Test de STUDENT et tests non paramétriques

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1 Test de STUENT et tests o paramétriques Certaies techiques statistiques jouisset d ue grade otoriété, elles sot souvet utilisées, sas teir compte des coditios précises qui justifiet cette utilisatio et qui garatisset la validité des résultats qu elles permettet d affirmer. C est e particulier le cas du test de Studet qui est utilisé u peu "à toutes les sauces" et particulièremet pour l étude de variables qui ot pas grad-chose de "ormal". Cette pratique a tedace à se gééraliser e aalyse sesorielle, e particulier pour étudier les différeces etre des produits de type "acie" et des produits de type "ouveau", aisi que les modalités de leur évolutio. as ce cadre, le test de "Studet par paires" est presque toujours celui qui est mis e oeuvre das les laboratoires et les services "R et " (Recherche et éveloppemet). Nous avos pas la prétetio das cet article de régler la questio de l utilisatio abusive de ce test mais seulemet de rappeler qu il existe d autres techiques qui ot fait leurs preuves et qui e écessitet pas, cotrairemet aux tests "classiques", d activité prélimiaire de vérificatio d hypothèses diverses. Nous verros e particulier que les modèles de Studet et de Fisher, pour e parler que des plus célèbres, s appuiet fodametalemet sur la ormalité des populatios d origie et sur leur homoscédasticité (c est à dire le fait que celles-ci ot la même variace). L exemple que ous allos vous préseter utilise le test de Studet, puis le même problème statistique est traité par ue méthode "o-paramétrique", e l occurece la méthode du "Test sigé de Wilcoxo". Mise e place du Test d Aalyse Sesorielle Il s agit de développer u ouveau type de paure de lieu jaue. Pour ce faire, u jury de douze membres "experts" est costitué au Laboratoire d Aalyse Sesorielle. Chaque persoe attribue ue ote à l aciee et à la ouvelle paure suivat so goût (il est iterdit de mettre la même ote aux deux produits). Ces otes sot écheloées de 1 à 9. Pour attéuer le caractère discret de la sactio, o pousse u curseur et la machie eregistre ue valeur décimale prétedumet issue d ue distributio cotiue. Nous obteos aisi ue paire de valeurs par expert et ceci douze fois, de faço idépedate. Cet échatilloage sera résumé par la valeur t d ue statistique T. La règle de décisio de ce test est simple, il suffit de vérifier que cette valeur t appartiet pas au segmet formé par les deux valeurs de la variable T de Studet qui correspodet au risque α choisi. as ce cas, l hypothèse ulle, celle qui permet d affirmer que les deux produits e sot pas différets du poit de vue étudié, est rejetée. ENFA - Bulleti du GRES - mars 1996 page 1

2 Quelle est la techique de réalisatio du test de Studet par paires? 1 - O présete tout d abord les deux hypothèses Ho et H 1 : Ho suivat laquelle la moyee des différeces par paire est ulle et H 1 où ce est pas le cas. H H 0 1 : μ : μ = 0 0 ici - puis le risque de première espèce α=0, esuite viet le choix de la statistique à étudier. Les variables aléatoires à étudier ici sot les différeces par paire = X-X et la moyee de ces différeces. S -1 La statistique utilisée das ce test est : T = (avecs ( i ) i= 1 = La variable aléatoire T est distribuée selo la loi de Studet à -1 degrés de liberté (ddl) si les coditios de modélisatio sot réuies. Rappelos ces coditios. - Il faut que la variable = (X - X ) soit distribuée selo ue loi ormale. - Il faut que l échatillo soit aléatoire, simple. - Il faut que l hypothèse ulle soit vraie. 4 - il faut esuite calculer la valeur t de T pour cet échatillo apparié et la comparer à celle du modèle. Applicatio à l exemple ) (les calculs ot été faits sous EXCEL 4 ) ENFA - Bulleti du GRES - mars 1996 page

3 X X Cellou M Chambo N Chausseray J Cotti S urad T Etcheverry M Jeaot F Lucquiaud F Machefert V Mori O Mycos C Narcos T Calcul de t pour cet échatillo : d 0 t = s 1 d : Moyee - 1,9 des différeces s : Ecart-type 1,3 des différeces valeur de t - 4,81 valeur de la table,0 à 5 % bilatéral valeur de la table 3,11 à 1 % bilatéral Nous rejetos Ho de faço "hautemet sigificative" car est à l extérieur du segmet [ ; ] La différece d appréciatio etre les deux paures est établie statistiquemet au risque α = 1%. Pourquoi le collectif des différeces doit-il être distribué ormalemet si ous utilisos le modèle de Studet? Ue variable aléatoire T set distribuée selo la loi de Studet à ν ddl si elle peut s écrire : T = U K où U est ue variable ormale cetrée réduite, K ue ν variable aléatoire distribuée selo la loi de χ² à ν degrés de liberté, U et K état idépedates. O démotre, que lorsqu ue variable aléatoire suit la loi ormale N(µ,σ ), si l o désige par S la variable aléatoire variace d échatillo, alors la variable aléatoire S σ la loi de χ² à -1 ddl. O démotre égalemet que la variable aléatoire, moyee d échatillo, suit la loi ormale N(µ, σ suit ), o motre égalemet que S et sot idépedates. O e déduit doc que si est distribuée selo ue loi ormale, alors : ENFA - Bulleti du GRES - mars 1996 page 3

4 μ σ S σ 1 est distribuée selo la loi de Studet à -1 ddl. U petit calcul algébrique ous permet de retrouver : Sous l hypothèse Ho : µ = 0, otre statistique T S -1 E guise de coclusio, ous pouvos affirmer que la variable aisi costruite est distribuée selo la loi de Studet à -1 ddl et que tout ceci repose sur le caractère ormal de la variable qui pred pour valeur la différece par paire, sio le modèle est APPROXIMATIF, pour e pas dire faux! = Ue approche différete du problème : le test de Wilcoxo Nous allos à préset, à partir des mêmes hypothèses Ho et H 1, mettre e place u test oparamétrique. Nous avos choisi celui que Wilcoxo a mis au poit vers 1945 et qui est particulièremet bie adapté aux petits échatillos (si l o utilise das la règle de décisio des tables comme celle de Siegel présetée e Aexe). Pricipe et Méthode : Les observatios sot classées par paires. O tiet compte du sige des différeces par paires (comme das le test des "Siges") et aussi des rags de ces différeces. Y(+) désige la somme des rags des différeces positives Y(- ) désige la somme des rags des différeces égatives. Par pricipe, Y(+) + Y(-) = (+1)/ où est le ombre de paires. E moyee, si les deux échatillos provieet d'ue même populatio, Y(+) et Y(- ) valet tous deux la moitié de cette valeur soit : (+1)/4 Ce sera la base de l'hypothèse ulle. Règle de écisio: L'Hypothèse Nulle est rejetée si la plus petite des valeurs Y est iférieure (ou égale) à la valeur correspodat à paires, au iveau α, et qui est lue das la Table de Siegel. ENFA - Bulleti du GRES - mars 1996 page 4

5 Remarque 1: Pour des échatillos de "grade" taille compreat plus de 5 élémets, ous pouvos utiliser ue approximatio Normale et costruire ue variable U distribuée selo la loi ormale N(O;1). U est la variable cetrée réduite de Y(+) ou de Y(-). U Y + ( = + 1) / 4 où est le ombre de paires o ex-aequo. ( + 1)( + 1) 4 Le Test Bilatéral ous coduit alors à adopter la règle suivate : Si la valeur u calculée est plus grade que 1,96 (pour u risque α de 5%), alors Ho est rejetée de faço "sigificative" Remarque : as ce test comme das celui des «siges», il faut élimier les valeurs "ex-aequo", ce qui réduit d'autat la valeur de. Applicatio das l exemple du développemet de la ouvelle paure Les hypothèses e présece sot les suivates: H0 : Y+ ( ) = Y( ) avec α=5% H1: Y+ Y( ) ( ) =X-X Abso lue Classemet Rags Nombre d occur eces Rags moyes avec sige Rag Chambo N ,5,5 urad T ,5,5 3 Etcheverry M ,5,5 4 Jeaot F ,5,5 5 Chausseray J Lucquiaud F Machefert V Mycos C Narcos T Cellou M Cotti S ,5 11,5 1 Mori O ,5 11,5 Y(+)=,5 et Y(-)=75,5 Remarque : Nous avos fait la moyee des rags pour les cas d égalité des différeces, afi de coserver le total de la somme des rags. Pour = 1 ous devos avoir ue somme y(+) + y(-) = (+1)/=78 ENFA - Bulleti du GRES - mars 1996 page 5

6 Coclusios du Test : Les valeurs lues das la table de Siegel sot, pour la somme maximum, ici Y(+), de 14 (α = 5%) et de 7 (α = 1%) pour = 1 paires. Nous sommes loi du compte avec,5. Nous rejetos Ho de faço "hautemet sigificative" Nous avos mis e évidece ue différece d appréciatio très marquée etre ces deux techiques de préparatio du produit. Le résultat obteu à l aide du test de Studet est cofirmé. E guise de coclusio, et e attedat vos remarques qui e maquerot pas d être pertietes, ous pouvos affirmer que la méthode de Wilcoxo est à recommader lorsque l o a le moidre doute sur la "ormalité" des variables d origie ou sur la versatilité de certais membres du jury! Par exemple, amusez-vous à étudier le cas décrit e aexe où Mori O., das ue crise d humeur, cosidère que la première est bie meilleure que la secode, et ceci cotre l avis presque uaime! (solutio au prochai uméro) Si vous réussissez à automatiser ces deux tests, afi de faire apparaître simultaémet les deux résultats, vous verrez cepedat, que presque toujours, la variable T de Studet se comporte remarquablemet bie! Référeces bibliographiques: Théories et Méthodes Statistiques (t) agélie P.A. de Gembloux Compredre la Statistique MJ Moroey Marabout Statistiques ictioaire Ecyclopédique Yadolah odge uod Aexe 1 Table de Siegel ( 1956) (test bilatéral) paires 5% 1% ENFA - Bulleti du GRES - mars 1996 page 6

7 Il existe des tables plus récetes (allat jusqu à = 50 ) celles de.b. Owe (196) et Harter (1970) etre autres. La "trahiso de O. Mori" Jeaot F 8,5 9,0 urad T 8,5 9,0 Narcos T 8,5 9,0 Cellou M 8,5 9,0 Machefert V 8,5 9,0 Etcheverry M 8,0 9,0 Cotti S 8,0 9,0 Lucquiaud F 8,0 9,0 Chambo N 8,0 9,0 Chausseray J 8,0 9,0 Mycos C 8,0 9,0 Mori O 9,0 5,0 ENFA - Bulleti du GRES - mars 1996 page 7