Révisions d analyse. I Limites et équivalents. Plan de cours. A Limites

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1 C Révisions d nlyse «Est rigoureuse toute démonstrtion, qui, chez tout lecteur suffismment instruit et prépré, suscite un étt d évidence qui entrîne l dhésion.» René Thom (93-) Pln de cours I Limites et équivlents A Limites B Brnches infinies C Équivlents D Comment clculer une limite? déterminer un équivlent? II Continuité A Définition et eemples B Rppels sur l injectivité, l surjectivité et l bijectivité C Continuité sur un intervlle D Continuité sur un segment E Bijections F Prolongement pr continuité III Dérivbilité A Générlités B Dérivée et bijection réciproque C Dérivées d ordre supérieur D Etremum, théorème de Rolle et des ccroissements finis E Monotonie et dérivbilité F Limite de l dérivée IV Formules de Tylor et développements limités A Générlités B Opértions sur les développements limités C Synthèse des développements limités usuels à connître V Intégrtion sur un segment A Définitions et propriétés B Primitives C Recherche de primitives et clcul d intégrles D Clcul pproché d intégrles VI Équtions différentielles A Équtions différentielles linéires d ordre B Équtions différentielles linéires d ordre On considère une fonction f : I définie sur un intervlle I de et un élément de I ou une etrémité de I. Rppelons qu un voisinge de est une prtie de contennt un intervlle ouvert contennt lui-même. On choisir souvent des voisinges de l forme ] α, + α[. Nottion usuelle : = {± }. I Limites et équivlents A Limites Proposition C. Si on considère trois réels, b, c, b < c c < b < c ; b + b + b (inéglité tringulire).

2 ANNEXE C. RÉVISIONS D ANALYSE Eercice Résoudre les équtions et inéqutions suivntes : = ; ; + 3 < ;. En notnt i les différents ensembles de solutions, on : 3 3 = {, }; = [, ]; 3 =] 5, [; 4 =,,, +. Eercice Soit un réel vérifint : ɛ >, < ɛ. Que dire de? Le réel est nul! Risonnons pour cel pr l bsurde en supposnt non nul. Quel que soit ɛ >, < ɛ ; donc en prennt ɛ = obtient : < soit <! Absurde. Eercice 3 Soit f :. Que signifie l proposition suivnte? Fire un dessin! On lim f () =. + A B > B f () < A >, on Définition C. : Limites On dit que f dmet une limite finie l en si : ɛ > α > I < α = f () l < ɛ On dit que f dmet + comme limite en si : A > α > I < α = f () > A On dit que f dmet une limite finie l en + si : ɛ > B > I > B = f () l < ɛ Eercice 4 Trduire vec des quntificteurs l proposition : f () + +. On dpte les définitions précédentes dns le cs de limites à droite ou à guche. Une fonction dmet une limite en un point si et seulement si les limites à droite et à guche eistent et sont égles. Proposition C.3 : Unicité de l limite Lorsque l limite eiste, elle est unique. Démonstrtion Supposons que f () tend vers l et l lorsque. Soit ɛ >. On lors : α > I < α = f () l < ɛ α > I < α = f () l < ɛ Posons lors α = m(α, α ) et choisissons tel que < α, ce qui conduit à : l l = l f () + f () l f () l + f () l < ɛ, et ceci, quel que soit ɛ. On donc l l =, c est-à-dire l = l. L preuve s dpte fcilement dns le cs où. - -

3 Mickël PROST Lycée Chptl PT* Citons de plus les deu théorèmes de comprison suivnt : Théorème C.4 : Théorème des gendrmes Si f, g et h sont trois fonctions définies sur I vérifint : I f () g() h() et lim f () = lim h() = l. Alors g dmet une limite en et lim g() = l. Le théorème reste vlble lorsque les trois fonctions sont définies sur I \ { }. 6 3 y = g() y = h() y = f() 3 6 Illustrtion du théorème des gendrmes Eercice 5 Montrer que cos(). + cos() et on peut ppliquer le théorème des gendrmes. Théorème C.5 : Théorème de comprison Soit f et g deu fonctions définies sur I vérifint : Alors on : lim g() = +. I f () g() et f () +. Les formes indéterminées suivntes sont à connître : ; ; ; ;. Pour finir, un certin nombre de limites clssiques à retenir : Théorème C.6 : Croissnces comprées Pr croissnce comprée, α ln β ; ln β + ; α + α e β + ; e β α + (α, β > )

4 ANNEXE C. RÉVISIONS D ANALYSE y = ep() 9 y = α (α > ) y = 6 3 y = α ( < α < ) y = ln() Comprison des fonctions ep, ln et puissnces Eercice 6 e e + 8 Déterminer lim π 6 On trouve + pr croissnce comprée, près voir fctorisée pr les quntités prépondérntes. Eercice 7 Déterminer lim +. + En revennt à l définition d une puissnce y = e y ln() et en pssnt à l limite, on trouve e. B Brnches infinies On noter C f l courbe représenttive de l fonction f : I. Si f () + lors C f dmet une symptote horizontle d éqution y =. Si f () b ± vec b lors C f dmet une symptote verticle d éqution = b. f () Si f () ± lors on détermine l limite de pour connître l nture de l brnche infinie : ± Si f () Si f () Si f () ±, C f dmet une brnche prbolique de direction l e (O). E. :. ± ±, C f dmet une brnche prbolique de direction l e (O y). E. :. lors on clcule lim (f () ) = b. ± ± C f dmet lors une symptote oblique d éqution y = + b. Eemple th() = sh() ch() = e e e = e + e + e = e e + + L courbe représenttive de l fonction dmet donc deu symptotes horizontles d éqution y = et y =. 3 y = th() 3 Représenttion de l fonction th - 4 -

5 Mickël PROST Lycée Chptl PT* Eemple Considérons mintennt l fonction + définie sur \ {}. + ± ± ; + ± L courbe représenttive de l fonction + dmet donc deu symptotes verticle et horizontle d éqution = et y =. Eemple 3 L fonction ln( + 3) est définie sur et ln( + 3) +. De plus, + ln( + 3) = ln + 3 = ln() + ln L courbe représenttive de l fonction ln( + 3) dmet donc une brnche prbolique horizontle y = Représenttion de l fonction + y = ln( + 3) Représenttion de l fonction ln( + 3) Eemple 4 ch est définie sur et ch() = e + e lim ch() = +. + = e + e y = ch() L courbe représenttive de l fonction ch dmet donc une brnche prbolique verticle. 3 3 Représenttion de l fonction ch Eemple eiste si et seulement si = ( + )( + 3), donc f : est définie sur ] ; 3] [ ; + [ De plus, pour tout >, + f () = = f () = = + = L courbe représenttive de f dmet donc une symptote oblique d éqution y = y = Représenttion de l fonction

6 ANNEXE C. RÉVISIONS D ANALYSE C Équivlents Définition C.7 On dit que f, g : I sont équivlentes u voisinge de si : f () = g() + ɛ()g() où ɛ() Si l fonction g est non nulle u voisinge de, cel revient à dire que f () g(). Théorème C.8 : Équivlents clssiques On les équivlents : sin ; ln( + ) ; cos ; tn ; ln ; e ; ( + ) α α (α ). Démonstrtion On interprète le quotient comme un tu d ccroissement. Rppel : f est dérivble en si et seulement si f () f ( ) dmet une limite finie qund tend vers, limite lors notée f ( ). Pr eemple, sin() = sin() sin() sin () = cos() = Tous les utres équivlents (suf dns le cs du cosinus) peuvent s obtenir de l même mnière. De plus, cos(u) = sin (u) donc cos(u) = sin (u) u. u En posnt = u, on obtient cos. Une fonction n est jmis équivlente à! Si f () l vec l non nul, lors f () l. E. : cos(). On ne somme ps les équivlents! Si f f et g g, on ne peut ps dire que f + g f + g. Composition d équivlents : Générlement, f g h f h g. E. : e + + e. Cel est cependnt vri dns certin cs : si f g et lim g lors ln f ln g. En cs de doute, on revient toujours u quotient et on regrde si l limite vut. Pr contre, si f g lors f u g u. Il s git en quelque sorte d un chngement de vribles. E. : rctn cr on sin t t et on pose t = rcsin(). t D Comment clculer une limite? déterminer un équivlent? Se lncer dns un clcul direct et vérifier qu on bien une forme indéterminée. E. : e + ln() Penser à fctoriser. E. : 6 + 8, ps de forme indéterminée ici. + = ( )( 4) =

7 Mickël PROST Lycée Chptl PT* Les chngements de vrible permettent de se rmener à un clcul de limite en ou en ±, ce qui peut s vérer prtique pour pouvoir utiliser les équivlents usuels. E. : cos() π/3 = cos(u + π/3) u = cos(u) u + 3 sin(u) u 3 où u = π/3 cr : u cos(u) u u u u = u ; u sin(u) u u Avoir recours à un équivlent ou à un développement limité selon le contete (somme, produit?). Fire pprître des tu d ccroissement. «A-t-on le droit de...?» f () On clculer lim pour montrer que f () g() g() ou f () = o(g()). Dns un premier temps, mieu vut se lncer dns les clculs sns se poser de questions, quitte à les justifier pr l suite. Attention, une limite n eiste ps toujours! Eemple cos() n dmet ps de limite en +. En effet, si c étit le cs, cos(nπ) l vec n. n + Or cos(nπ) = ( ) n n dmet ps de limite lorsque n +. Contrdiction. II Continuité Soit f : I où I est un intervlle de et I. A Définition et eemples Définition C.9 : Continuité f est dite continue en I, lim f () = f ( ), i.e. si : ɛ >, α >, I < α = f () f ( ) < ɛ Générlistion à un intervlle, discontinuité, interpréttion grphique, continuité à droite / à guche. Eemples Les fonctions polynomiles et les frctions rtionnelles sont continues sur leur ensemble de définition. Les fonctions cosinus et sinus sont continues sur, l fonction tngente sur π + kπ, π + kπ. L vleur bsolue est continue sur. si est discontinue en, pourquoi? si = k L somme, le produit et l composée de fonctions continues sont continues. Attention u quotient! Un quotient de fonctions continues sur un intervlle I dont le dénominteur ne s nnule ps est continue sur I. Si f et g sont continues sur I, c est églement le cs pour f, m(f, g) et min(f, g)

8 ANNEXE C. RÉVISIONS D ANALYSE B Rppels sur l injectivité, l surjectivité et l bijectivité On considère une fonction f : E F où E et F sont deu ensembles quelconques. f est dite injective si tout élément de F dmet u plus un ntécédent dns E. Autrement dit,, y E f () = f (y) = = y f est dite sujective si tout élément de F dmet u moins un ntécédent dns E. Cel revient à dire que : ou églement à dire que f (E) = F. y F E y = f () f est dite bijective ssi elle est injective et surjective, i.e. que : y F! E y = f () C Continuité sur un intervlle Théorème C. : Théorème des vleurs intermédiires Soit f une fonction continue sur un intervlle I vec, b I vérifint < b. Alors pour tout réel y compris entre f () et f (b), il eiste I tel que f ( ) = y. Eemple Soit f l fonction définie sur I = [ 4; 7] dont on donne l représenttion grphique suivnte : α L fonction f prend toutes les vleurs «intermédiires» entre 3 et 4 Comme f ( 4) = 3, f (7) = 4 et que f est continue, le théorème des vleurs intermédiires ffirme que pour tout y [ 3; 4], il eiste [ 4; 7] tel que y = f ( ). Attention, l ntécédent n est ps nécessirement unique! Pr eemple, combien le réel dmet-il d ntécédent pr f sur l intervlle I? Théorème C. : TVI bis L imge d un intervlle pr une fonction continue est un intervlle. Dns l eemple précédent, f ([ 4; 7]) = [f (α); 4]. On noter églement que f ([ 4; 7]) [f ( 4); f (7)] = [ 3; 4]. Corollire C. Une fonction continue qui chnge de signe sur I s nnule (u moins une fois) sur I. Eercice 8 ➊ Montrer qu un polynôme de degré impir dmet u moins une rcine réelle. ➋ Soit f : [, ] [, ] continue. Montrer que f dmet u moins un point fie. (Théorème de Brouwer, à illustrer) - 8 -

9 Mickël PROST Lycée Chptl PT* D Continuité sur un segment Un segment est un intervlle fermé et borné du type [, b]. Théorème C.3 Toute fonction continue sur un segment est bornée et tteint ses bornes. Autrement dit, l imge d un segment pr une fonction continue est un segment. Ce théorème prouve l eistence d un minimum et d un mimum mis n en donne ps l vleur. Il fut pour cel voir recours à un tbleu de vritions. Eercice 9 Dns l eemple de l prtie C, f est continue sur le segment [ 4; 7] et son imge est bien un segment : c est le segment [f (α), 4]. On remrquer qu en générl, f ([, b]) [f (), f (b)]. E Bijections Théorème C.4 : Théorème de l bijection Soit f : I que l on suppose continue et strictement monotone sur I. Alors f rélise une bijection de I sur l intervlle J = f (I). L bijection réciproque f : J I est lors continue et de même monotonie que f. Le grphe de f est symétrique à celui de f pr rpport à l première bissectrice. Définitions et propriétés des fonctions rccos, rcsin et rctn : π y = rcsin() y = sin() L fonction sinus étnt continue et strictement croissnte sur I = π, π, elle rélise une bijection de I dns sin(i) = [, ]. S bijection réciproque, notée rcsin, est donc définie sur [, ] et à vleurs dns π, π. Elle est églement continue et strictement croissnte. [, ] π, π sin(rcsin()) = rcsin(sin()) = π Représenttion de l fonction rcsin π y = rccos() π y = cos() L fonction rcsin est enfin impire : [, ] rcsin( ) = rcsin() L fonction cosinus étnt continue et strictement décroissnte sur I = [, π], elle rélise une bijection de I dns cos(i) = [, ]. S bijection réciproque, notée rccos, est donc définie sur [, ] et à vleurs dns [, π]. Elle est églement continue et strictement décroissnte. [, ] [, π] cos(rccos()) = rccos(cos()) = 3 L fonction rccos vérifie enfin : Représenttion de l fonction rccos [, ] rccos( ) = π rccos() - 9 -

10 ANNEXE C. RÉVISIONS D ANALYSE 3 π y = tn() y = rctn() 3 L fonction tngente étnt continue et strictement croissnte sur I = π, π, elle rélise une bijection de I dns tn(i) =. S bijection réciproque, notée rctn, est donc définie sur et à vleurs dns π, π. Elle est églement continue et strictement croissnte. π, π tn(rctn()) = rctn(tn()) = π Représenttion de l fonction rctn L fonction rctn est impire vérifie enfin : > rctn() + rctn = π Eercice Montrer de même que les fonctions ch et sh rélisent une bijection sur un intervlle à préciser et donner une epression eplicite de rgch() et rgsh(). F Prolongement pr continuité On considère dns ce prgrphe un intervlle I, un réel I (c est-à-dire que I ou est une etrémité de I). Pr eemple, si I =] ; 3], [ ; 3]. On considère enfin une fonction f définie et continue sur I \ { }. On peut toujours prolonger f en en posnt f ( ) = l vec l un réel choisi rbitrirement. Il y cependnt peu de chnces pour que f soit continue sur I! Il fudrit pour cel que f () f ( ) = l. De mnière générle, si f dmet une limite finie en et qu on pose f ( ) = lim f (), on dir qu on prolongé f pr continuité, l fonction obtenue étnt continue sur I tout entier. Eemple L fonction f : sin() dénominteur ne s nnule ps. Comme sin() est définie et continue sur comme quotient de fonctions continues dont le, on peut prolonger f pr continuité en posnt : f () = sin() L nouvelle fonction f insi définie est bien continue sur! et f () = On ne peut ps toujours prolonger une fonction pr continuité comme le montre l eemple. III Dérivbilité A Générlités Définition C.5 : Dérivbilité L fonction f : I est dite dérivble en I si f () f ( ) possède une limite finie en. On note cette limite f ( ) ou d f d ( ). Définition C.6 : Tngente à une courbe en un point On munit le pln d un repère orthonormé (O, ı, j). On note C f l courbe représenttive de f : I, supposée continue sur I. Soit M C f le point d bscisse. Pour I \ { }, M désigne le point de C f d bscisse. Une droite pssnt pr M est dite tngente à l courbe en M si le coefficient directeur de l droite (M M ) tend vers celui de qund tend vers. - -

11 Mickël PROST Lycée Chptl PT* C f f() M (MM ) f( ) M Tngente à l courbe C f en un point M L pente de l droite (M M ) n étnt rien d utre que le tu d ccroissement f () f ( ) de f en, on le résultt fondmentl suivnt : Théorème C.7 : Interpréttion géométrique de l dérivbilité On conserve les mêmes nottions que dns l définition précédente. Si f est dérivble en, s courbe représenttive possède u point M une tngente d éqution : y = f ( )( ) + f ( ) Eercice Montrer que est dérivble sur +. Soit >. Alors, > + = = + ( )( + ) = + Ainsi, f : est dérivble sur + et f () =. On vérifie u pssge que l fonction n est ps dérivble en (bien que continue) cr = = +. + On vérifie de l même mnière que les fonctions ep, ln, cos, sin et que toutes les fonctions polynomiles sont dérivbles sur leur domine de définition. On peut lors utiliser les théorèmes généru (somme, produit, composée de fonctions dérivbles) pour justifier l dérivbilité de fonctions plus «élborées». Proposition C.8 Si les fonctions f et g sont dérivbles et que g ne s nnule ps, il en v de même pour les fonctions f + g, f g, f et g f. On lors : g f (f + g) = f + g ; (f g) = f g + f g ; = g f f g et (g f ) = f (g f ) g g Démonstrtion Il suffit de revenir à l définition pour vérifier ces propriétés. Voici pr eemple l démonstrtion dns le cs du quotient (en supposnt f et g dérivbles sur un intervlle I et g ne s nnulnt ps sur I) : I f () g() f ( ) g( ) = g()g( ) f ()g( ) g()f ( ) f = g()g( ) ()g( ) f ( )g( ) + f ( )g( ) g()f ( ) = g()g( ) g( ) f () f ( ) + f ( ) g( ) g() g( ) g( )f ( ) f ( )g ( ) - -

12 ANNEXE C. RÉVISIONS D ANALYSE On pourr rédiger l preuve dns le cs du produit pour s ssurer de s bonne compréhension. Nous vons utilisé dns l démonstrtion précédente le fit que g() g( ), mis nous n vons ps encore prouvé que g est continue en, rgument indispensble pour pouvoir conclure! Le ml v désormis être répré : Théorème C.9 Si f est dérivble en lors f est continue en. Démonstrtion Soit f une fonction dérivble sur un intervlle I et I. Montrons que f est continue en. Montrons pour cel que f () f ( ). I \ { } f () f ( ) = ( ) f () f ( ) f ( ) = Autrement dit, toute fonction dérivble est continue. Attention, l réciproque est fusse! Eemples Les fonctions et sont continues en et non dérivbles en. L courbe représenttive de dmet une demi-tngente verticle (crctéristion du fit que l demi-tngente dmet une pente infinie). L courbe représenttive de dmet un point nguleu, les demi-pentes à droite et à guche diffèrent (crctéristion du fit que l fonction est dérivble à droite et à guche en mis vec des nombres dérivés distincts) Interpréttions géométriques de l non dérivbilité f est dérivble en si et seulement si f () = f ( ) + f ( )( ) + o( ). (Tylor-Young à l ordre ) Si de plus f ( ), f () f ( ) f ( )( ). B Dérivée et bijection réciproque D près le théorème de l bijection, si f est continue et strictement monotone sur un intervlle I, f rélise une bijection de I dns f (I) et s bijection réciproque est utomtiquement continue sur f (I). Il n en v ps de même pour l dérivbilité : il ne suffit ps que f soit dérivble sur I pour que f le soit sur f (I), comme le montre le théorème suivnt. Théorème C. : Dérivbilité de l bijection réciproque Soit f une fonction continue et strictement monotone sur l intervlle I et f s bijection réciproque. Si f est dérivble en et si f ( ) lors f est dérivble en y = f ( ) et f (y ) = f ( ) = f (f (y )). On peut retrouver rpidement l formule en prtnt de l reltion f f = Id I. En dérivnt f (f ()) =, on obtient : f () (f ) (f ()) = (f ) (f ()) = f () Attention, ceci ne constitue ps une démonstrtion rigoureuse du théorème précédent, nous vons dérivé f sns voir u prélble justifié s dérivbilité. Il fudrit pour cel revenir u tu d ccroissement. - -

13 Mickël PROST Lycée Chptl PT* On noter que ce théorème n est que l trduction rigoureuse d un résultt qui prît ssez évident u physicien : d y d = d dy L pente de l tngente à l courbe représenttive de f en (f ( ), ) est donc l inverse de l pente de l tngente à l courbe représenttive de f en (, f ( )). Eemples rccos est dérivble sur ], [ et rccos () =. En effet, cos est dérivble sur [, π] et s dérivée ne s nnule ps sur ], π[ donc rccos est dérivble sur cos(], π[) =], [ et : y ], [ rccos (y) = sin(rccos(y)) Comme pour tout, cos () + sin () =, sin (rccos(y)) = cos (rccos(y)) = y. De plus, comme y ], [, rccos(y) [, π] donc sin(rccos(y)). Ainsi, sin(rccos(y)) = + y et : y ], [ rccos (y) = y rcsin est dérivble sur ], [ et rcsin () =. Adpter le risonnement précédent u cs du sinus. rctn est dérivble sur ], + [ et rctn () = +. tn () = + tn () > donc rctn est dérivble sur et : y rctn (y) = + tn (rctn(y)) = + y Les résultts des eemples précédents sont à connître. En cs de doute sur le signe à plcer devnt y dns l epression des dérivées de rccos et rcsin, n oubliez ps que ces fonctions ont même monotonie que cos et sin. On retrouve insi le signe des dérivées. De plus, l non dérivbilité des fonctions rccos et rcsin en ± se trduit pr l présence de demi-tngentes verticles. Eercice Soit n. Préciser sur quel intervlle l fonction n rélise une bijection (en fonction de l prité de n) et déterminer pr deu méthodes distinctes une epression de l dérivée de l bijection réciproque. C Dérivées d ordre supérieur Définition C. : Fonction de clsse n On dit que f est de clsse n sur I si f est n fois dérivble et si f (n) est continue sur I. Eercice 3 ep et les fonctions polynomiles sont de clsse sur. sin si est dérivble mis ps de clsse sur. si = f est continue sur comme produit de fonctions continues et : f () ce qui nous ssure, d près le théorème des gendrmes, que f () = f (). L fonction est donc continue en. D où l continuité sur

14 ANNEXE C. RÉVISIONS D ANALYSE f est dérivble sur comme produit de fonctions dérivbles et : f () f () = sin ce qui nous ssure, d près le théorème des gendrmes, que f () f (). L fonction est donc dérivble en et f () =. D où l dérivbilité sur. f est de clsse sur comme produit de fonctions de clsse sur. Cependnt, f n est ps continue en : f () = sin cos Or sin mis cos n dmet ps de limite, donc f n dmet ps de limite en. Proposition C. : Formule de Leibniz Soit f et g deu fonctions de clsse n sur I. Alors, f g est églement de clsse n sur I et (f g) (n) = k= n f (k) g (n k). k Cette formule peut s vérer utile pour les polynômes. D Etremum, théorème de Rolle et des ccroissements finis Définition C.3 Soit f : I et I. On dit que f dmet un mimum locl (respectivement un minimum locl) en s il eiste un réel α > tel que : ] α, + α[ I f () f ( ) (resp. f () f ( )) On pourrit trduire cel pr : «Au voisinge de, f ne prend que des vleurs inférieures (ou supérieures) à f ( )». Le plus grnd des mimums locu, lorsqu il eiste, est ppelé mimum globl de f sur I. Idem pour le minimum globl. Eemple Soit f l fonction dont on donne l courbe représenttive suivnte : L fonction f dmet sur [ 6, 7] deu minimums locu et trois mimums locu (ne ps oublier les mimums locu tteints u bornes de l intervlle). Il est d illeurs ssez nturel que l fonction f dmette un mimum globl et un minimum locl : f étnt continue sur un segment, elle est bornée et tteint ses bornes. 4 Théorème C.4 : Etremums d une fonction à vrible réelle Soit f : I et un point intérieur de I (c est-à-dire qui n est ps une etrémité de I). On suppose f dérivble sur I. Si f tteint un etremum locl en lors f ( ) =

15 Mickël PROST Lycée Chptl PT* Démonstrtion On suppose que f dmet un mimum locl en. α > ] α, + α[ f () f ( ) D une prt, pour ] α, [, < donc f () f ( ). Ainsi, en pssnt à l limite, f ( ). D utre prt, pour ], + α[, > donc f () f ( ). Ainsi, en pssnt à l limite, f ( ). Au finl, on bien f ( ) =. On procéderit de même dns le cs d un minimum locl. Les etremums de f sont donc à chercher prmi les points où l dérivée s nnule. Cel se trduit géométriquement pr l présence d une tngente horizontle. Mis ttention u hypothèses! Dns l eemple précédent, il y deu mimums locu tteints u bord de l intervlle, il n y ucune rison que l dérivée s nnule (ps de tngente horizontle). Pr contre, on noter bien l présence de trois tngentes horizontles pour les points intérieurs. De plus, l réciproque est fusse, l dérivée peut s nnuler sns que l fonction dmette un etremum locl. L dérivée de s nnule en sns que l fonction tteigne un etremum Enfin, si f n est ps dérivble, le théorème précédent ne s pplique plus. E. : dmet en minimum en bien qu elle ne soit ps dérivble en ce point. Théorème C.5 : Théorème de Rolle Si f est continue sur [, b], dérivble sur ], b[ et si f () = f (b) lors il eiste c ], b[ tel que f (c) =. f() = f(b) c b Illustrtion du théorème de Rolle Démonstrtion Supposons f continue sur [, b], dérivble sur ], b[ et telle que f () = f (b). f étnt continue sur un segment, elle est bornée et tteint ses bornes, que l on noter m et M. Autrement dit, m, M [, b] m f () M Si m = M, f est constnte et s dérivée est nulle, non ps en un point de l intervlle, mis sur ], b[ tout entier. Si m M, et comme f () = f (b), il y u moins un des deu etremums qui est tteint illeurs qu en ou b (pr eemple en c). D près le théorème précédent, f s nnule bien en c ], b[

16 ANNEXE C. RÉVISIONS D ANALYSE Le théorème de Rolle s interprète géométriquement pr l présence d une tngente horiontle. Théorème C.6 : Formule des ccroissements finis Si f est continue sur [, b] et dérivble sur ], b[ lors il eiste c ], b[ tel que : f (b) f () = f (c)(b ) f(b) c b f() Illustrtion du théorème des ccroissements finis f (b) f () Interpréttion géométrique : l pente de l corde (représentée en vert sur le grphe) est b. Et comme elle vut pr illeurs f (c), cel signifie qu il eiste (u moins) une tngente à l courbe prllèle à cette droite. D illeurs, il eiste dns l eemple précédent trois tngentes prllèles à cette corde, une seule est représentée ici. Pouvez-vous trouver les deu utres? Interpréttion cinémtique : un TGV roulnt à l vitesse moyenne de 3 km/h ur, à un moment donné du trjet, une vitesse instntnée de 3 km/h. Démonstrtion L preuve de ce résultt repose sur une utilistion stucieuse du théorème de Rolle, donnons-l à titre indictif. Soit f : [, b] continue, supposée dérivble sur ], b[. On considère l fonction g définie pr : [, b] f (b) f () g() = f () ( ) b D une prt, g est continue sur [, b] et dérivble sur ], b[. D utre prt, g() = g(b)(= f ()), donc d près le théorème de Rolle, il eiste c ], b[ tel que g (c) =. Or g () = f f (b) f () () donc f f (b) f () (c) =. b b Supposons mintennt que f continue et dérivble sur un intervlle I et l on suppose de plus que f est bornée sur cet intervlle. Cel signifie que : M > c I f (c) M D près le théorème des ccroissements finis, on peut en déduire que : On vient de démontrer le théorème suivnt :, y I c ], y[ f () f (y) = f (c) y M y Théorème C.7 : Inéglité des ccroissements finis Si f est une fonction dérivble sur un intervlle I et que f est bornée pr une constnte réelle M, lors :, y I f () f (y) M y On noter que l condition suivnte est vérifiée dès que f est de clsse sur le segment [, b] : f est dérivble (donc continue) sur [, b] ; de plus, f étnt continue sur le segment [, b], elle est bornée. Ce résultt des conséquences fondmentles (voir prgrphe suivnt). Nous urons l occsion de l ppliquer dns les prochines semines à l étude de suites

17 Mickël PROST Lycée Chptl PT* Eercice 4 Montrons que pour tout π ; π, tn(). Notons que ce résultt est trivilement vri pour =. De plus, d près le théorème des ccroissements finis ppliqués u segment [; ] ou [; ] : π ; π \ {} c ]; [ tn() tn() = + tn (c) Comme + tn (c), on en déduit que : tn(). REMARQUE : Une simple étude de l fonction tn() urit pu convenir pour justifier l inéglité. E Monotonie et dérivbilité Théorème C.8 Soit f une fonction dérivble sur un intervlle I. f est constnte sur I si et seulement si f est nulle sur I. f est croissnte sur I si et seulement si f est positive ou nulle sur I. Démonstrtion Nous ne donnerons qu une preuve du premier résultt. Il suffit de remplcer les églités pr des inéglités pour démontrer le second. = Soit I. Si f est constnte, pour tout I \ { }, f () f ( ) = En fisnt tendre vers, on obtient f ( ) =. = Supposons que f est nulle sur I. Soient, y I. D près le théorème des ccroissements finis, f () f (y) = ( y) = donc f est constnte. On ne le répéter jmis ssez, le théorème précédent n est vlble que sur un intervlle. Cel eplique pourquoi l résolution d une éqution différentielle doit s effectuer sur un intervlle : à chque intervlle s constnte d intégrtion... Attention à l stricte monotonie : si f est strictement positive (resp. strictement négtive) lors f est strictement croissnte (resp. strictement décroissnte). Mis l réciproque est fusse, f peut être strictement croissnte sns que s dérivée soit strictement positive, comme le montre l eemple de 3. F Limite de l dérivée Lorsqu on s intéresse à l dérivbilité d une fonction f en un point, c est-à-dire à l eistence de l limite de f () f ( ), on peut être fortement tenté de clculer f () puis fire tendre vers comme dns l eemple suivnt : Eemple sin( ) si Soit f : si = f est continue sur cr elle est évidemment continue sur et f () donc f () = f (). f est dérivble sur comme quotient de fonctions dérivbles dont le dénominteur ne s nnule ps. f est dérivble en cr : f () f () = sin( ). en fit, f peut s nnuler mis il ne fut ps que f soit identiquement nulle sur un intervlle [, b] I

18 ANNEXE C. RÉVISIONS D ANALYSE On trouve insi f () =. De plus, Étrnge... f () = cos( ) sin( ) = Que peut-on en conclure? Qu il suffisit de clculer lim f () pour justifier l dérivbilité de f en? Et si cette limite étit infinie ou n eistit ps, l fonction ne serit donc ps dérivble? L eemple suivnt (déjà étudié) montre que tout n est ps si simple. Eemple sin si Soit f : si = f est continue sur comme produit de fonctions continues et : f () ce qui nous ssure, d près le théorème des gendrmes, que f () = f (). L fonction est donc continue en. D où l continuité sur. f est dérivble sur comme produit de fonctions dérivbles et : f () f () = sin ce qui nous ssure, d près le théorème des gendrmes, que f () f (). L fonction est donc dérivble en et f () =. D où l dérivbilité sur. f est de clsse sur comme produit de fonctions de clsse sur. Pourtnt, f () / : f () = sin cos Or sin mis cos n dmet ps de limite, donc f n dmet ps de limite en. Théorème C.9 : Limite de l dérivée Si f est continue sur I et dérivble sur I \ { } et si f () dmet une limite l lorsque tend vers lors f est dérivble en, f ( ) = l et f est continue en. Le théorème précédent montre que si f dmet une limite finie en lors f est dérivble en. De plus, comme lim f () = f ( ), l fonction f est continue en (donc f de clsse ). Cependnt, si une telle limite n eiste ps ou n est ps finie, on ne peut ps conclure que f n est ps dérivble en (cf. eemple ). Le théorème est une condition suffisnte, ps nécessire! IV Formules de Tylor et développements limités A Générlités Définition C.3 On dit que f est négligeble devnt g u voisinge de et on note f () = o(g()) si f () = ɛ()g() vec ɛ(). Si l fonction g ne s nnule ps une infinité de fois u voisinge de, cel revient à dire que f () g(). En revennt à l définition, on montre que o( n ) = o(λ n ) pour λ et n. Ainsi, on préférer écrire o( 3 ) plutôt que o(5 3 )

19 Mickël PROST Lycée Chptl PT* Proposition C.3 : Lien entre et o f () g() f () = g() + o(g()). Démonstrtion f () = g() + o(g()) f () g() = o(g()) f () g() f () g() g() f () g() f () g() On peut insi retrouver tous les équivlents clssiques en. Eemple cos() = = + o( ) donc cos() = + o( ), ce qui prouve que cos(). On remrquer qu on utilisé ici o( ) = o même s il n est ps utile de le préciser sur une copie. Ne ps confondre f = o(g) et f = O(g) qui signifie que f () g() est bornée u voisinge de. Définition C.3 : Développement limité On dit qu une fonction f dmet un développement limité à l ordre n u voisinge de s il eiste,..., n tels que : f () = + ( ) + ( ) n ( ) n + o(( ) n ) Lorsque le développement limité d une fonction en un point eiste, il est unique. Ceci nous permet d identifier les coefficients de deu développements limités. Eemple Montrons que = n + o( n ). Soit tel que <. On k = n+. Donc = k= Il ne reste plus qu à montrer que n+ k= = o( n ) ce qui est le cs cr n+ k + n+. = n. Théorème C.33 : Formules de Tylor Soit f une fonction de clsse n sur I et, b I. Formule de Tylor vec reste intégrl n (b ) k f (b) = f (k) () + k! k= (b t) n f (n) (t) dt (n )! Inéglité de Tylor-Lgrnge n f (b) (b ) k f (k) () k! k= M (b )n n! vec M = sup f (n) [,b] Formule de Tylor-Young (b ) k f (b) = f (k) () + o((b ) n ) k! k= D près l formule de Tylor-Young, toute fonction de clsse n dmet un développement limité à l ordre n, les coefficients du développement limité sont les coefficients de Tylor. L réciproque est fusse comme le montre l eemple suivnt! - 9 -

20 ANNEXE C. RÉVISIONS D ANALYSE Eemple f : 3 sin si et f () = n est ps deu fois dérivbles et pourtnt, f () = o( ). Eercice 5 Retrouver les résultts suivnts à l ide de l formule de Tylor-Young. e k = k! + o( n ) = + +! + 3 3! + + n n! + o( n ) k= cos = ( ) k k (k)! + o( n ) =! + 4 n + + ( )n 4! (n)! + o( n ) k= sin = ( ) k k+ (k + )! + o( n+ ) = 3 3! + 5 5! + n+ ( )n (n + )! + o( n+ ) k= De même, en dérivnt k fois ( + ) α, ( + ) α α(α ) (α k + ) = + k + o( n ) k! k= α(α ) = + α + α(α ) (α n + ) + + n + o( n ) n! Vleurs prticulières : α =, α. Pour α, les termes sont nuls à prtir d un certin rng. Est-ce norml? B Opértions sur les développements limités Pr souci de simplicité, les clculs de développements limités évoqués ici se font u voisinge de mis il fut grder en tête que si f dmet un développement limité à l ordre n u voisinge de, on : f () = k ( ) k + o(( ) n ) k= Proposition C.34 : Somme de DL On suppose que f () = P() + o( n ) et g() = Q() + o( n ) vec P,Q n [X ]. Alors (f + g)() = P() + Q() + o( n ). Proposition C.35 : Produit de DL On suppose que f () = P() + o( n ) et g() = Q() + o( n ) vec P,Q n [X ]. En notnt R le polynôme correspondnt u termes de degré u plus n du produit PQ, on : (f g)() = R() + o( n ). Il en v de même pour l composée de deu fonctions. Le développement limité est obtenu en etrynt les termes de degré u plus n du polynôme P Q. Pour clculer le développement limité d un quotient, on chercher à fire pprître près simplifiction une epression f du type ± u vec u(), que l on verr comme un produit de deu fonctions. Eercice 6 Quel est le développement limité à l ordre en de : cos ; + sin ; e + cos? cos() = + o( ) et = o( ) Donc, cos = + o( ) o( ) = o( ) - -

21 Mickël PROST Lycée Chptl PT* En développnt, on n conservé que les termes de degré. Comme + u = u + u u 8 + o(u) et que sin() = + o( ), en posnt u = sin(), + sin() = o( ) Tout d bord, e + cos() = + + o( ) + o( ) = + + o( ). Ainsi, e + cos = + + o( ) = + + o( ) Comme + o( ), on peut lors utiliser le fit que + u = u + u u + o(u ) pour obtenir : e + cos = o( ) Proposition C.36 : Intégrtion terme à terme d un DL On suppose qu u voisinge de, f () = n n + o( n ). On note F une primitive de f. F dmet un développement limité à l ordre n + u voisinge de et on : F() = F() n n + n+ + o( n+ ) Ne ps oublier de rjouter l constnte F() ou de mnière générle F( ) en intégrnt terme à terme sinon le résultt est incorrect. Eercice 7 Déterminer le développement limité à l ordre n en de ln( + ) et rctn. Posons f () = ln( + ). On f () = + = ( ) = ( ) n n + o( n ). Et donc en intégrnt terme à terme, ln( + ) = f () + }{{} ( )n n + o( n ( ) k+ ) = k + o( n ). n k k= = Eercice 8 Déterminer le développement limité à l ordre n + en de rctn. Posons g() = rctn(). On trouve : Et donc en intégrnt terme à terme, g () = + = ( ) = ( ) n n + o( n ) rctn() = g() + 3 }{{} ( )n n+ + o( n+ ( ) k ) = n + k + k+ + o( n+ ). k= = Eercice 9 Déterminer le développement limité à l ordre 3 en de tn. tn est de clsse sur π, π. Elle dmet donc un DL3 (). Comme elle est de plus impire, tn = + b 3 + o( 3 ). Enfin, tn = + tn donc on trouve : Pr identifiction, on trouve = et b = 3 tn () = + 3b + o( ) = + + o( ) = + tn () donc tn = o(3 ). - -

22 ANNEXE C. RÉVISIONS D ANALYSE Les développements limités permettent entre utres de clculer des limites, de rechercher des équivlents et d étudier loclement des fonctions. Eercice Soit f : Étudier les brnches infinies de l courbe représenttive de f Représenttion de En effectunt un développement symptotique de f u voisinge de + à l ide d une division euclidienne, on trouve : f () = ( + 3)( ) + 6 = = o }{{} + On en déduit que l droite d éqution y = est symptote à l courbe représenttive de f. En effet, f () ( ). De plus, u voisinge de + +, l courbe ser u-dessus de son symptote cr : f () ( ) = 6 + o 6, c est-à-dire f () ( ) + > On pourr fire l comprison vec l technique consistnt à clculer f () lim puis lim f () + + Attention, un développement limité, tout comme un équivlent, permet d étudier le comportement locl d une fonction u voisinge d un point. Dns l eemple précédent, pour obtenir l position reltive de l courbe pr rpport à son symptote dns le pln entier et ps seulement u voisinge de +, il est nécessire d étudier le signe sur de l quntité f () ( ). C Synthèse des développements limités usuels à connître DL n () e k = k! + o( n ) e = + +! + 3 3! + + n n! + o( n ) k= DL n () cos = ( ) k k (k)! + o( n ) cos =! + 4 n + + ( )n 4! (n)! + o( n ) k= DL n+ () sin = ( ) k k+ (k + )! + o( n+ ) sin = 3 3! + 5 5! + n+ ( )n (n + )! + o( n+ ) k= k DL n () ch = (k)! + o( n ) ch = +! + 4 4! + + n (n)! + o( n ) k= k+ DL n+ () sh = (k + )! + o( n+ ) sh = + 3 3! + 5 5! + n+ (n + )! + o( n+ ) k= DL n () = k + o( n ) = n + o( n ) DL n () + = k= ( ) k k + o( n ) k= DL n () ln( + ) = ( ) k+ k k= DL n () ( + ) α = + DL () k= k + o( n ) ln( + ) = + = ( ) n n + o( n ) α(α ) (α k + ) k + o( n ) ( + ) α = + α + + k! DL 4 () tn = ( )n+ n + = o( ) 3 + o( 4 ) n + o( n ) α(α ) (α n + ) n + o( n ) n!. Vous l urez peut-être compris, c est l grnde différence entre l formule de Tylor-Young et de Tylor vec reste intégrl. Cette dernière est bien plus intéressnte! - -

23 Mickël PROST Lycée Chptl PT* V Intégrtion sur un segment A Définitions et propriétés Définition C.37 Une fonction f est dite en esclier sur [, b] s il eiste une subdivision (,..., n ) de [, b] et n réels λ,..., λ n tels que : k, n ] k, k+ [ f () = λ k. On ppelle intégrle de f le réel n f = ( k+ k )λ k, indépendnt de l subdivision choisie. k= Eemple On considère l fonction f définie sur le segment [, 6] pr : f est en esclier et f () = si < f () = si < f () = 3 si 4 f () = si 4 < 6 6 f () d = =. 4 3 y Représenttion d une fonction en esclier Ainsi définie, l intégrle de f correspond à l ire lgébrique du domine situé entre l courbe et l e des bscisses. On générlise, non sns ml, l notion d intégrle à toute fonction continue sur le segment [, b] en pprochnt de telles fonctions pr des fonctions en esclier. Nous ne reviendrons ps sur ce résultt. Théorème C.38 Une fonction continue sur un segment est intégrble sur ce segment. Ce théorème fondmentl est trop souvent méconnu des cndidts. Avnt tout clcul d intégrle, on chercher à montrer l eistence de celle-ci en justifint l continuité de l fonction considérée sur le segment d intégrtion. L interpréttion en termes d ire reste identique dns le cs d une fonction continue On remrquer que f ne dépend ps des vleurs que prend l fonction f en et b. Plus générlement, si deu fonctions prennent les mêmes vleurs suf en un nombre fini de points, les intégrles sont identiques. Quelques propriétés de l intégrle : (f, g sons supposées continues sur [, b] et λ ) Linérité : (λ f + g) = λ f + g. c Reltion de Chsles : f = f + f pour c [, b]. c - 3 -

24 ANNEXE C. RÉVISIONS D ANALYSE Positivité : f = f. Croissnce : f g = Inéglité tringulire : f f g. f. Attention, on supposé < b. Si f est positive et b < lors : f () d = On essier d interpréter toutes ces propriétés grphiquement. Théorème C.39 Soit f une fonction positive et continue sur [, b]. b f () d f = f est identiquement nulle sur [, b]. Chque hypothèse de ce théorème est indispensble comme le montre les deu eemples suivnts : π π EXEMPLE : f : sin() EXEMPLE : g : si si = On bien π π B Primitives f () d = et Définition C.4 : Primitive g() d = bien qu ucune des fonctions f et g ne soit nulle. On ppelle primitive d une fonction continue f sur un intervlle I, toute fonction F dérivble sur I vérifint F = f, c est-à-dire : I F () = f () Proposition C.4 Toutes les primitives d une fonction sur un intervlle sont égles à une constnte près. Démonstrtion Soient F et G deu primitives d une même fonction f sur un intervlle I. Comme (F G) = F G = f f =, l fonction F G est constnte sur l intervlle I et F = G + λ. Il suffit donc de connître une primitive d une fonction f pour toutes les voir. Cette proposition montre églement que si une fonction f dmet une primitive, lors il en eiste une infinité. On prler donc d une primitive de f, et jmis de l primitive de f. Il est mintennt temps de fire le lien entre deu notions priori complètement distinctes : l intégrle d une fonction sur un segment que l on interprétée comme une ire et l notion de primitive

25 Mickël PROST Lycée Chptl PT* Théorème C.4 : Théorème fondmentl de l nlyse Soit f : I continue sur I et I. (i) f (t) dt est l unique primitive de f qui s nnule en. (ii) Si G est une primitive de f sur I, f (t) dt = G() G(). L ssertion (i) montre que toute fonction continue dmet une primitive sur un intervlle donné lors que l ssertion (ii) montre que l on peut clculer une intégrle à l ide d une primitive. Démonstrtion (non eigible) Considérons l fonction F : f (t) dt. Remrquons que cette fonction est bien définie sur I puisque pour I, l fonction f étnt continue sur le segment [, ] (ou [, ]), l intégrle f (t) dt eiste. Montrons que cette fonction F est dérivble et que F = f. Pour cel considérons I et montrons que F() F( ) f ( ). Soit ɛ >. Comme f est continue, il eiste α > tel que : I < α = f () f ( ) < ɛ Donc pour tout ] α, + α[ \ { }, F() F( ) f ( ) = f (t) dt f (t) dt f ( ) = f (t) dt f ( ) (reltion de Chsles) = f (t) dt ( )f ( ) = f (t) dt f ( ) dt = (f (t) f ( )) dt f (t) f ( ) dt si > (inéglité de l moyenne) f (t) f ( ) dt si < ɛ dt = ɛ = ɛ cr t ] α, + α[ L inéglité précédente étnt vrie quel que soit ɛ >, F est bien dérivble et F ( ) = f ( ). Remrquons ensuite que F() = f (t) dt =. Soit G est une primitive de f sur I. D près ce qui précède, F et G sont égles à une constntes près : λ I f (t) dt = G() + λ En évlunt l églité en, on trouve λ = G(). Ainsi, t= f (t) dt = G(t) = G() G() t= - 5 -

26 ANNEXE C. RÉVISIONS D ANALYSE Eercice De quelle fonction 3 ep(t) sin(t) dt est-elle l primitive? 3 Remrquons d bord que g : ep(t) sin(t) dt est définie sur cr f : t ep(t) sin(t) est continue sur tout segment de l forme [, 3] donc intégrble. De plus, pour tout, 3 g() = ep(t) sin(t) dt ep(t) sin(t) dt = F(3) F() où F est une primitive de f sur, et même l unique primitive de f qui s nnule en d près le théorème précédent. Ainsi, g est dérivble comme somme de fonctions dérivbles et on : g () = 3 f (3) f () = 3 ep(3) sin(3) ep() sin() On urit pu églement clculer directement l intégrle vnt de dériver mis c est inutilement compliqué. C Recherche de primitives et clcul d intégrles Avnt de clculer une primitive, on commence pr justifier son eistence en précisnt que l fonction est continue sur l intervlle considéré. Il eiste de nombreuses fçons de clculer des primitives. Voici trois méthodes fondmentles, d utres techniques seront vues en sénce de trvu dirigés. Reconnissnce de formes usuelles L méthode l plus simple à mettre en œuvre, à vous d voir l œil! Fonction f f f f α (α ) f f Primitive (à une constnte près) f f α+ α + ln f f ep(f ) ep(f ) f sin(f ) cos(f ) f + f rctn(f ) Eercice Clculer I = 3 3e + d I eiste cr l fonction 3e + est continue sur le segment [, 3]. De plus, 3 I = 3e + d = 3 3 e + d = 3 e 3 + = 3 e e On vérifie u pssge que I est un nombre positif, comme ttendu : on intégrit une fonction positive sur le segment [, 3]. Eercice 3 Déterminer une primitive de tn sur un intervlle à préciser. L fonction tn est continue sur l intervlle π, π donc dmet une primitive sur cet intervlle. De plus, tn = sin donc tn est de l forme cos u u vec u = cos. Ainsi, les primitives de tn sont les fonctions ln cos()

27 Mickël PROST Lycée Chptl PT* Intégrtion pr prties Théorème C.43 Si f et g sont de clsse sur [, b] lors : b t=b f (t)g(t) dt = f (t)g(t) f (t)g (t) dt t= Démonstrtion Tout d bord, les fonctions f et g étnt de clsse, l fonction (f g) est continue sur le segment [, b] donc intégrble. De plus, comme (f g) = f g + f g, t=b (f g) (t) dt = f (t)g(t) t= = (pr intégrtion directe) (f (t)g(t) + f (t)g (t)) dt = f (t)g(t) dt + f (t)g (t) dt Eemples Déterminer une primitive de ln sur + et de rctn sur. Les deu fonctions considérées sont continues sur respectivement + et, elles dmettent donc des primitives sur chcun de ces intervlles. De plus, les fonctions considérées sont de clsse, on peut ppliquer une intégrtion pr prties : Pour tout >, Donc ln() est une primitive de ln. Pour tout, rctn(t) dt = t rctn(t) f (t)= g(t)=rctn(t) ln(t) dt = t ln(t) dt = ln() + f (t)= g(t)=ln(t) Donc rctn() + ln + est une primitive de rctn. t + t dt = rctn() t + t dt = rctn() ln + t = rctn() + ln + Chngement de vrible Théorème C.44 Si f : J est continue et ϕ : [, b] J de clsse lors : ϕ(b) ϕ() f (t) dt = f (ϕ(u))ϕ (u) du Démonstrtion Tout d bord, les fonctions f et f ϕ ϕ sont continues sur le segment [, b] donc intégrbles. De plus, en notnt F une primitive de f, (F ϕ) = ϕ (f ϕ). Ainsi, f (ϕ(u))ϕ (u) du = u=b ϕ(b) t=ϕ(b) (F ϕ) (u) du = F(ϕ(u)) = F(ϕ(b)) F(ϕ()) = F(t) = f (t) dt u= t=ϕ() ϕ() - 7 -

28 ANNEXE C. RÉVISIONS D ANALYSE Eercice 4 Clculer I = d. L fonction est continue sur le segment [, ] donc intégrble. En posnt = sin(t), chngement de vrible de clsse sur, π, on obtient : Comme cos(t) sur I =, π, π d = sin (t) cos(t) dt = d=cos(t) dt I = π cos (t) dt = π ( + cos(t)) dt = π t + sin(t) cos(t) cos(t) dt π = π 4. Eercice 5 Clculer J = L fonction π/4 ln( + tn ) cos ln( + tn ) cos d. est continue sur le segment [, π/4] comme quotient de fonctions continues dont le dénominteur ne s nnule ps ; elle y est donc intégrble. Posons lors u = + tn(), chngement de vribles de clsse sur l intervlle considéré. Comme du = J = π/4 ln( + tn ) cos d = ln(u) du = u ln(u) u = ln(). d cos (), N oubliez ps de chnger les bornes de l intégrle lors d un chngement de vrible! Corollire C.45 Soit f une fonction continue sur et, b (i) Si f est pire, f = f. (ii) Si f est impire, f =. +T (iii) Si f est T-périodique, f = f. +T Avnt toute démonstrtion, il est nécessire de visuliser ces propriétés à l ide d une petite illustrtion 3. Démonstrtion L fonction f étnt continue sur [, ], [, b] et [ + T, b + T], les qutres intégrles sont bien définies. (i) (ii) (iii) f (t) dt = f (t) dt + f (t) dt = f (t) dt + +T +T f (t) dt = f (t) dt = u= t f (t) dt = u= t f (u + T) du = f périodique f ( u) du + f ( u) du + f (t) dt = f pire f (t) dt = f impire f (u) du en posnt u = t T. f (u) du + f (t) dt = f (t) dt f (u) du + f (t) dt = D Clcul pproché d intégrles On suppose f : [, b] de clsse sur [, b]. Il n est ps toujours possible de clculer eplicitement et on cherche ici à développer une méthode permettnt d en clculer une vleur pprochée. f () d 3. À vos cryons! - 8 -

29 Mickël PROST Lycée Chptl PT* Approimtion pr une fonction constnte Une première idée consiste à pprocher f pr l vleur qu elle prend en un point de l intervlle [, b], pr eemple f () : f () d f () d = f ()(b ) 8 6 f () L ire sous l courbe est pprochée pr l ire d un rectngle vec = et b = On voit bien que l pproimtion est reltivement grossière mis comment mjorer l erreur commise? b b f () d f () d = (f () f ()) d f () f () d cr b }{{}}{{} vleur ecte vleur pprochée Comme f est continue sur [, b], f est mjorée pr M (toute fonction continue sur un segment est bornée). Donc, d près l inéglité des ccroissements finis, b f () d f () d f () f () d M d = M ( ) d = M (b ) Méthode des rectngles Pour obtenir une meilleure pproimtion, on peut découper le segment [, b] en n sous-segments et pprocher f pr une constnte sur chcun de ces intervlles comme le montrent les figures suivntes Approimtion pour n = Approimtion pour n = Approimtion pour n = Intuitivement, pour n très grnd, l vleur obtenue ser proche de l vleur ecte. Il reste à justifier ce résultt! Le segment [, b] est de longueur b. Si on le découpe en n sous-segment de même longueur, ces sous-segments seront de longueur b n. Le premier sous-segment ser, + b n, le deuième + b n, + b n et insi de suite... Ils seront plus générlement de l forme [ i, i+ ] vec i = + i b n. On remrquer d illeurs que n = + n b n = b. Sur chque segment [ i, i+ ], on pproche f pr f ( i ). L ire du rectngle obtenu est lors f ( i ) b n selon l formule bien connue «huteur longueur». L ire totle, c est-à-dire l somme des ires des n rectngles vut lors : n S n = i= ( i+ i )f ( i ) = b n n i= n f ( i ) = i= i+ i f ( i ) dt Quelle est l erreur d pproimtion commise? Pour mjorer cette erreur, on v sommer les erreurs d pproimtion pour chcun des rectngles, c est-à-dire : i+ i+ i, n f (t) dt f ( i ) dt M ( i+ i ) = M b, n i i - 9 -

30 ANNEXE C. RÉVISIONS D ANALYSE comme nous l vons vu u prgrphe précédent. De plus, comme On vient donc de montrer que S n n + n f (t) dt S n = i= n i= n = i= i+ i i+ M i b f (t) dt f (t) dt n n f (t) dt = i+ i i+ i i= f ( i ) dt f ( i ) dt i+ = M (b ) n. n + i f (t) dt, on obtient : f (t) dt. Cette méthode, dite des rectngles, converge en n. Le résultt est encore vri pour f simplement continue (et ps seulement de clsse ). (dmis) Théorème C.46 : Sommes de Riemnn Soit f une fonction de clsse (et même seulement continue) sur [, b]. Alors, S n = b n n i= f + i b n f (t) dt n + Pour = et b =, on trouve : n f n k= k f (t) dt n n + Eercice 6 Clculer lim n + k= n + k. n + k = n k= k= + k n = f n k= k vec f :. Comme f est continue, d près le théorème des sommes de Riemnn, n + lim n + n + k = d k= + = ln + = ln() VI Équtions différentielles On ne s intéresser ici qu u équtions différentielles linéires d ordre et d ordre. A Équtions différentielles linéires d ordre On considère l éqution différentielle linéire d ordre suivnte et l éqution homogène ssociés : (t)y + b(t)y = c(t) (t)y + b(t)y = Elle est dite résolue lorsqu elle est sous l forme y + b(t)y = c(t). On suppose que, b, c : I sont continues sur un intervlle I de. Théorème C.47 : Problème de Cuchy Si ne s nnule ps sur l intervlle I, le problème de Cuchy (t)y + b(t)y = c(t) y(t ) = y dmet une unique solution sur I. (E) (H) - 3 -