Champ et potentiel électrostatique dans le vide

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1 Tutorat Santé Lyon Sud UE3 Champ et potentiel électrostatique dans le vide Cours du Professeur C.PAILLER-MATTEI L ensemble des cours du Professeur C.PAILLER-MATTEI fait habituellement l objet de QCMs au concours. Le présent support de cours fourni par le Tutorat Santé Lyon Sud est destiné à faciliter votre prise de notes mais ne constitue en aucun cas une référence pour le concours. Seuls les cours ayant été dispensés par les enseignants et les supports mis à disposition par leurs soins sont légitimes. Veuillez prendre note que seul les polycopiés directement téléchargés depuis Spiral Connect sont certifiés en provenance du tutorat, toute autre source est potentiellement compromise. Tutorat Santé Lyon Sud ( ) /20

2 SOMMAIRE I. NOTION DE CHARGE ELECTRIQUE... 4 I.A. ELECTRISATION DE LA MATIERE...4 I.B. CONDUCTEURS ET ISOLANTS...4 I.C. LA CHARGE ELECTRIQUE ET SES PROPRIETES...4 II. NOTION DE DENSITE DE CHARGES... 5 II.A. LE MODELE DE LA CHARGE PONCTUELLE...5 II.B. LES DISTRIBUTIONS CONTINUES DE CHARGES ELECTRIQUES...5 III. INTERACTION COULOMBIENNE... 5 III.A. LA LOI DE COULOMB...5 III.B. CARACTERISTIQUES ET PROPRIETES...6. Caractéristiques Propriétés...6 IV. CHAMP ELECTROSTATIQUE... 7 IV.A. CHAMP ELECTROSTATIQUE CREE PAR UNE CHARGE PONCTUELLE: DEFINITION...7 IV.B. CHAMP ELECTROSTATIQUE CREE PAR UNE DISTRIBUTION DE CHARGES...7. Principe de superposition (retour) Champ créé par une distribution discrète de charges ponctuelles Champ créé par une distribution continue de charges...8 IV.C. TOPOGRAPHIE DU CHAMP ELECTROSTATIQUE...8. Lignes de champ Tube de champ...9 IV.D. PROPRIETES DU CHAMP ELECTROSTATIQUE...9. Principe de Curie Symétrie plane: ρ(p) = ρ(p ) Antisymétrie plane: ρ(p) = ρ(p ) Invariance de la symétrie par translation Invariance de la symétrie par rotation... IV.E. APPLICATION : CALCUL DU CHAMP ELECTROSTATIQUE (DISTRIBUTION LINEIQUE)...2 V. POTENTIEL ELECTROSTATIQUE... 4 V.A. CIRCULATION DU CHAMP ELECTROSTATIQUE...4. Définition Conservation de la circulation du champ électrostatique...5 V.B. POTENTIEL ELECTROSTATIQUE...5. Définition Cas d une charge ponctuelle...5 V.C. POTENTIEL ELECTROSTATIQUE CREE PAR UNE DISTRIBUTION DE CHARGES...6. Propriété Potentiel électrostatique créé par une distribution discontinue de charges ponctuelles Potentiel électrostatique créé par une distribution continue de charges Gradient d un champ scalaire Relation entre champ et potentiel...7 V.D. NOTION DE SURFACE EQUIPOTENTIELLE...8 VI. ENERGIE POTENTIELLE D INTERRACTION... 8 VI.A. ENERGIE POTENTIELLE D UNE CHARGE PLACEE DANS UN CHAMP EXTERIEUR...8 2/20 Tutorat Santé Lyon Sud ( )

3 . Travail Energie potentielle électrostatique, notée Ep Force... 9 VI.B. ENERGIE POTENTIELLE D INTERACTION POUR UN SYSTEME DE 2 CHARGES PONCTUELLES... 9 VI.C. ENERGIE POTENTIELLE D INTERACTION POUR UN SYSTEME DE N CHARGES PONCTUELLES... 9 VI.D. ENERGIE POTENTIELLE D INTERACTION POUR UNE DISTRIBUTION CONTINUE DE CHARGES... 9 Tutorat Santé Lyon Sud ( ) 3/20

4 I. NOTION DE CHARGE ELECTRIQUE I.A. ELECTRISATION DE LA MATIERE Certains corps sont susceptibles d accepter ou de perdre des particules chargées : on dit qu ils s électrisent. Ce phénomène advient de plusieurs manières : Par frottement ; exemple de l expérience où on frotte une règle en plastique avec un vêtement de laine Par contact ; mise en contact d un corps chargé et d un corps neutre Par influence L électrisation obéit à plusieurs lois qualitatives : Les corps électrisés sont susceptibles d exercer des actions mécaniques : attraction d objets légers (comme des petits bouts de papier). Il existe 2 types d électrisation qui sont qualifiées par convention de positive et de négative. 2 corps de même type d électrisation se repoussent, tandis que 2 corps de types différents s attirent. I.B. CONDUCTEURS ET ISOLANTS C est un classement suivant la capacité des matériaux à permettre le passage des charges électriques. matériaux conducteurs : matériaux possédant des porteurs de charges mobiles (sous forme d électrons libres = électrons périphériques) susceptibles de se déplacer dans le volume du matériau. ex: les métaux avec une forte densité d électrons périphériques matériaux isolants ou diélectrique : matériau dont les électrons périphériques sont liés au noyau, rendant leur déplacement très difficile. Donc la densité en électrons libres dans un isolant est quasi nulle. I.C. LA CHARGE ELECTRIQUE ET SES PROPRIETES Charge électrique, notée q Unité : le coulomb (C) Dimension : I. T Grandeur scalaire Signe : + ou - (positive si attirée par un électron et négative si repoussée par un électron) Propriétés La charge électrique est une grandeur additive : soit q la charge du système S et q2 la charge du système S2, alors la charge q du système S= SU S2 sera : q = q + q 2 La charge électrique est une grandeur conservative, c est-à-dire constante au cours du temps dans un système isolé quelque soit le référentiel où on se place. La charge électrique est une grandeur quantifie car q est un multiple entier de la charge élémentaire e (e=,6.0 9 C) 4/20 Tutorat Santé Lyon Sud ( )

5 II. NOTION DE DENSITE DE CHARGES II.A. LE MODELE DE LA CHARGE PONCTUELLE Champ et potentiel électrostatique dans le vide Physique UE3 Dans ce modèle toute la charge électrique est localisée en un point sans dimension. Le modèle de la charge ponctuelle est valable tant que le volume de la charge est négligeable devant le volume de son effet. Une distribution de charges ponctuelles se modélise par un ensemble de points caractérisés par: -leur position r i -leur charge q i On parle de distribution discrète. II.B. LES DISTRIBUTIONS CONTINUES DE CHARGES ELECTRIQUES Il n y a plus de points isolés ; la distribution de charges continue est caractérisée par une densité moyenne de charges électriques, définie en tous points du système étudié. Densité linéique de charges Densité surfacique de charges Densité volumique de charges C.m dq=dl q= λdl C C.m 2 dq=ds q= σds S C.m 3 dq=dv q= ρdv V Remarque : si la densité volumique de charge est indépendante du point P où on la définit, on dit qu elle est uniforme. Exemple : On assimile un proton à une sphère de rayon r=.0 5 m ( fermi), portant la charge totale e =, C uniformément répartie dans tout son volume. La densité volumique de charges du proton est donc : III. INTERACTION COULOMBIENNE III.A. LA LOI DE COULOMB Soient deux charges ponctuelles, q A située en un point A de l espace et q B située en un point B de l espace. Soit r la distance entre A et B. On suppose que les charges sont placées dans le vide. La charge q B, située en B, subit une force F A B de la part de la charge q A, située en A, telle que: Tutorat Santé Lyon Sud ( ) 5/20

6 F A B = q A q B u r 2 AB Remarque : Dans un milieu matériel, il faut remplacer ε 0 par =ε r ε 0 où est la permittivité du milieu matériel et ε r la permittivité relative du milieu matériel. ε r est une grandeur sans dimension qui est caractéristique du milieu. Pour l air, =, donc ε (air) ε 0, l électrostatique étudié dans l air est donc très proche de celui étudié dans le vide. III.B. CARACTERISTIQUES ET PROPRIETES. Caractéristiques La loi de Coulomb est : Proportionnelle au produit des charges Inversement proportionnelle au carré de la distance séparant les charges Dirigée parallèlement à AB Elle est attractive si les 2 charges sont de signe contraire et répulsive si les 2 charges sont de même signe. 2. Propriétés 2.. Principe des actions réciproques La force exercée par q A sur q B est l inverse de la force exercée par q B surq A, soit : F A B = F B A 2.2. Additivité des forces d interactions électrostatiques : Principe de superposition Soit une charge ponctuelle q 0 située en un point M 0 de l espace et n charges ponctuelles q i, situées en différents points M i de l espace (avec i= 0). On note r i la distance de M i àm 0. La charge q 0 subit alors de la part de l ensemble des n charges q i une force totale (force résultante) telle que: F = n i= F Mi M0 = n q 0q i 4πε i= 0 r 2 u i0 i 6/20 Tutorat Santé Lyon Sud ( )

7 Remarque : Cela revient à étudier le problème comme une distribution de charges ponctuelles IV. CHAMP ELECTROSTATIQUE IV.A. CHAMP ELECTROSTATIQUE CREE PAR UNE CHARGE PONCTUELLE: DEFINITION On introduit un champ de vecteurs traduisant l action d une charge ponctuelle qa en tout point de l espace, ceci indépendamment de la présence d une autre charge qb. On nomme ce champ de vecteur: champ électrique (ou champ électrostatique). Champ électrostatique, noté E Unité : V/m Dimension : M.L.I.T 3 Grandeur vectorielle L expression du champ électrostatique créé par une charge q en un point M quelconque de l espace (le point M est différent du point où se trouve la charge q) avec r la distance entre le point où se trouve la charge q et le point M, est donnée par : E (M) = q u r 2 Remarque : La charge q est appelée source du champ électrostatique La force d interaction exercée par q A sur q B s écrit aussi : F A B = q B E (B) Le champ électrostatique est non défini au point où se trouve la charge source (charge q) Le vecteur du champ électrostatique s éloigne des sources de charges positives (même sens que u sur le schéma) et se dirige vers les sources de charges négatives (sens opposé à u ) IV.B. CHAMP ELECTROSTATIQUE CREE PAR UNE DISTRIBUTION DE CHARGES. Principe de superposition (retour) Tutorat Santé Lyon Sud ( ) 7/20

8 Le vecteur champ électrostatique total E au point M 0 est la somme vectorielle des vecteurs champ électrostatiques produits par chaque charge q i située en différents points M i, soit : F= q 0 n i= E i 2. Champ créé par une distribution discrète de charges ponctuelles Soit une distribution discrète (ou discontinue) de charges ponctuelles q i, situées en différents points M i de l espace. Le principe de superposition (vu en IV.B.) permet d écrire que le champ électrostatique créé en un point M de l espace (avec M différent de tous les M i ) par cette distribution est tel que : n E (M) = E Mi M i= n = i= q r 2 u MiM Exemple : Soit deux charges ponctuelles positives, q et q 2 respectivement placées en M et M 2. Les deux charges sont respectivement situées à la distance r et r 2 d un point M (avec M milieu de M M 2 ). Indiquer l allure du champ électrostatique résultant au point M, E (M),créé par cette distribution de deux charges discontinues. 3. Champ créé par une distribution continue de charges Densité linéique Densité surfacique Densité volumique λ = dq dl σ = dq ds ρ = dq dv E = C E = dq r 2 S E = V u = dq r 2 dq r 2 = λdl C r 2 u = S u σds r 2 V u ρdv r 2 u IV.C. TOPOGRAPHIE DU CHAMP ELECTROSTATIQUE. Lignes de champ Les lignes de champ électrostatique sont par définition des lignes tangentes en chaque point au champ électrostatique. 8/20 Tutorat Santé Lyon Sud ( )

9 Lignes de champ 2. Tube de champ Tube de champ IV.C.2 Tube de champ L ensemble des lignes de champ s appuyant sur une courbe fermée (ou contour) C engendre une surface S appelée tube de champ. Remarques Deux lignes de champ ne se coupent pas en un point M où le champ électrostatique est défini et non nul (sinon la direction du champ, donc le champ lui-même, ne serait pas défini en ce point). Les lignes de champ divergent à partir des charges positives et convergent vers les charges négatives. IV.D. PROPRIETES DU CHAMP ELECTROSTATIQUE. Principe de Curie Enoncé: «Lorsque certaines causes produisent certains effets, les éléments de symétrie des causes doivent se retrouver dans les effets produits.» Application en électrostatique: les éléments de symétrie des distributions de charges (les causes) se retrouvent dans le champ électrostatique créé (les effets). 2. Symétrie plane: ρ (P) = ρ (P ) Soit une distribution de charges symétriques par rapport à un plan π (une distribution de charges symétriques par rapport au plan π implique que: ρ (P) = ρ (P ) ). Soit P le point symétrique de P par rapport à π et M le symétrique de M par rapport à π. Le champ élémentaire de P(M) créé en M par l élément de volume dv autour du point P est le symétrique par rapport à π du champ élémentaire de P (M ) créé en M par le volume élémentaire dv autour du point P, de même le champ élémentaire de P(M ) créé en M par le volume élémentaire dv autour de P est le symétrique par rapport à π du champ élémentaire de P (M) créé en M par le volume élémentaire dv autour de P. Donc de P(M) + de P (M) est le symétrique par rapport à de de P(M ) + de P (M ) Tutorat Santé Lyon Sud ( ) 9/20

10 Remarque: Dans le cas d un point M appartenant au plan π, E M appartient aussi au plan π (M =M donc E M est son propre symétrique). 3. Antisymétrie plane: ρ (P) = ρ (P ) Soit une distribution de charges antisymétriques par rapport à un plan * (une distribution de charges antisymétriques par rapport au plan implique que: ρ (P) = ρ (P )). Soit P le point symétrique de P par rapport à * et M le symétrique de M par rapport à *. Le champ élémentaire de P(M) créé en M par l élément de volume dv autour du point P est l opposé du symétrique par rapport à * du champ élémentaire de P (M ) créé en M par le volume élémentaire dv autour de P, de même le champ élémentaire de P(M ) créé en M par le volume élémentaire dv autour de P est l opposé du symétrique par rapport à * du champ élémentaire de P (M) créé en M par le volume élémentaire dv autour de P. Donc de P(M) + de P (M) est l opposé du symétrique par rapport à * de de P(M ) + de P (M ). Remarque: Dans le cas d un point M appartenant au plan π*, E M est orthogonal au plan π* (M =M donc E M est égal à l opposé de son symétrique). 4. Invariance de la symétrie par translation Si une distribution de charge reste inchangée par translation entre 2 points M et M suivant un axe, alors le champ électrostatique en M et en M est identique. 0/20 Tutorat Santé Lyon Sud ( )

11 Exemple : Considérons une distribution de charges invariante par translation suivant l axe (Ox) (en coordonnées cartésiennes). Le champ électrostatique créé par cette distribution est alors invariant par translation suivant (Ox). Ce qui peut s écrire : 5. Invariance de la symétrie par rotation Si la distribution de charges est invariante par rotation autour d un axe (ou un point O), alors le champ électrostatique ne dépend pas de l angle de rotation. Invariance par rotation autour d un axe Invariance par rotation autour d un point Exemples : Considérons une distribution de charges invariante par rotation autour de l axe (Oz) (en coordonnées cylindriques).le champ électrostatique créé par cette distribution est alors invariant par rotation d angle θ autour de l axe (Oz). Ce qui peut s écrire : Considérons une distribution de charges invariante par rotation autour du point O (en coordonnées sphériques). Le champ électrostatique créé par cette distribution est alors invariant par rotation autour du point O. Il admet une symétrie sphérique. Tutorat Santé Lyon Sud ( ) /20

12 Ce qui peut s écrire : Le champ ne dépend que de la distance r M, on parle alors de champ radial (valable dans la cas du champ électrostatique créé par une charge ponctuelle). IV.E. APPLICATION : CALCUL DU CHAMP ELECTROSTATIQUE (DISTRIBUTION LINEIQUE) On souhaite déterminer le champ électrostatique créé par un fil de longueur infinie en un point M de l espace quelconque. Le fil porte une densité continue linéique de charges positives, notée λ. On appelle r la distance entre le point M et le fil. On choisit un élément de longueur dl sur le fil au point P, contenant une charge élémentaire dq, tel que: dq = λ dl L élément de longueur dl crée en M un champ électrostatique élémentaire de, tel que: de = dq u z 2 PM = λdl u z 2 PM carλ > 0 donc le champ électrostatique s éloigne. Le champ élémentaire de dépend de deux variables l et z (voir schéma). Il est donc intéressant d exprimer le champ élémentaire de en fonction d une seule variable (liée à l et z), afin de pouvoir le calculer aisément. Pour cela on peut utiliser la variable de l angle α en se servant de la trigonométrie. 2/20 Tutorat Santé Lyon Sud ( )

13 Expression du champ de en fonction de α : On remarque que : tan α = l r côté opposé ( ) l = r tan α côté adjacent La différentielle de l par rapport à α s écrit alors : dl = r cos α 2 da (HORS PROGRAMME) Donc : de = λ r dαu z 2 cos α 2 PM De plus, on note que : cos = r z λ On a alors de = dα u r PM (côté adjacent hypothénuse ) z = Le champ total (c est-à-dire quand on supprime la différentielle devant E) créé par le fil de longueur infinie est alors donné par : E = de L = L r cos α λ r dα u PM On a ainsi exprimé E en fonction d une variable, l angle α. On veut maintenant établir une base de projection fixe (un repère) pour pouvoir faire les sommations vectorielles et déterminer le champ total E. On doit donc remplacer le vecteur unitaire u PM : λ On a alors : E = de = L L dα (cos αu r r sin αu θ ) car la projection de u PM dans le repère est positive selon l axe u r et négative selon l axe u θ (d où le -). Etude des symétries du problème On remarque que le symétrique de dl par rapport à MH (que l on note également dl et qui porte la même charge dq ) crée en M un champ élémentaire de orienté comme indiqué sur la figure ci- dessous (rappel : λ > 0 donc le champ s éloigne). Tutorat Santé Lyon Sud ( ) 3/20

14 La projection des champs élémentaires de créée par les éléments de longueur dl symétriques dans la base (M, u r,u θ )montre que les composantes du champ électrostatique suivant u θ vont s annuler deux à deux. Seules les composantes suivant u r vont s ajouter. Le champ électrostatique total E aura donc une seule composante suivant u r. (On comprend mieux avec le schéma) : Calcul du champ total : On projette donc l expression de E sur u r : Sur u r : E r = E x = λ Donc : E = π 2 λ π 4πε 2 0 r π 2 = r [sin α] π 2 λ u 2πε 0 r r cos α dα λ 2πε 0 r V. POTENTIEL ELECTROSTATIQUE V.A. CIRCULATION DU CHAMP ELECTROSTATIQUE. Définition On appelle circulation élémentaire du champ E le long du déplacement élémentaire dl, la quantité, notée dc, telle que : dc = E. dl La circulation (totale), notée C, du champ électrostatique entre les points A et B (ou le long du trajet AB) B s écrit alors : C = E. dl A Remarque : Quand A = B, le chemin (ou trajet) est dit fermé, il est noté Ω, la circumation est alors notée : C = E. dl Ω 4/20 Tutorat Santé Lyon Sud ( )

15 2. Conservation de la circulation du champ électrostatique Le champ électrostatique E créé par une charge ponctuelle q, placée en O (origine), s écrit au point M situé q à la distance r de la charge q : E = u r 2 r (coordonnées sphériques) La circulation élémentaire dc, associée au déplacement élémentaire dl est alors : dc = E. dl =. dru r avec : dl = dru r (coordonnées sphériques) q r 2 u r dc = E. dl q = dr = q d ( dr ) avec : = d ( ) r 2 r r 2 r La circulation du champ électrostatique entre les points A et B (avec OA=r A et OB=r B ) s écrit alors : B B C = E. dl = q d ( r ) = q ( ) r A r B A A La circulation du champ électrostatique entre les points A et B est donc indépendante du chemin suivi (que ce soit une courbe, une droite ou autre). Elle dépend uniquement du point A et du point B (extrémités du trajet). On dit alors que la circulation du champ électrostatique est conservative. Ceci est équivalent à dire que la circulation du champ électrostatique le long d un trajet fermé Ω(où A = B) est nulle, soit: C = Ω E. dl = 0 Remarques : Ce résultat est aussi valable dans le cas d une distribution continue de charges. Une ligne de champ électrostatique ne peut pas avoir la forme d une boucle orientée sur elle-même. V.B. POTENTIEL ELECTROSTATIQUE. Définition Potentiel électrostatique, noté V Unité : Volt Dimension : M.L 2. T 3. I Grandeur scalaire B Comme l intégrale C = E. dl est indépendante du chemin suivi, on peut introduire une fonction A scalaire (et non vectorielle!), ou champ scalaire, appelé potentiel électrostatique et notée V, telle que : B C = E. dl = V A (A) V (B) Ce qui peut également être écrit sous la forme : dc = dv = E. dl dv = E. dl 2. Cas d une charge ponctuelle Tutorat Santé Lyon Sud ( ) 5/20

16 Soit une charge ponctuelle q placée en O (origine). Cette charge crée au point M (à la distance r de O) un q champ électrostatique tel que : E = u r 2 r (coordonnées sphériques) En reprenant le raisonnement vu en V.A.2 avec la circulation, on arrive à : q dc = d ( r )...que l on peut encore écrire : dc = d ( q + cste) r Ainsi, la circulation élémentaire du champ électrostatique d une charge ponctuelle est une différentielle de q la fonction : V(r) = +cste r La fonction V(r)s appelle potentiel électrostatique (ou plus simplement potentiel) de la charge ponctuelle q au point M. Le potentiel électrostatique est défini à une constante additive près. Par convention, on choisit un potentiel nul à l infini : V (r ) = 0, donc cste = 0. On a alors : V(r) = q r Remarque : Le potentiel électrostatique n est pas défini au point où se trouve la charge! (comme le champ électrostatique) V.C. POTENTIEL ELECTROSTATIQUE CREE PAR UNE DISTRIBUTION DE CHARGES. Propriété Le potentiel électrostatique est une grandeur scalaire additive, c est-à-dire que le potentiel créé par la réunion de N systèmes de charges est la somme des potentiels électrostatiques. 2. Potentiel électrostatique créé par une distribution discontinue de charges ponctuelles Soient N charges ponctuelles q, q 2,..., q N, placées aux point P, P 2,..., P N. D après la propriété ci-dessus, le potentiel électrostatique créé en un point M quelconque est : V(M) = N q i i= + cste avec r i = P i M (distance) r i 3. Potentiel électrostatique créé par une distribution continue de charges Distribution linéique V(r) = 4πε 0 L λdl r Distribution surfacique V(r) = 4πε 0 S σds r 6/20 Tutorat Santé Lyon Sud ( )

17 Distribution volumique V(r) = 4πε 0 V ρdv r Avec r = PM ; P étant le point où on situe la densité de charge et M le point où on observe le potentiel électrostatique. V.D. Relation entre le champ et le potentiel électrostatique 4. Gradient d un champ scalaire Le gradient est un «opérateur» qui s applique sur une grandeur scalaire et qui la «transforme» en une grandeur vectorielle. Soit f une fonction scalaire des coordonnées de l espace x, y, z (coordonnées cartésiennes), on appelle gradient de f, noté grad f le champ vectoriel dont les coordonnées cartésiennes sont les dérivées partielles (notées ) de f par rapport aux variables d espace x, y, z, tel que: grad f = f f f i + j + x y z k Remarque : Le gradient est une grandeur vectorielle qui indique de quelle façon une grandeur physique varie dans l'espace. Le gradient indique donc la pente locale de la fonction f, le vecteur obtenu étant dirigé le long de la plus grande pente au champ f (dirigé suivant la direction de variation la plus rapide de f,dans le sens des valeurs croissantes de f) NB : Calculer un gradient ou une dérivée partielle ne peut pas être demandé en PACES au concours. Cette partie du cours est en fait pour information. 5. Relation entre champ et potentiel D après ce qui a été énoncé précédemment, le potentiel électrostatique peut être vu comme une fonction des coordonnées de l espace. En coordonnées cartésiennes on a donc : V = V (x, y, z) La différentielle de V s écrit alors: dv = V x V V dx + dy + y z dz En coordonnées cartésiennes, le déplacement élémentaire dl Calculons à présent le produit scalaire suivant : grad V. dl grad V. dl = ( V V V i + j + k ). (dxi + dyj + dzk ) x y z grad V. dl = V x V V dx + dy + dz = dv y z = dv. Donc on a grad V. dl Or on a vu en V.B. que E. dl = dv. s écrit: dl = dxi + dyj + dzk En identifiant ces deux formules, on obtient : E = grad V (à connaître) On dit alors que le champ électrostatique E dérive d un potentiel scalaire V. Remarque : Le champ électrostatique est dirigé dans le sens des potentiels décroissants. Tutorat Santé Lyon Sud ( ) 7/20

18 V.D. NOTION DE SURFACE EQUIPOTENTIELLE Une surface équipotentielle est le lieu des points ayant le même potentiel électrostatique V. Par définition le potentiel est constant le long d une équipotentielle, nous avons alors : dv = 0. Donc : E. dl = O E dl Le champ E est la tangente à la ligne de champ en un point donné. Les lignes de champ et les équipotentielles sont orthogonales. VI. ENERGIE POTENTIELLE D INTERRACTION VI.A. ENERGIE POTENTIELLE D UNE CHARGE PLACEE DANS UN CHAMP EXTERIEUR On considère une charge ponctuelle q placée dans un champ électrostatique E (M). Cette charge subit une force électrostatique F telle que : F = qe (M). Travail Le travail de cette force lors d un déplacement du point A au point B, en suivant un trajet quelconque est : Or E = -grad V d où : B W A B = F A B W A B = qe A. dl. dl B B W A B = q gradv. dl = q dv A W A B = qv (A) qv (B) Donc le travail W A B est indépendant du trajet AB, il dépend uniquement du potentiel en A et du potentiel en B ; la force électrostatique est dite conservative. 2. Energie potentielle électrostatique, notée E p A Unité : Joule Dimension : M.L 2. T 2 Grandeur scalaire L énergie potentielle électrostatique E p d une charge ponctuelle q, placée en M, soumis au potentiel V M, est la quantité : E p(m) = qv (M) 8/20 Tutorat Santé Lyon Sud ( )

19 3. Force La force électrostatique peut alors s écrire : F = qe (M) = qgradv = grad qv = grad E p F = grad E p La force électrostatique dérive donc d une énergie potentielle E p. VI.B. ENERGIE POTENTIELLE D INTERACTION POUR UN SYSTEME DE 2 CHARGES PONCTUELLES Considérons une charge q en un point M et une charge q 2 en un point M 2 (avec en distance : M M 2 = r 2 ) soumise au potentiel V de la charge q. L énergie potentielle d interaction s écrit alors : E p(m2) = q 2 V = q 2 q r 2 Cette expression peut s écrire de manière symétrique en considérant que la charge q est soumise au potentiel V 2 créé par la charge q 2, soit : q q 2 E p(m ) = q V 2 = E p(m ) = q V 2 = 2 ( q 2 q r 2 + E p = 2 (q V 2 + q 2 V ) r 2 q q 2 r 2 ) VI.C. ENERGIE POTENTIELLE D INTERACTION POUR UN SYSTEME DE N CHARGES PONCTUELLES Si on généralise l expression en VI.B à N charges ponctuelles, on obtient : N E p = 2 q i i= i j q j r ij = 2 q i Remarque : le facteur ½ sert à ne pas compter 2 fois l énergie potentielle d interaction entre 2 points. VI.D. ENERGIE POTENTIELLE D INTERACTION POUR UNE DISTRIBUTION CONTINUE DE CHARGES N i= V (Mi ) Si on généralise encore l expression en VI.C (cas de charges ponctuelles), on obtient avec une distribution continue de charges : E p = 2 dqv (M) Avec : dq = λdl pour une distribution linéique de charges dq = σds pour une distribution surfacique de charges dq = ρdvpour une distribution volumique de charges Exemple : Tutorat Santé Lyon Sud ( ) 9/20

20 Soit Q une charge uniformément répartie à la surface d une sphère de rayon R. Le potentiel en tout point de la sphère est : L énergie électrostatique est alors : 20/20 Tutorat Santé Lyon Sud ( )