DEVOIR SURVEILLE de MATHEMATIQUES 3 heures

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1 Terminale ES13 Février 014 EVOIR SURVEILLE de MATHEMATIQUES 3 heures Eercice 1 : 5 points Le parc informatique d un lycée est composé de 00 ordinateurs dont : 30 sont considérés comme neufs ; 90 sont considérés comme récents ; les autres sont considérés comme anciens. Une étude statistique indique que : 5 % des ordinateurs neufs sont défaillants ; 10 % des ordinateurs récents sont défaillants ; 0 % des ordinateurs anciens sont défaillants. On choisit au hasard un ordinateur de ce parc. On note les évènements suivants : N : «L ordinateur est neuf» ; R : «L ordinateur est récent» ; A : «L ordinateur est ancien» ; : «L ordinateur est défaillant» ; : l événement contraire de. 1) Construire un arbre pondéré décrivant la situation. ) Calculer la probabilité que l ordinateur choisi soit neuf et défaillant. 3) émontrer que la probabilité que l ordinateur choisi soit défaillant est égale à 0,135. 4) éterminer la probabilité que l ordinateur soit ancien sachant qu il est défaillant. onner le résultat sous forme décimale arrondie au centième. 5) Pour équiper le centre de ressources de l établissement, on choisit au hasard 5 ordinateurs dans le parc. On admet que le parc est suffisamment important pour qu on puisse assimiler ces choi à des tirages successifs indépendants avec remise. On note X la variable aléatoire qui compte le nombre d ordinateurs défaillants a. Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. b. éterminer la probabilité qu eactement un des ordinateurs choisis soit défaillant. onner le résultat sous forme décimale arrondie au centième. 1) N R A

2 ) 3) 4) 5) a) Chaque choi d ordinateur a une probabilité d un succès ou d un échec. On répète 5 fois cette epérience dans des conditions d indépendance. La variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n = 5 et p = 0,135. b) Eercice : 5 points Une machine remplit des paquets de pâtes dont le poids est supposé être 500 g. On appelle X la variable aléatoire qui à tout paquet rempli par cette machine associe son poids en grammes. On admet que X suit la loi normale N 500 ; 1) On choisit au hasard un paquet rempli par cette machine. Quelle est la probabilité que ce paquet ait un poids compris entre 490 g et 505 g? ) Un grand magasin affirme qu un de ses clients a acheté un paquet de moins de 480 g. Que peut-on en penser? 3) éterminer le poids h au mg près par défaut tel que P X h 0, 9. Interpréter par une phrase ce résultat. Les paquets de pâtes sont conditionnés en cartons de 50 paquets. Toutes les 00 secondes eactement, un carton sort de la chaine de production. Chaque jour, le contrôleur récupère un carton. Son arrivée à la chaine de production se fait au hasard. Le temps en seconde séparant l arrivée du contrôleur à la chaîne de production du prochain carton produit définit une variable aléatoire T qui suit une loi uniforme. a) onner la fonction de densité de probabilité associée à la variable aléatoire T b) Quel est le temps d attente moyen du contrôleur pour récupérer un carton? c) éterminer la probabilité pour que le contrôleur attente plus de minutes. 1) ) 480 est 10 écarts-types de la moyenne, alors On peut penser que ce client s est trompé car la probabilité d avoir acheté un paquet de moins de 480 g est environ 0. 3) pour La probabilité d avoir un paquet d au moins 497,437 g est 0,9. Autrement dit, 90% de paquets de pâtes ont un poids supérieure ou égale 497,437 g.

3 a) b) c) Eercice 3 : 5 points (Inspiré de l eercice 3 du sujet Liban Mai 013) On considère la fonction C définie sur l intervalle 5 ;60 par : e 0 C 1) On désigne par C la dérivée de la fonction C. 0,1 e C Montrer que, pour tout 5;60 e, ) On considère la fonction f définie sur 5 ;60 par : f 0,1 e e 0 0 a) Montrer que la fonction f est strictement croissante sur 5 ;60. b) Montrer que l équation f 0 possède une unique solution dans ;60 c) onner un encadrement à l unité de. d) En déduire le tableau de signes de f sur 5 ;60 3) En déduire le tableau de variations de C sur 5 ; ) En utilisant le tableau de variations précédent, déterminer le nombre de solutions des équations suivantes : a) C. C b) 5 Une entreprise fabrique chaque mois vélos de course, avec appartenant à l intervalle 5 ;60. Le coût moyen de fabrication, eprimé en milliers d euros, pour une production de vélos de course, est donné par la fonction C définie dans la partie A. 1) éterminer le nombre de vélos à produire pour que le coût de fabrication moyen soit minimal. ) éterminer le nombre minimal et le nombre maimal de vélos à produire pour que le coût soit inférieur à 000 euros. 1) ) a) Pour tout [ ] et donc f est strictement croissante sur [5 ; 60]. b) f est continue sur [5 ; 60] car chaque terme est continu sur cet intervalle. e plus, f est strictement croissante sur [5 ; 60] alors il reste à vérifier que.

4 après le théorème des valeurs intermédiaire, dans [5 ; 60]. c) après la calculatrice on trouve α 5-1,7 6 1,5 possède une unique solution α 3) d) Alors,. 5 α 60 f() 0 5 α 60 C () 0 C() 4) a) C() = a solutions. b) C() = 5 a 1 solution. 1) Il faut produire entre 5 et 6 vélos pour que le coût de fabrication moyen soit minimal. ) Le nombre minimal est 1 vélos et le nombre maimal est 41vélos pour que le coût soit inférieur à 000. Eercice 4 : QCM 5 points Cet eercice est un questionnaire à choi multiples. Une réponse eacte rapporte 1 point. Une réponse fausse ou l absence de réponse ne rapporte ni n enlève aucun point. Pour chacun des questions posées, une seule des quatre réponses est eacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n est demandée.

5 1) La fonction F définie par F e A : f e B : f C : f e : f e est une primitive de la fonction f définie par : e h 3 ) Soit la fonction h définie sur par 7 e. L équation h 0 A : a pour solution,718 B : a une solution sur 0 ; C : a deu solutions sur : a une solution sur ;0 3) On choisit au hasard un réel de l intervalle ;5. Quelle est la probabilité que ce nombre appartienne à l intervalle 1;1? 1 1 A : B : C : : 0, ) Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne 3 et d écart-type. Quelle est la valeur arrondie au centième de la probabilité P X 1? A : 0,16 B : 0,68 C : 0,95 : 0,99 5) Quelle courbe représente la fonction de densité d une variable aléatoire qui suit la loi normale N 0 ;1?