Z = 1 4i. z = On multiplie par le conjugué du dénominateur S = 5. = b + i. z 2 = z 1. 2 = 3 i 2. = 6 + 2i 4. { 3 + i. 2 ; 3 i }

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1 Nom : DS Préom : Devoir o 7 Mars 6.../... Le soi et la rédactio serot pris e compte das la otatio. Faites des phrases claires et précises. Le barème est approximatif. La calculatrice est autorisée. Exercice Nombres complexes :.5 pt O doe Z ( 4i), calculer Z. Z ( 4i) + 4i + 4i doc 4,5 poits Z 4i pt Résoudre das das l esembles des ombres complexes C l équatio : ( + i)z 9 + i ( + i)z 9 + i z 9 + i + i (9 + i)( i) z O multiplie par le cojugué du déomiateur ( + i)( i) 9 8i + i + 4 z + i et zz x + y 6i z 5 { } 6i S 5 pt Résoudre das l esembles des ombres complexes C l équatio : z 6z + 5 C est ueéquatio du secod degré, o calcule <, doc l équatio a deux racies complexes cojuguées. z b + i a 6 + i 4 + i z z { + i S ; i } i pts 4 A et B ot pour affixes respectives et + i. Détermier puis costruire les esembles Γ et Γ, esemble des poits M dot l affixe z satisfait les coditios suivates : a. z z ( + i) M Γ z z ( + i) z M z A z M z B AM BM M est équidistat de A et B

2 L esemble Γ est doc la médiatrice de [AB]. b. z ( + i) M Γ z ( + i) z M z B BM L esemble Γ est doc le cercle de cetre B de rayo. Exercice poits Ue variable aléatoire X pred ses valeurs das [;4]. O veut modéliser la situatio e utilisat ue loi ( o uiforme) ayat pour desité la foctio f défiie sur [;4] par f (x) αx où α est u réel fixé. pt Justifier que ceci est possible qu avec u seul réel α possible que l o détermiera. O remarque déjà que la foctio f est défiie cotiue positive si α > sur [;4]. Pour que f soit la desité d ue loi de probabilité il faut de plus 4 f (x) d x 4 4 f (x) d x αx d x [ ] 4 α x α [ ] x 4 α ( 4 ) α ( 64 ) α α f est la esité d ue loi de probabilité sur [;4] ssi α. pts O predra α. Détermier les probabilités suivates : a. p( < X < ) b. p(x < ) p( < X < ) f (x) d x α [ x αx d x ] ) α ( p( < X < ) 9 6

3 p(x < ) f (x) d x α [ x αx d x ] α ( 8 ) 7 9 p(x < ) 9 c. p(x >,95) 4 p(x >,95),95 4 f (x) d x αx d x,95 ] 4,95 α [ x α ( 64,95,75,8 p(x >,95),8 ) Exercice 4 poits Le laboratoire de physique d u lycée dispose d u parc d oscilloscopes idetiques. La durée de vie e aées d u oscilloscope est ue variable aléatoire X qui suit la loi expoetielle de paramètre λ,5. pt Calculer la probabilité qu u oscilloscope du modèle étudié ait ue durée de vie iférieure à 6 mois. X suit la loi expoetielle de paramètre λ dot la desité est f (t) λe λ.t. O veut ici p(x.5), e effet 6 mois,5 aée..5 p(x.5) f (t) d t.5 λe λ.t d t [ e λ.t].5 e,5,5 ( e ) e,65 p(x.5) e,65,6,la probabilité qu u oscilloscope du modèle étudié ait ue durée de vie iférieure à 6 mois est eviro,6..5 pt Sachat qu u appareil a déjà foctioé huit aées, quelle est la probabilité qu il ait ue durée de vie supérieure à as? O veut ici calculer la probabilité coditioelle p X 8 (X ). Deux méthodes sot possibles : Calcul direct utilisat la défiitio des probabilités coditioelles. p(a B) p A (B) p(b)

4 O calcule alors p(x t) p ((X 8) (X )) p X 8 (X ) p((x )) p (X ) p (X 8) p(x t) p(x < t) p(x t) t λe λ.x d x [ e λ.x] t ( e,5 t ( e ) ) e,5t p (X ) p X 8 (X ) p (X 8) e,5 e,5 8 e,5 +,5 8 e,5 e,5 car (X ) (X 8) O utilise le fait que les lois expoetielles sot des lois de durée de vie sas vieillissemet : p X 8 (X ) p X 8 (X 8 + ) p(x ) e,5 e,5 Sachat qu u appareil a déjà foctioé huit aées, quelle est la probabilité qu il ait ue durée de vie supérieure à as est e,5,78.5 pt O cosidère que la durée de vie d u oscilloscope est idépedate de celle des autres appareils. Le resposable du laboratoire décide de commader 5 oscilloscopes. Quelle est la probabilité qu au mois u oscilloscope ait ue durée de vie supérieure à as? O répète 5 fois, de faço idépedate,l expériece «Le resposable du laboratoire décide de commader u oscilloscope»qui comporte issues : «L oscilloscope a ue durée de vie supérieure à as.»cosidéré comme succès, de probabilité p p(x ) e,5 e,5 «L oscilloscope a ue durée de vie iférieure à as.»cosidéré comme échec, de probabilité q p e,5 Nous sommes doc e présece d u schéma de Beroulli et la variable aléatoire N preat pour valeurs le ombre de succès obteus suit la loi biomiale de paramètres 5 et e,5 otée B(5;e,5 ). Pour tout etier k où k 5, o a P (N k) ( ) 5 ( e,5) k ( ) e,5 5 k k O veut ici calculer p(n ) p(n ) ( 5) ( ) e,5 ( ) e,5 5 ( ) e,5 5,994 O est doc à peu près certai d avoir ecore u oscilloscope e bo état de foctioemet au bout de as! 4

5 Exercice 4 Soit (u ), N la suite défiie par u pt Motrer que (u ) est croissate. e x dx. 4 poits + u + u e x dx e x dx + e x dx+ e x dx + e x dx Comme la foctio expoetielle est strictemet positive sur R, o déduit que pour tout réel x [; + ] ; o a e x >, o déduit alors de la positivité de l itégrale que Ayat pour tout etier, etier, u + u, + La suite (u ) est croissate. e x dx ( < + ). pt Motrer que pour tout x o a : e x e x. x x x O multiplie par x > x x O multiplie par < e x e x car la foctio expoetielle est strictemet croissate sur R pts E déduire que u e e pour tout N puis motrer que (u ) est covergete. Ayat pour tout réel x, e x e x, o déduit que pour tout réel x [;] : x [;] e x e x e x dx u [ e x ] u e ( e ) e x dx d après la propriété sur itégrales et iégalités < car ue primitive de x e ax+b est x a eax+b soit u e e car e t e t Comme pour tout etier, o a e >, o déduit e < e multipliat par <, puis e ajoutat e ; pour tout etier, o a : e e < ; et doc : e u < e, ce qui prouve que la suite (u ) est majorée par e. La suite (u ) état croissate et majorée, est doc covergete. Exercice 5.5 ptscalculer l aire du domaie hachuré sur la figure ci-dessous e foctio de α.,5 poits 5

6 . A B C f : y x.. α. 4. C g : y x + x. Au vu du graphique, il est clair que C f est située e dessous e C g sur [;α], l aire du domaie hachuré vaut doc : A α g(x) f (x) dx α ( ) x + x x dx O itègre la plus grade - la plus petite... [ x + x x lx ] α α + α α lα ( + l ) α + α α lα 6 L aire hachurée vaut doc α + α α lα 6 u.a. Exercice 6 O cosidère la foctio f défiie sur [ ; + [ par 8 poits f (x) l(x + ) x +..5 pts Motrer que f est dérivable sur [ ; + [. Étudier le sige de sa foctio dérivée f, sa limite évetuelle e +, et dresser le tableau de ses variatios. f est dérivable sur [ ; + [ comme quotiet de deux foctios dérivables dot le déomiateur e s aule pas. f u v d où f u v v u u(x) l(x + ) u (x) v avec pour tout réel x, das sur [ ; + [ : aisi : x + v(x) x + v (x) f (x) (x + ) l(x + ) x + (x + ) l(x + ) (x + ) f (x) l(x + ) (x + ) 6

7 Sur [ ; + [, o a x, doc x + > ; doc (x + ) > car c est le carré d u réel o ul ; aisi f (x) a le sige de l(x + ). Ici x doc x + l(x + ) l car x l xest strictemet croissate sur ]; + [ l(x + ) l e multipliat par < l(x + ) l e ajoutat Or l,99, o a doc prouvé que pour tout x [ ; + [, o a f (x) <. La foctio f est doc strictemet décroissate sur [ ; + [. Calculos la limite de f e + : lim (x + ) + x + lim t + lt t limite de référece par composée lim x + l(x + ) x + lim f (x), doc la droite d équatio y est asymptote horizotale à C f au voisiage de +. x + O déduit le tableau de variatios de f sur [;+ [ : x f (x) + Variatios de f l +.5 pt O défiit la suite (u ) par so terme gééral u f (x) dx. a. Justifier que, si x +, alors f ( + ) f (x) f (). si x + alors f () f (x) f ( + ) car f est strictemet décroissate sur [;+ [ f ( + ) f (x) f () pt b. Motrer, sas chercher à calculer u, que, pour tout etier aturel, f ( + ) u f (). pour tout x; x + o itègre de à + soit o a f ( + ) f (x) f () + f ( + ) f ( + ) dx + f ( + )[x] + dx f ( + ) u f () f (x) dx + f (x) dx f () f (x) dx f ()[x] + f () dx + dx E remarquat que [x] + + 7

8 pt c. E déduire que la suite (u ) est covergete et détermier sa limite. Comme lim f (x), o déduit lim f ( + ) et lim f (), le théorème des gedarmes doe x Soit F la foctio défiie sur [ ; + [ par lim u + F(x) [l(x + )]. pt a. Justifier la dérivabilité sur [ ; + [ de la foctio F et détermier, pour tout réel positif x, le ombre F (x). F est dérivable sur [ ; + [ comme produit de deux foctios dérivables. F u, d où F uu avec pour tout réel x, das D f : u(x) l(x + ) aisi : u (x) x + F (x) l(x + ) x +.5 pt b. O pose, pour tout etier aturel, I f (x) dx. Calculer I. l(x + ) x + Comme F (x) f (x) o déduit f (x) F (x), aisi ue primitive de f est F. I f (x) dx [ ] F(x) [ ] + [l(x + )] ( (l( + )) (l()) ) I.5 pt 4 O pose, pour tout etier aturel, S u + u + + u. Calculer S. La suite (S ) est-elle covergete? ( (l( + )) (l()) ) Aisi S u + u + + u I f (x) dx + f (x) dx f (x) dx + f (x) dx + + f (x) dx lim lt + lim t + lim l( + ) + + lim t + t + par composée lim S u + u + + u par composée lim l( + ) + + (l( + + )) + lim S + + ( (l( + )) (l()) ) 8

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