Etude des branches infinies de la courbe représentative d une fonction

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1 Etude des branches infinies de la courbe représentative d une fonction F. Pène, O. Simon 12 décembre 2003 Avertissement : Ceci n est pas le contenu de la leçon de CAPES. Ce document est une mise au point des connaissances à avoir pour cette leçon. Les définitions données ici (2.1, 3.1, 4.1) peuvent être remplacées par les propositions-définitions (2.2, 4.2) ou les corollaires (3.3, 3.4) qui les suivent. Si ces définitions plus intrinsèques sont utilisées, il est impératif de savoir démontrer les résultats qui suivent (caractérisation, unicité). Si on ne peut établir ceu-ci, il vaut mieu faire une leçon au niveau terminale, bien dominée. Prérequis : R, R = R {+, }, ite en un point de R, der, angle de deu droites (définition modulo π ). Notations : Soit P le plan euclidien muni d un repère (O, i, j )etdeladistance euclidienne d. Soient f une fonction définie sur D f R et C f son graphe dans P, 0 R {+, }, tel que 0 est la borne d un intervalle I inclus dans D f sur lequel f est continue. Pour tout D f,onnotera M le point de coordonnées (, ), appartenant à C f. 1

2 1 Branches infinies de la courbe représentative d une fonction Définition 1.1 On dit que C f admet une branche infinie en 0 si 0, I d(o, M )=+, Si 0 R, selon la position de I et 0,onaune branche infinie àdroite ou à gauche de 0. Remarque 1 : Soit O P, alors C f admet une branche infinie en 0,siet seulement si 0, I d(o,m )=+. L inégalité triangulaire, d(o, M ) d(o, O )+d(o,m ), donne le résultat. Comme on a d(o, M )= 2 + 2, selon la valeur de 0,onadeu cas à considérer : Si 0 R, alors C f admet une branche infinie en 0,sietseulement si =+. 0, I Comme f est continue sur I, d après le théorème des valeurs intermédiaires, on obtient une des deu ites : 0, I =+, 0, I = Si 0 {+, }, alors C f admet toujours une branche infinie en 0, mais on n a pas de précision sur auvoisinage de 0. On peut dire, dans chacun de ces deu cas, qu au moins une des coordonnées du graphe devient infinie au voisinage de 0. Eemples : = 2 admet une branche infinie en + et en = 1 admet des branches infinies à droite et à gauche en 0 =0. des branches infinies en + et en. = 1 e( 1 ) admet : 2

3 une branche infinie à droite en 0 =0. des branches infinies en + et en. = 1 sin 1 n admet pas de branche infinie en 0 =0. =tan admet des branches infinies à droite et à gauche en π 2. Dans la suite, on suppose que C f admet une branche infinie en 0. 2 Direction asymptotique Définition 2.1 Soit une droite passant par O. Ondit que est une direction asymptotique de C f en 0 si 0, I ((OM ), ) = 0. On dit aussi que C f admet la droite pour direction asymptotique en 0. On considère l ensemble des droites passant par O muni de la distance d, où d(, ) est la mesure angulaire dans ] π 2, π 2 ]del angle (, ). Alors, la définition précédente peut se traduire par 0, I(OM )=. M =(, ) - j O θ i Proposition-Définition 2.2 Soit une droite passant par O. 1. =(y = a) est une direction asymptotique de C f en 0 si et seulement si 0, I eiste et vaut a R 2. =(Oy) est une direction asymptotique de C f en 0 si et seulement si 0, I eiste et est infinie (+ ou ). Démonstration : =(y = a) est équivalent à ((O), π ) = θ ] 2, π [, et tan θ = a, 2 est une direction asymptotique de C f en 0 0, I ((O), (OM )) = θ (π) 3

4 tan( ((O), (OM ))) = tan(θ) 0, I 0, I = tan(θ) =(Oy) est équivalent à ((O), π ) = 2 (π), est une direction asymptotique de C f en 0 0, I ((O), (OM )) = π 2 (π) 0, I =+ D après la continuité def au voisinage de 0 et le théorème des valeurs intermédiaires, ceci est équivalent à 0, I =+ ou 0, I = Corollaire 2.3 Si est une direction asymptotique de C f en 0, alors elle est unique. Eemples : deu cas sont à considérer 1. Si 0 R, ona 0, I =+, ou 0, I =, donc 0, I =+ ou. On a toujours (Oy) direction asymptotique de C f en 0 2. Si 0 {+, }, onatoutes les possibilités : = 2, alors (Oy) est direction asymptotique de C f en 0 =, alors (O) est direction asymptotique de C f en 0 =2 + sin, alors (y =2) est direction asymptotique de C f en 0 = sin n admet pas de direction asymptotique en 0. 3 Droite asymptote Définition 3.1 Soit D une droite du plan, on dit que D est une droite asymptote à C f en 0 si 0, I d(m,d)=0. Proposition 3.2 Si D est la droite d équation a+by+c =0, a et b non nuls simultanément, alors D est une droite asymptote à C f en 0 si et seulement si 0, I a + b+c =0. 4

5 Démonstration : On utilise la formule de la distance d un point M =( M,y M )à une droite D d équation a + by + c =0: d(m,d) = a M + by M + c a2 + b 2 d où lerésultat. Corollaire 3.3 Si 0 R, etsid est une droite asymptote à C f en 0 alors D est l unique droite d équation = 0.Ondit que C f admet une asymptote verticale en 0. Démonstration : Lorsque tend vers 0,laquantité a M + c = a + c tend vers une valeur finie a 0 + c et si b 0alors by M = b tend vers + ou vers. Donc 0, I a + b+c =0si et seulement si b =0et c a = 0.On a donc une unique asymptote D =( = 0 ). Corollaire 3.4 Si 0 {+, }, onaleséquivalences : 1. D est une droite asymptote à C f en 0 2. D apour équation y = a + b et 0, I (a + b) =0. 3. il eiste une fonction φ() définie au voisinage de 0, telle que = a + b + φ() et 0, I φ() =0. Si D =(y = b) est une droite asymptote à C f en 0,ondit que C f admet une asymptote horizontale en 0. Si C f admet une droite asymptote en 0, alors elle est unique. Démonstration : 1) 2) Une droite D d équation = α ne peut pas être asymptote en 0,eneffet, on a d(m,d )= α qui tend vers l infini quand tend vers 0. Donc si D est une droite asymptote à C f en 0, alors dans son équation, le coefficient de y est non nul et elle peut s écrire y = a + b. D après 3.2, on a le résultat. 2) 3) est évident. Soient D et D deu droites asymptotes à C f en 0,d équations respectives a+b = y et a +b = y, alors d après 2), on a 0, I(a a )+(b b )= 0, il est nécessaire que a = a et b = b,onadonc l unicité deladroite asymptote si elle eiste, d où lerésultat. 5

6 Corollaire 3.5 Si 0 {+, }, etsic f admet une droite asymptote en 0, D d équation (y = a + b), alors la droite =(y = a) est la direction asymptotique de C f en 0 et on a 0, I d(m, ) = d(d, ). Démonstration : D après 3.4, on a 0, I = a, d où ladirection asymptotique = (y = a). On note H et H les projections orthogonales respectives de M sur D et sur. D après l inégalité triangulaire (seconde forme), on a ce qui donne le résultat. d(m, ) d(,d) = M H H H M H 4 Branche parabolique Définition 4.1 Si 0 {+, }, etsic f admet une direction asymptotique en 0,ondit que C f admet une branche parabolique de direction en 0 si 0, I d(m, ) =+ Proposition-Définition 4.2 Si 0 {+, }, C f admet une branche parabolique de direction en 0 si et seulement si 1. soit 0, I eiste et est infinie, alors =(Oy) 2. soit 0, I eiste et vaut a R et 0, I a eiste et est infinie, alors =(y = a) Eemples : =2 +ln admet une branche parabolique en + de direction y =2 =2 + admet une branche parabolique en + de direction y =2 = n pour n>1 admet une branche parabolique en +, eten, dedirection (Oy). =2 + sin n admet pas de branche parabolique en +, nien = 2 + cos n admet pas de branche parabolique en +, nien +1 6

7 5 Recherche pratique du comportement d une branche infinie 1. Si 0 R, onétudie 0, I etsic f admet une branche infinie en 0, alors la droite D =( = 0 ) est asymptote. 2. Si 0 {+, }, on a toujours une branche infinie. On étudie 0, I : cette ite eiste et vaut a R, alors C f admet une direction asymptotique = (y = a), de plus : si 0, I a = b R, alors D =(y = a + b) est une droite asymptote à C f. si 0, I a eiste et est infinie, alors C f admet une branche parabolique en 0. si 0, I a n eiste pas, C f n admet ni asymptote ni branche parabolique en 0. cette ite eiste et appartient à {+, }, alors C f admet une branche parabolique de direction = (Oy). cette ite n eiste pas, alors C f n admet pas de direction asymptotique. 6 Compléments 6.1 Calcul de distance Lemme 6.1 La distance d un point M =( M,y M ) à une droite D d équation a + by + c =0est donnée par : d(m,d) = a M + by M + c a2 + b 2 Deu démonstrations : Dans chaque cas, on considère la projection orthogonale H =( 1,y 1 )de M sur D, on a d(m,d) = MH, d après le théorème de Pythagore ; soit l = MH. 1. On utilise le calcul vectoriel. Soit u un vecteur unitaire de (MH), on a, par eemple, u = 1 a2 + b 2 ( a b ) 7

8 et ( ) 1 MH = M y 1 y M ( 1 M y 1 y M = ±l u, donc ) ( a. b ) ( = ±l a u. b Ainsi a 1 + by 1 a M by M = l a 2 + b 2 Comme H D, onal égalité a 1 +by 1 +c =0et on obtient le résultat. 2. On distingue deu cas, selon la position de D, verticale ou non. Si D est verticale d équation = c, onad(m,d) = c. Sinon l équation de D peut s écrire y = m+p où m = a est la pente b de D. On considère N =( M,m M + p) D et le triangle rectangle MHN. Alors l angle α de D avec (O) est égal à(ĥmn). Ainsi, m = tan α, tan α = NH MH = NH l ) = NH = l m D après le théorème de Pythagore, MN 2 = NH 2 + MH 2 = l 2 (1 + m 2 ), d où MN = y M m M p = l 1+m 2 ce qui donne le résultat. 6.2 Courbes asymptotes? Avertissement : Il faut éviter de parler de courbes aymptotes dans cette leçon, il faut se iter au droites asymptotes. La définition donnée pour une droite D est asymptote à une courbe C ne peut pas se généraliser en une courbe Γ est asymptote à une courbe C. On remarque d abord qu elle n est pas symétrique en Γ et C et qu elle donne des aberrations. Eemples : siγest la courbe représentative de =sin 2 et C la droite (y = 0), alors Γ serait asymptote à C et C n est pas une droite asymptote àγ. Les courbes représentatives de = 2 et g() = 2 +1sont asymptotes en ce sens, mais ne vérifient pas la propriété 3.4. Pour tout R, la quantité g() =1est une constante non nulle. 8

9 Références [1 ] L épreuve sur dossier à l oral du CAPES de maths, Tome II Analyse. Thierry Lambre. Ed. Ellipses. [2 ] Cours de mathématiques générales, tome 5, Application de l analyse à la géométrie. Ramis, Deschamps, Odou. Ed. Masson. [3 ] Cours de mathématiques spéciales, tome 4, Cagnac, Ramis, Commeau. Ed. Masson [4 ] Géométrie pour l agrégation interne. P. Tauvel. Ed. Masson. 9