Energie électrostatique

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1 Eerge électrostatue. Eerge potetelle Cosdéros ue charge placée das u champ électrostatue E. E tout pot M elle est soumse à ue force f : f E S la charge se déplace de M vers u pot M vos, le traval de cette force est : d f MM ' E MM ' d Le traval débté par le système costtué de la charge et des charges à l orge du champ est doc proportoel à la chute du potetel : d dv Fg. : Traval d ue force électrostatue. De même le traval de la force électrostatue lors d u déplacemet de la charge etre deux pots et B est égal à : B V V B Il est dépedat du chem suv etre les deux pots. Il correspod à l éerge débtée par le système doc à la dmuto de l éerge W du système. W B W B V B V Comme cette varato d éerge e déped pas du chem suv, l s agt d ue éerge potetelle. ue costate addtve près ous défssos l éerge potetelle d ue charge das u potetel V par : W V S. Tsserat PHY : Electromagétsme V -

2 S. Tsserat PHY : Electromagétsme V - B. Eerge de costtuto d u système de charges B.. Charges dscrètes L éerge de costtuto du champ électrostatue est pas cluse das l expresso précédete W V. Elle représete le traval u a été four pour ameer la charge de l f (où le potetel est supposé ul) au pot M. Calculos l éerge à fourr pour costtuer u système de charges dscrètes { },, aux postos { },,. Pour cela ous pouvos ameer les charges l ue après l autre de l f usu à leurs postos. Nous otos w le traval four pour la charge. S ous commeços par, pus et as de sute, ous avos : w 4 w πε + πε w s pour la charge : πε 4 w Pour costtuer l esemble de la dstrbuto l faut doc fourr ue éerge : πε 4 w W La double somme de l expresso précédete correspod à toutes les pares (, ) possbles telles ue <. Les pares sot doc toutes dstctes. Il possble d obter ue expresso légèremet plus symétrue e preat toutes les pares (, ) avec. Chaue pare est alors comptée deux fos. L éerge de costtuto du système de charges s écrt doc : πε 4 W Ce ue ous pouvos mettre sous la forme suvate : πε 4 W

3 Sot : W V où V représete le potetel créé par toutes les charges à l excepto de la charge. B.. Dstrbutos cotues Le résultat précédet se gééralse aux dstrbutos cotues : W σvds ou W ρvdτ Le potetel peut alors être cosdéré comme le champ créé par toutes les charges car la cotrbuto de la charge élémetare ρ dτ ou σ ds est ftésmale. Nous pouvos vérfer cette extrapolato sur u exemple. Calculos l éerge électrostatue d ue sphère de rayo R uformémet chargée e volume. Notos ρ la desté volumue de charges. Commeços par utlser la relato précédete, ous savos ue le potetel e déped ue de r. Nous pouvos doc écrre, e coordoées sphérues : W ρvdτ R π π ρv(r)r s θdr dθdϕ E tégrat sur θ et sur ϕ l vet : W π ρ V(r) r dr R Le potetel à l téreur d ue sphère de rayo R uformémet chargée e volume a pour expresso (cf. D. du chaptre III) : Ce u ous doe : ρ V(r) 6ε (3R r ) ρ W π 6ε R (3R r ) r dr πρ 3ε R r 3 5 r 5 R Nous avos doc pour l éerge électrostatue de costtuto de la sphère : 4π ρ W 5 ε R 5 S. Tsserat PHY : Electromagétsme V - 3

4 Repreos mateat u rasoemet smlare à celu suv pour ue dstrbuto de charges poctuelles. Il est possble de calculer cette éerge de costtuto e évaluat l éerge foure pour ameer les charges de l f das la sphère. Il est aturel d mager de remplr la sphère couche par couche. Cosdéros ue stuato termédare avec la sphère costtuée usu à u rayo r. Nous apportos de l f ue charge d ue ous répartssos e ue couche d épasseur dr à la surface de cette sphère (fg. ). Pour cela l faut fourr u traval élémetare : dw dv La charge élémetare est doée par le volume de la couche, à savor : d ρdτ ρ4πr dr r R r+dr Fg. : Costtuto d ue sphère chargée. Le potetel auuel est portée cette charge d est celu exstat à la surface d ue sphère uformémet chargée e volume de rayo r : ρr V(r) 3ε Nous avos doc pour l éerge foure pour costtuer la sphère : R 4πρ 4 4πρ r dr 3ε 3ε R W dw 5 R 5 Nous retrouvos le résultat précédet. C. Desté d éerge électrostatue Das le cas gééral l éerge d u système de charges s écrt : W ρ V dτ espace S. Tsserat PHY : Electromagétsme V - 4

5 L tégrale c s éted à tout l espace. La desté de charges ρ état ulle e dehors des charges ous pouvos ous lmter l tégrale aux régos chargées. C est ce ue ous avos fat das le paragraphe précédet. W ρ V dτ charges Les charges électrues sot à l orge de l éerge électrostatue. Par alleurs, ous savos ue la desté de charges est lée au champ électrostatue par l éuato de Posso : dv E ρ ε Nous pouvos doc écrre l éerge d u système de charges sous ue autre forme : avec l tégrale étedue à tout l espace. W ε V dv E dτ espace Or ous avos : dv V E V dv E +E grad V V dv E E Ce u ous doe e reportat das l expresso de l éerge : Ce u fat apparaître deux termes : W ε dv V E +E dτ espace W ε dv V E dτ+ ε espace E dτ espace Cosdéros le premer terme. Le théorème de Gree-Ostrogradsky permet de trasformée l tégrale de volume e u flux sortat : dv V E dτ espace V E ds S Il s agt du flux sortat au travers d ue surface (S) eglobat tout l espace. Preos, par exemple, ue sphère de rayo R tedat vers l f. E l absece de charge à l f, ous savos ue pour R très grad : - le potetel V se comporte comme /R ; - le champ E se comporte comme /R. S. Tsserat PHY : Electromagétsme V - 5

6 La surface S de la sphère état proportoelle à R, ous e dédusos ue l tégrale de flux vare comme /R et ted vers. Nous avos doc pour l éerge du système de charges : W ε E espace dτ Celle-c se répartt das tout l espace avec ue desté volumue d éerge : ω ε E S les charges électrues sot à l orge de l éerge électrostatue, celle-c est pas localsée uuemet sur les charges mas réparte das tout l espace. D. Coducteurs e éulbre D.. Eerge potetelle Cosdéros u esemble de coducteurs. Nous savos ue sur chaue coducteur les charges se dstrbuet e surface et u elles sot au potetel du coducteur. Nous pouvos doc écrre pour l éerge de costtuto de ce système : Ce u ous doe : W σ V ds V σ ds W Q V où V et Q représetet le potetel et la charge du coducteur. Cosdéros le cas partculer d u codesateur. Notos Q, Q, V et V les charges et potetels des deux armatures, l dce fasat référece à l armature tere. L éerge électrostatue de ce codesateur est : W Q V +Q V Nous pouvos exprmer les charges des armatures e focto de leur dfférece de potetel V et de la capacté C du codesateur : Q Q QC V V C V Ce u ous doe pour l éerge du codesateur : S. Tsserat PHY : Electromagétsme V - 6

7 Sot : W Q V V W Q V C V Q C D.. Evaluato des forces électrostatues etre coducteurs Cosdéros u système de coducteurs à l éulbre. Nous supposos ue k de ces coducteurs sot mateus à des potetels costats (à l ade de géérateurs de teso) et ue les autres sot solés (charges costates). Pour mater les coducteurs à l éulbre (mmobles) l faut leur appluer des forces extéreures (par exemple avec des supports) pour cotrarer les teractos électrostatues. S ous déplaços u ou pluseurs coducteurs, la varato de l éerge du système est égale à la somme du traval reçu des forces extéreures et de l éerge électrue foure par les géérateurs. S ous umérotos de à k les coducteurs à potetels fxes, ous pouvos écrre pour la varato de l éerge électrostatue du système : k dw d Q V V dq + Q dv k+ L éerge électrue foure par les géérateurs pour mater les k coducteurs à leurs potetels est : k du V dq Les charges dq dovet être portées aux potetels V. Le bla éergétue s écrt : dwdw méca +du Nous pouvos doc évaluer le traval four par les forces extéreures : k dw méca dw du Q dv V dq k+ S ous effectuos des déplacemets élémetares (traslatos et/ou rotatos d u coducteur) fmet lets, de maère à rester presue à l éulbre (actos extéreures égales et opposées aux teractos électrostatues), l évaluato par cette méthode des forces exteres ous doe accès aux teractos électrostatues. S. Tsserat PHY : Electromagétsme V - 7

8 ttre d exemple calculos les forces d teracto exstat etre les deux électrodes d u codesateur pla. Pour cela étudos la stuato schématsée sur la fgure suvate. Le codesateur de surface S et d épasseur e est soums à ue dfférece de potetel V. Nous otos Q la charge de l armature supéreure, f la force tere s exerçat sur celle-c (les armatures s attret) et F la force extéreure correspodate. Nous chosssos u axe x ormal aux armatures, doc parallèle aux forces. Fg. 3 : Codesateur pla. Effectuos ue traslato dx parallèle à l axe x de l électrode supéreure. Nous supposos ce déplacemet fmet let de maère à avor e permaece : F f S le codesateur est mateu à u potetel costat, détallos la varato de l éerge du codesateur, le traval de la force extéreure et l éerge électrue foure. La traslato de l armature dut ue varato dc de la capacté et ue varato dq de la charge : Nous avos doc : dqv dc - éerge du codesateur : dw V dc ; - traval mécaue : dw méca F dx ; - éerge électrue : duv dqv dc. Le bla éergétue : ous doe : Sot : dwdw méca +du V dcf dx +V dc F V C x Calculos la dérvée de la capacté : C ε S x xe C ε S x x ε S xe e E reportat das l expresso de la force l vet : S. Tsserat PHY : Electromagétsme V - 8

9 F ε S V e Recommeços cette évaluato pour u codesateur solé. Il y a pas d apport d éerge électrue et la charge reste costate. Nous avos doc : - éerge du codesateur : dw Q d C ; - traval mécaue : dw méca F dx. Nous pouvos doc écrre : dwdw méca F Q x C Or : C x ε S xe x C ε S E reportat das l expresso de la force l vet : F Q ε S Vérfos ue ce résultat est éuvalet au précédet. E effet : QC V ε S e V F ε S V ε S e ε S V e Il est égalemet calculer la force électrostatue drectemet e utlsat la presso électrostatue : p σ ε E supposat la desté de charges uforme, la force tere a pour module : Or : fp S σ S ε Qσ S f Q ε S Nous retrouvos le même résultat. E. Iteracto d u dpôle avec u champ électrostatue Nous étudos c l acto d u champ électrostatue sur u dpôle. Das u premer temps ous effectuos u calcul drect e évaluat les effets des forces agssat sur les deux charges. Esute ous suvros u rasoemet éergétue smlare à ce ue ous veos de vor pour u système de coducteurs. S. Tsserat PHY : Electromagétsme V - 9

10 E.. Champ extéreur uforme Supposos le dpôle placé das u champ électrostatue uforme. Fg. 4 : ctos d u champ extéreur sur u dpôle. vec les otatos de la fgure 4 ous avos pour les forces : F E et F B E Ces deux forces sot parallèles, égales e module et opposées e drecto. Leur résultate est doc ulle : R F +F B Par cotre comme elles e s appluet aux mêmes pots, elles costtuet u couple dot ous pouvos évaluer le momet e O cetre du dpôle : Sot : C O F +OB F B O OB E C B E Nous voyos apparaître le momet dpolare p B, ce u ous doe pour le momet du couple de forces : C p E Celu-c a tedace à oreter le dpôle parallèlemet au champ électrostatue. Das ce cas partculer comme la résultate des forces est ulle le momet est dépedat du pot O. E.. Champ extéreur uelcoue Nous avos pour les forces : F E et F B E B Ic le champ est pas écessaremet detue e et e B. La dstace d etre les charges état pette, ous pouvos estmer le champ électrostatue e ces deux pots à partr d u développemet lmté du champ E au cetre O : S. Tsserat PHY : Electromagétsme V -

11 E E + E u d et E B E E u d L axe Ou est chos parallèle au momet dpolare (fg. 4). Nous avos alors pour la résultate des forces : R F +F B d E u p E u Le dpôle est attré vers les champs les plus teses. Evaluos le momet de ce couple de forces au cetre O du dpôle. Nous pouvos écrre : Sot : Nous retrouvos : C O E + E u C O F +OB F B d E OB E u C B E p E d E.3. Eerge d teracto d u dpôle avec u champ Nous cosdéros u dpôle de momet p placé das u champ électrostatue E. Nous pouvos dstguer deux systèmes de charges : - les charges produsat le champ électrostatue ; - les charges du dpôle. Nous ous téressos c à l éerge d teracto du dpôle avec le champ. Celle-c est défe comme état l éerge u l faut fourr au dpôle pour l ameer déà costtué de l f das sa posto B. Nous e preos pas e compte l éerge de costtuto du système de charges produsat le champ, celle du dpôle. S ous otos V et V B les potetels e et e B duts par le champ extéreur ous avos pour l éerge d teracto : W V V B V V B Or V V B correspod à la crculato du champ E de à B : u premer ordre ous avos : Ce u ous doe : B V V B E dl B E dl E B W E p B E S. Tsserat PHY : Electromagétsme V -

12 Rappelos ue cette éerge d teracto e cotet pas l éerge de costtuto des deux systèmes de charges. Elle correspod au traval u l a fallu fourr pour ameer le dpôle de l f à sa posto das le champ, c est-à-dre à l opposé du traval des forces exercées par le champ extéreur sur le dpôle. E.4. Torseur des forces agssat sur le dpôle Nous pouvos utlser cette éerge d teracto pour évaluer l acto du champ extéreur sur le dpôle. Commeços par la détermato du momet e O. Pour cela effectuos ue rotato ftésmale dα autour d u axe passat par O. Nous pouvos écrre pour le traval des forces exercées sur le dpôle : dw méca C dα Ce traval correspod à ue "dmuto" de l éerge d teracto : dw méca dw Das ue rotato autour d u axe passat par O seul le vecteur p est modfé. La dmuto d éerge peut doc s écrre : dwd p E dp E dα p E Or ous savos ue uelue soet les vecteurs a, b et c ous avos : Nous avos doc : a b c a b c C dα p E dα Ce u ous permet d écrre : Nous retrouvos le résultat précédet. dα C p E dα C p E Pour évaluer la résultate des forces effectuos ue traslato ftésmale dl du dpôle. Nous pouvos ecore écrre : dw méca dw avec : dw méca R dl Chosssos u repère orthoormé drect uelcoue (Oxyz) et effectuos la traslato parallèlemet à l axe Ox : dl dx e x Nous avos pour le traval de la résultate : dw méca R dl R x dx S. Tsserat PHY : Electromagétsme V -

13 E coordoées cartésees ous pouvos écrre pour l éerge d teracto : W p x E x +p y E y +p z E z Sot pour ue pette traslato parallèle à l axe Ox : Ou ecore : Il vet doc : dw x p E dx p x E x x +p y E y x +p z E z x dx dw p E x dx dw méca dw R x dxp E x dx Ce u ous doe : R x p E x Nous pouvos effectuer le même rasoemet das les tros dmesos, ce u ous codut à : R R xp E x R y p E y R z p E z Comme le momet dpolare est costat, ous pouvos écrre : R grad p E u leu de chosr u déplacemet uelcoue comme ous veos de le fare, chosssos la traslato parallèle au momet dpolare. Notos u le vecteur utare tel ue : Nous chosssos ue traslato élémetare : p p u Nous avos alors : dl du u dw méca dw R du u p u E u du E smplfat par du l vet : S. Tsserat PHY : Electromagétsme V - 3

14 R p E u u Cette éuato admet deux solutos. Tout d abord : R p E u Nous retrouvos le résultat du paragraphe précédet. L autre cas : R p E u u Ne peut se vérfer ue das u cas très partculer. Nous pouvos doc l oubler. S. Tsserat PHY : Electromagétsme V - 4