomanes Ω et Ω polygonaux formant une partton de Ω avec Ω Ω, Ω = Ω \ Ω vor Fgure.). On cherche alors une foncton u = ux) défne pour x Ω et vérfant { dv ax) u) = f dans Ω.49) u = 0 sur le bord Ω avec f L Ω) donnée et a = ax) est une foncton constante par morceaux sur Ω : ax) = { a s x Ω a s x Ω,.50) où a et a sont des constantes réelles. La soluton u de.49) est régulère sur Ω et Ω on a u H Ω ), u H Ω ) mas attenton en général u H Ω)) et elle vérfe dva u) = f dans Ω, =,.5) u = 0 sur Ω.5) On note γ = Ω Ω la frontère commune aux deux sous-domanes cf. Fgure.).

22 CHAPITRE. EQUATIONS ELLIPTIQUES Fgure. Sous-domanes pour les coeffcents dscontnus Pour tout v H 0 Ω), la soluton u vérfe également la relaton 5 : γ a u n v dγ = a u n v dγ.54) γ avec n = n est la normale untare à γ drgée vers l extéreur de Ω cf. Fgure.). On consdère un mallage admssble T = T T de Ω où T et T sont des mallages admssbles de Ω et Ω respectvement cf. Secton.4.). En ntégrant.5) sur une cellule quelconque du mallage T, on obtent ax) u n dγ = f dx.55) où n est la normale untare extéreure à. On dédut de.54) et.55) que, pour toutes cellules et L adjacentes, on a la relaton ax) u) n,e dγ = ax) u) L n L,e dγ..56) e e avec n,e la normale untare à e = L), drgée vers l extéreur de et n,e = n L,e. La relaton.55) s écrt encore e E F,e = f.57) avec le flux F,e assocé à la cellule à travers l arête e, donné par où n,e est la normale untare à e, drgée vers l extéreur de. 5. Sot v H0 Ω). La soluton fable u H0 Ω) de.49) vérfe ax) u v dx = F,e = ax) u n,e dγ,.58) e Ω Ω fv dx..53) Par alleurs, en multplant.5) par v et en ntégrant sur chaque sous-domane Ω, on obtent pour =, : Ω a u v dx γ a u nv dγ = Ω fv dx. En sommant sur, l vent En comparant avec.53), on obtent.54) Ω ax) u v dx a u n v dγ a u n v dγ = fv dx γ γ Ω

23 .4. VOLUMES FINIS POUR LES PROBLÈMES ELLIPTIQUES D 3 Approxmatons des flux. S e Ω est une arête commune aux deux cellules et L, on approche le flux exacte F,e par def u e u ) F,e F,e = a,e e.59) d,e où d,e = dstx, e) est la dstance de x à l arête e et a,e = lm x x e x ax),.60) où x e désgne le pont mleu de l arête e. Le terme u e représente une approxmaton de u sur l arête e. On mpose la conservaton des flux numérques au travers de l arête e = L). C est l analogue dscret de la conservaton.56) : F,e = F L,e..6) On peut alors élmner le terme u e dans l expresson.59) de F,e et on obtent e Ω) La relaton précédente s écrt encore a,e a L,e F,e = d,e a L,e + d L,e a,e ) u L u ) e. F,e = a u L u ),L e,.6) d,l où le coeffcent a,l est donné par a,l = ) d,e + ) dl,e a,e d,l a L,e d,l avec d,l = d,e + d L,e = x x L. Le coeffcent a,l est obtenu par moyenne harmonque de a,e et a L,e pondérée par les dstances d,e et d L,e. Remarque. S a est contnue, on retrouve le coeffcent a,l = a,e = a L,e.

24 4 CHAPITRE. EQUATIONS ELLIPTIQUES

25 Chaptre Equatons parabolques. Introducton Pour un domane ouvert connexe) Ω R n borné, de frontère Ω régulère et pour un temps T > 0 fxé, on consdère le problème aux lmtes suvant : trouver une foncton u = ux, t) avec x Ω et t 0, T ), telle que u t Lu = f dans Ω 0, T ).) u = 0 sur Ω 0, T ).) ux, 0) = u 0 x) dans Ω..3) La condton.) est la condton lmte sur le bord du domane Ω c Drchlet homogène). La condton.) est la condton ntale à l nstant t = 0. L opérateur L est défn par Lu := dv A u) b u c u.4) n ) u n u = a j b c u.5) x x j x,j= avec A = Ax, t) = a j x, t)) R n,n, b = bx, t) = b x, t)) R n et c = cx, t). On suppose dans tout ce chaptre sauf précson contrare) que les coeffcents a j C Ω [0, T ]). Les fonctons b, c et f = fx, t) sont données dans CΩ [0, T ]). On dt que l équaton.) est unformément parabolque s l opérateur L est unformément ellptque en la varable d espace x, c est-à-dre s la condton suvante est satsfate : α > 0 tel que Ax, t)ξ, ξ R n = = n a j x, t)ξ ξ j α ξ, ξ R n, x, t) Ω 0, T )..6),j= On supposera désormas que la condton.6) est vérfée. Voc à présent quelques résultats d exstence, d uncté et de prncpe du maxmum relatfs aux équatons parabolques on renvot par exemple aux ouvrages [], [5], [5], [])... Exstence et uncté des solutons Commençons par le cas de l équaton de la chaleur avec L =. S f L Ω 0, T )) et u 0 H0 Ω) alors le problème.)-.3) avec L = admet une unque soluton u L 0, T ; H Ω) H0 Ω)) C[0, T ]; H 0 Ω)) u t L 0, T ; L.7) Ω)) vérfant les équatons.),.) et.3) au sens presque partout. 5

26 6 CHAPITRE. EQUATIONS PARABOLIQUES S f C Ω [0, T ]) et u 0 L Ω) alors l exste une unque soluton u C Ω [ε, T ]) ε > 0..8) S de plus, u 0 C Ω) et f, u 0 ) vérfe certanes relatons de compatblté ) sur Ω alors u C Ω [0, T ]). D après.8), on vot que l équaton de la chaleur a un effet fortement régularsant sur la donnée ntale u 0. En effet, la soluton u est C en x pour chaque t > 0, même s la donnée ntale u 0 est dscontnue. Ces résultats se généralsent au cas d un opérateur L à coeffcents régulers : S a j, b, c C Ω [0, T ]) et s les coeffcents a j vérfent la condton d ellptcté.6) alors tous les résultats précédents restent vras. On remarquera qu l n y a pas d hypothèse sur le sgne de la foncton c, contrarement au cas ellptque cf. Chap. )... Prncpes du maxmum Sot u C Ω 0, T ]) C 0 Ω [0, T ]) vérfant u t Lu = f. On prend c 0. S f 0 resp. f 0) alors u attent son maxmum resp. mnmum) sur Σ = Ω [0, T ] Ω {t = 0}. En partculer, s u est soluton de.)-.3) avec c 0, f 0 et u 0 0, alors u 0 dans Ω [0, T ]. Prncpe de Hopf) Sot f 0 et soent x 0 Ω, t 0 0, T ) tels que ux, t 0 ) < ux 0, t 0 ) pour tout x Ω. On suppose que u est dérvable en x 0. S c 0 ou ben s ux 0, t 0 ) = 0 alors où n désgne la normale extéreure à Ω. u n x 0, t 0 ) > 0, Pour l équaton de la chaleur avec f 0 et c 0, s u 0 0 avec u 0 0 alors la soluton u de.)-.3) vérfe ux, t) > 0, x Ω, t > 0. Autrement dt, l effet d une pette perturbaton ntale est ressent mmédatement partout : la chaleur se propage avec une vtesse nfne.. Volumes Fns pour l équaton de la chaleur en dmenson d espace On consdère l équaton en D d espace avec Ω = 0, ) : trouver u = ux, t) pour x, t) 0, ) 0, T ) telle que u P ) t γ u x = f dans Q T := 0, ) 0, T ) u0, t) = u, t) = 0, t 0, T ) ux, 0) = u 0 x), x 0, ) avec γ > 0 une constante donnée. On suppose que le problème P ) admet une unque soluton u C Q T ) C 0 Q T ). On notera qu on a l estmaton suvante avec u 0 H0 0, ) et f L Q T )) : ) ut) H 0,) u C 0 H 0,) + f L Q T ) pour tout t 0, T )..9). Les relatons de compatblté sont des condtons nécessares pour que u C Ω [0, T ]). Elles s obtennent en écrvant que toutes les dérvées de u par rapport à t, sont nulles sur Ω [0, T ].e. u = tu = = j t u = = 0 sur Ω [0, T ]. On dérve de façon térée l équaton.) par rapport à t et on utlse les relatons précédentes. Par exemple, l équaton u t = u + f dans Ω [0, T ], fournt sur Ω {t = 0} la relaton u 0 = fx, 0) pour x Ω. Pus l équaton u tt = u t + f t = u + f + f t dans Ω [0, T ], fournt sur Ω {t = 0} la relaton u 0 = fx, 0) + f tx, 0) pour x Ω, et ans de sute... On peut prendre par exemple, les relatons suvantes u 0 = u 0 = = j u 0 = = 0 sur Ω, f = f = = j f = = 0 sur Ω 0, T ). On remarquera enfn, que l hypothèse u 0 C Ω) avec u 0 = 0 sur Ω ne sufft pas pour avor u C Ω [0, T ])...

27 .. VOLUMES FINIS POUR L ÉQUATION DE LA CHALEUR EN DIMENSION D ESPACE 7 On dscrétse l ntervalle [0, ] par un mallage T défn par les cellules de contrôle =]x, x + [ de centres x, =,, N cf. Secton.. du Chaptre ). On note h = et u t) = h ux, t) dx pour t [0, T ]. En ntégrant l équaton dfférentelle de P ) sur la cellule, on obtent d u ux, t) dx γ dt x x +, t) u ) x x, t) = h f t), où f t) = h fx, t) dx. On obtent ans, pour tout =,, N et t [0, T ], d dt u t) + F + où on a noté F + t) = γ u x x +, t) le flux exact de u en x +.. Schéma d Euler explcte t) F t) = f t),.0) h à l nstant t. On dscrétse en espace et en temps l équaton.0). Sot t > 0 le pas de dscrétsaton en temps et on ntrodut les nstants t n = n t pour n = 0,, M avec T = M t. On consdère l approxmaton u n u t n ) = ux, t) dx et le flux numérque F h n + Secton.3.) F n + = γ un + un h + Le schéma d Euler explcte s écrt en approchant la dérvée en temps u t tn ) un+ u n t γ u x x +, t n ) donné par cf. Chaptre,..) et en écrvant l équaton.0) au temps t n. On obtent, pour =,, N, n = 0,, M, u n+ u n t + F n F n + = f n.) h où f n = f t n ) = h fx, t n ) dx. Forme matrcelle. En combnant.),.), on a, pour =,, N et n = 0,, M, qu on peut écrre sous la forme u n+ u n+ = γ t u n + h h u n t γ un + un h h + γ t h h Le schéma "Volumes Fns" Euler explcte s écrt donc u n+ = γ t β h u n + γ t α h + γ un un = f n, h h )) + h + u n + γ t h h + u n + + tf n. ) u n γ t β h u n + + tf n.3)

28 8 CHAPITRE. EQUATIONS PARABOLIQUES avec α = h + h + > 0, β = h + < 0,.4) pour =,, N et n = 0,, M. On pose également β 0 = β N = 0. Les condtons lmtes et ntales sont données par u n 0 = un N+ = 0, n = 0,, M u 0 = h u 0 x) dx, =,, N.5) On pose u n = u n,, un N ) R N et f n = f n,, f n N ) R N. Le schéma d Euler explcte s écrt vectorellement u n+ = I N γ th A ) u n + tf n,.6) où A est la matrce du schéma Volumes Fns pour l équaton ellptque d du Chaptre cf..3)) : α β 0 β α β A = β N α N β N 0 β N α N avec α, β défns par.4). La matrce H est la matrce dagonale telle que H = h, N.e..7) h 0 /h 0 h H =..., /h H =.....8) 0 h N 0 /h N Le système.6) est explcte dans la mesure où l n y a pas de système lnéare à résoudre : le vecteur u n+ est calculé drectement à partr de u n sans résoluton de système lnéare. Stablté. On note v = max N v pour v = v,, v N ). Proposton. Sot λ = γ t max N. Prncpe du maxmum dscret. h h ) +. h + Sot f 0 et u 0 0. S λ alors u n 0 pour tout n N.. Stablté L. S λ alors pour tout n =,, M. Démonstraton. Sous l hypothèse λ, on a γ t α =,, N. u n u 0 + T f L Ω 0,T )),.9) h = γ t h h ) + h + 0 pour tout. Par récurrence sur n, on montre alors faclement à partr de.3) que u n 0 u n+ 0.

29 .. VOLUMES FINIS POUR L ÉQUATION DE LA CHALEUR EN DIMENSION D ESPACE 9. D après.3), pour tout =,, N, on a β < 0) u n+ γ t α ) u n γ t β u n h h γ t β u n h + + t f n sot u n+ γ t α ) u n h γ t β u n h γ t β u n h + t f n, pour tout =,, N. On a α + β + β = 0 pour < < N, β 0 = β N = 0 et α + β > 0, α N + β N > 0. On obtent donc u n+ u n + t f n, ce qu mplque.9). Convergence On note h = max N h et on ntrodut la norme L dscrète défne par N ) / v 0,h = h v,.0) pour v = v,, v N ). La norme L dscrète 0,h possède la proprété : v 0,h h 0 toute foncton v L 0, ) contnue sur 0, ) avec v = vx ),, vx N )). = v L 0,) pour Proposton. Sot u 0 C [0, ]) et f C 0 [0, ]). On suppose que P ) admet une soluton u C [0, ] [0, T ]). On note u n ) N la soluton du schéma Volumes Fns explcte.6) et on pose 0 n M e n = ux, t n ) u n pour tout N, 0 n M. On suppose que λ = γ t max Alors l exste une constante C > 0 ndépendante de h et t telle que avec e n = e n,, en N ), pour tout n = 0,, M. Démonstraton. A fare... Schéma d Euler mplcte e n 0,h Ch + t) On écrt l équaton.0) à l nstant t n+ et on approche la dérvée en temps u t tn+ ) un+ u n. t Le schéma Volumes Fns s écrt alors, pour N, 0 n M : ) N h h + h +. u n+ u n t + F n+ + F n+ h = f n+.). En effet, on a v L 0,) = = N N v x) dx = v x ) + Oh) formule des rectangles pour v de classe C sur [0, ]) = = N h v + Oh) =

30 30 CHAPITRE. EQUATIONS PARABOLIQUES où f n+ = f t n+ ) = h fx, t n+ ) dx et avec cf..)) Forme matrcelle F n+ + Pour N, 0 n M, on obtent γ t u n+ h h + + γ t h h Les condtons lmtes et ntales sont données par = γ un+ + un+ h +. )) + u n+ γ t u n+ + h + h h = un + tf n+. + u n 0 = un N+ = 0, n = 0,, M u 0 = h u 0 x) dx, =,, N.) Le schéma "Volumes Fns" Euler mplcte s écrt donc γ t β u n+ h + + γ t α ) u n+ + γ t β u n+ + h h = un + tf n.3) avec cf..4)) pour N et 0 n M. α = h + h + > 0, β = h + < 0,.4) On pose u n = u n,, un N ) R N et f n = f n,, f n N ) R N. Le schéma d Euler mplcte s écrt vectorellement, pour 0 n M : IN + γ th A ) u n+ = u n + tf n+,.5) où A est la matrce défne par.7) et la matrce dagonale H est donnée par.8). On remarquera que les matrces A et H sont symétrques mas le produt H A ne l est pas. On préfère alors écrre le système.5) sous la forme H + γ ta) u n+ = H u n + tf n+),.6) La matrce H + γ ta de même que la matrce I N + γ th A) est à dagonale strctement domnante γ > 0) donc elle est nversble cf. Annexe B). Par alleurs, le schéma est mplcte : une fos qu on connat u n, on détermne u n+ en résolvant le système.6). Stablté Proposton.3. Prncpe du maxmum dscret. La matrce H + γ ta est une M-matrce. S f 0 et u 0 0 alors u n 0 pour tout n M.. Stablté L. Pour tout n M, u n u 0 + T f L Ω 0,T )),.7) Remarque. Contrarement au schéma explcte, l n y a pas de condton de stablté sur t et h. En revanche, l faut résoudre un système lnéare.

31 .. VOLUMES FINIS POUR L ÉQUATION DE LA CHALEUR EN DIMENSION D ESPACE 3 Démonstraton.. Sot M = H + γ ta. On note m j ) les coeffcents de M. Pour tout, j N, on a clarement m j 0 pour j et N j= m j > 0. Par conséquent cf. Annexe B), M est une M-matrce et en partculer elle est monotone. Par récurrence sur n, on en dédut que u n 0 pour tout n, dès que f 0 et u A partr de.3), on obtent, pour tout N, + γ t α ) u n+ γ t β u n+ h h γ tβ u n+ + h + un + t f n+ γ t β u n+ h γ t β u n+ h + u n + t f n+ Sot 0 tel que u n+ 0 = max N u n+ = u n+. On a alors + γ t α ) 0 h 0 u n+ 0 }{{} = u n+ γ t On a toujours α 0 + β 0 + β 0 > 0, on obtent donc β 0 h 0 u n+ γ t β 0 h 0 u n+ + u n + t f n+. u n+ u n + t f n+ pour tout 0 n M. On en dédut que u n u 0 + T f L 0,) 0,T )) Convergence On note h = max N h. Proposton.4 Sot u 0 C [0, ]) et f C 0 [0, ]). On suppose que P ) admet une soluton u C [0, ] [0, T ]). On note u n ) N la soluton du schéma Volumes Fns mplcte.5) et on pose 0 n M e n = ux, t n ) u n pour tout N, 0 n M. Alors l exste une constante C > 0 ndépendante de h et t telle que e n 0,h Ch + t) avec e n = e n,, en N ), pour tout n = 0,, M. Remarque. Il n y a pas de condton de stablté portant sur les pas t et h. Démonstraton. D après.0) à l nstant t = t n+, on a : d dt u t n+ ) + F + t n+ ) F t n+ ) = f t n+ ),.8) h avec u t n+ ) = ux, t h n+ ) dx et F + t n+ ) = γ u x x +, t n+ ) le flux exact de u en x + l nstant t n+. On a d dt u t n+ ) = u h t x, tn+ ) dx et, pour x : ce qu donne u t x, tn+ ) = u t x, t n+ ) + x x ) u t θ, tn+ ), = u t x, t n+ ) + Oh), d dt u t n+ ) = u t x, t n+ ) + Oh). θ comprs entre x et x à

32 3 CHAPITRE. EQUATIONS PARABOLIQUES On obtent donc d dt u t n+ ) = ux, t n+ ) ux, t n ) + Oh + t)..9) t Par alleurs, on montre que vor auss Chaptre, exercce, sére I) avec L équaton.8) s écrt donc ux, t n+ ) ux, t n ) + γ t h F + t n+ ) = γ u x x +, t n+ ) R + = γ ux +, t n+ ) ux, t n+ ) h + + R + h + u x..30) L 0,) 0,T )) ux +, t n+ ) ux, t n+ )) h + = tf n+ ) + ux, t n+ ) ux, t n+ )) + t h R + R h ) + Oh + t) t..3) Par alleurs, le schéma "Volumes Fns" mplcte.3) s écrt sous la forme u n+ u n + γ t un+ + un+ ) + un+ u n+ ) ) = tf n+..3) h h + h En consdérant l erreur e n = ux, t n ) u n, on obtent à partr de la dfférence entre.3) et.3) : e n+ e n + γ t en+ + en+ ) + en+ e n+ ) ) = t ) R h h + h h + R + Oh + t) t,.33) pour N et 0 n M. On multple l équaton.33) par h e n+ et on somme sur =,, N : N N h e n+ e n )e n+ e n+ + + γ t en+ ) N e n+ e n+ e n+ + ) ) e n+ = = = t h + N = R + A partr de l dentté ab = a + b a b), on obtent = R h ) e n+ + Oh + t) t e n+ e n )e n+ = e n+ e n + e n+ e n. En utlsant le fat que e n+ 0 = e n+ N+ = 0, l équaton.34) devent e n+ 0,h + en+ e n 0,h en 0,h + γ t Ans on a = t N =0 =0 N =0 R + e n+ e n+ + en+ h + N = ) e n+ + R e n+ ) N =0 N = e n+ + en+ h + + Oh + t) t = h e n+..34) ) N = e n+ + ) h e n+. e n+ 0,h + en+ e n 0,h en 0,h + γ td n+) N ) N = t R + e n+ e n+ + ) + Oh + t) t h e n+..35)

33 .. VOLUMES FINIS POUR L ÉQUATION DE LA CHALEUR EN DIMENSION D ESPACE 33 avec = = = D n+ ) = N =0 e n+ + en+ h + Par Cauchy-Schwarz, N N ) / N / h e n+ h h e n+ ) ). Or, on a N R + e n+ e n+ + ) =0 On dédut alors de.35), N =0 N = h + R + )..36) N h =, donc = h e n+ e n+ 0,h. ) / N =0 e n+ + ) / en+ ) h + N ) /Dn+ C h 3 d après.30) et.36) + =0 N Ch =0 ChD n+ h + } {{ } = ) /Dn+ ) e n+ 0,h en 0,h + γ td n+) C t hd n+ + h + t) e n+ 0,h où C > 0 est une constante ndépendante de h et t. En utlsant l négalté de Young cf. Annexe C), on obtent pour tout ε, ε > 0, e n+ 0,h en 0,h + γ td n+) ε td n+ ) + C ε t h + ε e n+ 0,h + C ε t h + t) où C > 0 est une constante ndépendante de h et t. On chost ε = γ > 0 et on obtent, pour tout ε > 0, On chost alors ε = + t > 0.e. ε = ε ) e n+ 0,h en 0,h + C t h + C ε t h + t)..37) t + t > 0, de sorte que pour tout 0 n M, e n+ 0,h + t) en 0,h + C t h + t),.38) C > 0 est une constante ndépendante de h et t. D après le lemme de Gronwall cf. Annexe C, C.)), on obtent, pour tout n M, e n 0,h e 0 0,h + C n t h + t)) expn t), Pusque n t T, on en dédut ) e n 0,h C e 0 0,h + h + t,.39) avec C > 0 ndépendante de h et t.

34 34 CHAPITRE. EQUATIONS PARABOLIQUES De plus, on a chos la donnée ntale u 0 = h u 0 x) dx = u 0 x ) + Oh ) et donc e 0 = Oh ) pour tout N. Par conséquent, on a e 0 0,h = Oh) et on obtent e n 0,h C h + t), avec C > 0 ndépendante de h et t..3 Equaton de la chaleur en D d espace et Volumes Fns On consdère un domane polygonal Ω R. Pour T > 0, on cherche une foncton u = ux, t) pour x Ω et t [0, T ] vérfant l équaton de la chaleur suvante : u t ν u = f dans Ω ]0, T [.40) u = g sur Ω ]0, T [.4) u, 0) = u 0 dans Ω..4) Les fonctons f, g, u 0 et le paramètre ν > 0 sont donnés. On assoce au domane Ω un mallage "Volumes Fns" admssbles cf. Chaptre, secton.4). Pour fxer les dées, on consdère un mallage dont les volumes de contrôle sont les cellules de Voronoï assocées à une trangulaton de Delaunay de Ω. A chaque cellule, on assoce les centres x qu sont les sommets des trangles cf. secton.4.3 )..3. Dscrétsaton en espace On suppose la soluton u de.40).4) régulère cf. secton..). On ntègre l équaton.40) sur une cellule et en utlsant la formule de la dvergence, on obtent : d ux, t) dx ν u n dγ = f dt avec f t) = fx, t) dx et n désgne la normale untare drgée vers l extéreur de. On pose u t) = ux, t) dx et on a, pour t [0, T ], du dt t) ν u n,e dγ = f t),.43) e E e où E désgne l ensemble des arêtes de la cellule et n,e est la normale untare à e drgée vers l extéreur de. On approche le flux u n,e dγ F,e avec e F,e = u u L ) e s e Ω..44) x x L S possède une arête sur le bord Ω, on mpose u = u e = gx, t) dγ s e Ω..45) Le schéma Volumes Fns de dscrétsaton en espace s écrt ans, pour t [0, T ], du dt t) + e E e Ω e νf,e t) = f t)..46)

35 .3. EQUATION DE LA CHALEUR EN D D ESPACE ET VOLUMES FINIS Schéma explcte en temps Sot n N et t = T n > 0 le pas de dscrétsaton en temps avec tk = k t pour k = 0,,, n. On note l approxmaton u k u t k ) = ux, tk ) dx. Le schéma explcte assocé à.46) s écrt, pour tout T, k = 0,, n, uk+ uk ) + νf,e k = f t, k.47) e E e Ω avec F,e k = uk uk L ) e e Ω)..48) x x L On écrt les relatons.47) pour toute cellule ntéreure.e. une cellule ne possédant pas d arête sur le bord Ω. Pour une cellule ayant une arête sur Ω, on mpose u = u e donnée par.45). On obtent ans le schéma : Pour toute cellule ntéreure, u k+ = uk ν t e E e= L) e ) u k u k L + t f k.49) x x L Pour toute cellule possèdant une arête e Ω, on mpose u k+ = u e où u e est donnée par.45). Système lnéare On prend pour smplfer) g = 0. Sot N le nombre de cellules de contrôles ntéreures. On regroupe ). les nconnues dans le vecteur u k = u k,, u k N ) et on note f k = f k, f k N Le système lnéare correspondant à.49) s écrt u k+ = I N ν th A ) u k + t f k,.50) où I N est la matrce dentté d ordre N et A est la matrce de talle N N défne par.45) et correspondant au Laplacen. La matrce dagonale H de talle N N est défne par 0 H =.....5) 0 N Le système.50) est explcte : l n y a pas de système lnéare à résoudre pour détermner u k+ à partr de u k. Le schéma.50) est L -stable s u k C pour tout 0 k n avec C > 0 une constante ndépendante de k et N. On montre cf. exercce) que le schéma.50) est L -stable sous la condton λ = ν t max N e E e= L) e )..5) x x L

36 36 CHAPITRE. EQUATIONS PARABOLIQUES.3.3 Schéma mplcte en temps Le schéma mplcte assocé à.46) s écrt, pour tout T, k = 0,, n, avec uk+ uk ) + νf k+ k+,e = f t,.53) e E e Ω F k+,e = uk+ uk+ L ) x x L e e Ω)..54) On écrt les relatons.53) pour toute cellule ntéreure.e. une cellule ne possédant pas d arête sur le bord Ω. Pour une cellule ayant une arête sur Ω, on mpose u = u e donnée par.45). On obtent ans le schéma : Pour toute cellule ntéreure, u k+ + ν t e E e= L) e u k+ x x L ) uk+ L = u k + t f k+.55) Pour toute cellule possèdant une arête sur le bord Ω, on mpose u k+ est donnée par.45). = u e où u e Système lnéare On prend toujours g = 0 pour smplfer). Le système lnéare correspondant à.55) s écrt IN + ν th A ) u k+ = u k + t f k+.56) avec A et H défnes par.45) et.5) respectvement. On écrt le système.56) plutôt sous la forme H + ν ta ) u k+ = H u k + t f k+),.57) la matrce M = H + ν ta étant symétrque cec peut être avantageux pour la résoluton numérque du système lnéare.57)). On montre également que M est une M-matrce.

37 Chaptre 3 Equaton de transport 3. Introducton On consdère un problème de transport posé dans un domane Ω R. Etant donné un champ de vtesse V : Ω R, on cherche une foncton u : Ω R + R vérfant u t + dvvu) = 0 dans Ω R+ 3.) uv n) = 0 sur Ω R + 3.) u, 0) = u 0 dans Ω 3.3) où u 0 est une foncton donnée et n désgne la normale untare drgée vers l extéreur de Ω. On suppose que le champ de vtesse V est tel que dv V = 0, 3.4) de sorte que l équaton de transport 3.) s écrt encore u t + V u = 0. La condton lmte 3.) est satsfate s u = 0 sur Ω ou ben s V n = 0 sur Ω, auquel cas l n y a pas beson de condton lmte pour u sur Ω. En fat, pour que l équaton de transport 3.) avec la donnée ntale3.3), l sufft d mposer une condton lmte pour u unquement sur la parte du bord Γ = {x Ω tel que V nx) < 0}. L équaton de transport 3.) modélse par exemple l évoluton en temps et en espace de la concentraton u ou densté) d un composé dans un flude en mouvement par un champ de vtesse V donné. La donnée u 0 représente la concentraton ntale dans le flude à l nstant ntal t = 0. Le système 3.) 3.3) représente une lo de conservaton au sens où la masse totale Ω ux, t) dx est conservée au cours du temps. En effet, en ntégrant l équaton de transport 3.) sur Ω et en utlsant la formule de la dvergence avec la condton lmte 3.), on obtent pour tout t > 0, d dt Ω ux, t) dx = 0. Par alleurs, la termnologe transport vent du fat que l équaton 3.) transporte la foncton u sous l acton du champ de vtesse V. En effet, consdérons le flot X : Ω R + R assocé à V, soluton de dx x, t) = VXx, t)), t > 0 dt 3.5) Xx, 0) = x Ω Sous l acton de V, Xx, t) représente la poston à l nstant t d une partcule qu état en x Ω à l nstant t = 0 cf. Fgure 3.). 37

38 38 CHAPITRE 3. EQUATION DE TRANSPORT V V V Xx,t) t >0) V x t = 0) Fgure 3. Flot assocé au champ de vtesse V La foncton u est alors constante le long du flot. En effet, on a Par conséquent, on obtent ben d u dx [uxx, t), t)] = Xx, t), t) + uxx, t), t) dt t dt ) u = t + V u Xx, t), t) = 0 uxx, t), t)] = ux, 0) = u 0 x), pour tout t 0. La valeur ntale u 0 x) est ans transportée le long de la caractérstque Xx, ) 3. Mallage Le mallage T "Volumes Fns" est consttué de volumes de contrôle qu sont des polygônes formant une partton de Ω : Ω = T et L =,, L T, L.. Schéma "cell center" Le mallage T est une trangulaton du domane Ω. Les volumes de contrôle sont donc les trangles de cette trangulaton. Les centres x sont les barycentres des trangles. x x L L Fgure 3. Mallage "cell center" La trangulaton T de Ω dot être admssble au sens des Eléments Fns. En revanche, contrarement au cas des équatons ellptques, on ne demande pas que les angles des trangles soent plus petts que π/, pusque les centres de cellules les trangles) sont c les barycentres.

39 3.3. FORMULATION EN VOLUMES FINIS 39. Schéma "cell vertex" Dans de nombreuses applcatons, les quanttés sont défnes aux sommets des trangles d une trangulaton du domane Ω, plutôt qu en leur barycentre. Dans le schéma "cell vertex" on utlse toujours une trangulaton de Ω. Les centres des cellules sont choss comme les sommets des trangles de cette trangulaton. Les cellules du mallage "Volumes Fns" de centre x, sont obtenues en jognant - pour chaque trangle ayant en commun le sommet x - le pont mleu de chaque arête ssue de x au barycentre. Varantes : Fgure 3.3 Mallage "cell vertex" Les cellules sont obtenues en jognant les barycentres des trangles ayant le centre x comme sommet. Au leu de consdérer les barycentres, on consdère les centres des cercles crconscrts que l on jont entre eux. On obtent ans des cellules de Voronoï. 3.3 Formulaton en Volumes Fns On notera dorénavant Fu) = Vu. 3.6) Sot une cellule d un mallage T "Volumes Fns". On ntègre l équaton dfférentelle 3.) sur. ) u + dv Fu) dx = 0. t Par la formule de la dvergence, on obtent d ux, t) dx + dt Fux, t)) n dγ = 0 3.7) où n est la normale untare drgée vers l extéreure de. On remarque que la condton lmte 3.) mplque Fu) n = 0 sur une arête du bord e Ω. Par conséquent, les contrbutons des termes de bord dans 3.7) provennent unquement des arêtes de adjacentes à deux cellules. On obtent ans d dt ux, t) dx + e,l e,l = L) e,l Fux, t)) n,l dγ = 0 3.8) où n,l désgne la normale untare à e,l Ω drgée de vers L. La fgure c-dessous montre un exemple de Volumes de contrôle par un mallage "cell center".

40 40 CHAPITRE 3. EQUATION DE TRANSPORT e,l x n,l L x L Fgure 3.4 Volumes de contrôle pour l équaton de transport. On note et on a Le schéma 3.8) s écrt du dt t) + u t) = ux, t) dx d dt ux, t) dx = du t). 3.9) dt e,l e,l = L) e,l Fux, t)) n,l dγ = 0 3.0) Le flux à travers une arête e,l est approchée par : e,l Fu) n,l dγ e,l Φu, u L, n,l ) 3.) où Φu, u L, n,l ) est le flux numérque à travers l arête e,l, assocé à la cellule et Φu, u L, n,l ) est une approxmaton de Fu) n,l sur l arête e,l. On ntrodut les nstants t n = n t avec n enter postf et t > 0 le pas de dcrétsaton en temps. On consdère alors les approxmatons u n u t n ) = ux, t n ) dx. En approchant la dérvée en temps dans 3.9) par un schéma d Euler explcte, on obtent le schéma "Volumes Fns" suvant : u n+ un ) + t u 0 = u 0 x) dx, e,l e,l = L) T e,l Φ u n, u n L, n,l ) = 0, T, n N 3.) Le flux numérque Φ est chos par décentrement upwnd) : Φ u, u L, n,l ) = u V n,l ) + + ul V n,l ) 3.3) avec V ne ) + = maxv ne, 0), V ne ) = mnv ne, 0)

41 3.4. SYSTÈME LINÉAIRE 4 et La relaton 3.3) qu défnt le flux numérque est équvalente à V = V dγ. 3.4) e e { u V n Φ u, u L, n,l ) =,L ) s V n,l > 0 u L V n,l ) snon. 3.5) Pour calculer le flux numérque, on utlse l nformaton venant de la cellule ou L, en foncton de la drecton du champ de vtesse V. C est le décentrement cf. Fgure3.5). V n,l n,l L V L V n,l > 0 : on utlse u V n,l < 0 : on utlse u L Fgure 3.5 Décentrement du flux numérque. Sur chaque arête e, on approche la vtesse V par : V Vx ) + Vx ) où x et x sont les deux extrémtés de l arête e 3.6) Le flux numérque vérfe les proprétés suvantes :. Conservaton des flux à travers les arêtes. Φu, u L, n,l ) = Φu L, u, n,l ). 3.7). Consstance des flux. Φs, s, n e ) = F s) n e dγ pour tout s R. 3.8) e e 3.4 Système lnéare On chost un mallage "cell center" cf. Secton 3.). Les cellules de contrôle sont les trangles = T d une trangulaton du domane Ω admssble au sens des Eléments Fns. Les centres x des cellules sont les barycentres des trangles. On note pour smplfer, u n = u n l nconnue assocée à la cellule trangle). De même, on note désormas e j l arête commune à deux cellules trangles) et j et n j désgne la normale untare à l arête e j drgée vers l extéreur de. Sot N le nombre de cellules de contrôles = nombre de trangles de la trangulaton). Le schéma 3.) avec 3.3) s écrt alors, pour =,, N, u n+ = t e j e j = j ) e j V n j ) + ) u n t e j e j = j ) e j V n j ) u n j 3.9)

42 4 CHAPITRE 3. EQUATION DE TRANSPORT On pose u n = u n,, un N ) et le système lnéare correspondant au schéma explcte, s écrt : où A est la matrce de talle N N, de la forme u n+ = I N ta)u n 3.0) A = αj j j j 3 α j e j α + j α j 3 lgne 3.) avec α ± j = e j V n j ) ± et ej = j ). Les tros cellules j, j, j3 sont les tros trangles adjacents au trangle cf. Fgure c-dessous). j j 3 j Assemblage Pour construre la matrce A, on boucle sur les arêtes ntéreures des trangles. Pour une arête courante e Ω, on ajoute les contrbutons des deux trangles et j ayant e comme arête commune. On consdère ans la matrce élémentare A elem suvante : A elem = + e j ) + e j V nj + + e j j V nj ) + e j j j ) V nj ) + V nj Remarque : Pusque n j = n j, on a les relatons V n j ) = V nj ) + et V nj ) + = V nj ). j n j e j n j j L assemblage de la matrce A se fat alors de la façon suvante : A, ) A, ) + e j ) + e j ) V nj, A, j) V nj, Aj, ) e j ) + V nj Aj, j) Aj, j) e j ) V nj j j

43 3.5. CONDITION DE STABILITÉ Condton de stablté Comme dans la secton précédente, on consdère un mallage "cell center" et le système lnéare 3.0) correspondant s écrt u n+ = Mu n avec la matrce M = I N ta où A est donnée par 3.). On suppose dans cette secton que V n = 0 sur le bord Ω. La condton lmte 3.) du problème de transport est en partculer vérfée, de sorte qu l n y a pas de condtons lmtes sur u. On suppose de plus que le champ de vtesse V vérfe la condton d ncompressblté dv V = 0 dans Ω. On a Le schéma est stable au sens L ) s M avec M = max N M = max N = max N N M j j= t e j e j = j ) e j V n j ) + + t La condton de stablté M s écrt, pour N, t e j e j = j ) e j V n j ) + + t e j e j = j ) N M j. j= e j e j = j ) Or, on a V n j ) = V n j ) 0. Par conséquent, 3.) est équvalent à t e j e j = j ) e j V n j ) + + t e j e j = j ) e j V n j ) ) e j V n j ) 3.) e j V n j ) pour N 3.3) Par alleurs, comme on a supposé une condton d ncompressblté dv V = 0 pour le champ de vtesse V, on a 0 = dv V dx = V n dγ = V n j dγ. e j e j De plus, on a cf. 3.4)) V = V dγ et donc V n j dγ = e j ) V n j. On obtent ans, e j e j e j pour N, e j ) V n j = 0 3.4) e j e j = j ) Par alleurs, on a v = v + + v et v = v + v, par conséquent la relaton 3.4) s écrt encore, pour N, e j ) V n j = e j ) + V n j. e j e j = j ) La condton 3.3) s écrt donc, pour N, t e j e j = j ) e j e j = j ) e j V n j ) + t e j e j = j ) e j V n j ) +,

44 44 CHAPITRE 3. EQUATION DE TRANSPORT ce qu est équvalent à la condton suvante : t e j e j = j ) e j V n j ) +, N. Ans, le schéma "Volumes Fns" 3.), 3.3) qu est explcte en temps, est stable s la condton de stablté CFL suvante, est vérfée : t max N e j e j = j ) e j V n j ) + ). 3.5)

45 Chaptre 4 Equatons de Stokes 4. Introducton On va résoudre les équatons de Stokes dans un domane Ω R par une méthode de Volumes Fns. On utlse des mallages décalés pour la vtesse et la presson "staggered fnte volume scheme"). On suppose que le domane Ω R est polygonal. On cherche la vtesse u : Ω R et la presson p : Ω R telles que ηu ν u + p = f dans Ω 4.) P S ) dv u = 0 dans Ω 4.) u = g sur Ω 4.3) avec les paramètres η > 0, ν > 0 et les fonctons f et g données. 4. Mallages On chost un mallage de type Voronoï pour la vtesse et un mallage trangulare pour la presson cf. Secton.4.3). En partculer les angles des trangles sont π/. Sot T h une trangulaton du domane polygonal Ω. On assoce à cette trangulaton, les cellules de Voronoï qu sont des polygones convexes formant une partton de Ω.e. Ω = et les cellules sont deux à deux dsjontes). A chaque volume, on assoce un centre x cf. Fgure.9) et on note d,e la dstance de x à l arête e. L ensemble des arêtes d un volume est noté E. On note S les sommets des volumes et V l ensemble des sommets de. On notera T les trangles de la trangulaton T h. Il y a autant de trangles T que de sommets S et chaque trangle est assocé à un sommet S de sorte qu on pourra fare l dentfcaton «T = S». 4.3 Formulaton en Volumes Fns Pour résoudre P S ), on ntrodut une pénalsaton de l équaton de la dvergence : on remplace l équaton d ncompressblté 4.), dv u = 0, par l équaton où λ > 0 est un paramètre à chosr) et h = max dam)). dv u = λh p dans Ω, 4.4) On cherche la vtesse constante par cellule de Voronoï et la presson constante par trangle T. Les approxmatons sont u u dx, p T p dx. T T 45

46 46 CHAPITRE 4. EQUATIONS DE STOES 4.3. Approxmaton de la dvergence On ntègre la relaton dv u = λhp sur un trangle T T h. On obtent Par la formule de la dvergence, on a : T T dv u dx = dv u dx = λh p dx λh T p T 4.5) T T u n T dx = M T T u n T ds où M T désgne l ensemble des volumes de contrôle cellules de Voronoï) ayant x T comme sommet. On approche u n T ds u n T ds T T En utlsant la relaton e e n e = 0 pour tout polygone, on obtent T n T ds = e n e où e est le segment [x x ] et x et x sont les mleux des arêtes du trangle T ntersectant la cellule cf. Fgure 4.) ; n e est la normale untare au segment e drgée vers l extéreur de la cellule. n,t e,t x x T n e e x T T x x x T Fgure 4. Trangulaton et cellule de Voronoï On note e,t l arête du trangle T opposé au sommet x du trangle T, centre de la cellule ; n,t désgne la normale untare à l arête e,t. On a e,t = e et n,t = n e. La formulaton en Volumes Fns de l équaton de la dvergence pénalsée s écrt M T B,T u = λh T p T pour tout x T / Ω 4.6) avec B,T = e,t n,t 4.7)

47 4.3. FORMULATION EN VOLUMES FINIS Approxmaton de l équaton de Stokes En ntégrant l équaton de Stokes 4.) sur un volume de contrôle, on obtent : η u dx ν u dx + p dx = f dx. 4.8) En utlsant la formule de la dvergence, on a u dx = u n ds = u n,e ds, et p dx = e E p n ds = T T h e T p n ds, où n,e resp. n ) désgne la normale untare à e resp. à ) drgée vers l extéreur de la cellule. L équaton 4.8) s écrt donc η u dx ν u n,e ds + p n ds = f dx. e E e T T T h On approche u n,e ds F,e 4.9) e Pour l arête e = L) commune aux deux volumes de contrôle et L avec e Ω, le flux numérque F,e est défn par cf. Secton.4, "Volumes Fns" pour le Laplacen) : F,e = u L u ) e e Ω). 4.0) x x L Dans le cas où un volume possède une arête e sur le bord Ω, on mpose u = u e = gx) ds s e Ω. 4.) e On approche T e p n ds p T T n ds. En utlsant la relaton e e n e = 0 pour tout polygone, on obtent T n ds = + e n e où e est le segment [x x ] et x, x sont les mleux des arêtes du trangle T ntersectant la cellule ; n e est la normale untare au segment e drgée vers l extéreur de la cellule cf. Fgure 4.). Le terme de presson est ans approché par : p dx = T T h T p n ds x T V B,T p T 4.) où V est l ensemble des sommets de n appartenant pas au bord Ω et le vecteur B,T est donné par 4.7).

48 48 CHAPITRE 4. EQUATIONS DE STOES En combnant 4.8) avec 4.9) et 4.), on obtent la formulaton Volumes Fns de l équaton de Stokes : η u + ν F,e + B,T p T = f, x T V où f = f dx. e E e Ω En résumé, le schéma en Volumes Fns pour les équatons de Stokes s écrt η u + ν e E e Ω F,e + M T B,T u = λ h T p T x T V B,T p T = f pour tout x T / Ω pour tout

49 Chaptre 5 Equatons de Naver-Stokes ncompressbles 5. Introducton On s ntéresse à présent aux équatons de Naver-Stokes ncompressbles. Il s agt d un problème d évoluton en temps obtenu à partr des équatons de Stokes avec un terme convectf non-lnéare. Le terme convectf nonlnéare sera lnéarsé et traté de façon sem-mplcte par un schéma upwnd, de façon analogue à ce qu a été fat pour l équaton de transport cf. Chaptre 3). On cherche la vtesse u = ux, t) défne de Ω 0, T ) dans R et la presson p = px, t) défne de Ω 0, T ) dans R telles que u t + u )u ν u + p = f dans Ω 0, T ) dv u = 0 dans Ω 0, T ) P NS ) u = g sur Ω 0, T ) u0) = u 0 dans Ω 5. Sem-dscrétsaton en temps On note t n = n t et on consdère les approxmatons en temps de la vtesse u n u, t n ) et de la presson p n p, t n ). Le schéma sem-dscrétsé en temps s écrt u n u n t + u n )u n ν u n + p n = f n dans Ω dv u n = 0 dans Ω u n = g sur Ω Compte tenu du fat que le champ de vtesse u n est à dvergence nulle, on écrt le terme de convecton lnéarsé) de la façon suvante : u n )u n = dvu n u n ) où u v) j = u v j et dvu v)) j = Le problème sem-dscrétsé s écrt alors u v j ) x avec u = u, u ) et v = v, v ). t un + dvu n u n ) ν u n + p n = f n + t un dans Ω dv u n = 0 dans Ω u n = g sur Ω Pour détermner u n et p n à partr de u n, l s agt donc de résoudre un problème de Stokes avec un terme de convecton lnéare). 49

50 50 CHAPITRE 5. EQUATIONS DE NAVIER-STOES INCOMPRESSIBLES 5.3 Formulatons en Volumes Fns Le terme convectf nonlnéare des équatons de Naver-Stokes sera lnéarsé et traté de façon semmplcte par un schéma upwnd. On décrt c unquement le tratement du terme de convecton. Pour plus de détals, on renvoe au Chaptre 3 "Volumes Fns pour l équaton de transport". On ntègre le terme de convecton sur un volume de contrôle. Par la formule de la dvergence, on obtent dvu n u n ) dx = u n n)u n ds = e j e j = j ) e j u n n ej )u n ds où e j désgne l arête commune aux volumes et j et n ej l extéreur de cf. Fgure 5.). est la normale untare à e j drgée vers n ej e j j Fgure 5. Volumes de contrôle pour le tratement de la convecton On approche alors l ntégrale en ntrodusant un flux numérque Φ : dvu n u n ) dx e j Φu n, u n j, n ej ). e j e j = j ) Le flux numérque est chos par décentrement upwnd : Φu n, u n j, n ej ) = u n u n n e j ) + + u n j u n n e j ) où ) + et ) désgnent respectvement les partes postves et négatves.

51 Appendces 5

52

53 Annexe A Modélsaton des équatons de Naver-Stokes et équatons de Stokes A. Introducton Un flude vsqueux ncompressble est contenu dans un domane Ω R d d 3). On ntrodut la densté du flude ρx, t) R, la vtesse ux, t) R d et la presson px, t) R en un pont x Ω du flude à l nstant t. Le flude est caractérsé par un tenseur des contrantes σu, p). La résultante des forces exercées par le flude sur un sous-domane ωt) Ω est alors donnée par F = ωt) σu, p)n dγ A.) où n désgne la normale untare extéreure à ωt). La force F est une force surfacque s applquant sur le bord ω. Le flude est également soums à une force volumque extéreure f = fx, t) R d s applquant en chaque pont x du domane Ω, à l nstant t. A. Conservaton de la masse La masse du flude contenu dans le domane ωt) est conservée à chaque nstant t. On a donc d ρ dx = 0. dt ωt) A.) 53