Limites et asymptotes

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1 Chapitre 3 Limites et asymptotes Sommaire 3. Définitions, propriétés Limite finie en un point Limite infinie en un point Limites en l infini Limite à gauche et à droite Eistence et opérations sur les ites Cas des fonctions monotones Passage à la ite dans les inégalités Opérations sur les ites Limite des fonctions usuelles Croissances comparées Lever les formes indéterminées Méthodes similaires à celles des suites Autres méthodes Les notions de ite et de continuité sont omniprésentes en analyse. Dans tout le chapitre, f est une fonction de R dans R dont le domaine de définition est noté D f. 86

2 ECE ère année 3.. DÉFINITIONS, PROPRIÉTÉS On introduit d abord de manière rigoureuse les notions de ites de fonctions définies sur un intervalle de R, puis nous complèterons les techniques de calcul de ites abordées dans le chapitre sur les suites. 3. Définitions, propriétés Dans cette section, f désigne une fonction définie sur un intervalle I et 0 un point de I ou une etrémité de I. A la différence des suites, pour lesquelles seule la ite quand n tend vers + se définissait, deu autres cas peuvent se présenter ici. La variable peut également tendre vers (mais ce n est pas un cas fondamentalement différent du précédent) mais aussi vers une valeur réelle 0. La raison de cette différence est qu on peut approcher la variable aussi près d un réel 0 que l on souhaite sans l atteindre alors que ce n est pas le cas pour les entiers. 3.. Limite finie en un point Définition 3. (Limite finie en 0 ) Soit l un nombre réel. On dit que f admet l pour ite en 0 si f() est aussi proche que l on veut de l dès que est suffisamment proche de 0. On peut traduire ceci mathématiquement par : ɛ > 0, α > 0 tel que ( I et 0 < α) f() l < ɛ; On écrit Ou : f() = l. 0 f() l 0 Une fonction peut ne pas avoir de ite lorsque tend vers 0. En revanche, si la ite eiste, elle est unique. On parle alors de la ite de f en 0. Eemple 3.. Soit f la fonction définie sur R par f() = 4 et 0 =. Alors quand se rapproche de, f() se rapproche de 3 (= f()). 87

3 3.. DÉFINITIONS, PROPRIÉTÉS ECE ère année Prouvons le avec la définition : pour cela il faut évaluer la distance entre f() et 3 i.e. f() 3. Or f() 3 = 4 3 = 4 4 = 4. Soit ɛ > 0. Alors f() 3 < ε dès que < ε 4 donc α = ɛ/4 convient et f() 3. Eercice 3.. Donner, sans justification, 2 ( 2 ), puis eprimer l intervalle I [ 0 α; 0 + α] en fonction de α Limite infinie en un point Définition Définition 3.2 (Limite infinie en un réel 0 ) On dit que f tend vers + (resp. ) en 0 si f() est aussi grand (resp. petit) que l on veut dès que est suffisamment proche de 0. On peut traduire ceci mathématiquement par A R, α > 0 tel que ( I et 0 < α) f() A (resp. B R, α > 0 tel que ( I et 0 < α) f() B) On note f() = + ou encore f() 0 (resp. f() = ou encore f() ). 0 0 L unicité de la ite s étend à ce cas. 0 + Eemple 3.2. ln( ) =. Interprétation graphique. Définition 3.3 (Asymptote verticale) Si f() = + 0 alors la droite verticale d équation = 0 est asymptote verticale à C f en Cour ECE

4 ECE ère année 3.. DÉFINITIONS, PROPRIÉTÉS Ce résultat reste vrai en remplaçant + par. Eemple 3.3. f() = + signifie que le nombre f() peut être rendu aussi grand que l on veut, à condition de choisir suffisamment proche du nombre réel. Cela traduit bien une proimité entre la courbe de f et la droite verticale d équation = «loin en haut» sur le graphique. Autrement dit, cette droite est asymptote à C f. Eercice 3.2. Donner, sans justification, ln(), puis eprimer l intervalle I [ 0 α; 0 + α] en fonction de α Limites en l infini Limites finies en l infini Définition 3.4 (Limites finies en l infini) Soit l un nombre réel. On dit que f tend vers l en + (resp. ) si f est aussi proche que l on veut de l dès que est suffisamment grand (resp. petit). On note cette ite f() = l (resp. On peut traduire ceci mathématiquement par : f() = l). ɛ > 0, B > 0 tel que B, f() l ɛ (resp. ɛ > 0, B < 0 tel que B, f() l ɛ) Interprétation graphique. Définition 3.5 (Asymptote horizontale) Si f() = l alors y = l est asymptote horizontale à C f au voisinage de +. Le résultat reste valable en remplaçant + par. 89

5 3.. DÉFINITIONS, PROPRIÉTÉS ECE ère année Eemple 3.4. f() = 3 signifie que le nombre f() peut être rendu aussi proche de 3 que l on veut, à condition de choisir suffisamment grand. Cela traduit bien une proimité entre la courbe de f et la droite horizontale d équation y = 3 «loin à droite» sur le graphique. Autrement dit, cette droite est asymptote à C f en +. Limites infinies en l infini Définition 3.6 (Limites infinies en l infini) On dit que f tend vers + (resp. ) en + si f est aussi grand que l on veut dès que est suffisamment grand (resp. petit). On peut traduire ceci mathématiquement par : On note cette ite A R, B > 0 tel que B, f() A. (resp. A R, B < 0 tel que B, f() A). f() = + (resp. f() = + ). Eemple 3.5. ln( ) = +. Eercice Montrer que = A l aide des représentations graphique des fonctions usuelles, donner les ites suivantes : (a) (b) (c) e n (n N ) e Remarque 3.06 Certaines fonctions n ont pas de ite en l infini. C est le cas, par eemple, de la fonction sin. 90 Cour ECE

6 ECE ère année 3.. DÉFINITIONS, PROPRIÉTÉS 3..4 Limite à gauche et à droite Définition 3.7. Lorsqu on considère la ite quand tend vers 0 sous la contrainte < 0 (c est-à-dire s approche de 0 par la gauche), on parle de ite à gauche de f en 0 et on la note f() ( ou f()). 0 < 0 2. On définit de même la ite à droite de f en 0, lorsque s approche de 0 par la droite c est-à-dire sous la contrainte > 0 : on la note f() ( ou f()) 0 > + 0 Eemple 3.6. On considère la fonction f définie sur R\{ } par f() = +. Alors f() = et f() = +. < > Proposition 3.93 Soit f une fonction non définie en 0. On a équivalence entre :. f admet une ite en 0 2. f admet une ite à gauche et à droite en 0 et < 0 f() = > 0 f() ). Et dans ce cas, 0 f() = < 0 f() = > 0 f(). Remarques L étude de la ite de f en un point à l aide des ites à droite et à gauche est pertinente dès que f() s eprime différemment à droite et à gauche du point en question. 2. Une fonction peut avoir une ite à droite et à gauche en 0, mais pas de ite en 0 (si les deu ites ne coincident pas). 3. Finalement, ce n est que lorsque la ite à droite et à gauche de 0 eistent et sont égales qu on dit que f admet une ite en 0, comme par eemple la fonction f() = en 0. Lorsque les ites à gauche et à droite sont différentes, la fonction 2 n a pas de ite en 0. Eemple Par contre >0. Comme >0 = + <0 2 = <0 2 = +, on peut écrire 0 2 = +. = et donc la fonction inverse n a pas de ite en La fonction partie entière admet une ite à gauche en, égale à 0, et une ite à droite en, égale à, mais elle n admet pas de ite en. Eercice Créer des représentations graphiques de courbes qui ne possèdent pas de ite en mais possèdent des ites à gauche et à droite en, éventuellement identiques. 2. Soit f définie par f() = pour > et par f() = 2 2 pour <. Etudier les ites à gauche et à droite de f en. f possède t-elle une ite en? 9

7 3.2. EXISTENCE ET OPÉRATIONS SUR LES LIMITES ECE ère année 3.2 Eistence et opérations sur les ites 3.2. Cas des fonctions monotones Les notions de fonctions croissantes, décroissantes, majorées, minorées... ont été rappelées dans le chapitre sur les fonctions usuelles. Théorème 3.24 (de ite monotone) Si f est une fonction monotone sur ]a, b[, avec a et b réels ou infinis, alors : f admet en tout point de l intervalle ]a, b[ une ite (finie) à droite et à gauche (attention pas forcément égales!). f possède une ite (finie ou infinie) en a et en b. Il eiste un résultat similaire à la convergence monotone des suites, qui dit que, comme pour les suites, si les fonctions sont monotones et bornées, elles admettent des ites au bornes de l intervalle de définition. Théorème 3.25 (de ite monotone détaillé) Soit f une fonction définie sur ]a; b[.. Si f est croissante et majorée sur ]a; b[ alors f admet une ite en b. 2. Si f est croissante et non majorée sur ]a; b[ alors f() = +. b 3. Si f est croissante et minorée sur ]a; b[ alors f admet une ite en a Si f est croissante et non minorée sur ]a; b[ alors a + f() =. 5. Si f est décroissante et majorée sur ]a; b[ alors f admet une ite en a Si f est décroissante et non majorée sur ]a; b[ alors f() = +. a + 7. Si f est décroissante et minorée sur ]a; b[ alors f admet une ite en b. 8. Si f est décroissante et non minorée sur ]a; b[ alors f() =. b Passage à la ite dans les inégalités Les résultats sont similaires à ceu donnés pour les suites. Théorème 3.26 (de comparaison des ites) Soient f, g deu fonctions définies sur I sauf peut-être en 0 et possédant une ite en 0.. Si I\{ 0 }, f() g() alors 0 f() 0 g(). 2. En particulier, si I\{ 0 } f() 0 alors 0 f() 0. On dit que l opération de passage à la ite est compatible avec les inégalités larges. 92 Cour ECE

8 ECE ère année 3.2. EXISTENCE ET OPÉRATIONS SUR LES LIMITES Ces résultats ne s étendent pas au inégalités strictes. Contre-eemple : ]0, + ], <, mais pourtant =. Théorème 3.27 ( d encadrement) Soient f, g, h trois fonctions définies sur I.. Si pour tout I, f() g() et 0 f() = +, alors 0 g() = Si pour tout I, f() g() et 0 g() =, alors 0 f() =. Théorème 3.28 (d encadrement ou théorème des gendarmes) Soient f, g, h trois fonctions définies sur I sauf peut-être en 0. Supposons que l on ait. I\{ 0 } g() f() h() 2. 0 g() = 0 h() = l. Alors f possède une ite en 0 et 0 f() = l Opérations sur les ites Remarque 3.08 Dans les paragraphes suivants, nous parlerons parfois de «forme indéterminée», notée F.I. Cela ne veut pas forcément dire qu il n y a pas de ite, mais que la règle énoncée ne permet pas de conclure dans le cas général, et donc qu il faut étudier chaque cas particulier. Les opérations sur les ites sont eactement les mêmes que pour les suites, y compris pour les formes indéterminées. Proposition 3.94 (Règle de composition des ites) Soient a, b et l des réels pouvant aussi valoir ±. Si f() = b et g(y) = l alors g (f()) = l. a y b a On admettra que les sommes, les produits, les inverses, les quotients ou les composées des fonctions usuelles que nous étudierons vérifient tous : Si a D f, où D f est l ensemble de définition de f, alors a f() = f(a). Dans les autres cas, au bornes de leur ensemble de définition, on appliquera les propriétés des paragraphes suivants. 93

9 3.2. EXISTENCE ET OPÉRATIONS SUR LES LIMITES ECE ère année Limite d une somme Proposition 3.95 On note α ce vers quoi tend, α pouvant être un réel, + ou. Soit f et g deu fonctions ayant en α une ite finie ou infinie. La fonction somme f + g admet une ite dans chacun des cas résumés par le tableau ci-dessous : f() g() l + α α l l + l F.I. F.I. Eemple ( + ) 2. >0 ( + ) = + car = car ( ) = et >0 = 0 ( ) = 0 = et ( 2 + ) est une forme indéterminée car Nous verrons plus tard comment «lever l indétermination». 3. >0 = + ( ) 2 = + et ( ) =. Limite d un produit Proposition 3.96 On note α ce vers quoi tend, α pouvant être un réel, + ou. Soit f et g deu fonctions ayant en α une ite finie ou infinie. La fonction produit f g admet une ite dans chacun des cas résumés par le tableau ci-dessous : f() g() l 0 l = 0 ± α α l 0 l l 0 ± l = F.I. ± ± F.I. ± Remarque 3.09 Le signe, lorsque la ite du produit est ±, est donné par la règle des signes des produits. Eemple ( ) 5 2 = car ( 5) = 5 et 2 = + 94 Cour ECE

10 ECE ère année 3.2. EXISTENCE ET OPÉRATIONS SUR LES LIMITES ( ) ( 2. 3 = + car 3. >0 ) ( 2 + ) est indéterminée car >0 plus tard comment «lever l indétermination». = et 3 = ( = + et 2 + ) = 0+0 = 0. Nous verrons >0 Limite de l inverse Proposition 3.97 On note α ce vers quoi tend, α pouvant être un réel, + ou. Soit f une fonction ayant en α une ite finie ou infinie. La fonction f admet une ite dans chacun des cas résumés par le tableau ci-dessous : f() l 0 l = α 0+ l = 0 + α + 0 (0 f() + ) 0 (0 ) l Eemple = + car 2 2 = 0 et 2 > 0 quand R 0 2. = 0 car = 4 Limite d un quotient Proposition 3.98 = car ( ) = 4 On note α ce vers quoi tend, α pouvant être un réel, + ou. Soit f et g deu fonctions ayant en α une ite finie ou infinie. La fonction quotient f admet une ite dans chacun des cas résumés par le tableau g ci-dessous : α f() α g() l 0 l = 0 ± l 0 l l ± 0 l = 0 0 F.I. 0 ± ± ± F.I. Remarque 3.0 Le signe, lorsque la ite du quotient est ±, est donné par la règle des signes des produits (qui est aussi la règle des signes des quotients). 95

11 3.2. EXISTENCE ET OPÉRATIONS SUR LES LIMITES ECE ère année Démonstration. Utiliser les règles du produit et de l inverse. Eemple > = 0 car = car entre les racines 0 et 2) 3. car 3 = 3 et (22 + 3) = + ( + ) =, ( 2 2) = 0 et 2 2 = ( 2) < 0 (négatif >0 2 3 est une forme indéterminée + ( 2 ) ( = + et 3 + ) = + Fonctions polynôme et rationelle Proposition 3.99 Soit f une fonction polynôme de degré n : Alors : f() = f() = a n n + a n n a + a 0 avec a n 0 qui s énonce aussi de la façon suivante : a n n = ± ; f() = a n n = ±. «La ite en l infini d une fonction polynôme est celle de son terme de plus haut degré.» Proposition 3.00 Soit f une fonction rationnelle : avec a n 0 et b m 0. Alors : f() = f() = a n n + a n n a + a 0 b m m + b m m b + b 0 a n n b m m ; f() = a n n b m m. 96 Cour ECE

12 ECE ère année 3.3. LIMITE DES FONCTIONS USUELLES 3.3 Limite des fonctions usuelles Proposition 3.0 Soit f une des fonctions usuelles (affine, carré, cube, inverse, racine carrée,...) et D f leurs ensembles de définition respectifs. Si a D f, alors a f() = f(a) Sinon, au bornes de leur ensemble de définition, les fonctions usuelles ont les ites résumées dans le tableau ci-dessous : f D f Limites Si m > 0 (m + p) = + et (m + p) = f() = m + p R Si m < 0 (m + p) = et (m + p) = + Si m = 0 (m + p) = (m + p) = p f() = 2 R 2 = 2 = + f() = 3 R 3 = + et 3 = f() = R = 0+, = 0 = + et = >0 <0 f() = 2 R 2 = 2 = 0+, n = + f() = R + = 0 = 0 et 0 = + Remarques 3.. Les fonctions constantes (f() = k) et linéaires (f() = k) sont aussi des fonctions usuelles mais sont considérées comme des cas particuliers des fonctions affines f() = m + p avec, respectivement, m = 0 et p = f() = n où n N et n 4 a les mêmes ites que f() = 2 si n est pair et que f() = 3 si n est impair (on l admettra). 3. f() = n où n N et n 4 a les mêmes ites que f() = si n est impair et que f() = si n est pair (on l admettra) Croissances comparées Proposition 3.02 α > 0, α e = α e 0 et ln() α

13 3.4. CROISSANCES COMPARÉES ECE ère année Remarque 3.2 Par passage à l inverse, (les ites précédentes sont des 0 + ) on obtient immédiatement : e α > 0, α + et α ln() +. Cette proposition nous permet également d en déduire : Proposition 3.03 α > 0, α ln() > 0 0. Démonstration. Posons y =. Alors y + et > 0 α ln() = ( y )α ln( y ) = ( ln(y)) = ln(y) yα y α 0 y + Méthode 3.35 Cette preuve est à connaître car la méthode de démonstration est générale. En effet, dans un calcul de ites, pour se ramener à l un des cas précédents et conclure à l aide des croissances comparées, il faudra en général effectuer un changement de variable. Eemple 3.2 (Application). Déterminer la ite de 3 e au voisinage de. On a une F.I. du type 0 Posons y =. Alors y + et 3 e = ( y) 3 e y = ( )[y 3 e y ] 0 d après le résultat y + précédent (croissances comparées en + ). On obtient plus généralement : n N, n e 0 (croissances comparées en ). Eemple 3.3. Déterminer la ite e3 en 0 et en En 0, il n y a pas de forme indéterminée et e En +, posons y = 3 +. Alors e3 5 2 = ey 5(y/3) 2 = e y (y) 2 = 32 5 e y y 2 +. y + Eercice 3.5. Déterminer les ites des fonctions suivantes lorsque tend vers :. + : (a) e (b) ln()e 3 (c) 0 e 0, (ln()) : (a) e (b) e 3. 0 : (a) ln (b) (ln()) 205 (c) ln() 98 Cour ECE

14 ECE ère année 3.5. LEVER LES FORMES INDÉTERMINÉES Limites usuelles (tau d accroissements) : Proposition 3.04 ln( + ), e, Lever les formes indéterminées A retenir : il y a 4 types de forme indéterminées, 0, et Méthodes similaires à celles des suites Les méthodes des termes prépondérants, concernant les formes indéterminées du type ou encore, restent identiques à celles vues sur les suites. On peut également les appliquer lorsque tend vers ou 0. Quand l eposant est variable, on passe en notation eponentielle, comme cela a été déjà vu dans le chapitre sur les suites.. Formes indéterminées du type Pour lever une telle indétermination, en règle générale, on met en facteur un terme qui tend vers l infini (souvent, ce sera le terme prépondérant). Eemple 3.4. Limite de f() = 2 en +. On est en présence d une FI +. Or f() = 2 ( ) ; comme, on obtient (règle sur le produit) f(). Ou, au lieu de factoriser par le terme prépondérant, on peut ne factoriser que par : alors f() = ( + ). Comme + et ( + ), par produit, f() =. Cas particuliers : il peut être intéressant de se ramener à une forme indéterminée (a) cas du ln : on utilise la formule ln(a) ln(b) = ln( a b ). Eemple 3.5. ln() ln(2) = ln( 2 ) = ln( 2 ) ln(2) (b) cas de : on utilise la quantité conjuguée. Eemple 3.6. Déterminer la ite en + de 2 + : FI de type +. Quantité conjuguée : 2 + = ( 2 + )( ) ( D où 2 + = (2 + ) ( 2 ) ( ) = ( ) 0. Et finalement, la droite y = est asymptote à la fonction 2 + au voisinage de

15 3.5. LEVER LES FORMES INDÉTERMINÉES ECE ère année 2. Formes indéterminées du type : commencer par simplifier puis (a) Si le numérateur ou le dénominateur est une somme, mettre en facteur le terme prépondérant au numérateur et au dénominateur et simplifier. Eemple 3.7. Limite de f() = en +. On est en présence d une F.I Or f() = 2 ( / 2 + ) 3 ( + 2/ 2 = ( /2 + ) ) ( + 2/ 2 ) 0. (b) Si on est en présence d eponentielle (ou du ln), et des puissances de, se ramener au théorème des croissances comparées. (Il sera parfois nécessaire de commencer par factoriser comme au (a) ). Eemple 3.8. Limite de Or e e + = 0. e + en. e ( + e ) = e + e = (e ) + e 0 = 0 car 3. Formes indéterminées du type 0 : commencer par simplifier puis 0 (a) Si le numérateur ou le dénominateur est une somme, mettre en facteur le terme prépondérant au numérateur et au dénominateur et simplifier. Eemple 3.9. Limite de f() = en 0+. On est en présence d une FI 0 0. ( + ) Or f() = ( + 5/2 ) = ( + ) ( + 5/2 ) 0. + (b) Repérer si, à l aide d une astuce ou d un changement de variable, on peut se ramener au ites usuelles précédentes qui sont toutes les 3 des F.I. du type 0 0. Eemple Limite de e en 0 (F.I. 0 0 ). Or e = e =. 4. Formes indéterminées du type 0 Souvent, si l epression mêle de l eponentielle (ou du ln) et des puissances de, on peut se ramener au théorème des croissances comparées. Eemple 3.2. Limite de (2 2 + )e en +. Or (2 2 + )e = 2( 2 e ) + e = 0 car 2 e 0. Sinon, transformer l écriture pour se ramener à une F.I. de type 0 0 ou. Eemple Limite de ln( + ) en +. Or ln( + ) = ln( + ) Eercice 3.6. Calculer les ites suivantes : (F.I. 0 ln( + u) ) = 0 u avec u = u e ln() ln( 2 ) 200 Cour ECE

16 ECE ère année 3.5. LEVER LES FORMES INDÉTERMINÉES Autres méthodes Méthode 3.36 (Changement de variable) L idée est de se ramener par un changement de variable (on pose X =...) a une forme indéterminée connue. Eercice 3.7. Calculer 2 e 2 et 2 e. Méthode 3.37 (Factorisation et quotient de polynômes) Lorsqu on a un quotient de polynôme qui donne une forme indéterminée du type «0 0»lorsque tend vers 0, on lève cette forme indéterminée en factorisant par 0 au numérateur et au dénominateur, puis en simplifiant. Méthode 3.38 (Se ramener à une ite en zéro) Il est parfois plus facile de traiter les problèmes où la variable tend vers 0. On passe de 0 à h 0 en posant = 0 + h et en eprimant tout en fonction de h. 3 + Eercice 3.8. Calculer + via les deu méthodes eposées ci-dessus. 20