Fiche Équations différentielles d ordre 1

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1 Fiche Équations différentielles d ordre 1 MOSE Novembre 2014 Table des matières Définitions 1 Résolution de l équation homogène. 2 Méthode de variation de la constante. 3 Structure de l ensemble des solutions. 4 Solutions particulières pour l équation à coefficients constants 5 Second membre polynômial Second membre exponentiel Second membre trigonométrique Définitions Une équation différentielle linéaire du premier ordre se présente sous la forme α (x) y (x) + β (x) y (x) = f (x) (1) où α (x) et β (x) sont deux fonctions continues définies sur un intervalle non vide I R, appelées coefficients de l équation (1) et une fonction f (x) continue sur I, appelée second membre de l équation. On supposera toujours que le coefficient α (x) ne s annule pas sur l intervalle I. Exemples : Les équations suivantes sont autant d équations différentielles linéaires du premier ordre 1. y (x) 3y (x) = sin (x) 2 cos (4x) 2. x 2 y (x) (x + 1) y (x) = x exp (x) 3. cos (x) y (x) + sin (x) y (x) = y (x) + x 2 y (x) = 3x 2 1 Dans ces exemples, les coefficients et les seconds membres sont des fonctions continues et définies sur R tout entier, mais pour que la condition de non nullité du coefficient α (x) soit réalisée, il faut se limiter à un intervalle convenable. Ici on aura I = R pour les exemples 1. et 4., et I = ], 0[ ou I = ]0, + [ pour l exemple 2, enfin I = ] π 2 + kπ, π 2 + kπ[ pour l exemple 3, avec k Z. Solutions : Résoudre l équation (1) consiste à trouver toutes les fonctions dérivables y (x) définies sur I qui vérifient la relation (1) en tout point de I. Ces fonctions s appellent solutions de cette équation sur l intervalle I.

2 Linéarité : On constate que la partie gauche de l équation est une combinaison linéaire de la fonction inconnue y (x) et de sa dérivée première y (x), c est la raison pour laquelle on dit qu il s agit d une équation linéaire. Les coefficients α (x) et β (x) de cette combinaison linéaire dépendent du point x, on parle donc d équation à coefficients variables. Lorsqu α et β sont deux constantes, on dit que l équation est à coefficients constants. Attention. Il existe aussi des équations différentielles non-linéaires, telles que 1. y (x) + 2y 3 (x) = x 2. y (x) sin (y (x)) = 2 3. y 2 (x) + y 2 (x) = 1 Ce cours n aborde pas du tout la résolution de ces équations non-linéaires. Voyez vous en quoi elles diffèrent de la forme (1) indiquée plus haut? Forme normalisée : fonction de y, à savoir où on a posé Puisque le coefficient α ne s annule pas, on peut tirer de (1) l expression de y en y (x) = a (x) y (x) + b (x) (2) a (x) = β (x) α (x) et b (x) = f (x) α (x) Ce sont deux fonctions de x continues sur l intervalle I. Dans la suite, on suppose que l équation a été mise sous la forme normalisée (2). Dans le cas des exemples indiqués plus haut, l équation devient dans chaque cas 1. y (x) = 3y (x) + sin (x) 2 cos (4x) 2. y (x) = ( 1 x + 1 x 2 ) y (x) + e x x 3. y (x) = tan (x) y (x) 1 cos(x) 4. y (x) = x2 2 y (x) x2 1 2 Équation homogène : Par définition, l équation homogène associée à l équation (2) est l équation sans second membre (ou avec second membre nul) : Résolution de l équation homogène. y (x) = a (x) y (x) (3) Soit y (x) une solution de l équation homogène (3) et soit A (x) une primitive de la fonction continue a (x) sur l intervalle I. Posons z (x) = y (x) e A(x). On peut alors calculer ( z (x) = y (x) e A(x) ) = y (x) e A(x) A (x) y (x) e A(x) = (y (x) a (x) y (x)) e A(x) = 0 La fonction z (x) est de dérivée nulle sur I, donc c est une constante C, et il en résulte que On en déduit le y (x) = z (x) e A(x) = Ce A(x) Toute solution de l équation homogène (3) est de la forme y (x) = Ce A(x) (4) où A (x) est une primitive de la fonction a (x) sur l intervalle I et C est une constante réelle quelconque. 2

3 On dit que l expression (4) est la solution générale de (3). On peut remarquer qu une solution de (3) ne peut s annuler que si la constante C est nulle, autrement dit la seule solution de l équation homogène qui s annule en un point de l intervalle I est la fonction nulle. Exemple 1. L équation homogène a pour solution générale y (x) = 4y (x) y (x) = Ce 4x, C R En effet dans ce cas, on a a (x) = 4 = A (x) = a (x) dx = 4 dx = 4x Exemple 2. L équation homogène y (x) = ( 2x + 3 ) y (x) x a pour solution générale En effet, on a a (x) = 2x + 3 x y (x) = C x 3 exp ( x 2), = A (x) = C R ( 2x + 3 ) dx = x 2 + 3ln x x donc y (x) = Ce x2 +3ln x = Ce x2 e 3ln x = Ce x2 x 3 On remarque qu en primitivant a (x) pour trouver A (x), il n est pas utile ici d ajouter une constante d intégration : n importe qu elle primitive de a (x) convient. Méthode de variation de la constante. Cette méthode consiste à chercher une solution de l équation avec second membre en s aidant de la forme de la solution de l équation sans second membre. Plus précisément, on cherche une solution de (2) qui soit de la forme y (x) = C (x) e A(x) où A (x) est toujours une primitive de a (x), mais C (x) est une nouvelle fonction inconnue au lieu d être une constante réelle comme dans la solution de l équation homogène. Le calcul montre alors que y (x) = a (x) y (x) + C (x) e A(x) et pour que y satisfasse (2), il faut et il suffit donc que C (x) = b (x) e A(x). Il en résulte le théorème suivant : Toute solution de l équation inhomogène (2) est de la forme y (x) = C (x) e A(x) (5) où A (x) est une primitive de la fonction a (x) sur l intervalle I et C (x) est une primitive quelconque définie à une constante additive près de b (x) e A(x). C est à dire que 3

4 C (x) = b (x) e A(x) dx Exemple 1. On a ici On en déduit donc donc et Soit l équation a (x) = y (x) = A (x) = 2x 1 + x 2 y (x) + x3 (6) 2x 1 + x 2 et b (x) = x 3 2x 1 + x 2 dx = ln ( 1 + x 2) e A(x) = e ln(1+x2 ) = ( 1 + x 2 ) 1 = x 2 C (x) = b (x) e A(x) dx = e A(x) = 1 = 1 + x2 ea(x) x 3 ( 1 + x 2) dx = x4 4 + x6 6 + C 0 ou C 0 est une constante d intégration arbitraire. On en déduit la solution générale de l équation (6) ( ) x y (x) = C (x) e A(x) 4 = 4 + x C x 2 On remarquera que dans le calcul de C (x), il faut ajouter une constante d intégration C 0 pour obtenir toutes les solutions de (2), sinon on n obtient qu une solution, ce qu on appelle une solution particulière dans la terminologie de la théorie des équations différentielles. Le terme C0 1+x ci dessus est lui même une solution de 2 l équation homogène associée à (6). C est un fait général, comme le souligne le paragraphe suivant. Structure de l ensemble des solutions. On a le théorème suivant concernant les solutions de l équation (2) 1. Si y p (x) est une solution particulière de (2), la solution générale s obtient en ajoutant à y p (x) un terme C 0 e A(x) qui est solution de l équation homogène, où C 0 est une constante réelle quelconque. 2. Les courbes représentatives des solutions de (2) sur l intervalle I forme une famille de courbes qui ne se coupent pas. 3. Si on se donne un point x 0 I et une valeur u R, il existe exactement une de ces courbes qui passe par le point (x 0, u) du plan. C est la courbe d une unique solution de l équation (2) vérifiant y (x 0 ) = u. 4

5 Problème de Cauchy : Le problème de trouver une solution de (2) qui vérifie la condition y (x 0 ) = u s appelle problème de Cauchy pour l équation (2), ou problème aux données initiales. Le théorème précédent affirme qu il y a exactement une solution pour ce problème. Cette solution s obtient le plus souvent en déterminant la solution générale de (2) et en utilisant la donnée initiale pour déterminer la constante C 0. Exemple : Soit à déterminer la solution du problème de Cauchy suivant { y (x) = 2 y (x) + x2 x y (1) = 3 On vérifie facilement que cette équation différentielle admet la solution particulière y p (x) = x3 5 (7) (8) En effet, ceci entraine y p (x) + 2y p (x) /x = 3x 2 /5 + 2x 2 /5 = x 2 On a ici a (x) = 2 x = A (x) = 2ln x = e A(x) = e 2ln x = x 2 = 1 x 2 La solution générale de l équation s obtient en ajoutant à la solution particulière la solution générale de l équation homogène, c est à dire que y (x) = x3 5 + C 1 0 x 2 C 0 R Pour trouver l unique solution du problème de Cauchy, on prend maintenant en compte la donnée au point x = 1, c est à dire Il en résulte la valeur de c 0 3 = y (1) = C C 0 = = 14 5 et l unique solution est donc y (x) = x x 2 On peut se demander comment on a trouvé la solution particulière (8). On a parfois la chance d intuiter une solution particulière mais la méthode générale pour en obtenir une reste la variation de la constante. Il y a quand même des types d équations pour lesquelles on connait a priori la forme d une solution particulière. C est l objet du paragraphe suivant. Solutions particulières pour l équation à coefficients constants Lorsque le coefficient a est une constante (on a alors A (x) = ax), on peut faire un catalogue de solutions particulières pour certains second membres. Second membre polynômial Si P n (x) est un polynôme de degré n et si a R, l équation y (x) = ay (x) + P n (x) 5

6 où Q n (x) est un polynôme de degré n. { Qn (x) si a 0 y (x) = xq n (x) si a = 0 Exemple L équation y (x) = 10y (x) + x 2 3x + 1 (9) admet une solution particulière qui est un polynôme de degré 2. Pour le trouver, on écrit la forme de la solution on calcule la dérivée y (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 y (x) = a 1 + 2a 2 x et on substitue ces valeurs dans l équation (9). Cela donne a 1 + 2a 2 x = 10 ( a 0 + a 1 x + a 2 x 2) + x 2 3x + 1 On identifie ensuite les termes en x 2 ou x et les termes constants à gauche et à droite de cette relation. Cela donne 0 = 10a a 2 = 10a 1 3 a 1 = 10a Ce système se résout simplement, la première relation donne a 2, ensuite la seconde donne a 1 et la dernière donne alors a 0. Concrètement, a 2 = 1/10 a 1 = (2a 2 + 3) /10 = 28/100 = 7/25 a 0 = (a 1 1) /10 = 72/1000 = 9/125 La solution particulière polynômiale est donc y p (x) = x 1 10 x2 La solution générale de (9) s obtient en rajoutant la solution de l équation homogène, donc Second membre exponentiel Si a, k, λ R, l équation y (x) = x 1 10 x2 + C 0 e 10x, C 0 R y (x) = ay (x) + λe kx où µ R. y (x) = { µe kx si a k µxe kx si a = k 6

7 Exemple L équation y (x) = 7y (x) + 3e 4x (10) Pour la trouver, on calcule y p (x) = µe 4x y p (x) = 4µe 4x et on substitue ces valeurs dans (10). Cela donne 4µe 4x = 7µe 4x + 3e 4x On peut tout diviser par e 4x qui est non nul, et il reste 4µ = 7µ + 3 Il en résulte que µ = 3/11 et la solution particulière cherchée est alors La solution générale de l équation est donc Second membre trigonométrique Si a, I, J, ω R, l équation y p (x) = 3 11 e4x y (x) = 3 11 e4x + C 0 e 7x C 0 R y (x) = ay (x) + I cos (ωx) + J sin (ωx) où K, L R. y (x) = K cos (ωx) + L sin (ωx) Exemple L équation y (x) = 3y (x) 7 sin (4x) (11) Pour la trouver, on calcule y p (x) = K cos (4x) + L sin (4x) y p (x) = 4K sin (4x) + 4L cos (4x) On substitue dans l équation (11), ce qui donne 4K sin (4x) + 4L cos (4x) = 3 (K cos (4x) + L sin (4x)) 7 sin (4x) On identifie les coefficients du sinus à gauche avec les coefficients du sinus à droite, et de même pour le cosinus. Il en résulte un système de deux équations aux deux inconnues K et L { 4K = 3L 7 4L = 3K D où la solution particulière { 4K 3L = 7 3K +4L = 0 { K = 28/25 L = 21/25 7

8 et la solution générale y p (x) = cos (4x) + sin (4x) y (x) = cos (4x) sin (4x) + C 0e 3x C 0 R 8