Activité d introduction

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1 COURS N : LIMITES Un peu d histoire Activité d introduction o Objectif : donner une première approche graphique de la notion de ite. o Scénario : o Appréhender la notion de ites à l aide de termes du langage courant. Introduire le vocabulaire spécifique («tend vers», «ite»). Introduire les notations spécifiques. Outils : GéoplanW (aspect dynamique d un point M mobile sur différentes courbes). Maths Tnale STI Activité : introduction à la notion de ite

2 COURS N : LIMITES Cours I- LIMITE EN ZÉRO ) Exemple Soit la fonction f définie sur * par : 4 4 ² «f(x)» «Y» rentrer expression de f(x) «def table» «Valeurs : Dem» choix des valeurs. «table» rentrer valeurs de x et lire valeurs de f(x). «Y2» valeur absolue : «2 nde catalog» ; «abs (» «table» lire valeurs «Y2» f(0) n existe pas, mais f(x) est calculable pour toute des valeurs de x très voisines de 0. Question : que deviennent les nombres f(x) lorsque x prend des valeurs voisines de zéro? ( par exemple celles de l intervalle : ]- ; 0[ ]0 ; [ ). Approche numérique : x -0,5-0, -0,0-0,00 0,00 0,0 0, 0,5 f(x) 0 8,4 8,04 8,004 7,996 7,96 7, ,4 0,04 0,004 0,004 0,04 0,4 2 On constate que plus x est proche de 0, plus f(x) est proche de 8 (c est-à-dire 8 est inférieur à 0 -, p ). On dit alors que la ite de f(x) en 0 est 8 et on note : y Du point de vue graphique : On constate que si x se rapproche de 0, alors l ordonnée du point M d abscisse x de la droite d équation y = 8 4x, se rapproche de 8. x 2

3 COURS N : LIMITES 2) Limite en 0 de quelques fonctions de références En étudiant de la même façon les fonctions de référence, on obtient les résultats suivants : x 0 x = 0 x 0 x² = 0 x 0 x 3 = 0 x 0 x = 0 Application : étude de la fonction inverse Avec une étude similaire à celle de la fonction inverse, on obtient : soit n un nombre de. Alors : II- LIMITE D UNE FONCTION EN UN POINT a ) Exemple Soit la fonction f définie sur \{2} par : Etudions f(x) quand x tend vers 2. Du point de vue numérique : x,5,9,99,999 2,00 2,0 2, 2,5 3 f (x) Plus x se rapproche de 2 et plus f(x) tend vers + (f(x) est supérieur à 0, 0 2, 0 9,, 0 p ). Du point de vue graphique : Nous constatons de même que plus x se rapproche de 2 et plus f (x) tend vers +. Nous pouvons dire également, que lorsque x se rapproche de 2, f (x) «s approche» de la droite d équation x = 2. Cette droite (en bleu ci-contre) est l asymptote verticale de la courbe Cf. 3

4 COURS N : LIMITES 2) Définition Soit f une fonction définie sur D contenant a ou tel que a soit une borne de D. Lorsque x prend des valeurs de plus en plus proche de a, si les nombres f(x) deviennent de plus en plus : grands, on dit que f a pour ite + en a et on note : proches d un réel L, on dit que f a pour ite L en a et on note : L grands en valeur absolue mais négatifs, on dit que f a pour ite - en a et on note : Dans le cas où la ite en a vaut, on dit que la droite d équation x = a est une asymptote verticale à la courbe représentative Cf. Exemples : 4

5 COURS N : LIMITES 3) Etude d une fonction au point a Exemple : étude de la fonction f définie sur \{2} par : au point -2. Graphiquement : par translation (de vecteur -2 ), l étude de la fonction f au point -2 se ramène à l étude de la fonction de référence définie par g(x) = en 0. Algébriquement : 2 on pose 2 ainsi 2 on a 2 2?? on a alors On généralise avec la définition suivante : Définition : soit f une fonction définie sur un intervalle I de, a un réel (appartenant à I ou borne de I) et L un réel : Remarque : il sera souvent commode de ramener l étude d une ite en a à celle d une ite en 0, faisant intervenir les fonctions de référence. Pour cela, on pose x = a + h et on a : Exemple 2 : soit la fonction f définie sur ]3, + [ par 5

6 COURS N : LIMITES Remarque 2 : pour toutes les fonctions usuelles qui sont définies au point a où l on cherche la ite (par exemple pour la ite en 0 de la fonction x x²), cette ite est simplement la valeur prise par la fonction en a. Propriété (admise) : soit f une fonction polynôme, rationnelle, sinus, cosinus ou racine carré définie sur un intervalle I et a un réel de I. Alors : Applications possibles : exercices n 3 et 4 p. 56 III- LIMITE EN L INFINI DE QUELQUES FONCTIONS DE REFERENCE ) Etude de la fonction carrée Soit la fonction f définie sur par : f (x) = x². Etudions f (x) quand x tend vers +. Du point de vue graphique : De façon empirique, on voit que plus x est grand, plus le point M d abscisse x de la courbe d équation y = x² se déplace vers le «haut», donc a son ordonnée x² grande. Du point de vue numérique : x f(x) Dès que x est assez grand, f(x) est supérieur à 0, 0 2, 0 9,, 0 p. La ite de f(x) quand x tend vers + est égale à +. Conclusion : ² 6

7 COURS N : LIMITES 2) Etude de la fonction inverse Soit la fonction f définie sur ]0, + [ par : f(x) =. Etudions f (x) quand x tend vers +. Du point de vue graphique : De façon empirique, on voit que plus x est grand, plus le point N d abscisse x de la courbe d équation y = «s approche» de l axe des abscisses donc a son ordonnée proche de 0. Ici, l axe des abscisses est l asymptote horizontale de la courbe représentative Cf. Du point de vue numérique : x f(x) 0,00 0, Dès que x est assez grand, f(x) est inférieur à, 0-2, 0-9,, 0 -p. La ite de f (x) quand x tend vers + est égale à 0. Conclusion : 0 3) Définition Dans le cas où la ite en + est L, on dit que la droite d équation y = L est une asymptote horizontale à la courbe représentative Cf. 7

8 COURS N : LIMITES 4) Autres fonctions de références Avec une étude similaire aux précédentes, nous obtenons le tableau suivant : Limites - asymptotes Graphique Pas d asymptote horizontale ou verticale. Pas d asymptote horizontale ou verticale. 0 Asymptote horizontale d équation y = 0. 0 Asymptote horizontale d équation y = 0. 0 Asymptote horizontale d équation y = 0. 8

9 COURS N : LIMITES 5) Limites en - de quelques fonctions de référence Nous procédons de la même manière que précédemment pour étudier le comportement de diverses fonctions de référence lorsque x prend des valeurs négatives dont la valeur absolue est très grande (on dit que x tend vers - ). Limites - asymptotes Graphique Pas d asymptote horizontale ou verticale. Pas d asymptote horizontale ou verticale. 0 Asymptote horizontale d équation y = 0. Remarque : de manière générale, avec n un entier naturel supérieur ou égal à, on a :,, Applications : n, 2, 3, et 4 p. 56 9

10 COURS N : LIMITES IV- LIMITES ET OPÉRATIONS ALGÉBRIQUES A partir des quelques ites des fonctions de référence étudiées précédemment et des résultats énoncés (et admis) ci-dessous, nous pourrons obtenir les ites de nombreuses fonctions (mais pas de toutes). ) Limite d une somme de deux fonctions Exemple : considérons la fonction définie sur par ² 5 Exemple 2 : considérons la fonction définie sur \{0} par et la fonction définie sur \{-} par Les fonctions f et g ayant une ite (finie ou infinie), on donne la ite de la fonction somme f + g (résultats admis). Dans le tableau ci-dessous, a désigne un réel, + ou -. L L L + L L Conjecturé à l exemple 2. Conjecturé à l exemple. 0

11 COURS N : LIMITES Exemples : 2) Limite d un produit d une fonction par une constante La fonction f ayant une ite (finie ou infinie), on donne la ite de la fonction λf (résultats admis). Dans le tableau ci-dessous, a désigne un réel, + ou - et λ un réel différent de 0. L + - λl Exemple : 3 3) Limite d un produit de deux fonctions Les fonctions f et g ayant une ite (finie ou infinie), on donne la ite de la fonction produit f.g (résultats admis). Dans le tableau ci-dessous, a désigne un réel, + ou -. L L L x L L 0 + L

12 COURS N : LIMITES Exemples : 4) Limite de l inverse d une fonction Exemple : considérons la fonction définie sur \{2/3} par 2

13 COURS N : LIMITES La fonction f ayant une ite (finie ou infinie), on donne la ite de la fonction (résultats admis). Dans le tableau ci-dessous, a désigne un réel, + ou -. L A retenir : si une fonction tend vers l infini, son inverse tend vers 0. Exemples : 5) Limite d un quotient de deux fonctions Les fonctions f et g ayant une ite (finie ou infinie), on donne la ite de la fonction quotient f : g (résultats admis). Dans le tableau ci-dessous, a désigne un réel, + ou -. L L 0 L : L L 0 L 0 L 0 0 Exemples : 3

14 COURS N : LIMITES Applications possibles : TP p. 49 ; n 5, 7, 9, p. 56 ; n 3, 5, 6, 9 et 2 p. 57 ; séance Euler «ites» 4

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