M3 ÉNERGIE(S) D UN POINT

Transcription

1 M3 ÉNERGIE(S) D UN POINT MATÉRIEL OBJECTIFS Les prncpes fondamentaux de la dynamque ou los de Newton ( Cf. Cours M2) permettent d établr les équatons dfférentelles du mouvement, leur résoluton fournt l expresson des varables en foncton du temps et ans une connassance complète des mouvements futurs. Toutefos, l ntégraton des équatons n est pas toujours possble et dans ce cas, l utlsaton de constantes du mouvement permet tout de même une descrpton partelle de l évoluton du système. Parm ces constantes, l peut y avor la quantté de mouvement (Cf. M2.I.1)), le moment cnétque ( Cf Cours M6) et l énerge mécanque qu est au cœur de cette leçon. Les rasonnements énergétques permettront l étude plus ou mons complète du système (Cf. IV.3 et V), mas en aucun cas ls n apporteront plus d nformaton que le prncpe fondamental. Les théorèmes établs dans ce chaptre découlent en effet des prncpes fondamentaux (Cf. II.3) et IV.2)). Sur le fond, l n y a donc ren de nouveau, l ne s agt que d une mse en forme dfférente de ce qu a déjà été postulé, ce qu permettra dans certans cas d appréhender plus rapdement et plus effcacement le comportement du système. Objectfs de cette leçon : Notons de pussance et de traval d une force. Théorème de l énerge cnétque et théorème de la pussance cnétque. Noton de force conservatve et d énerge potentelle dont dérve une telle force. Savor exprmer : (a) l énerge potentelle de pesanteur ; (b) l énerge potentelle gravtatonnelle; (c) l énerge potentelle électrostatque; (d) l énerge potentelle élastque. Théorème de l énerge mécanque et théorème de la pussance mécanque. Savor établr la conservaton de l énerge mécanque pour les systèmes conservatfs. I Pussance et traval d une force applquée à un pont matérel I.1 Traval élémentare d une force Sot un référentel R et M un pont matérel qu décrt une trajectore C dans R entre t 1 et t 2, étant soums à la force F. Cette trajectore peut être décomposée en une successon de déplacements élémentares : MM = d OM = d r = v M/R. Défnton : Traval élémentare (unté : le Joule [J]) - fourn par la force F - au pont M - pendant la durée (entre t et t+) : δw F d OM = F v M/R S δw > 0, le traval élémentare est moteur ; s δw < 0, le traval élémentare est résstant. Lorsque F d OM F d v M/R on que la force F ne travalle pas entre t et t + : δw = 0.

2 M3 II. Pussance et traval d une force Rq 1 : δw = F. d OM cos α avec F cos α qu représente la projecton orthogonale de F sur la drecton du déplacement élémentare d OM. Rq 2 : Dmenson d un traval (élémentare) : [δw] = [F][dr] = [m][a][dr] = M.LT 2.L, sot : [δw] = ML 2 T 2 Rq 3 : Expressons du traval élémentare en foncton de la base de projecton chose : δw = F x.dx + F y.dy + F z.dz base cartésenne = F r.dr + F θ.rdθ + F z.dz base cylndrque = F r.dr + F θ.rdθ + F ϕ.r snθdϕ base sphérque I.2 Traval d une force pour un déplacement fn Défnton : Traval fn d une force s exerçant sur un pont M se déplaçant, dans le référentel R, entre et M 2 le long d une trajectore C : W = W M1 M 2 ( F ) = δw = F d r = F v M/R Rq : A pror, W( F ) dépend du référentel d étude (tout comme δw) et du chemn C suv par M pour aller de vers M 2. Exercce : Dans le référentel R, un pont matérel glsse sur une gouttère crculare qu exerce sur lu des frottements de norme constante ( R T = Cte = f). Q : Exprmer en foncton de f et de a, rayon de la gouttère, le traval de la réacton du support sur le pont M lorsqu l se déplace de A (θ = 0) vers B (θ = π 2 ). O B θ e θ a M R e r A I.3 Pussance d une force Défnton : On appelle pussance (nstantanée) d une force fourne à un pont M, à l nstant t, de vtesse v M/R dans le référentel R la grandeur : P = P /R ( F, t) = F v M/R = δw (unté : le Watt [W]) Rq 1 : Dmenson d une pussance : [P] = [δw] = [W] T, sot : [P] = ML2 T 3 Pusque la vtesse v M/R d un pont M dépend du référentel d étude, δw et la pussance P /R dépendent du référentel R dans lequel on les exprme. Rq 2 : On appelle pussance moyenne de la force F s exercçant sur un pont M se déplaçant entre et M 2 pendant la durée t = t 2 t 1 : < P >= W M 2 ( F ) = W t 2 t 1 t = 1 δw = 1 P(t) t t Ans, la pussance moyenne correspond à la moyenne temporelle de la pussance nstantanée sur la durée t. 2 http ://pcs-unautreregard.over-blog.com/ qadrpcs@aol.com

3 II. Énerge cnétque M3 II II.1 Énerge cnétque d un pont matérel Défnton Défnton : On appelle énerge cnétque d un pont matérel anmé de la vtesse v M/R dans le référentel R la grandeur, notée E k : E k = 1 2 mv2 M/R = p2 M/R 2 (unté : le Joule [J]) Rq : Là encore, tout comme la vtesse, l énerge cnétque dépend du référentel d étude R. II.2 Théorème de la pussance cnétque Dérvons l énerge cnétque par rapport au temps : de k = 1 2 mdv2 M/R = 1 2 md v 2 M/R = 1 2 m(2. a M/R v M/R ) = m a M/R v M/R Lorsqu on travalle dans un référentel galléen R = R g, on peut ntrodure la seconde lo de Newton (m a M/Rg = F ext M = F M ) : de k = F ext M v M/Rg = P /Rg ( F ext M ) = P = F M v M/Rg = P /Rg ( F M ) = P Retenr : Théorème de la pussance cnétque : Dans un référentel galléen R g, la pussance de la résultante des forces qu s applquent sur un pont matérel M est égale à la dérvée temporelle de l énerge cnétque de ce pont M. P( F ext M ) = de k II.3 Théorème de l énerge cnétque Entre t et t +, l énerge cnétque vare de la varaton élémentare : de k = P. = δw. = δw = δw( F ext M ) = F ext M d OM = δw( F M ) = F M d OM Pour une durée fne δt = t 2 t 1, c est-à-dre entre un nstant t 1 où M se trouve en un pont et un nstant t 2 où M se trouve en un pont M 2 : t2 t 1 de k = t2 t 1 δw = δw E k (fnal) E k (ntal) = W }{{} M1 2 ( F ext M ) E k Théorème de l énerge cnétque : - pour un déplacement élémentare : de k = δw La varaton élémentare de l énerge cnétque, entre t et t +, est égale au traval élémentare des forces qu s exercent sur M. - sur un chemn fn : E k = W M1 2 ( F ext ) La varaton fne de l énerge cnétque, entre l nstant t 1 où M se trouve en et l nstant t 2 où M se trouve en M 2, est égale au traval fn des forces qu s exercent sur M depus jusqu à M 2. qadrpcs@aol.com http ://pcs-unautreregard.over-blog.com/ 3

4 M3 III. Énerge potentelle III III.1 Énerge potentelle d un pont matérel Force conservatve et énerge potentelle Défnton : Une force F dérve d une énerge potentelle E p lorsqu on peut écrre : δw( F ) = de p On alors que F est une force conservatve. W M1 M 2 ( F cons ) = δw = proprété d un champ de force conservatf : ] M2 de p = [E p = (E p (M 2 ) E p ( )) = E p W( F cons ) = E p W M1 M 2 ( F cons ) = E p ( ) E p (M 2 ) { ne dépend pas du chemn C suv par M Le traval d une force conservatve est égal à la dmnuton de l énerge potentelle En partculer, pour une trajectore fermée, lorsque = M 2 = A : W A A ( F cons ) = 0 Rq : Attenton à ne pas confondre la varaton d énerge potentelle E p = E p (fnal) E p (ntal) avec la dmnuton d énerge potentelle qu en est l opposé ( E p ). III.2 Exemples de forces dérvant d une énerge potentelle a Pods et énerge potentelle de pesanteur On travalle dans le référentel terrestre, dans une zone de l espace où le champ de pesanteur est unforme : g = Cte. S la vertcale est ascendante : g = g e z. Pour un pont matérel S = {M, m}, le traval élémentare du pods P = m g qu l subt est : δw( P ) = m g d OM = d(m g OM) = de p,g E p,g = m g OM + Cte Comme, en base cartésenne, OM = x e x + y e y + z e z, on peut exprmer l énerge potentelle de pesanteur, pour une vertcale ascendante, de deux manères possbles : { δw( P ) = mg e z (dx e x + dy e y + dz e z ) = mgdz = de p,g E p,g = m g OM + Cte = mg e z (x e x + y e y + z E p,g = mgz + Cte e z ) + Cte L énerge potentelle (c, de pesanteur) est défne à une constante près qu l revent à l utlsateur de fxer. Cette constante n a pas de valeur physque. Seule la varaton d énerge potentelle E p (ou de p ) a une sgnfcaton physque pusqu elle s dentfe à W (ou δw), opposé du traval de la force conservatve. Sur le graphe c-contre : W M1 M 2 ( P ) = E p,g = E p ( ) E p (M 2 ) = mg(z 1 z 2 ) Rq 1 : Dans le cas d une chute d une hauteur z 1 z 2 = h > 0, le traval du pods est W M1 M 2 = mgh > 0 : ans, une chute d eau produt un traval qu peut servr à fare tourner les alternateurs d un barrage hydro-électrque. Rq 2/Déf : Les (surfaces) équpotentelles sont les surfaces sur lesquelles E p = Cte. Dans le cas de l énerge potentelle de pesanteur, l s agt de plans horzontaux z = Cte. Retenr : plus on s élève en alttude, et plus E p,g augmente. 4 http ://pcs-unautreregard.over-blog.com/ qadrpcs@aol.com

5 IV. Énerge mécanque M3 IV Énerge mécanque Défnton : On appelle énerge mécanque d un pont matérel la somme de son énerge cnétque et de son énerge potentelle : E m E k + E p IV.1 Intégrale premère de l énerge mécanque Hyp : Sot un pont matérel {M, m} dont les forces F 1, F 2, F 3...qu lu sont applquées - dérvent d une énerge potentelle (par ex. F 1 et F 2 sont des forces conservatves) a - ou ben ne travallent pas (par exemple F 3 = R v M/R, ou ben F 3 = q v M/R B v M/R ). Applquons alors le théorème de l énerge cnétque : de k = δw( F 1 ) + δw( F 2 ) + δw( F 3 ) }{{} 0 = de p1 de p2 = d(e p1 + E p2 ) de p d(e k + E p ) = 0 E m E k + E p = cste Concluson : Lorsqu un pont matérel se déplace dans un champ de force dérvant d une énerge potentelle, son énerge mécanque reste constante au cours du mouvement. On qu un tel système est conservatf. Défnton : Dans le cas d un système conservatf, l équaton E m = cste s appelle l ntégrale premère de l énerge mécanque : c est une lo de conservaton ne fasant ntervenr que les dérvées premères par rapport au temps a. a. à la dfférence du P.F.D. ou du Théorème du Moment Cnétque qu condusent à des équatons dfférentelles du second ordre. IV.2 Théorème de l Énerge mécanque / Non conservaton de E m Notons f NC la résultante des forces s exerçant sur le pont matérel et qu ne dérvent pas d une énerge potentelle : l s agt de la résultante des forces Non Conservatves. De même notons f C est les résultante des forces conservatves. Ans, la résultante de toutes les forces s exerçant sur {M, m} s écrt : F ext M = f C + f NC. Théorème de l énerge cnétque : de k = δw = δw( f C ) + δw( f NC ) = δw C + δw NC = de p + δw NC d(e k + E p ) = δw NC de m = δw NC Théorème de l énerge mécanque : La varaton (fne ou élémentare) d énerge mécanque d un pont matérel est égale au traval (fn ou élémentare) des forces non conservatves qu s exercent sur lu. E m = W M1 M 2 ( f NC ) de m = δw NC a. On parle auss, très communément, pour désgner la même entté, de force dérvant d un potentel. Dans cette formulaton le «potentel» désgne l «énerge potentelle». À ne pas confondre avec ce qu on appelle «potentel de gravtaton» ou «potentel électrostatque» (par exemple) qu n ont pas la même dmenson ( Cf Cours d Électromagnétsme). qadrpcs@aol.com http ://pcs-unautreregard.over-blog.com/ 5

6 M3 IV. Énerge mécanque Sgnfcaton du Théorème de l Énerge mécanque : S W M1 M 2 ( f NC ) > 0, alors E m : l énerge mécanque de M augmente (ce qu sgnfe que l extéreur apporte de l énerge mécanque au système {M}). S W M1 M 2 ( f NC ) < 0, alors E m : l énerge mécanque de M dmnue (à cause de frottements par exemple : une parte de E m est converte en énerge cnétque mcroscopque par transfert thermque). C est le cas du pendule lorsqu on consdère les frottements de l ar : au cours du temps l y a amortssement du mouvement du pendule car son énerge mécanque dmnuant, l ampltude de ses oscllatons dmnue également Cf. IV.3) suvant. IV.3 Utlsaton de l ntégrale premère de l énerge mécanque pour l étude des problèmes à un paramètre Exemple : Cas du pendule sans frottement (système à énerge mécanque constante E 0 ) : E p = E p,g = mgz + c te = mgl cos θ + c te On chost (arbtrarement) la constante telle que E p = 0 pour θ = 0. E p = mgl(1 cos θ) b De plus : E k = 1 2 mv2 M/R = 1 2 mr2 θ2 E k = 1 2 ml2 θ2 Thm de l E m : de k = δw P + δw }{{} T = de pg 0 (1) E m = E k + E p = cste E 0 = mgl(1 cos θ) ml2 θ2 En dérvant (1) par rapport au temps, on obtent : d(1) mgl snθ θ + ml 2 θ θ = 0 On peut smplfer par ml, mas auss par θ car le cas { θ = 0 t} ne nous ntéresse pas (pusque l correspond à l équlbre θ = c te = 0 et que nous nous ntéressons, c, au mouvement du pendule hors de sa poston d équlbre!); on obtent : En reprenant (1), on remarque que : (2) θ + ω 2 0 sn θ = 0 avec ω 0 = g l E k = E m E p θ 2 = 2 ml 2(E 0 E p ) 0 Concluson : le mouvement ne peut avor leu que pour E 0 E p θ Applcaton : Pour connaître les mouvements possbles du pendule, l sufft de tracer le profl d énerge potentelle E p en foncton de θ et d mposer (pour une énerge mécanque E 0 donnée du système conservatf) la conon E 0 E p. Sur la page suvante, on a tracé un profl équvalent (non pas E p mas E p = 1 cos θ) sur lequel mgl on rajoute quelques profls d énerge mécanque renormalsées E m mgl b. S on avat chost (pourquo pas?) l énerge potentelle nulle pour θ = π, l expresson de l énerge aurat 2 été : E p = mgl cos θ. 6 http ://pcs-unautreregard.over-blog.com/ qadrpcs@aol.com

7 IV. Énerge mécanque M3 http ://pcs-unautreregard.over-blog.com/ 7