Analyse et Correction des Systèmes Numériques

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1 Analyse et Correction des Systèmes Numériques Florent Nageotte Master MNE 1 Année Universitaire 2006/2007 Florent Nageotte () 1 / 76

2 Plan du cours 1 Correction par transposition 2 Synthèse numérique des correcteurs Synthèse fréquentielle Stabilité interne Placement de pôles 3 Correcteurs algébriques Placement de pôles algébriques : le correcteur RST Florent Nageotte () 2 / 76

3 Plan du cours 1 Correction par transposition 2 Synthèse numérique des correcteurs Synthèse fréquentielle Stabilité interne Placement de pôles 3 Correcteurs algébriques Placement de pôles algébriques : le correcteur RST Florent Nageotte () 2 / 76

4 Plan du cours 1 Correction par transposition 2 Synthèse numérique des correcteurs Synthèse fréquentielle Stabilité interne Placement de pôles 3 Correcteurs algébriques Placement de pôles algébriques : le correcteur RST Florent Nageotte () 2 / 76

5 Plan du cours Correction par transposition 1 Correction par transposition 2 Synthèse numérique des correcteurs Synthèse fréquentielle Stabilité interne Placement de pôles 3 Correcteurs algébriques Placement de pôles algébriques : le correcteur RST Florent Nageotte () 3 / 76

6 Correction par transposition Principe de la correction numérique Te w(t) δy(t) r(k) F(z) + ɛ(k) C(z) u(k) - BOZ u(t) + + G(s) + + y(t) ym(k) Te régulateur numérique + v(t) + H(s) capteur partie analogique Florent Nageotte () 4 / 76

7 Correction par transposition Principe de la correction numérique Te w(t) δy(t) r(k) F(z) + ɛ(k) C(z) u(k) - BOZ u(t) + + G(s) + + y(t) ym(k) Te régulateur numérique + v(t) + H(s) capteur partie analogique G(s) processus H(s) capteur C(z) correcteur F(z) pré-filtre r signal de consigne y signal de sortie (à réguler) y m mesure de la sortie ɛ écart ou erreur d asservissement u commande w(t) perturbation d entrée v(t) bruit de mesure δy(t) perturbation de sortie Florent Nageotte () 4 / 76

8 Correction par transposition Objectifs de la synthèse des correcteurs numériques Stabilité : système en BF stable Performance : suivre la consigne (précision) comportement selon un modèle (type 2ème ordre) rejet des perturbations Robustesse : Conserver stabilité et performances malgré : incertitudes sur les paramètres dynamiques non modélisées non-linéarités Florent Nageotte () 5 / 76

9 Correction par transposition Outils pour la synthèse Stabilité : Critère de Jury Critère de Nyquist Performance : Lieu d Evans (placement des pôles) Calcul des erreurs en régime permanent Simulation (vérification a postériori) Robustesse : Marges de stabilité (diagramme de Bode ou Nyquist) Simulation (vérification a postériori) Florent Nageotte () 6 / 76

10 Correction par transposition Principe de la transposition des correcteurs continu Principe Synthèse d un correcteur continu par une méthode continue Approximation du comportement du correcteur continu par un correcteur numérique Méthodes de synthèse en continu (rappel) Synthèses fréquentielles à l aide des diagrammes de Bode : garantir marges de gain et de phase Synthèse par placement des pôles de la boucle fermée : Lieu d Evans Choix d un correcteur standard (P, PI, PD, PID, PDD) et réglage des paramètres. Florent Nageotte () 7 / 76

11 Correction par transposition La transposition continu - numérique Choix d une méthode de transposition de la période d échantillonnage (quand cela est possible) Correcteur analogique : entrée (écart) et sortie (commande) reliées par des équations intégro-différentielles Correcteur numérique : entrée et sortie reliées par des équations aux différences Transposition : approcher des équations intégro-différentielles par des équations numériques Méthodes de transposition présentées Echantillonnage - blocage Transformation d Euler (méthode par retard) Transformation bilinéaire Conservation pôles - zéros Florent Nageotte () 8 / 76

12 Correction par transposition Transposition par échantillonnage blocage ɛ(t) C c (s) u(t) ɛ(t) T e ɛ(k) BOZ C c (s) T e u(k) BOZ u(t) C(z) Propriétés C(z) = (1 z 1 )Z{ Cc(s) } s Si C c(s) est stable alors C(z) est stable. Conservation du gain statique Retard introduit par le BOZ Nécessite T e petit par rapport aux dynamiques de C c Florent Nageotte () 9 / 76

13 Correction par transposition Effet de la période d échantillonnage Florent Nageotte () 10 / 76

14 Correction par transposition Approximation d Euler Approximation numérique de la dérivation D = dx dt x(kte) x((k 1)Te) T e Dérivation en continu x(t) s D(t) = dx dt x(t) T e t D(z) X(z) = 1 z 1 T e Florent Nageotte () 11 / 76

15 Correction par transposition Approximation d Euler Par analogie, on propose le changement de variable s 1 z 1 = z 1 T e T ez Propriétés Effet sur la stabilité : un correcteur stable en continu devient stable en numérique. La réciproque est fausse. Conserve le gain statique Im(s) Re(s) Im(z) C Re(z) Florent Nageotte () 12 / 76

16 Correction par transposition Approximation d Euler Effet sur l intégration I(z) = Tez z 1 X(z) I(t) = I(t Te) + TeX(z) T e t f (t) Florent Nageotte () 13 / 76

17 Effet fréquentiel Correction par transposition Réponse fréquentielle : z = e jωte Retard pur Te 2 s = z 1 T = ejωte 1 = jωe jωte 2 ez T ee jωte Filtrage par F (jω) = sin (ω Te 2 ) ωte 2 distorsion fréquentielle importante sin (ω Te 2 ) ωt e 2 Florent Nageotte () 14 / 76

18 Correction par transposition Effet fréquentiel (suite) Effet sur un intégrateur : avance de phase très importante en haute fréquence Effet sur un dérivateur : déphasage très important en haute fréquence Florent Nageotte () 15 / 76

19 Correction par transposition Effet sur un filtre sélectif C(s) = s 2 = C(z) = T ez 2 (T e + 1)z 2 2z + 1 Conclusion Ne pas utiliser pour des filtres sélectifs Bon comportement en dérivation Florent Nageotte () 16 / 76

20 Correction par transposition Approximation bilinéaire ou homographique Appellation anglo-saxonne : Tustin approximation Intégration numérique par la méthode des trapèzes Intégration analogique x(t) 1 s I(t) = t 0 x(t) I(kT e) = I((k 1)T e) + Te (x(kte) + x((k 1)Te)) 2 I(k) I(k 1) = Te (x(k) + x(k 1)) 2 I(z) = Te 2 (1 + z 1 ) (1 z 1 ) f (t) T t e Florent Nageotte () 17 / 76

21 Correction par transposition Approximation bilinéaire ou homographique Changement de variable : Propriétés s Conserve la stabilité (du correcteur) Conserve le gain statique 2(z 1) T e(z + 1) Im(s) Re(s) Im(z) C Re(z) Florent Nageotte () 18 / 76

22 Effet fréquentiel Correction par transposition Réponse fréquentielle (z = e jωte ) Filtrage F(jω) = tan ωte 2 ωte 2 s = 2(ejωTe 1) T e(e jωte + 1) = 2j tan ωte T e 2 = jω tan ωte 2 ωt e 2 Florent Nageotte () 19 / 76

23 Correction par transposition Effet fréquentiel (suite) Effet sur un intégrateur : les fréquences proches de la fréquence de Nyquist sont fortement attenuées Effet sur un dérivateur : les fréquences proches de la fréquence de Nyquist sont fortement amplifiées Florent Nageotte () 20 / 76

24 Correction par transposition Effet sur un filtre sélectif C(s) = 1 1+s 2 avec T e = 0.5s Conclusion Bonne approximation pour filtres passe-bas ou passe-bande Ne pas utiliser pour filtres passe-haut Décalage des fréquences pour les filtres sélectifs Florent Nageotte () 21 / 76

25 Correction par transposition Correction de la distorsion Approximation bilinéaire avec prewarping Principe Corriger la distorsion pour une pulsation particulière ω 0 en utilisant le changement de variable : ω 0 T e 2 2 (z 1) s tan ω 0T e T e (z + 1) 2. Florent Nageotte () 22 / 76

26 Correction par transposition Conservation des pôles et zéros Appellation anglo-saxonne : Matched transform Principe Pour chaque pôle p i (ou zéro z i ) calcul du pôle (ou zéro) numérique équivalent e Tp i (e Tz i ) Calcul du gain conservant le gain statique Si intégrateur ou dérivateur : calcul du gain en supprimant l intégrateur ou le dérivateur Propriétés Conserve la stabilité du correcteur Conserve le gain statique (par construction) Conserve la forme de la réponse fréquentielle (pas de décalage en fréquence) Florent Nageotte () 23 / 76

27 Correction par transposition Comportement fréquentiel C(s) = s 2 Conclusion Utile pour approcher finement un comportement fréquentiel en gain Florent Nageotte () 24 / 76

28 Correction par transposition Transpositions : conclusion Comportement du correcteur numérique au mieux celui du correcteur continu (souvent moins bon) Comportement d autant plus proche du système continu que la période d échantillonnage est petite par rapport aux dynamiques du correcteur (constantes de temps des pôles et zéros) Bloqueur d ordre zéro non pris en compte Stabilité de la BF non garantie! Méthodes conseillées : correcteur de type passe-bas ou passe-bande : tustin correcteur sélectif : matched ou tustin avec prewarping correcteur de type passe-haut : matched ou Euler Florent Nageotte () 25 / 76

29 Correction par transposition Choix de la période d échantillonnage Comportement fréquentiel différent du continu près de la fréquence de Nyquist Choix pratique Suffisante pour le temps de calcul 10 fois plus petite que la constante de temps du système en BF Florent Nageotte () 26 / 76

30 Correction par transposition Prise en compte du bloqueur d ordre zéro Effet du BOZ Retard d une demi-période d échantillonnage Atténuation en limite de bande de base Prise en compte nécessaire pour les fréquences proches de f N. Exemple Correcteur : pulsation de coupure ω c T Perte de phase à ω c : δϕ = ω e c 2 Pour limiter la perte à 10 (0.17 rad) (diminution de ϕ M ) : T e < 0.3 ωc Florent Nageotte () 27 / 76

31 Correction par transposition Correcteurs standards Avec la transformation d Euler : P C(s) = K p C(z) = K p PI idéal C(s) = K p(1 + 1 T i s ) C(z) = Kp(1 + 1 T i T ez z 1 ) PD réel C(s) = K p(1 + T ds 1 + T d N s ) C(z) = Kp(1 + N(z 1) (1 + NTe )z 1 ) T d PID réel C(s) = K p(1 + 1 T i s + T ds 1 + T d N s ) C(z) = Kp(1 + 1 T ez T i z 1 + N(z 1) (1 + NTe )z 1 ) T d Florent Nageotte () 28 / 76

32 Correction par transposition Les PID numériques Forme standard u(k) = u p(k) + u i (k) + u d (k) u p(k) = K pɛ(k) u i (k) = u i (k 1) + K p T e T i ɛ(k) u d (k) = 1 (u d (k 1) + K pn(ɛ(k) ɛ(k 1))) 1 + NTe T d r(k) + - ɛ(k) K p Tez Ti(z 1) + + u(k) + BOZ N(z 1) (1+ NTe T d )z 1 y m(k) T e Florent Nageotte () 29 / 76

33 Correction par transposition Les PID numériques Forme sans dérivation de la consigne : Eviter de trop solliciter les actionneurs à la suite d un changement de consigne u(k) = u p(k) + u i (k) + u d (k) u p(k) = K pɛ(k) u i (k) = u i (k 1) + K p T e T i ɛ(k) u d (k) = 1 (u d (k 1) K pn(y m(k) y m(k 1))) 1 + NTe T d r(k) + - ɛ(k) K p Tez Ti(z 1) + + u(k) + BOZ K p N(z 1) (1+ NTe T d )z 1 y m(k) T e Florent Nageotte () 30 / 76

34 Correction par transposition Effet des saturations sur le terme intégral u(k) UM ua(k) commande calculée Um commande appliquée si u(k) > U M, u a(k) = U M si u(k) < U m, u a(k) = U m sinon u a(k) = u(k) Florent Nageotte () 31 / 76

35 Anti-emballement Correction par transposition Emballement du terme intégral Solution : bloquer l intégration lorsqu il y a saturation 1ère solution : bloquage du terme intégral T u 0 (k) = u p(k) + u i (k 1) + K e p ɛ(k) + u T d (k) i j T ui (k 1) + K e p ɛ(k) si U u i (k) = T m < u 0 (k) < U M i u i (k 1) si u 0 (k) > U M ouu 0 (k) < U m u(k) = u p(k) + u i (k) + u d (k) Inconvénients : saturation possible ou limitation trop importante de la commande Florent Nageotte () 32 / 76

36 Anti-emballement Correction par transposition 2ème solution : recalcul du terme intégral Calcul du terme intégral qui amène à la limite de saturation T u 0 (k) = u p(k) + u i (k 1) + K e p ɛ(k) + u T d (k) i 8 < U M (u p(k) + u d (k)) si u 0 (k) > U M T u i (k) = u i (k 1) + K e p ɛ(k) si U T m < u 0 (k) < U M : i U m (u p(k) + u d (k)) si u 0 (k) < U m u(k) = u p(k) + u i (k) + u d (k) = u s(k) Avantages : commande maximale sans saturation Florent Nageotte () 33 / 76

37 Correction par transposition Filtrage de l effet dérivé Problèmes Dérivation pure : filtre passe-haut, gain infini en haute fréquence Bruit haute fréquence = sollicitation des actionneurs (échec de la régulation) Solutions Ne pas utiliser de dérivation pure (ajout d un pôle en haute fréquence) Utiliser une dérivation filtrée Florent Nageotte () 34 / 76

38 Correction par transposition Filtrage de l effet dérivé Dérivation forme d Euler : dérivation sur 2 points Dérivation sur 4 points : d(k) = ɛ(k) ɛ(k 1) T e d(k) = 2ɛ(k) + ɛ(k 1) ɛ(k 2) 2ɛ(k 3) 10T e Florent Nageotte () 35 / 76

39 Plan du cours Synthèse numérique des correcteurs 1 Correction par transposition 2 Synthèse numérique des correcteurs Synthèse fréquentielle Stabilité interne Placement de pôles 3 Correcteurs algébriques Placement de pôles algébriques : le correcteur RST Florent Nageotte () 36 / 76

40 Synthèse numérique des correcteurs Synthèse directe en numérique Principe Calculer la fonction de transfert en z G(z) du procédé et du convertisseur numérique analogique Synthétiser un correcteur numérique à partir de G(z) Avantages Prise en compte explicite du BOZ Prise en compte explicite de la période d échantillonnage Pas de distorsion due à la transposition Meilleure robustesse vis-à-vis de la méconnaissance du procédé Inconvénients Méthodes de synthèse plus complexes et moins intuitives Florent Nageotte () 37 / 76

41 Plan de la présentation Synthèse numérique des correcteurs Synthèse fréquentielle 1 Correction par transposition 2 Synthèse numérique des correcteurs Synthèse fréquentielle Stabilité interne Placement de pôles 3 Correcteurs algébriques Placement de pôles algébriques : le correcteur RST Florent Nageotte () 38 / 76

42 Synthèse fréquentielle Synthèse numérique des correcteurs Synthèse fréquentielle Calculer la transmittance échantillonnée du procédé Exprimer le cahier des charges en termes de Fréquence de coupure gain statique Marge de gain et de phase rejet de perturbations Tracer les diagrammes de Bode Choix d une structure de correcteur (PI, PID, avance de phase, etc.) Réglage des paramètres du correcteur sur les diagrammes Difficultés Pas de tracé asymptotique L ajout d un intégrateur ne déphase pas uniformément de 90 = Nécessite des outils de tracer numérique Florent Nageotte () 39 / 76

43 Synthèse fréquentielle Synthèse numérique des correcteurs Synthèse fréquentielle Sans outil numérique Transformée en w : w = 2 T e z 1 z + 1 Calcul de G(w) = G(z = 1+ Tw 2 ) 1 Tw 2 Quand z = e jωte, w = jω On pose w = jω avec ω = tan ωte 2 ωte 2 tan ωte 2 ωte 2 G(jω ) est une fraction rationnelle = Tracé asymptotique comme en continu Synthèse de C(w) comme en continu calcul de C(z) par transformée en w inverse Florent Nageotte () 40 / 76

44 Synthèse numérique des correcteurs Exemple de synthèse fréquentielle Synthèse fréquentielle r(k) + - C(z) BOZ G(s) y(t) T e G(s) = 10 et Te = 0.1s (s + 10)(s + 3) Cahier des charges 1 gain statique unitaire 2 rejet des perturbations de charge constantes 3 marge de phase de 45 4 bande passante de 5rad/s Florent Nageotte () 41 / 76

45 Synthèse numérique des correcteurs Synthèse fréquentielle ajout d un intégrateur pour (1) et (2) ajout d un zéro pour amener 65 de phase en ω c : z i = Augmentation du gain pour avoir G db (ω c) = 0 Florent Nageotte () 42 / 76

46 Synthèse numérique des correcteurs Synthèse fréquentielle C(z) = 5(z ) z 1 Florent Nageotte () 43 / 76

47 Plan de la présentation Synthèse numérique des correcteurs Stabilité interne 1 Correction par transposition 2 Synthèse numérique des correcteurs Synthèse fréquentielle Stabilité interne Placement de pôles 3 Correcteurs algébriques Placement de pôles algébriques : le correcteur RST Florent Nageotte () 44 / 76

48 Stabilité interne Synthèse numérique des correcteurs Stabilité interne Stabilité BIBO insuffisante pour garantir le fonctionnement d un système r(k) + - C(z) u(k) G(z) y(k) C(z) = 0.3(z 0.7)(z 0.5) (z 1)(z 2)(z 0.1) et G(z) = z 2 (z 0.5)(z 0.7) Y (z) R(z) = 0.3 z 2 1.1z = 0.3 (z j)(z j) Système BIBO stable Florent Nageotte () 45 / 76

49 Stabilité interne Synthèse numérique des correcteurs Stabilité interne On mesure la commande U Système non BIBO stable U(z) 0.3(z 0.7)(z 0.5) = R(z) (z 2)(z 2 1.1z + 0.4) Commande non stable sortie stable ou non stable? Le moindre bruit (même d approximation numérique) rend le système instable!! avec le couple pôle/zéro en 2 sans le couple Florent Nageotte () 46 / 76

50 Stabilité interne Synthèse numérique des correcteurs Stabilité interne définition Un système est stable de manière interne si toutes les fonctions de transfert entre les entrées externes et tous les points du système ont leurs pôles à l intérieur du cercle unité (à gauche de l axe imaginaire pour les systèmes continus) Conséquences On ne peut pas compenser des pôles à l extérieur du cercle unité On ne peut pas compenser des zéros à l extérieur du cercle unité Florent Nageotte () 47 / 76

51 Plan de la présentation Synthèse numérique des correcteurs Placement de pôles 1 Correction par transposition 2 Synthèse numérique des correcteurs Synthèse fréquentielle Stabilité interne Placement de pôles 3 Correcteurs algébriques Placement de pôles algébriques : le correcteur RST Florent Nageotte () 48 / 76

52 Synthèse numérique des correcteurs Placement de pôles Placement des pôles de la boucle fermée Principe Calculer la transmittance échantillonnée du procédé Exprimer le cahier des charges en termes de Amortissement, pulsation propre Rapidité Précision rejet de perturbations Tracer le lieu d Evans Choisir une structure de correcteur (PI, PID, etc.) Réglage des paramètres du correcteur sur le lieu d Evans Florent Nageotte () 49 / 76

53 Synthèse numérique des correcteurs Utilisation du lieu d Evans Placement de pôles π 8π 9 5π 9 ζ = 0 4π9 6π 9 ζ = 0,1 ωnt e = 3π 9 ζ = 0,2 7π 9 ζ = 0,3 ω nt e = 2π 9 ζ = 0,4 ζ = 0,5 ζ = 0,6 ζ = 0,7 ωnt e = ζ π 9 0,8 ζ = 0,9 pôles dominants près du cercle unité graduation en amortissement et pulsation propre Florent Nageotte () 50 / 76

54 Exemple Synthèse numérique des correcteurs Placement de pôles r(k) + - C(z) BOZ G(s) y(t) T e G(s) = 10 et Te = 0.1s (s + 10)(s + 3) Cahier des charges 1 Erreur statique nulle 2 Erreur nulle par rapport aux perturbations de sortie constantes 3 comportement de type 2ème ordre avec ζ = 0.7 Florent Nageotte () 51 / 76

55 Synthèse numérique des correcteurs Placement de pôles G(z) = Z{B 0 (s)g(s)} = (1 z 1 )Z{ G(s) s } 0.033(z ) = (z )(z ) Besoin d un intégrateur pour (1) et (2) Correcteur PI? Compensation du pôle dominant Réglage du gain pour avoir ζ = 0.7 Florent Nageotte () 52 / 76

56 Synthèse numérique des correcteurs Placement de pôles C(z) = 4.03(z ) z 1 Florent Nageotte () 53 / 76

57 Synthèse numérique des correcteurs Placement de pôles Florent Nageotte () 54 / 76

58 Plan du cours Correcteurs algébriques 1 Correction par transposition 2 Synthèse numérique des correcteurs Synthèse fréquentielle Stabilité interne Placement de pôles 3 Correcteurs algébriques Placement de pôles algébriques : le correcteur RST Florent Nageotte () 55 / 76

59 Plan de la présentation Correcteurs algébriques Placement de pôles algébriques : le correcteur RST 1 Correction par transposition 2 Synthèse numérique des correcteurs Synthèse fréquentielle Stabilité interne Placement de pôles 3 Correcteurs algébriques Placement de pôles algébriques : le correcteur RST Florent Nageotte () 56 / 76

60 Structure du RST Correcteurs algébriques Placement de pôles algébriques : le correcteur RST Système numérique G(z) = K Πm j=1(z z j ) Π n i=1 (z p i) d = n m retard pur du système A(0) = 1 : polynôme monique Correcteur R, S, T : polynômes en z 1 R : chaîne de retour 1 : chaîne directe S T : préfiltre = z (n m) K Πm j=1(1 z j z 1 ) Π n i=1 (1 p iz 1 ) = z d B(z 1 ) A(z 1 ) Florent Nageotte () 57 / 76

61 Structure Correcteurs algébriques Placement de pôles algébriques : le correcteur RST y d (k) + T (z 1 ɛ(k) 1 y(k) ) S(z G(z) 1 ) R(z 1 ) correcteur RST Florent Nageotte () 58 / 76

62 Correcteurs algébriques Synthèse par placement de pôles Placement de pôles algébriques : le correcteur RST Objectif Donner au système en BF un comportement désiré donné par une fonction de transfert modèle : F m(z 1 ) = Nm(z 1 ) A m(z 1 ) avec A m(0) = 1 Méthode Identification de F m(z 1 ) avec la FTBF FTBF(z) = = T (z 1 )G(z) S(z 1 )(1 + G(z)R(z 1 ) S(z 1 ) ) z d B(z 1 )T (z 1 ) A(z 1 )S(z 1 ) + z d B(z 1 )R(z 1 ) N m A m = z d BT AS+z d BR A m = λ(z 1 )(AS + z d BR) N m = λ(z 1 )(z d BT ) Florent Nageotte () 59 / 76

63 Correcteurs algébriques Placement de pôles algébriques : le correcteur RST Contraintes Le système bouclé a un retard supérieur ou égal à celui du procédé On écrira donc : N m = z d B m Si on veut imposer un retard de f périodes d échantillonnage dans le correcteur, on fera N m = z (d+f ) B m Le numérateur de la boucle fermée contient les zéros du procédé. Or les zéros instables ne peuvent pas être compensés = B m doit contenir les zéros instables du procédé Compensations possibles On peut compenser les pôles stables du système à l aide de R On peut compenser les zéros stables du système à l aide de S Si on ne veut pas compenser un zéro z i, celui-ci doit se trouver dans B m Florent Nageotte () 60 / 76

64 Synthèse RST de base Correcteurs algébriques Placement de pôles algébriques : le correcteur RST choix de A m(z 1 ) choix des pôles que l on souhaite compenser : A + (z 1 ) A (z 1 ) doit contenir les pôles à l extérieur ou sur le cercle unité choix des zéros que l on souhaite compenser : B + (z 1 ) B (z 1 ) doit contenir les zéros à l extérieur ou sur le cercle unité choix de B m(z 1 ) qui doit contenir B (z 1 ) S(z 1 ) = B + (z 1 )S (z 1 ) R(z 1 ) = A + (z 1 )R (z 1 ) BT AS + z d BR = Bm A m B B + T A + A S B + + z d B B + R A + ) = B B + m A m T A S + z d B R = A+ B + m A m Equations diophantiennes : j A S + z d B R = A 0 A m T = A 0 A + B + m Florent Nageotte () 61 / 76

65 Correcteurs algébriques Résolution des équations diophantiennes Placement de pôles algébriques : le correcteur RST Problème A, B, C polynômes connus X et Y polynômes recherchés AX + BY = C si deg(a) + deg(b) > deg(c) équation régulière sinon équation non régulière Solutions infinité de solutions deg(x) deg(b) 1 et deg(y ) deg(a) 1 solutions minimales : deg(x) = deg(b) 1 ou deg(y ) = deg(a) 1 Si équation régulière : 1 solution minimale (deg(x) = deg(b) 1 et deg(y ) = deg(a) 1) Si équation non régulière : 2 solutions minimales minimale en X : deg(x) = deg(b) 1 et deg(y ) = deg(c) deg(b) minimale en Y : deg(y ) = deg(a) 1 et deg(x) = deg(c) deg(a) Solution particulière : X p, Y p Solution générale : X = X p + QB, Y = Y p QA Florent Nageotte () 62 / 76

66 Correcteurs algébriques Recherche des solutions minimales Placement de pôles algébriques : le correcteur RST Equation régulière deg(x) = deg(b) 1 = m et deg(y ) = deg(a) 1 = n deg(a) + deg(b) équations à deg(a) + deg(b) inconnues résolution matricielle = solution unique Equation non régulière deg(x) = deg(b) 1 et deg(y ) = deg(c) deg(b) deg(c) + 1 équations à deg(c) + 1 inconnues résolution matricielle = solution unique Florent Nageotte () 63 / 76

67 Exemples Correcteurs algébriques Placement de pôles algébriques : le correcteur RST Résoudre les équations diophantiennes suivantes : (z 2 + 2z 1 + 1)X + (2z 1 3)Y = 2z 3 z 2 z (z 2 + 2z 1 + 1)X + ( z 2 + 2z 1 3)Y = 2z 3 z 2 z Florent Nageotte () 64 / 76

68 Solutions Correcteurs algébriques Placement de pôles algébriques : le correcteur RST Résoudre les équations diophantiennes suivantes : (z 2 + 2z 1 + 1)X + (2z 1 3)Y = 2z 3 z 2 z X = 0.8 et Y = z 1 + z 2 X = z 1 et Y = z 1 (z 2 + 2z 1 + 1)X + ( z 2 + 2z 1 3)Y = 2z 3 z 2 z X = z 1 et Y = z 1 Florent Nageotte () 65 / 76

69 Correcteur RST Correcteurs algébriques Placement de pôles algébriques : le correcteur RST j A S + z d B R = A 0 A m T = A 0 A + B m + Résolution : solution minimale (en S ou R ) Calcul de T S(z 1 ) = B + (z 1 )S (z 1 ) R(z 1 ) = A + (z 1 )R (z 1 ) Florent Nageotte () 66 / 76

70 Correcteurs algébriques Fonctions de transferts de la boucle fermée Placement de pôles algébriques : le correcteur RST W δy y d (k) T (z 1 ɛ(k) y(k) ) 1 S(z 1 ) + G(z) + R(z 1 ) correcteur RST Y Y c = z d BT AS + z d BR = z d B B + A 0 A + B + m A A + S B + + z d B + B R A + = z d B A 0 B + m A S + z d B R = z d A 0 B m A 0 A m = z d B m A m Y W = z d BS A + A 0 A m Florent Nageotte () 67 / 76

71 Correcteurs algébriques Placement de pôles algébriques : le correcteur RST Y δy = A S A 0 A m U Y c = AB+ m B + A m U W = z d R B A 0 A m U δy = AR B + A 0 A m Florent Nageotte () 68 / 76

72 Choix de A 0 Correcteurs algébriques Placement de pôles algébriques : le correcteur RST N intervient pas dans le transfert Y c Y Intervient dans les transferts W Y et δy Y A utiliser pour filtrer les perturbations Sinon A 0 = 1 Florent Nageotte () 69 / 76

73 Choix de A m Correcteurs algébriques Placement de pôles algébriques : le correcteur RST Détermine principalement le comportement de la BF par rapport à la consigne Modèle de type 1 er ou 2ème ordre choix des pôles dominants Florent Nageotte () 70 / 76

74 Choix de B + m, B + et A + Correcteurs algébriques Placement de pôles algébriques : le correcteur RST Les transferts Yc U et δy U ont B + au dénominateur. Si B + a des zéros réels négatifs risque d une commande alternée = Eviter de compenser les zéros réels négatifs stables du procédé On mettra souvent les zéros réels négatifs dans B les pôles compensés dans A + apparaîssent dans Y W. Si A+ contient des pôles lents la perturbation de charge sera rejetée lentement. Florent Nageotte () 71 / 76

75 Objectifs supplémentaires Correcteurs algébriques Placement de pôles algébriques : le correcteur RST Rejet de perturbations d ordre n Il faut n + 1 intégrateurs entre le comparateur et le point d application de la perturbation Ajout de l intégrateurs dans On impose S = S 1 (1 z 1 ) l Equation diophantienne 1 S(z 1) A S 1 (1 z 1 ) l + z d B R = A 0 A m Florent Nageotte () 72 / 76

76 Objectifs supplémentaires Correcteurs algébriques Placement de pôles algébriques : le correcteur RST Annulation de l erreur permanente pour une consigne d ordre n Annuler Y c Y : Intégrateurs insuffisants à cause de R T consigne d ordre n : Y c = N (1 z 1 ) n+1 ɛ = Y c Y = Y c(1 B+ mb z d ) = (Am B+ mb z d )N A m A m(1 z 1 ) n+1 Pour annuler lim z 1 (1 z 1 )ɛ, il faut que A m B + mb z d = (1 z 1 ) n+1 P(z 1 ) Equation diophantienne auxiliaire : Inconnues P et B + m = B + m partiellement imposé B + mb z d + (1 z 1 ) n+1 P = A m Florent Nageotte () 73 / 76

77 Correcteurs algébriques Placement de pôles algébriques : le correcteur RST Cas particulier de l erreur statique Exemple : B + m de degré minimal B + m(1)b (1) A m(1) = 1 = B + m(1) = Am(1) B (1) B + m(z 1 ) = Am(1) B (1) Florent Nageotte () 74 / 76

78 Correcteurs algébriques Forme particulière : correcteur série Placement de pôles algébriques : le correcteur RST Si R = T RST C(z 1 ) = R(z 1 ) S(z 1 ) devient T = A 0 A + B + m R = A 0 A + B + m comme R = R A + une solution est A 0 = 1, Bm + = R B + m est imposé par la synthèse Le correcteur perd des degrés de liberté Remarque Avec T = R, on ne peut pas résoudre l équation diophantienne auxiliaire. Comme pour les correcteurs série classiques, l annulation des erreurs permanentes p/r à la consigne se fait par l ajout d intégrateurs dans S. Florent Nageotte () 75 / 76

79 Correcteurs algébriques Implantation du correcteur RST Placement de pôles algébriques : le correcteur RST R(z 1 ) = r 0 + r 1 z r mz m S(z 1 ) = s 0 + s 1 z s nz n T (z 1 ) = t 0 + t 1 z t pz p U(z 1 ) = 1 S(z 1 ) (T (z 1 )Y c(z 1 ) R(z 1 )Y (z 1 )) U(z 1 )(s 0 + s 1 z s nz n ) = ((t 0 + t 1 z t pz p )Y c(z 1 ) (r 0 + r 1 z r mz m )Y (z 1 ) nx s i u(k i) = i=0 px mx t j y c(k j) r k y(k j) j=0 k=0 u(k) = 1 nx px mx ( s i u(k i) + t j y c(k j) r k y(k j)) s 0 i=1 j=0 k=0 Florent Nageotte () 76 / 76