Limites et comparaison de fonctions

Transcription

1 CHAPITRE 6 Limites et comparaison de fonctions 6.1 Limites d'une fonction On considère dans cette partie, une fonction f dénie sur son domaine de dénition D f Voisinage d'un point Dénition 1 Soit x 0 R. On dit que f est dénie au voisinage de x 0 s'il existe un intervalle I, non réduit à un point, contenant x 0 tel que f soit dénie sur I sauf éventuellement en x 0. Autrement dit, I D f, ou éventuellement I \ {x 0 } D f. Exemple : Soit f : x 1 x 1. Cette fonction est bien dénie au voisinage de 2 car ]1, 3] est un intervalle contenant 2 et inclus dans D f. Cette fonction est dénie au voisinage de 1 car ]0, 2[ est un intervalle contenant 1 et qui est, si on le prive de 1, inclus dans D f. Dénition 2 On dit que f est dénie au voisinage de + s'il existe un réel a tel que [a, + [ D f. On dit que f est dénie au voisinage de s'il existe un réel b tel que ], b] D f. Exemple : Soit g : x ln(x 8). Cette fonction est dénie sur ]8, + [ qui contient au moins l'intervalle [9, + [. Ainsi, la fonction g est dénie au voisinage de +. La fonction g n'est cependant pas dénie au voisinage de car D g ne contient aucun intervalle du type ], b] avec b R

2 2/14 6. Limites et comparaison de fonctions Limite en un point x 0 R Dénition 3 Soit x 0 R et soit l R. On suppose que la fonction f est dénie au voisinage de x 0. On dit que la fonction f admet pour ite nie l en x 0 si : ε > 0, α > 0 / x D f, x x 0 α = l ε Autrement dit, peut être aussi proche que l'on veut de l, du moment que x est susamment proche de x 0. On note alors : = l ou l Dénition 4 Soit x 0 R. On suppose que la fonction f est dénie au voisinage de x 0. On dit que la fonction f admet pour ite + en x 0 si : A > 0, α > 0 / x D f, x x 0 α = A Autrement dit, peut être aussi grand que l'on veut, du moment que x est susamment proche de x 0. On note alors : = + ou + On dit que la fonction f admet pour ite en x 0 si : B < 0, α > 0 / x D f, x x 0 α = B Autrement dit, peut être aussi petit que l'on veut, du moment que x est susamment proche de x 0. On note alors : = ou Remarque : La phrase avec les quanticateurs s'exprime toujours de la même manière : "Pour tout voisinage V de la ite", "Il existe un voisinage U du point" "tel que" x U = V Dénition 5 Soit f une fonction dénie en un point x 0 et dénie au voisinage de x 0. On dit que f est continue en x 0 si : = f(x 0 ) autrement dit ε > 0, α > 0 x D f, x x 0 α = f(x 0 ) ε

3 6. Limites et comparaison de fonctions 3/ Limites à gauche et à droite en un point Dénition 6 Soit x 0 R et soit l R. On suppose que la fonction f est dénie au voisinage à gauche de x 0. On dit que la fonction f admet pour ite nie l à gauche en x 0 si : ε > 0, α > 0 / x D f, x [x 0 α, x 0 [ α = l ε On note alors : x x 0 = l ou x x 0 l On suppose que la fonction f est dénie au voisinage à droite de x 0. On dit que la fonction f admet pour ite nie l à droite en x 0 si : ε > 0, α > 0 / x D f, x ]x 0, x 0 + α] α = l ε On note alors : = l ou x x + 0 x x + 0 l Proposition 7 Soit f une fonction dénie en un point x 0. Alors = l 8 > < > : x x 0 = l f(x 0 ) = l = l x x + 0 ces conditions sont vériées, on peut dire que la fonction f est continue en x 0. Exemple : La fonction partie entière n'est pas continue en tout entier k Z car Ent(x) = k 1, x k Ent(x) = k x k + Proposition 8 Soit f une fonction dénie au voisinage d'un point x 0, mais non dénie en x 0. Alors = l 8 > < > : x x 0 x x + 0 = l = l ces conditions sont vériées, on dit que la fonction f est prolongeable par continuité en x 0.

4 4/14 6. Limites et comparaison de fonctions Exemple : Soit f la fonction dénie sur R \ {1} par : 1 x si x ], 1[ x R \ {1}, = ln(x) si x ]1, + [ La fonction f est continue sur ], 1[ et sur ]1, + [ (ce sont des fonctions usuelles, polynôme ou fonction logarithme). De plus, x 1 = x) = 0 (1 x 1 = ln(x) = 0 x 1 + x 1 + donc la fonction f est prolongeable par continuité en 1 par une fonction g continue sur R : x R, g(x) = Limite au voisinage de l'inni Dénition 9 8 < : 1 x si x ], 1[ 0 si x = 1 ln(x) si x ]1, + [ Soit f une fonction dénie au voisinage de + et soit l R. On dit que la fonction f admet pour ite nie l en + si : ε > 0, A R / x D f, x A = l ε Autrement dit, peut être aussi proche que l'on veut de l, du moment que x est susamment grand. On note alors : = l ou l x + x + Dénition 10 Soit f une fonction dénie au voisinage de +. On dit que la fonction f admet pour ite + en + si : M > 0, A R / x D f, x A = M Autrement dit, peut être aussi proche que l'on veut de l, du moment que x est susamment grand. On note alors : = + ou + x + x + On dit que la fonction f admet pour ite en + si : m < 0, A R / x D f, x A = m Remarque : Autrement dit, peut être aussi proche que l'on veut de l, du moment que x est susamment grand. On note alors : = ou x + x + La phrase avec les quanticateurs s'exprime toujours de la même manière : "Pour tout voisinage V de la ite", "Il existe un voisinage U du point" "tel que" x U = V

5 6. Limites et comparaison de fonctions 5/ Opérations sur les ites Sommes, produits et quotients Remarques : R1 On note R = R {, + }. R2 ± signie qu'il faut appliquer la "règle des signes" pour savoir si on a ou +. R 3 F.I. veut dire "forme indéterminée" Dans toute partie, x 0 R et l, l R. Limite d'une somme Limite d'un produit ( + g(x)) g(x) = g(x) = l g(x) = + = F.I. = l l + l + = + F.I. + + Limite de l'inverse (g(x)) g(x) = 0 g(x) = l 0 g(x) = ± = F.I. = l 0 0 l l ± = ± F.I. ± ± Limite du quotient Remarque : l pas de ite + 0 l g(x) = 0 + ou 0 g(x) = l 0 g(x) = ± g(x) = 0 F.I. 0 0 l = l 0 0 l = ± ± ± F.I. Il y a donc quatre types de forme indéterminée :, 0,, 0 0

6 6/14 6. Limites et comparaison de fonctions Composition des ites Théorème 11 Soient f et g deux fonctions telles que f(d f ) D g, et soient a, b, c R. x a = b, u b g(u) = c, Alors, x a g = c Exemple : Soit f la fonction dénie sur R par Quelles sont les ites de f en + et? x R, = ln(e 2x + 1) x + e 2x + 1 = 1 et ln(u) = 0, donc = 0 u 1 x + x e 2x + 1 = + et ln(u) = +, donc = + u + x Principales propriétés Théorème 12 f admet une ite en un point, alors la ite est unique. Unicité Proposition 13 Soit x 0 R et soit l R. Soit f une fonction telle que Limites et bornes = l R Alors : f est bornée au voisinage de x 0. l < M, alors il existe un voisinage de x 0 tel que < M l > m, alors il existe un voisinage de x 0 tel que > M m < l < M, alors il existe un voisinage de x 0 tel que m < < M l 0, alors il existe un voisinage de x 0 tel que 0 et est du signe de l. Théorème 14 Soit f une fonction telle que, pour tout x au voisinage de x 0, on ait : = l, alors l 0. 0 (ou > 0)

7 6. Limites et comparaison de fonctions 7/14 Théorème 15 Passage à la ite dans les inégalités f et g ont toutes deux des ites nies en x 0 et si pour tout x au voisinage de x 0, g(x) alors g(x) Remarque : Par passage à la ite dans une inégalité, l'inégalité devient systématiquement large Proposition 16 Soit x 0 R et soit l R. Soit f une fonction telle que = l R Alors : pour tout x au voisinage de x 0, on a m (ou m < ), alors m l. pour tout x au voisinage de x 0, on a M (ou < M), alors l M. pour tout x au voisinage de x 0, on a m M, alors m l M Théorèmes d'encadrement Théorème 17 Soit x 0 R et soit l R. pour tout x au voisinage de x 0, on a Théorème "des gendarmes" g(x) h(x) et si = h(x) = l, Alors, la fonction g admet également une ite nie en x 0 et pour tout x au voisinage de x 0, on a g(x) = l l g(x) et si g(x) = 0, alors, la fonction f admet également une ite nie en x 0 et = l

8 8/14 6. Limites et comparaison de fonctions Conséquence 18 Soient f et g deux fonctions dénies au voisinage de x 0 avec x 0 R. f est bornée au voisinage de x 0, g(x) = 0, Alors, g(x) = 0 Théorème 19 Soit x 0 R. Supposons que pour tout x au voisinage de x 0, on a Limites nies par comparaison g(x) = +, alors on a aussi g(x) = +. g(x) =, alors on a aussi = Le cas des fonctions monotones Théorème 20 Soit f une fonction dénie sur un intervalle I =]a, b[ avec a, b R. f est monotone sur ]a, b[ (croissante ou décroissante), alors f possède toujours une ite en a et b, la ite pouvant être nie ou innie. Remarques : R1 f est croissante et majorée sur ]a, b[, alors f admet une ite nie l en b et, pour tout x ]a, b[, l. On a même : l = sup x ]a,b[ R2 f est croissante et minorée sur ]a, b[, alors f admet une ite nie l en a et, pour tout x ]a, b[, l. On a même : l = inf x ]a,b[ R3 f est décroissante et minorée sur ]a, b[, alors f admet une ite nie l en b et, pour tout x ]a, b[, l. On a même : l = inf x ]a,b[ R4 f est décroissante et majorée sur ]a, b[, alors f admet une ite nie l en a et, pour tout x ]a, b[, l. On a même : l = sup x ]a,b[ R5 f est croissante et non majorée sur ]a, b[, alors = + x b R6 f est croissante et non minorée sur ]a, b[, alors = x a R7 f est décroissante et non minorée sur ]a, b[, alors = x b R8 f est décroissante et non majorée sur ]a, b[, alors = + x a

9 6. Limites et comparaison de fonctions 9/ Fonctions équivalentes Dénition Dénition 21 Soit x 0 R et soient f et g deux fonctions dénies au voisinage de x 0. On dit que f est équivalente à g au voisinage de x 0 s'il existe une fonction ε dénie au voisinage de x 0 telle que, pour tout x au voisinage de x 0 : = g(x) (1 + ε(x)) avec ε(x) = 0 On note alors : g(x) Théorème 22 g ne s'annule pas au voisinage de x 0 (sauf éventuellement en x 0 ), alors g(x) g(x) = 1 Démonstration : Supposons que g(x). Alors, il existe une fonction ε dénie au voisinage de x 0 telle que, pour tout x au voisinage de x 0, on ait = g(x)(1 + ε(x)) avec ε(x) = 0 Puisque g ne s'annule pas au voisinage de x 0, on peut donc écrire : g(x) = 1 + ε(x) 1 Posons pour tout x tel que g(x) 0, h(x) =. La fonction h est dénie au moins sur un voisinage de g(x) x 0, et on sait que h(x) = 1. Alors, pour tout x au voisinage de x 0, x + = g(x) = g(x)h(x) = g(x) (1 + (h(x) 1)) g(x) Autrement dit, en posant ε(x) = h(x) 1 pour tout x tel que h(x) existe, on a bien montré que = g(x)(1 + ε(x)) avec ε(x) = (h(x) 1) = 0 Remarque : g(x), on a aussi g(x). On pourra donc dire que les fonctions f et g sont équivalentes au voisinage de x 0. Exemple : Considérons les fonctions dénies sur ]0, + [ par = x 2 x ln(x) g(x) = x 2

10 10/14 6. Limites et comparaison de fonctions Alors Puisque g(x) = x2 x ln(x) x 2 = 1 ln(x) x ln(x) x + x = 0 (croissances comparées), on a = 1, autrement dit, on a x + g(x) x 2 x ln(x)cx Opérations sur les fonctions équivalentes Proposition 23 Soient x 0 R. f est g sont deux fonctions équivalentes en x 0, alors leur ite en x 0 sont de même nature et sont identiques si elles existent. Remarques : R 1 Deux fonctions qui n'ont pas les mêmes ites ne peuvent pas être équivalentes. R2 Deux fonctions qui ont la même ite en x 0 ne sont pas forcément équivalentes en x 0. Proposition 24 Deux fonctions équivalentes au voisinage de x 0 sont de même signe au voisinage de x 0. f > 0 voisinage de x 0 et si g(x), alors g > 0 au voisinage de x 0. 0 au voisinage de x 0 et si g(x), alors g(x) 0 au voisinage de x 0. Théorème 25 = l avec l 0, alors l. Cas d'une ite nie NON NULLE Démonstration : = l, alors l Remarques : 1 et donc l. R1 l signie que la fonction f est équivalente à la fonction constante x l au voisinage de x 0. R2 De manière générale, il n'y a pas d'équivalent à la fonction nulle : on n'écrira JAMAIS 0. Théorème 26 Soit P une fonction polynôme de degré n : Polynômes P (x) = a n x n + + a 1 x + a 0 une fonction polynôme avec a n 0. Alors en + et en, P (x) est équivalent à son monôme du plus haut degré : P (x) a nx n, P (x) a nx n x + x

11 6. Limites et comparaison de fonctions 11/14 Exemple : Soit f la fonction dénie sur R par = x3 + 2x 2 + x 2 x 4 + 2x 2. Alors + 1 = x3 + 2x 2 + x 2 x 4 + 2x x 3 x + x 4 = 1 x Théorème 27 Soit f une fonction dérivable en a. On rappelle que cela signie que Fonctions dérivables f(a) x a f (a) x a Alors, on a f(a) x a f (a)(x a) Conséquences 28 On en déduit les équivalents usuels suivants : e x 1 x 0 x ln(1 + x) x 0 x ln(x) x 1 x 1 α 0, (1 + x) α 1 x 0 αx, x 1 x 0 2 x Remarques : R1 Soit x 0 R, alors la relation d'équivalence au voisinage de x 0 est : réexive : symétrique : g(x) g(x) 8 < g(x) transitive : : g(x) h(x) R 2 L'équivalence entre les fonctions est compatible avec le produit : 8 < :, alors h(x) f 1 (x) g 1 (x) f 2 (x) g 2 (x), alors f 1(x)f 2 (x) g 1 (x)g 2 (x) compatible avec le quotient : 8 > < > : f 1 (x) g 1 (x) f 2 (x) g 2 (x) f 2 (x) au voisinage de x 0 (sauf évent. en x 0 ),, alors f 1(x) f 2 (x) g 1 (x) g 2 (x) compatible avec la puissance : ( g(x) > 0 au voisinage de x 0, alors α R, () α (g(x)) α

12 12/14 6. Limites et comparaison de fonctions Attention que la puissance α ne doit pas dépendre de x! compatible avec le changement de variable : Soit t 0 R et soit u une fonction dénie au voisinage de t 0 avec t t0 u(t) = x 0 avec x 0 R, ( g(x) f(u(t)) et g(u(t)) existent au vois. de t 0, Alorsf(u(t)) t t0 g(u(t)) Proposition 29 L'équivalence N'EST PAS COMPATIBLE avec la somme. Autrement dit : on n'a pas forcément f 1 (x) + f 2 (x) f 1 (x) g 1 (x) et f 2 (x) g 2 (x), g 1 (x) + g 2 (x) Démonstration : Il sut de trouver un contre-exemple. si = x 2 + x et g(x) = x Alors Or, x 2 x 2 = 0 x + 0. x + x2 et g(x) x + x2 mais + g(x) = x + 1 x + x. Proposition 30 L'équivalence N'EST PAS COMPATIBLE avec la composition. Autrement dit : on n'a pas forcément u g(x) et u f, u g existent au voisinage de x 0 u g(x) Remarque : En particulier, ON NE PEUT PAS COMPOSER PAR L'EXPONENTIELLE. Par exemple x + 1 (polynômes), mais e x+1 n'est pas équivalent à e x en +, puisque e x+1 x + e = e x 1. x x + Proposition 31 Composition par ln Soit x 0 R et soit u une fonction strictement positive au voisinage de x 0 avec u(x) = l [0, + [, mais vériant l 1. Alors u(x) v(x), alors ln(u(x)) ln(v(x)) Démonstration : v(x) On suppose que u(x) v(x). Puisque u est strictement positive au voisinage de x 0, on sait que u(x) = 1. ln(v(x) Il faut montrer que ln(u(x)) ln(v(x)), autrement dit ln(u(x)) = 1. ln(v(x)) ln(u(x)) = ln v(x) u(x) u(x) = ln v(x) u(x) ln(u(x)) ln(u(x)) + ln(u(x)) ln(u(x)) = 1 + ln v(x) u(x) ln(u(x))

13 6. Limites et comparaison de fonctions 13/14 Š v(x) Or, ln ln(1) par composition et ln(u(x)) ln(l) 0, donc par quotient, ln v(x) u(x) u(x) ln(u(x)) bien montré que ln(v(x)) ln(u(x)) = 1 0 et on a 6.4 Branches innies d'une fonction Lorsqu'une fonction f tend vers ± en un point, ou lorsqu'on regarde ses ites en ±, on dit qu'on étudie les branches innies de la fonction f Asymptote verticale en un point x 0 Dénition 32 Soit f une fonction dénie au voisinage du réel x 0. = ± ou = ± x x + 0 x x + 0 on dit que la courbe C f admet une asymptote verticale d'équation x = x Asymptote horizontale en ± Dénition 33 Soit f dénie au voisinage de +. = b R x + on dit que la courbe C f admet une asymptote horizontale d'équation y = b (b R). Remarques : R1 pour tout x au voisinage de +, b, alors la courbe représentative de f est au -dessus de l'asymptote. R2 pour tout x au voisinage de +, b, alors la courbe représentative de f est en-dessous de l'asymptote. R3 On peut faire de même en Asymptotes obliques en ± Dans cette partie, on considère une fonction f telle que = ± x + On pourrait faire de même pour une étude lorsque x.

14 14/14 6. Limites et comparaison de fonctions Dénition 34 x + x = + alors devient très grand par rapport à x, lorsque x +. On dit que la courbe C f admet une branche parabolique de direction asymptotique (Oy). Dénition 35 x + x = 0 alors devient très petit par rapport à x, lorsque x +. On dit que la courbe C f admet une branche parabolique de direction asymptotique (Ox). Dénition 36 il y a deux cas : x + x = a R \ {0}, ax = b R) x + alors on dit que la courbe C f admet une asymptote oblique d'équation y = ax + b. ax = ± x + alors on dit que la courbe C f admet une branche parabolique de direction asymptotique y = ax.