Les équations de MAXWELL

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1 Chpite I Les éutions de MAXWLL 1- LCTROSTATIQU 1.1 Loi de COULOMB L expéience de se de l électosttiue été élisée p COULOMB en 1785, en utilisnt de petits ojets chgés pouvnt ête considéés comme des chges ponctuelles. Les ésultts de ces expéiences ont conduit à l loi de Coulom, ui dit ue l foce ente deux chges ponctuelles 1 et est popotionnelle u poduit des chges et invesement popotionnelle u cé de l distnce ui les sépe : A u 1 B 1 F K u, (I-1) où u est le vecteu unitie du vecteu AB. L foce F s expime en newtons (N) et K, une constnte de popotionnlité, est donnée dns le système intentionl (SI) p : 1 K, (I-) 4 où est l pemittivité diélectiue du milieu dns leuel les chges sont situées., ussi ppelée constnte diélectiue, l dimension d une cpcité p unité de longueu (F/m). L pemittivité du vide est désignée p et s vleu est : F / m. (I-3) Chmp électiue Considéons une chge 1 située à l oigine d un epèe (coodonnées polies ou sphéiues). Si une ute chge est menée u voisinge de, elle sui une foce. 1

2 8 LS QUATIONS D MAXWLL 1 On dit ue l chge est entouée p un chmp, c est à die une égion dns luelle des foces peuvent gi. L ntue de ce chmp est indiuée p le digmme ci-conte, l longueu du vecteu est popotionnel à l foce en ce point. Lignes de chmp : lignes tngentes u chmp électiue en chue point. Si est une chge test positive, l foce p unité de chge est définie comme étnt le chmp électiue : F 1 u. (I-4) 4 1 Pincipe de supeposition : Puisue le chmp électiue céé p une chge est une fonction linéie de l vleu de l chge, los le chmp de plusieus chges est otenu en fisnt une ddition vectoielle des composntes de chmp céé p chue chge successivement gissnt seule. Le chmp céé en un point p un ensemle de chges s écit n i i1 1.3 Le potentiel électiue Soit une chge test, où i est le chmp céé p l chge plongée dns le chmp électiue i seule. céé p une distiution uelconue de chges. Le tvil W u il fut founi conte l foce électiue pou déplce l chge test d un point ves un point est donnée p : F W Fdl, (I-5) : foce électiue execée su l chge en tous points du pcous.

3 CHAPITR I 9 dl : difféentielle du vecteu déplcement le long du chemin mennt de ves. Convention : W> on founit du tvil ; W< on eçoit du tvil. De plus on suppose ue est une chge unité, l énegie p unité de chge u il fut développe pou déplce l chge test est : W unité dl c F. (I-6) Montons ue cette intégle ne dépend ps du chemin choisi pou lle de ves. dl O u d O= O= Pemie cs : pcous ectiligne Wunité dl dl o dl=-d unité d Wunité. 4 Deuxième cs : pcous cuviligne W dl dl cos o d dl cos( ) d dl cos unité W Wunité d On otient le même ésultt ue pou le pcous ectiligne. n conclusion, on peut die ue le tvil u il fut founi pou déplce une chge unité de ves ne dépend ps du pcous, mis dépend seulement de l position des deux points et. On définit los l difféence de potentiel électiue, ente les deux points et, comme le tvil p unité de chge pou mene une chge positive de et : d

4 1 LS QUATIONS D MAXWLL V ( ) V ( ) dl. (I-7) Remue : Si le pcous est femé on en déduit ue l cicultion du chmp électiue su un pcous femé est égle à zéo : dl. Potentiel solu : Si le point se touve à l infini, où le potentiel est nul p définition, los le potentiel solu du point est donné p : V ( ) 4. Plus génélement le potentiel en un point situé à l distnce d une chge s écit : V ( ) 4. (I-8) Il est utile de note ue le potentiel V() est p définition le tvil p unité de chge u il fut founi, pou mene une chge de l infini à l position. L unité de potentiel électiue dns le système SI est le volt (V) est égle à un joule/coulom. Remue : Si l chge est déplcée dns une diection pependiculie à, il n y ps de tvil développé ( dl ) et ce pcous est ppelé ligne éuipotentielle. Cel est une popiété impotnte des chmps : les éuipotentielles et les lignes de chmps sont othogonles. On v détemine mintennt l expession ui pemet de détemine le chmp électiue ( x, y, z) à pti de l connissnce du potentiel électiue V ( x, y, z). dv dl dv ( xdx ydy zdz) V V V o dv dx dy dz x y z n identifint les deux expessions de dv on otient les composntes du chmp électiue : V V V x ; y ; z. x y z

5 CHAPITR I 11 On econnît l opéteu vectoiel gdient ui pemet finlement d écie, gd ( V ) V, (I-9) où l opéteu (nl) est défini p l identité suivnte : i j k, (I-1) x y z où ( i, j, k ) sont les vecteus unitie du epèe othonomé Oxyz. 1.4 Flux du chmp électiue-théoème de GAUSS Flux d un chmp de vecteu : Soit une sufce (S) dns une égion de l espce où existe un chmp de vecteu F. On décompose cette sufce en éléments de sufce tès petits ds, ds,... 1 ue l on peut ssimile à des fctions de plns. Nous ssocions à chue sufce élémentie dsi un vecteu unitie u i ui lui est pependiculie. On définit insi les éléments de sufces oientées dsi uidsi. Le chmp de vecteu F est cctéisé p les vecteus F 1, F,... su chue sufce élémentie ds1, ds,.... P définition, on ppelle «flux du chmp de vecteu F» à tves l sufce (S) l untité suivnte : Fi ds i F1 ds1 FdS... (I-11) i ou ien F ds. (I-1) Convention : flux sotnt flux entnt (S ) Flux du chmp électiue : Clculons le flux du chmp électiue, céé p une chge ponctuelle, à tves une sufce (S) ui l entoue. L chge est située dns un milieu dont de pemittivité diélectiue. Considéons le cs pticulie où l sufce (S) est une sphèe de yon centée su l chge. Le chmp céé en tout point de l sphèe est : u. (I-13) 4 Le flux du chmp électiue s écit :

6 1 LS QUATIONS D MAXWLL ds u ds 4 4 ds. ( S ) ( S ) ( S ) L intégle doule epésente l sufce d une sphèe de yon, soit 4. On otient finlement :. (I-14) Il fut note ue l eltion (I-14) demeue vie pou une sufce uelconue femée entount. Théoème de GAUSS : Si l sufce femée (S) entoue plusieus chges,,... 1 los le flux du chmp électiue à tves (S) s expime p : 1 ds i. (I-15) ( S ) 1.5 Fome difféentielle du Théoème de GAUSS Le théoème de Guss peut ête ppliué à une sufce uelconue. Appliuons le à une sufce limitnt un volume infinitésiml dont les cotés de longueu dx, dy et dz sont pllèles ux xes Ox, Oy et Oz, espectivement. Ce volume infinitésiml est plcé dns un chmp électiue de composntes x, y et z. z C z i z z dz C B y dz B x y y dy y y A D dx x x dx x dy z A D x

7 CHAPITR I 13 L composnte nomle sotnte du chmp électiue su l fce ABCD est y puisue le chmp est entnt. Si l vleu du chmp chnge de l fce ABCD à l fce A B C D, l composnte nomle de su l fce A B C D peut ête epésentée p une séie de Tylo : 3 3 y dy y dy y dy y... 3 y 1 y! y 3! Si on néglige les temes d ode supéieu, l composnte nomle de su l fce A B C D s expime p : y y dy. (I-17) y Flux su l fce ABCD : y dxdz y Flux su l fce A B C D : y dydxdz y n pocédnt de mnièe similie pou toutes les fces de l oite on otient le flux totl : y y dydxdz y dxdz y x + x dxdydz x dydz x z + z dzdxdy z dxdy z Soit finlement : x y z dxdydz. (I-18) x y z d D pès le théoème de Guss où d est l chge enfemée p l oite infinitésimle ui s écit d dxdydz, où est l densité de chge dns l oite. On Finlement, le théoème de GAUSS sous s fome locle s expime p l éution difféentielle suivnte : div(), (I-19) ou. (I-)

8 14 LS QUATIONS D MAXWLL L ppliction du théoème de Guss à une sufce femée (S) entount un volume V pemet d écie : ds dv, ( S) ( V) et si l on tient compte de l éution (I-19) on otient le théoème d OSTROGRADSKY ou théoème de l divegence : ds div( ) dv. (I-1) ( S) ( V) Le théoème d Ostogdsky est ien utile pou tnsfome une intégle de sufce en intégle de volume et vice ves. ution de POISSON : Si dns l éution (I-) on intoduit l eltion ente le chmp électiue et le potentiel électiue, V, los le théoème de Guss sous fome difféentielle conduit à : ( V ) V, puis à l éution de POISSON : V, (I-) où est l opéteu lplcien sclie ( ). x y z n sence de chge ( ), l éution de Poisson devient l éution de LAPLAC ui s écit : V. (I-3) 1.6 Le vecteu induction électiue Le chmp électiue poduit en un point p une chge ponctuelle, à l distnce, est donnée p l éution suivnte : u. (I-4) 4 L éution pécédente monte ue l intensité du chmp électiue dépend du milieu dns leuel l chge est plongée. Cependnt, si nous multiplions p