n ds S Équation de conservation de la charge L équation de conservation locale de la charge s écrit : div j + ρ t = 0

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1 Életromagnétisme 1 Bases oures du hamp E.M. Distribution de harges = ouple ρ, j. L hypothèse des milieux ontinus permet de dire que tout se passe omme si l on avait un fluide életrique ou e qui revient au même : ρ et j sont des fontions suffisamment régulières. ρ et j sont des grandeurs nivelées i.e. moyennées sur des éhelles assez petites par rapport au marosopique du laboratoire mais très grandes devant les éhelles de la matière : ρ = dq : e n est pas une limite quand dτ tend vers 0!... dτ On peut érire ρ en fontion des densités partiulaires des porteurs i : n i = dn i nombre de porteurs par unité de volume : dτ ρ = n 1 q 1 + n 2 q L intensité i est égal à la harge qui travers une surfae orientée par unité de temps omptée positivement dans le sens de l orientation de. On a j = n 1 q 1 v 1 + n 2 q 2 v et i = dq dt = j. n d Dans le as d un unique type de porteurs de harges par exemple ourant de partiules, on a j = ρ v est faux s il y a plusieurs types de porteurs de harges, par exemple pour un ourant de ondution dans un életrolyte ou un métal. Équation de onservation de la harge L équation de onservation loale de la harge s érit : div j + ρ = 0 Démonstration : oit V un volume fixe de surfae. La harge qui sort de en dt vaut dq = dt j. n d. Par ailleurs, la harge ontenue dans V vaut Qt = ρm, tdτ. Pendant dt, la harge varie dans V de dq = Qt+ dt Qt = dq V dt dt = d ρ ρdτ dt = dt dτ. Par onservation de la harge, dt V V dq est égal à dq, d où dt j. ρ ρ n d = dt dτ et en utilisant Ostrogradski : V V dτ = div j dτ, d où div j + ρ dτ = 0. V V Cei est valable pour tout volume V, d où l équation en prenant un volume élémentaire et en le faisant tendre vers 0. NB : En régime stationnaire, l équation se réduit à div j = 0 : la densité de ourant est à divergene nulle, don l intensité totale qui sort d une surfae fermée est nulle : f. loi des noeuds. Fore et puissane volumique de Lorentz et sa puissane est dp dτ = j. E La fore volumique életromagnétique de Lorentz vaut f = d F dτ = ρ E + j B Appliation : pour un onduteur ohmique, la loi d Ohm loale j = σ E donne dp dτ = σe2, d où pour un tronçon ylindrique de longueur l et setion s parouru par une intensité i = js : P = 1 l σ s i2 = Ri 2 ar R = 1 l est la résistane du tronçon. σ s Démonstration : La fore subie par les porteurs de harge du volume dτ vaut d F = i n iq i dτ E + v i B = i n iq ie + ni q i v i B et on reonnaît l expression annonée. La puissane vaut P = F. v = q E. v. En raisonnant par porteurs, on a dp = i dp i = i n iq i dτ E. v i = i n iq i v i. Edτ = j. Edτ. Équations de Maxwell Équations de Maxwell div B = 0 Flux magnétique MΦ rot E = B Maxwell-Faraday MF div E = ρ Maxwell-Gauss MG ε 0 rot E B = µ 0 j + ε0 Maxwell-Ampère MA Remarques : 1. le ouple MΦ,MF exprime des propriétés intrinséques du hamp E.M. alors que le ouple MG,MA expliite la nature de la liaison entre le hamp E.M. et ses soures ρ, j. Par ontre, les deux types d équations sont néessaires pour déterminer entièrement haque hamp théorème de Helmoltz : un hamp vetoriel ne peut être entièrement déterminé que si l on onnaît à la fois sa divergene et son rotationnel. 2. Les équations étant linéaires, on a un théorème de superposition : une ombinaison linéaire de solutions des équations est enore solution. Ne pas onfondre ette notion ave elle de linéarité du omportement du matériau, par exemple la loi d Ohm loale j = σe il existe des gaz ionisés ou des semi-onduteurs pour lesquels la relation entre j et E est non-linéaire. 3. L équation de onservation de la harge est ontenue dans les équations de Maxwell : en prenant la divergene de MA : 0 = div rot B = µ 0 div j + ε 0 div E en remplaçant la divergene de E dans MG. d où 0 = div j + ε 0 div E et on obtient l équation de onservation de la harge

2 Contenu physique des équations de Maxwell : formes intégrale MG : la forme intégrale donne le théorème de Gauss qui reste don valable en régime quelonque. MG exprime que les harges ρ jouent pour le hamp életrique E un rôle de soure. Par ontre, ontrairement au régime stationnaire, les harges ne sont plus les seules soures il faut tenir ompte de j. E MA : en notant jd = ε 0 B. dl = µ0 i + i D ave i D = ε 0 C désigné par Maxwell sous le nom ourant de déplaement, la forme intégrale de MA s érit E. n d jd traduit seulement une variation temporelle du hamp életrique, et pas du tout un ourant ni un déplaement de quoi que e soit! Par ontre, on peut dire qu en régime variable, le terme E j D = ε 0 joue au même titre qu une densité de ourant j un rôle de soure pour le hamp magnétique : un hamp életrique variable dans le temps est une soure de hamp magnétique. NB : en régime stationnaire, j D = 0 et l on retrouve le théorème d Ampère. MΦ : le flux du hamp magnétique à travers toute surfae fermée est nul, i.e. le hamp magnétique est à flux onservatif. Une autre onséquene est qu il n existe pas de harges magnétiques, ou dit autrement : le hamp magnétique n a pas de soures qui joueraient pour B le rˆole que les harges jouent pour E. MF : en régime stationnaire, on retrouve que le hamp életrique a un rotationnel nul, i.e. le hamp életrique est à irulation onservative en régime stationnaire. En régime quelonque, en notant e la irulation de E sur un ontour fermé quelonque C, on obtient que e = dφ où Φ = B. n d est le flux magnétique qui traverse le ontour fermé C indépendant de la surfae dt puisque B est à flux onservatif : on obtient la loi de Faraday du phénomène d indution E.M. e s identifiant à la f.e.m. induite sur C. On peut aussi énoner : un hamp magnétique variable dans le temps est soure d un hamp életrique à irulation non onservative. Remarque : en régime variable, les équations de Maxwell font apparaître de manière évidente un ouplage entre les hamps E et B. En régime stationnaire, e ouplage disparaît. Note historique Vers 1860, Maxwell établit un tableau des équations présentées i-dessus qui ne fait pas apparaître le ourant de déplaement j D = ε E 0. En effet, et ensemble d équation orrespond aux ARQ qui traduit une approximation des lois générales pour des hamps lentement variables dans le temps. Or, les iruits osillants de l époque ne permettaient pas d aéder à des fréquenes suffisantes pour mettre en évidene les phénomènes de propagation spéifiques du terme j D. En 1862, Maxwell modifie ses équations ARQ de l E.M. en introduisant son fameux ourant de déplaement. La raison en est que est la façon la plus simple de modifier les équations issues de l expériene afin de les rendre ompatibles ave la onservation de la harge. Par ailleurs, Maxwell ne disposait pas du formalisme de l analyse vetorielle. Enfin, il existait à ette époque la théorie de l éther qui a depuis lors été abandonnée... Charges dans un onduteur En régime stationnaire, ρ est nulle dans tout le volume d un onduteur ohmique homogène ; en régime quelonque ρ est négligeable dans tout le domaine des fréquenes industrielles et hertziennes restrition due en partie au fait que σ n est pas onstante pour toute fréquene. Démonstration : Cela résulte de l équation de MG et de l équation de onservation de la harges : ρ = div j = σdiv E = σ ρ. En régime stationnaire, on a ε 0 don ρ = 0. En régime variable, ette équation s érit en posant θ = ε 0 ρ temps aratéristique : σ + ρ θ = 0, d où ρ r, t = ρ 0 r e t/θ. Pour un métal, σ = 10 7 m 1 d où θ s : on a une relaxation extrêmement rapide vers l état stationnaire aratérisé par ρ r = 0. On peut don admettre ρ = 0 pour toute fréquene ν 1 θ 1018 Hz. En fait, la limite est moins élevée ar la loi d Ohm loale perd sa validité ave une σ réelle pour des fréquenes supérieures à Hz. 2 Courant dans un onduteur - Effet de peau Dans un métal soumis à un hamp életrique sinusoïdal E = E 0 osωt, on a j = σe 0 osωt et E j D = ε 0 = ωε 0E 0 sinωt, d où j D = ωε 0 = ωθ où θ est le temps de relaxation introduit dans le j σ point préédent sur les harges dans un onduteur. On a don j D j pour ν 1/θ : dans le volume d un métal, le ourant de déplaement j D est négligeable devant la densité de ourant j dans tout le domaine des fréquenes industrielles et hertziennes. En réunissant e résultat et le préedent, on a don que dans tout le domaine des fréquenes industrielles et hertziennes, on peut négliger la densité de harge ρ dans MG et le ourant de déplaement j D dans MA : est l effet de peau. Équation de propagation du hamp E.M. Le ouplage introduit par les équations de Maxwell est à l origine du phénomène de propagation du hamp E.M. L équation de propagation vérifiée par les hamps E et B dans le vide est 2 E ε 0 µ 0 2 E 2 = 0 ; Résolution de l équation de d Alembert 2 B ε 0 µ 0 2 B 2 = 0 ave ε 0 µ 0 2 = 1 On peut herher : soit des solutions à variables liées de la forme f progressives, soit des solutions à variables séparées de la forme hxkt ondes stationnaires. t x ondes

3 Résolution de l équation de d Alembert en variables liées oit sx, t une grandeur à variables liées vérifiant l équation des ondes 2 s ou équation des ordes vibrantes : x s v 2 = 0 alors sx, t est de la forme sx, t = fx vt + gx + vt où f et g 2 désignent deux fontions arbitraires. Démonstration : On fait le hangement de variable u = x vt et w = x + vt. On obtient pour les dérivées premières : s x = s u u x + s w w x = s u + s w et s = s u u + s w s = v w u + v s w. Et pour les dérivées seondes : 2 s x 2 = 2 s u s u v + 2 s w 2 et 2 s 2 = v2 2 s u 2 2v2 2 s u v + v2 2 s w 2. L équation devient don : 4 2 s s s = 0, soit enore = 0. Ainsi = hw et don sx, t = fu + gw ave g primitive de h. u v u w w Onde plane progressive Une onde plane progressive est une onde de la forme sx, t = fx vt à une dimension. On a sx, t = s 0, t x : le déplaement de l extrémité détermine omplètement le déplaement de toute la orde à tout instant. v L allure à un instant t est obtenue par simple translation de durée x v. On a sx, t = sx vt, 0 : la forme de la orde sx, 0 à l instant initial détermine omplètement le déplaement de toute la orde à tout instant. L allure à un instant t est obtenue par simple translation de longueur vt. v est la vitesse de propagation de l onde. En effet, soit u = x vt une valeur fixée onstante du hamp, on a : 0 = du = dx v dt, d où dx = v. Ainsi pour suivre un état du hamp fixé, il faut se déplaer en même temps que lui à la vitesse v dans le sens des x roissants. dt On montre de même que la solution gx + vt orrespond à un hamp qui se déplae sans déformation à la vitesse v dans le sens des x déroissants. Ainsi : une onde plane progressive de la forme sx, t = fx vt représente la propagation sans déformation d un signal à la vitesse v dans le sens des x roissants. De même, une onde plane progressive de la forme sx, t = fx + vt représente la propagation sans déformation d un signal à la vitesse v dans le sens des x déroissants. La solution générale de l équation de propagation peut s exprimer sous la forme de la superposition de deux ondes planes progressives de mḙme élérité et de sens de propagation opposés. NB : On note également la solution générale sous la forme : sx, t = F t x + G t + x. v v 3 Résolution de l équation de d Alembert en variables séparées On herhe ii des solutions de la forme sx, t = 0 hxkt 0 ω ω onstante. Alors néessairement, on a hx = os x + ψ et kt = osωt + ϕ, soit : sx, t = 0 os x + ψ osωt + ϕ Démonstration : Tous aluls faits, on obtient 2 h x = k t hx kt. Ainsi il existe une onstante K = ±ω2 telle que 2 h x hx justifie par le fait que la dimension de K est la s 2, i.e. la dimension d une pulsation. = k t kt = ±ω2. La notation ω se 1 er as : K = +ω 2 kt = Ae ωt + Be ωt. B = 0 sinon l onde diverge en tout point! Don kt = Ae ωt, mais dans e as l onde devient nulle en tout point très rapidement, e qui n est pas aeptable physiquement. Conlusion : e as n est pas viable. 2ème as : K = 0 kt = At + B, ave A = 0 sinon l onde diverge. Alors kt = B, e qui n est pas aeptable pour une onde. Conlusion : e as n est pas viable. ω 3ème as : K = ω 2 < 0 kt = A osωt + ϕ et hx = B os x + ψ. Posons 0 = AB, alors s est de la forme annonée. Remarque énergétique sur les ondes stationnaires En x tel que ω x + ψ = 0, sx, t = 0. On appelle es points des noeuds de vibration. Or pour une onde E.M., E = 0 implique que le veteur de Poynting est également nul. En onséquene, auune puissane E.M. ne peut se propager en passant par es points : l onde stationnaire ne se propage pas, l énergie reste onfinée entre les noeuds de vibration suessifs ω Lien entre les ondes stationnaires et les ondes progressives i sx, t = 0 os x + ψ osωt + ϕ, alors en utilisant la formule = , on obtient sx, t = [ 0 os ωt + ω 2 x + ϕ + ψ + os ωt ω ] x + ϕ ψ omme superposition de deux ondes progressives sinusoïdales ou harmoniques de même amplitude et de sens de propagation opposés. Potentiels Le hamp E.M. E, B dérive d un ouple de potentiels V, A appelés potentiel salaire et potentiel-veteur : E = gradv A Neumann. ; B = rot A La partie à irulation non onservative A est aussi appelée hamp életromoteur de Les potentiels ne sont pas uniques, ils sont définis à un gradient d une fontion f près pour le potentiel-veteur, et à la dérivée partielle par rapport au temps de la même fontion f pour le potentiel salaire. Autrement dit : le ouple V f, A + gradf est également valide. On profite de ette non uniité pour imposer une ondition supplémentaire sur V et A dite jauge de Coulomb : div A V = 0 En onséquene, en régime quelonque on n a plus néessairement E = gradv!...

4 NB : Les potentiels qui satisfont la jauge de Coulomb vérifient l équation de propagation des potentiels 2 V = ρ ε 0 et 2 A = µ 0 j. En régime statique, es équations redonnent les équations de Poisson pour le potentiel életrostatique et le potentiel-veteur elle-i permettant de retrouver la formule de Biot et avart de la magnétostatique. Potentiels retardés oit un point de la soure d une distribution D et M un point où l on alule le hamp E.M. On pose M = r u. On montre que tout se passe omme si les potentiels V et A en M orrespondaient à la superposition de signaux envoyés vers M par les soures de D et se propageant ave la même élérité. Ainsi un observateur plaé en M est informé ave un retard orrespondant au temps de propagation de l onde E.M. de toute modifiation de D. ARQ L approximation des régimes quasi-stationnaires onsiste à aluler les hamps à partir des potentiels en négligeant les retards qui figurent dans les expressions, autrement dit à faire les approximations V M, t = 1 ρt t dτ 1 ρt 4πε 0 D r 4πε 0 D r dτ et AM, t = µ 0 j t t dτ µ 0 j t dτ. 4π D r 4π D r En d autres termes : l ARQ néglige les phénomènes de propagation. Les onséquenes sur le hamp E.M. de ette approximation ARQ sont les suivantes : le hamp magnétique vérifie les lois de la magnétostatique, en partiulier, le aratère onservatif du flux magnétique et ses onséquenes lois des branhes, des noeuds sont valables dans l ARQ. le hamp életrique diffère du hamp életrostatique stationnaire : il faut tenir ompte du hamp életromoteur de Neumann A traduit le phénomène d indution. En résumé, on peut aussi dire que les équations de Maxwell de l ARQ négligent le ourant de déplaement E j D = ε 0. L ARQ est valable lorsque la distane du point M aux soures est faible devant la longueur d onde λ = où ν est la fréquene de ν variation de la distribution D. Par exemple, ave ν = 30 MHz ordre de grandeur des limites de générateurs de signaux utilisés en TP, on a λ = 10 m!... Lorsque ν est supérieure à 1 GHz λ = 30 m, on sort du adre de l ARQ : les phénomènes de propagation jouent alors un rôle essentiel. C est le as aussi pour les ondes radio FM ave des fréquenes de l ordre de 100 MHz! 4 Relations de passage du hamp E.M. MΦ donne la ontinuité de B N. MF donne la ontinuité de E T. MG donne la disontinuité de E N. MA donne la disontinuité de B T. On peut regrouper es résultats par les relations vetorielles : E 2 E 1 = σ ε 0 n 1 2 ; B 2 B 1 = µ 0 j n 1 2 Énergie életromagnétique Modélisation Par analogie ave le transport de harge par le veteur j, on herhe un ouple w, Π où w représenterait la densité volumique d énergie életromagnétique ontenue dans le hamp et Π le ourant d énergie életromagnétique tels que : la puissane életromagnétique s éoulant à travers une surfae vaudrait P = Π. n d et l énergie életromagnétique emmagasinée à un instant donné dans un volume V vaudrait W = V wdτ On montre qu une solution onsiste à prendre w = ε 0E 2 B 2 + ; 2 2µ 0 Π = E B µ 0 Aspets énergétiques de l életroinétique Les modèles de la apaité C, l indutane L et la résistane R de l életroinétique sont des modèles où l énergie est emmagasinée respetivement sous forme életrique, magnétique et dissipée par effet joule. On a W E = Q2 2C = ε0 E 2 2 dτ ; W B = LI2 B 2 j 2 = dτ ; P = RI 2 =. Edτ 2µ 0 Propagation des OEMPPV Modèle de l OEMPPV - Plan d onde Une onde életromagnétique plane de diretion de propagation v uz est une struture où les hamps sont de la forme sz, t. Une onde életromagnétique plane progressive dans le vide OEMPPV de diretion de propagation v uz est une struture où les hamps sont des fontions périodiques de la forme sz, t = f t z on éarte le as où f est onstante. Dans une telle onde, toute oordonnée du hamp a, à un instant donné, même valeur en tout point d un plan z = te, elui-i étant appelé plan d onde. validité du modèle : le modèle de l OEMPPV dérit loalement la struture de l onde E.M. émise par une soure située à une grande distane.

5 5 truture de l OEMPPV d après les équations de Maxwell Une OEMPPV présente un aratère transverse, i.e. sans omposante le long de la diretion de propagation. Cela se déoule des équations MG et MΦ qui donnent v uz. E = 0 ; v uz. B = 0 Les hamps E et B sont orthogonaux entre eux, plus préisément, il résulte de MA que B = Les hamps életrique et magnétique ont mḙme état vibratoire : E = B v uz E NB : ur des partiules non relativistes, une OEMPPV agit de façon prépondérante par l intermédiaire de son hamp életrique. Cela résulte de la omparaison des ontributions életrique et magnétique de la fore de Lorentz : si F E = q E et F B = q v B, on a F B F E v. Aspets énergétiques de l OEMPPV Vu les relations entre les hamps E et B, on a les relations suivantes entre les ontributions életrique et magnétique : w E = w B ; w = w E + w B = ε 0 E 2 ; Π = w v uz On a don équirépartition des ontributions d origine életrique et magnétique à l énergie totale életromagnétique de l OEMPPV. Par ailleurs, Π est olinéaire à la diretion de propagation, en aord ave son rôle de veteur-ourant de l énergie transportée par l onde. Modèle de l OEMPP monohromatique On se plae dans un milieu pas forément le vide et on onsidère une OEMPP de la forme sz, t = f t z [ propagation à la vitesse v ave f fontion sinusoïdale. Finalement on a sz, t = s 0 os ω t z ] v v ϕ 0 s 0 > 0 est l amplitude de l onde : on parle d onde monohromatique ou sinusoïdale ou enore harmonique. z On érit l argument du osinus après hangement de signe onventionnel sous la forme ϕz, t = ω v t + ϕ 0 qu on appelle phase de l onde, de sorte que le signal s érit sz, t = s 0 osϕz, t. Module d onde, périodiité de l OEMPP monohromatique On appelle module d onde la grandeur en m 1 k = ω v e qui permet de mettre en évidene le aratère doublement périodique de l OEMPP monohromatique : sz, t = s 0 osϕz, t ave ϕz, t = kz ωt + ϕ 0 : périodiité temporelle de pulsation ω en un z 0 fixé, et périodiité spatiale de pulsation k à un instant t 0 fixé. On définit don la période temporelle T = 2π ω et la périodiité spatiale appelée longueur d onde λ = 2π k z la phase sous la forme ϕz, t = 2π λ t T + ϕ 0., e qui permet d érire On peut relier les périodes spatiale et temporelle par l intermédiaire de la élérité de l onde λ = 2π k = vt Veteur d onde On définit le veteur d onde k = k v uz e qui permet de réérire la phase et l onde en un point M tel que r = OM : s r, t = s 0 osϕ r, t ave ϕ r, t = k. r ωt + ϕ 0 NB : k. r = k v uz.x v ux + y v uy + z v uz = kz... Le veteur d onde permet d érire pour une OEMPP monohromatique : B = k E ω ar on a k = ωv. Caratère abstrait et idéal d une omposante monohromatique L OEMPP monohromatique n a auune réalité physique ; elle n est qu une omposante abstraite à partir de laquelle un signal réel peut être dérit par superposition par l analyse de Fourier. En effet, un signal a une extension en fréquenes ν 1 d autant plus faible que sa durée est grande. On retrouve le modèle de l OEMPP t monohromatique omme limite idéal d un signal de durée infinie. Représentation omplexe du hamp E.M. En régime sinusoïdal foré de pulsation ω = 2πν, on assoie à toute grandeur salaire g sa représentation omplexe g définie par g r, t = g 0 r e iϕ0 r e iωt Alors g r, t = Reg = g 0 r osωt ϕ 0 r. Appliation à l életromagnétisme : on appelle amplitude omplexe et représentation omplexe du hamp E les veteurs omplexes E 0 = E x0 e iϕx v ux + Ey0 e iϕy v uy et E = E 0 e i k. r ωt On retrouve le hamp E en prenant la partie réelle de E : E = Re E. De façon symbolique, on a x j ik j, i k et iω

6 Les orrespondanes i-dessus ne sont valables telles quelles que pour une onde plane telle que Ex0 et E y0 sont des onstantes indépendantes de x et y propriété aratéristique d une onde plane, i.e. les grandeurs assoiées ont même valeur à un instant donné en tout point du plan d onde. Par ailleurs, leur utilisation n est valide que pour des grandeurs linéaires. NB : i k est omplexe, il s érit k = k +ik et alors s = s 0 e kz ωt = s 0 e k z e ik z ωt d où s = Res = s 0 e k z osk z ωt est don une onde atténuée. En posant δ = 1 k, on définit une longueur de pénétration de l onde : l amplitude déroit en e z/δ et devient négligeable dès que z devient supérieur à quelques δ. Appliation : effet de peau... Conduteur parfait Un onduteur parfait est défini omme un milieu dont la ondutivité σ. MF permet d en déduire que B = 0 dans tout le volume du onduteur, et don que le hamp E.M. est nul dans le volume d un onduteur parfait on éarte les hamps onstants. Ce modèle n est pas satisfaisant ar les meilleurs métaux onduteurs ont des ondutivités élevées mais finies. On préfère dire que le modèle du onduteur parfait est une idéalisation du omportement des métaux en HF dans la limite des faibles épaisseurs de peau. Paquet d ondes Tout signal sz, t peut être représenté par son développement de Fourier sz, t = + 6 ωe ikz ωt dω appelé paquet d ondes et onsistant en une superposition de omposantes monohromatiques haque e ikz ωt représente un signal progressif monohromatique de pulsation ω et module d onde déterminé. ω représente le poids relatif de la omposante de fréquene ν = ω 2π, et ω 2 est appelé son spetre. Vitesse de phase Deux points d espae-temps voisins z, t et z+ dz, t dt ont même phase ϕz, t = kz ωt si dϕ = k dz ωdt = 0, d où la vitesse de propagation de la phase appelée vitesse de phase : v ϕ = dz dt = ω k La notion de vitesse de phase est relative au onept abstrait de omposante de Fourier, alors que seul le paquet d ondes a une réalité physique. Ainsi la vitesse de phase v ϕ n est assoiée à auun objet physique, elle ne peut en auun as représenter la vitesse de propagation d une information et peut même dépasser en valeur la vitesse de la lumière... Vitesse de groupe Par définition, la vitesse de groupe vaut v g = dω : est l inverse de la pente de la relation de dispersion érite dk sous la forme kω, ou bien la pente de la relation de dispersion érite sous la forme ωk. Les vitesses de phase et de groupe montrent que seul un milieu dont la relation de dispersion est linéaire est non dispersif. Rayonnement. Propagation libre ystème du dipôle osillant Un dipôle osillant est un système onstitué d une harge q fixe à l origine O et d une harge +q située en et animée sur l axe Oz d un mouvement sinusoïdal de pulsation ω et amplitude z 0 : O = z 0 osωt u z. le moment életrique du système est p = q O = qz 0 osωt u z, soit p = p 0 osωt u z ave p 0 = qz 0. oordonnées sphériques r, θ, ϕ. Cadre approximation dipolaire r z 0. Par ailleurs, mouvement non-relativiste z 0 λ. Réalités représentées par le modèle : 1. Le modèle du dipôle osillant dérit orretement une très petite antenne ou un élément onstituant d une véritable antenne émettrie. 2. Dans le domaine de l optique, le modèle dérit l émission d une soure lumineuse. NB : dans e as, z 0 est de l ordre de dimensions atomiques, don on est sûr d être dans le as z 0 λ. Zone de rayonnement : la zone de rayonnement d un émetteur est définie omme l ensemble des points de l espae situés à des distanes grandes devant sa longueur d onde, soit r λ durée de propagation r/ T période. Cette approximation orrespond dans une très grande majorité des as aux onditions de réeption des émetteurs d ondes életromagnétiques. u r osω t r. Champs EM dans la zone de rayonnement : on trouve E = E u θ ; B = E = E u ϕ ; E = µ 0 p 4π ω2 0 sinθ r La struture du hamp rayonné par le dipôle osillant s identifie loalement à elle de l onde plane progressive dans le vide. eulement loalement ar présene du 1/r. Et propagation anisotrope due au sin θ : il faut diriger vertialement une antenne émettrie destinée à des auditeurs répartis dans le plan horizontal max d émission dans la diretion θ = π/2.

7 Puissane rayonnée : Π = E2 ur = Π u r est olinéaire à u r et a même sens onfirme le aratère radial de la propagation de µ 0 l énergie. L intensité énergétique I du rayonnement en un point vaut I =< Π > est en 1/r 2 la puissane rayonnée à travers une sphère entrée sur l émetteur est indépendante du rayon de elle-i. De façon très générale, une déroissane en 1/r 2 de l intensité énergétique aratérise une onde progressive qui se propage à partir d une soure quasi-pontuelle dans toutes les diretions de l espae sans effets dissipatifs dans le milieu de propagation id. dans un milieu bidimensionnel ave une déroissane en 1/r et dans un milieu unidimensionnel ave une onstane de l intensité I. Rayonnement d aélération : on a Formule de Larmor < P >= 2µ 0 12π q2 < a 2 > ave < a 2 > = valeur moyenne du arré de l aélération en ω 4. Toute partiule hargée aélérée rayonne des ondes életromagnétiques dont la puissane moyenne totale est proportionnelle au arré de sa harge et à la moyenne du arré de son aélération. Différents types de propagation libre, guidée... Réflexion sur un onduteur pafait : expériene On dispose un émetteur d ondes entimétriques et de son réepteur et l on interpose un plan onsistant en un onduteur métallique supposé parfait. On onstate l existene d une onde réfléhie par le onduteur. Dans le métal, on peut justifier par alul que le hamp E.M. est pratiquement nul au-delà d une profondeur de quelques δ de l ordre du µm dans la gamme d ondes utilisée. On peut don onsidérer les hamp E et B nuls dans le onduteur et les ourants qui existent dans la peau omme une nappe de ourant de densité superfiielle i = i u x. truture de l onde réfléhie Le réflexion d une OEM sur un miroir fixe se fait sans hangement de fréquene, mais ave introdution d un déphasage de π. i E i = E 0 e ikz ωt v ux est le hamp életrique inident, et k i = k v uz = ω v uz le veteur d onde inident, on a pour le hamp magnétique k B i = i E i = E 0 ω eikz ωt v uy. Et pour le hamp réfléhi : E r = E 0 e i kz ωt v ux, k r = k v uz = ω k v uz, et B r = r E r = E 0 ω ei kz ωt v uy. Ainsi l onde résultante a pour hamp életrique E = E i + E r = E 0 e ikz e ikz e iωt v ux = 2iE 0 sin kze iωt v ux et pour hamp magnétique B = B i + B r = E 0 eikz + e ikz e iωt v uy = 2 E 0 oskze iωt v uy. En prenant les parties réelles, on obtient le hamp E.M. E = 2E0 sin kz sin ωt v ux ; B = 2 E 0 oskz osωt v uy Onde stationnaire Le hamp d une onde réfléhi forme e qu on nomme une onde stationnaire ar est un signal sz, t qui peut se mettre sous la forme sz, t = ZzTt. Les fateurs osωt et sin ωt indiquent l absene de propagation de la phase : l onde se déforme sur plae sans se propager. Les différenes entre l onde stationnaire et l OEMPPV sont : en un point donné, E et B ne sont pas en phase mais en quadrature. L amplitude des vibrations des hamps dépend de z. E est nul aux noeuds du hamp életrique définis par sin kz = 0 soit z = n λ 2, son amplitude est maximale aux ventres et la distane d un plan nodal à un plan ventral vaut λ 4 ; les plans nodaux resp. ventraux de B sont les plans ventraux resp. nodaux de E. Ainsi l intervalle entre deux plans nodaux suessifs d un même hamp est λ/2. NB : Le miroir est un noeud de hamp életrique et un ventre de hamp magnétique. On a sur le miroir : E0 = 0 résultat ohérent ave le modèle du onduteur parfait et B0 = 2 E 0 osωt v uy permet de aluler la densité superfiielle de ourant par B = µ 0 i n. Desription énergétique de l onde stationnaire Des formules de E et B pour une onde stationnaire vues préédemment, on tire w E = 2ε 0 E0 2 sin 2 kz sin 2 ωt et w B = 2ε 0 E0 2 os 2 kz os 2 ωt. i l on fait une moyenne temporelle, on obtient une expression indépendante de z : w = w E + w B = ε 0 E0 2. Par ailleurs, le veteur de Poynting vaut E B Π = = ε 0 E0 2 sin2kz sin 2ωt v uz : les plans nodaux du veteur Π sont définis par µ 0 z = n λ 4 : ils sont égaux à la réunion des plans nodaux de E et B. La moyenne temporelle Π = 0 est nulle en tout point, en aord ave le aratère stationnaire de l onde : le flux d énergie fait des allers-retours entre les plans nodaux pour Π sans jamais les franhir. 7