Segmentation d'images de tomographie X de Tuffeau par outils morphologiques

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Charles St-Hilaire
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1 Segmentation d'images de tomographie X de Tuffeau par outils morphologiques Emmanuel LE TRONG manu@mixtion.org Institut des Sciences de la Terre d'orléans Séminaire MAP5 : "Milieux poreux : modèles et images",

2 Contexte Comprendre les mécanismes d'altération des pierres mises en œuvre dans les monuments historiques, par la voie du modèle. Château de Chaumont (41) Altération en plaques

Contexte Une modélisation réaliste des phénomènes physico-chimiques dans le milieu poreux requiert une description précise et pertinente de la

3 Contexte Une modélisation réaliste des phénomènes physico-chimiques dans le milieu poreux requiert une description précise et pertinente de la micro-structure du milieu.? Image de micro-tomogarphie X. SLS, pixel : 70 μm, rayon : 420 pixels, hauteur : 1024 pixels. Micro-structure Morphologie mathématique

4 Contexte calcite silice résine Échantillon de tuffeau, Notre Dame de Recouvrance, Orléans. ESRF, pixel : 0,27 μm, pixels.

5 Contexte 20 µm

6 Morphologie mathématique : concepts Approche linéaire Structure travail & loi fondamentale Transformation de base (préserve la structure de travail et commute avec la loi fondamentale) Dualité Espace vectoriel V, addition vectorielle (+) Convolution (*) par un élément h de V h f g =h f h g Auto-dualité f g = f g Analyse spectrale, fourier, ondelettes, etc. Approche ensembliste Treillis complet T : ensemble L, relation d'ordre partiel, supremum et infimum pour tout sous-ensemble de L Dilatation par un élément B de T ( B), commute avec : B X Y = B X B Y Érosion par un élément B de T ( B), commute avec : B X Y = B X B Y Dualité vis-à-vis de la complémentation X C =[ X ]C Filtres morphologiques, ligne de partage des eaux, etc. Serra J., Image analysis and mathematical morphology, vol. 1 & 2, Academic Press, London, 1982, 1988.

7 Morphologie mathématique : exemples de treillis usuels Treillis (E) des sous-ensembles d'un ensemble E : relation d'ordre : inclusion ( ), supremum : union ( ), infimum : intersection ( ). Y X Images binaires E Treillis des fonctions de E ℤ : relation d'ordre : comparaison ( ), supremum : max(), Infimum : min(). f g f x g x x E max f, g x =max f x, g x min f, g x =min f x, g x Images en niveaux de gris ℤ f g E

8 Transformations de base : cas des ensembles Les deux transformations de base de la morphologie mathématique, érosion ( ) et dilatation ( ), sont définies par la donnée d'une sonde B, appelée élément structurant.

9 Transformations de base : cas des ensembles Les deux transformations de base de la morphologie mathématique, érosion ( ) et dilatation ( ), sont définies par la donnée d'une sonde B, appelée élément structurant. B X = {Bx,x X } Soient X, B E, x X, Bx désigne le translaté de B au point x, on a B X = { x : Bx X } B B(X) X E B(X) E E

10 Transformations de base : cas des fonctions Les transformations de base sur les fonctions se construisent en considérant chaque tranche isovaleur de la fonction comme un ensemble et en lui appliquant les transformations définies sur les ensembles. B f x =max f x y, y B B f x =min f x y, y B ℤ B f f B B f E

11 Exemple d'application : le gradient morphologique Le gradient morphologique est le résidu entre le dilaté de l'image et son érodé. Il permet d'extraire les contours des objets. gradb f = B f B f Image de pixels, élément structurant : carré de 3 3 pixels, le négatif du gradient est présenté ici.

12 Ouverture et fermeture : cas des ensembles Les deux compositions d'érosion et de dilatation duales donnent deux nouvelles transformations, l'ouverture ( ) et la fermeture ( ) par adjonction B X = B B X B X = B B X

13 Ouverture et fermeture : cas des ensembles Les deux compositions d'érosion et de dilatation duales donnent deux nouvelles transformations, l'ouverture ( ) et la fermeture ( ) par adjonction B X = B B X B X = B B X B X B(X) B(X) L'ouverture élimine les caps et coupe les isthmes plus étroits que l'élément structurant. La fermeture bouche les lacs et ferme les golfes plus étroits que l'élément structurant. Néanmoins l'essentiel des frontières de la forme sont conservées.

14 Ouverture et fermeture : cas des fonctions Ouverture et fermeture se généralisent au cas des fonctions. B f = B B f B f = B B f ℤ B f f B B f E L'ouverture élimine les pics plus étroits que l'élément structurant. La fermeture bouche vallées plus étroits que l'élément structurant.

15 Exemple d'application : les filtres alternés séquentiels Un filtre alterné séquentiel est une composition d'ouvertures et de fermetures par des éléments structurants de taille croissantes. B B f 1 1 Image de pixels, élément structurant : disque de rayon 1.

16 Exemple d'application : les filtres alternés séquentiels Un filtre alterné séquentiel est une composition d'ouvertures et de fermetures par des éléments structurants de taille croissantes. B B B B f Image de pixels, élément structurant : disque de rayon 2.

17 Exemple d'application : les filtres alternés séquentiels Un filtre alterné séquentiel est une composition d'ouvertures et de fermetures par des éléments structurants de taille croissantes. B B B B B B f Image de pixels, élément structurant : disque de rayon

18 Exemple d'application : les filtres alternés séquentiels Un filtre alterné séquentiel est une composition d'ouvertures et de fermetures par des éléments structurants de taille croissantes. B B B B B B B B f On débruite l'image mais on perd les objets plus petits que l'élément structurant. Image de pixels, élément structurant : disque de rayon 4. 1

19 Opérateurs géodésiques : cas des ensembles L'introduction de la notion de connexité dans l'espace de travail fait émerger un ensemble de nouveaux opérateurs, dits géodésiques, basés sur une nouvelle métrique, la distance géodésique

20 Opérateurs géodésiques : cas des ensembles L'introduction de la notion de connexité dans l'espace de travail fait émerger un ensemble de nouveaux opérateurs, dits géodésiques, basés sur une nouvelle métrique, la distance géodésique x, y X ; dx x, y = l'infimum de la longueur des chemins de x à y qui sont inclus dans X, + si il n'en existe aucun. Ci-contre, la distance euclidienne est notée d. La distance géodésique dans X entre les points x et z est infinie (i.e. Ils ne sont pas connectés). y d X x, y X d x, y z x

21 Opérateurs géodésiques : cas des ensembles L'introduction de la notion de connexité dans l'espace de travail fait émerger un ensemble de nouveaux opérateurs, dits géodésiques, basés sur une nouvelle métrique, la distance géodésique x, y X ; dx x, y = l'infimum de la longueur des chemins de x à y qui sont inclus dans X, y d X x, y X d x, y + si il n'en existe aucun. z Ci-contre, la distance euclidienne est notée d. La distance géodésique dans X entre les points x et z est infinie (i.e. Ils ne sont pas connectés). x En pratique on travaille plutôt avec des boules géodésiques BX, x = { y, dx x, y } et surtout la dilatation géodésique X, Y = { BX, y, y Y } La dilatation géodésique ultime d'un marqueur dans X conduit à la reconstruction de la partie connexe de X qui contient ce marqueur

22 Opérateurs géodésiques : cas des fonctions De la même manière que les transformations classiques, les opérations géodésiques se généralisent aux fonctions en les appliquant tranche par tranche f Les maxima non marqués de la fonction ne sont pas reconstruits. g f g Exemple d'utilisation : extraction des maxima d'une image.

23 Opérateurs géodésiques : cas des fonctions Exemple : extraction des minima de l'image originale et de l'image ayant subi un filtrage alterné séquentiel jusqu'à la taille 2.

24 Ligne de partage des eaux Idée : identifier les zones d'influences des minima d'une fonction

25 Ligne de partage des eaux Idée : identifier les zones d'influences des minima d'une fonction

26 Ligne de partage des eaux Exemple : extraction des minima de l'image ayant subi un filtrage alterné séquentiel jusqu'à la taille 2.

27 Ligne de partage des eaux Exemple : extraction des lignes de partage des eaux.

28 Segmentation des images de tuffeau

29 Segmentation des images de tuffeau Étape 1 : filtrage alterné séquentiel. Objectif : diminuer le bruit.

30 Segmentation des images de tuffeau Étape 2 : gradient morphologique. Objectif : le gradient porte l'information des limites des objets de l'image.

31 Segmentation des images de tuffeau Étape 3 : ligne de partage des eaux du gradient. Objectif : extraire les limites des objets de l'image.

32 Segmentation des images de tuffeau Étape 4 : mosaïque. Objectif : simplifier l'image. Beucher S., Segmentation d'images et morphologie mathématique, thèse, ENSMP, 1990.

33 Segmentation des images de tuffeau Étape 4 : mosaïque. Objectif : simplifier l'image.

34 Segmentation des images de tuffeau Étape 5 : seuillage. Objectif : segmenter.

35 Segmentation des images de tuffeau Exemple 2d.

36 Segmentation des images de tuffeau Exemple 3d.

37 Conclusion, perspectives Conclusion : premier résultat de segmentation d'images bruitées à faible contraste, les outils ont été développés en langage C++, le code est générique, Perspectives : améliorer ces résultats préliminaires (éliminer les effets du contraste de phase), développer un outil de diagnostic de l'état des pierres, caractériser l'espace poreux en vue de modélisation,

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