Réponse fréquentielle des systèmes dynamiques continus LTI

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1 1 UV Cours 3 Répose fréquetielle des systèmes dyamiques cotius LTI ASI 3

2 Coteu! Itroductio " Défiitio de la répose fréquetielle d'u système " Types de répose fréquetielle : Bode, Nyquist, Black! Lieu de Bode " Défiitio - tracé des diagrammes de Bode " Diagrammes de Bode des systèmes fodametaux! Lieu de Nyquist " Défiitio " Lieu de Nyquist des systèmes fodametaux! Lieu de Black "Défiitio "Lieu de Black des systèmes fodametaux

3 Itroductio (1)! Système cotiu LTI U(s) H(s) Y(s) H(s) : foctio de trasfert? Etrée du système : sigal siusoïdal u( t) = Asiωt Quelle est la répose harmoique du système?! Aalyse fréquetielle Pour s=jω, o a : Y ( jω) = H ( jω) U ( jω) Si u(t) et y(t) sot des sigaux à éergie fiie, alors U(jω) et Y(jω) sot les trasformées de Fourier de u et y Y ( jω) = H ( jω) U ( jω) Y ( jω) = H ( jω) U ( jω) argy ( jω) = arg H ( jω) + argu ( jω) 3

4 Itroductio ()! Aalyse fréquetielle H ( jω) : gai du système à la pulsatio ω ϕ( ω) = argy ( jω) argu ( jω) : déphasage etre la sortie et l'etrée à la pulsatio ω avec ϕ( ω) = arg H ( jω) Répose harmoique du système e régime permaet u( t) = Asiωt y( t) = A H ( jω ) si( ωt + ϕ( ω)) H ( jω) traduit le comportemet fréquetiel du système! Outils d'aalyse de H(jω) " Lieu de Bode " Lieu de Nyquist " Lieu de Black 4

5 Lieu de Bode (1) 5! Défiitio Le lieu de Bode cosiste à représeter H(jω) quad ω parcourt R + par deux diagrammes : " Diagramme de gai représetat le module H(jω) e foctio de la pulsatio ω # Abscisse : pulsatio ω (rad/s) e échelle logarithmique # Ordoée : gai exprimé e décibels (db), soit G ( ω) = 0log10 H ( jω) " Diagramme de phase représetat l'argumet ϕ (ω) e foctio de la pulsatio ω # Abscisse : pulsatio ω (rad/s) e échelle logarithmique # Ordoée : phase ϕ (ω) e degré ( ) ou radia (rad)

6 Lieu de Bode ()! Pricipes Soit H(s) ue foctio de trasfert factorisée sous la forme : H ( s) = H1( s) L H( s) O e déduit " Gai (db) " Phase H ( jω) = H1( jω) H ( jω) L H( jω) 10 i i ) G( ω) = 0log H ( jω) = = 1G ( ω avec G ( ω) 0log10 H ( jω) i = i i ϕ( ω) = arg H ( jω) = = 1 ϕ ( ω) avec ϕ ( ω) arg ( jω) i i = Coclusio : le produit des foctios de trasfert se traduit par ue somme des gais (db) et des phases des trasmittaces élémetaires 6 H i

7 Lieu de Bode (3)! Pricipes (fi) H(s) est factorisable à partir d'élémets de base sous la forme : α β ( s + ω s ω ) / ω ) ξ,, = ks i (1 + Ti s) i l l, l + l l γ l ξ [ 01 [,, > 0, l ω l k, R* T i et α, β, γ i l Z " Gai (db) G( ω) = 0log + " Phase ϕ( ω) = l γ l 10 k + α 0log ( 0log ( jω) + ξ ω ( jω) + ω 0log ω ) γ arg sg( k) 1 π π + α + + l l ( ω) + i l i, l β 0log i β arg(1 + 10, l ( jω) + ξ ω ( jω ) + ω ) l i, l jωt i, l ) 1+ jωt i 10, l 7

8 Lieu de Bode (4) 8! Prélimiaires Le lieu de Bode d'u système de foctio de trasfert H(s) peut être tracé facilemet à partir de la coaissace des diagrammes de Bode des élémets de base : " k (gai) () ± 1 " s (itégrateur ou dérivateur) ± ( ) 1 " 1+ Ts (élémets du premier ordre) ± 1 s ξ " 1 + s + (élémets du secod ordre) ω ω

9 Lieu de Bode des systèmes élémetaires (1)! Gai k " Gai G = 0log10 k G (db) 0log 10 k Droite horizotale ϕ (rad) " Phase ϕ = 0 si k π si k > 0 < 0 -π k > 0 k < 0! Dérivatio $ Itégratio " Gai = s G = 0log 10 ω Droite de pete 0dB/décade ou pete +1 " Phase π ϕ = + " Gai H ( ) 1 s = s G = 0log 10 ω Droite de pete -0dB/décade ou pete -1 " Phase ϕ = π 9

10 Lieu de Bode des systèmes élémetaires () 10! Dérivatio 1 $ Itégratio = s G (db) G (db) pete +1 0dB pete -1 0dB 0dB dB dB ϕ (rad) ϕ (rad) π/ π/

11 Lieu de Bode des systèmes élémetaires (3)! Premier ordre " Gai = 1+ Ts ( T > 0) ( + ω ) G = 10log 10 1 T # ωt << 1, G 0 # ωt >> 1, G 0 log ωt 10 asymptote horizotale asymptote de pete +1 1 Les deux asymptotes se coupet e ω = c T # A ω=ω c, o a G=3dB " Phase ϕ = arcta ( ωt ) # ωt << 1, ϕ 0 π # ωt >> 1, ϕ # A ω=ω c, o a π ϕ = 4 asymptotes horizotales 11

12 Lieu de Bode des systèmes élémetaires (4)! Premier ordre ( ) 1 ( > 0) 40 G G (db) H s ( + ω ) 10log 10 1 T = Ts T = mais ϕ = arcta( ωt ) La phase chage de sige par rapport au cas précédet 1+Ts =1 ± Ts ϕ (rad) =1 + Ts π/ dB T π/ ϕ (rad) T =1 Ts π/4 π/ T 1

13 Lieu de Bode des systèmes élémetaires (5)! Premier ordre " Gai = ( + ω ) G = 10log 10 1 T 1 ( 1+ Ts) ( T > 0) # ωt << 1, G 0 # ωt >> 1, G 0 log ωt 10 asymptote horizotale asymptote de pete -1 1 Les deux asymptotes se coupet e ω = c T # A ω=ω c, o a G= 3dB. ω c pulsatio de coupure à 3dB " Phase ϕ = arcta ( ωt ) # ωt << 1, ϕ 0 π # ωt >> 1, ϕ # A ω=ω c, o a ϕ = asymptotes horizotales π 4 13

14 Lieu de Bode des systèmes élémetaires (6)! Premier ordre = ( 1 Ts) ( T > 0) G = 10log ω T mais ϕ = arcta( ωt ) G (db) ( ) La phase chage de sige par rapport au cas précédet (1+Ts) 1 ( 1 ± ) 1 = Ts 3dB 1 ϕ (rad) 0 π/4 ( 1 + ) 1 = Ts T π/ π/ ϕ (rad) T ( 1 ) 1 = Ts π/

15 Lieu de Bode des systèmes élémetaires (7)! Rappels # O appelle pulsatio de coupure, la pulsatio pour laquelle le gai a dimiué de 3dB par rapport à sa valeur maximale. O défiit de la même maière la pulsatio de coupure à 6dB. # O appelle bade passate, l'itervalle de pulsatios pour lequel le gai e dimiue pas de plus de 3dB par rapport à sa valeur maximale.! Relatio temps-fréquece pour u 1 er ordre "U système du 1 er ordre est u filtre passe-bas "Sa pulsatio de coupure est ω "Bade passate BP=[0, ω c ] c 1 = T, soit 1 f = c πt ( 1+ ) 1 = Ts " t f 0.35 avec t m le temps de motée (t m =,T) m c O augmete la rapidité du système e élargissat sa bade passate 15

16 Lieu de Bode des systèmes élémetaires (8)! Deuxième ordre " Gai ( ω ) ω ) + 4ξ ω ω 40 ω G( ) = 10log10 + log ω 10 # ω << ω, G 0 asymptote horizotale = ω (0 < < 1) s + ξω s + ω ξ # G ω ω >> ω, 40 log 10 ω asymptote de pete - Les asymptotes se coupet e ω # ω = ω, G = 0 log ( ξ ) 10 O remarque que pour de faibles valeurs de ξ, le gai peut être très supérieur à 0dB. L'amplitude du gai passera par u maximum (phéomèe de résoace) pour la pulsatio ω telle que G' ( ω) = 0 16

17 Lieu de Bode des systèmes élémetaires (9)! Deuxième ordre e déomiateur (suite) O motre que la résoace se produit pour % Pulsatio de résoace ω % Facteur de résoace Q = H ( = ω Si ξ 0, alors ω R ω et Q ξ faible grade résoace R 1 ξ jω ) = R ξ ξ < 1 1 ξ ξω " Phase ω ϕ = arcta ω ω ω << ω, ϕ # 0 # ω >> ω, ϕ π asymptotes horizotales π # ω = ω, ϕ = π # ω = ω, ϕ + R arcsi ξ 1 ξ 17

18 Lieu de Bode des systèmes élémetaires (10)! Deuxième ordre e déomiateur (fi) G (db) ξ=0.05 ξ=0. ξ=0.5 ξ= ω π/ ϕ (rad) ξ=0.05 ξ=0. ξ=0.5 ξ=0.9 -π ω

19 Lieu de Bode des systèmes élémetaires (11) s + ξω s + ω ω Le gai et la phase chaget de sige par rapport au cas précédet! Deuxième ordre e umérateur = (0 < ξ < 1) ω π G (db) ϕ (rad) ξ=0.9 ξ=0.5 ξ=0. ξ=0.05 π/ ω 10 1 ξ=0.9 ξ=0.5 ξ=0. ξ=

20 Lieu de Bode des systèmes élémetaires (1) 0! Retard = e T r s " Gai G = 0dB " Phase ϕ = ωt r Le retard e modifie pas le diagramme de gai. La phase décroît selo ue droite de pete T r. 0 ϕ (degré) 0 ϕ (degré) -50 T r = 0.5 T r = T r = T r = T r = 1 T r = ω

21 Règles de tracé pratique du lieu de Bode (1) Ces règles permettet de tracer les diagrammes asymptotiques de gai et de phase du lieu de Bode! Etape prélimiaire " Ecrire la foctio de trasfert H(s) sous la forme ormalisée = + i s Ksα i(1 Ti s) β l ω, l ξ + l ω 1 " Classer les pulsatios de coupure et les pulsatios propres ω T, l par ordre croissat i! Tracé du diagramme asymptotique de gai " Si α=0, o démarre avec ue asymptote horizotale G=0log 10 K, l γ s + 1 l ξ [ 01 [,, > 0, ω l K, T R* i Si α 0, o démarre avec ue asymptote de pete α (α Z) et qui passe par le poit (ω=1, G=0log 10 K ) NB : pete α pete α0db/décade α, β i, γ l Z 1

22 Règles de tracé pratique du lieu de Bode () " A chaque pulsatio 1/T i, o modifie la pete de l'asymptote de β i (β i Z) " A chaque pulsatio ω, l, o modifie la pete de l'asymptote de γ l (γ l Z)! Tracé du diagramme asymptotique de phase sg( K) 1 " Si α=0, o démarre avec ue asymptote ϕ = π sg( K) 1+ α Si α 0, o démarre avec ue asymptote ϕ = π " A chaque pulsatio 1/T i, ajouter à l'asymptote β i π/ (β i Z) " A chaque pulsatio ω, l, ajouter à l'asymptote γ l π (γ l Z)

23 Exemple de tracé de lieu de Bode (1) 3! Exemple 1 Tracer le diagramme de Bode du système avec K >, T > T > = K s(1 + T1 s)(1 + Ts)

24 Exemple de tracé de lieu de Bode () 4! Exemple Tracer le diagramme de Bode du système = (1 + k(1 + 3s) s)( s + s + 4)

25 Lieu de Nyquist (1) 5! Défiitio Le lieu de Nyquist est le lieu e coordoées polaires des poits d'affixe H(jω) lorsque ω varie de 0 à+. Le diagramme de Nyquist est gradué avec les valeurs de ω. Im(H(jω)) Im H(jω) ϕ(ω) M Re(H(jω)) Re Soit le poit M associé à H(jω) M ( H(jω), arg(h(jω)) Le diagramme de Nyquist (lieu complet) correspod à ω variat de - à +. Il s'obtiet par symétrie par rapport à l'axe réel du lieu de Nyquist.

26 Lieu de Nyquist ()! Défiitio Le diagramme de Nyquist est l'image par H(s) du cotour fermé appelé cotour d'exclusio de Nyquist. Ce cotour etoure tous les pôles et zéros de H(s) à partie réelle strictemet positive. Si H(s) a des pôles uls ou imagiaires purs, le cotour d'exclusio les évite par des demi-cercles de rayo ε 0. Im Cotour d'exclusio de Nyquist Im ω + ω + R + Re +jω 0 ω 0 + ω 0 ε R + Re jω 0 ω ω 6

27 Lieu de Nyquist des systèmes usuels (1)! Itégrateur H ( s) = s 1 Im ω 0, H ( jω) + ω + Re ω +, H ( jω) 0 ω π ϕ = ω 0 [ + [! Premier ordre ω = 0, H ( jω) = K et ϕ = 0 ω=0 ( ) = K H s ( K > 0, > 0) 1+ Ts T Im 1 K ω =, H ( jω) = et ϕ = π T 4 π ω, H ( jω) = 0 et ϕ K/ K ω + -π/4 ω=0 ω ω =1/T Le lieu de Nyquist est u demi-cercle de rayo K/ et de cetre (K/, 0) Re 7

28 Lieu de Nyquist des systèmes usuels ()! Deuxième ordre = s ω = 0 H ( jω) = K et ϕ = 0 Kω + ξω s + ω Im ω = ω H ( jω) ω H ( jω) = = ξ et ϕ = 0 et ϕ = π π Κ Re! Retard pur = e T r s Im ωt r =3π/ + kπ ω ξ=0.3 ξ=0.5 ξ=0.7 ξ=0.9 ωt r =(k+1)π 0 ωt r =kπ Re ω ωt r =π/ + kπ Le lieu de Nyquist est u cercle cetré e 0 et de rayo uité 8

29 Exemple de tracé de lieu de Nyquist 9 Tracer le diagramme de Nyquist du système avec K > 0, T > 0 = K s(1 + Ts)

30 Lieu de Black (1) ω=0 30! Défiitio Le lieu de Black est la représetatio cartésiee de H(jω) lorsque ω varie de 0 à+. Le lieu de Black est gradué avec les valeurs du paramètre ω. " Abscisse : la phase e degré ou radia " Ordoée : le gai e décibel (db)! Lieu de Black d'u itégrateur H G(dB) ( s) = s 1 ω + -π/ ϕ(rad)

31 Lieu de Black ()! Lieu de Black d'u 1 er ordre ω=0 G(dB) 0log 10 K ( ) = K H s ( K > 0, > 1+ Ts T 0) -π/ ϕ(rad) ω +! Lieu de Black d'u e ordre G(dB) = s + Kω ξω s + ω 0log 10 K -π -π/ ω=0 ϕ(rad) ω + 31

32 Lieu de Black (3) 3! Exemple Tracer le diagramme de Black du système avec K > 0, T > 0 = K s(1 + Ts)

33 33 Im Im ω + ω + R + Re +jω 0 ω 0 + ω 0 R + Re jω 0 ω ω