Optique de Fourier. Examen durée : 2h

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1 Optique de Fourier Examen durée : 2h Documents interdits Calculatrice non autorisée Ordinateur non autorisé Une fiche résumé du cours et des formules mathématiques sont fournies en annexe. Problème 1 (NOTA: de nombreuses questions sont indépendantes entre-elles) Onde plane monochromatique Objet (transmittance t(x)) Objectif (ON) d 0 x Pupille (largeur D) z Figure 1 On considère le dispositif experimental représenté sur la Figure 1. L'objet, mince, a une transmittance complexe t(x) = exp( j2πx/λ). Cet objet est éclairé par une onde plane monochromatique en incidence normale. L'image de cet objet est formée au moyen d'un objectif de microscope d'ouverture numérique dans l'espace objet ON = sinθ!"#. 1.1 Monter que cet objet transforme l'onde plane incidente en une onde plane déviée d'un angle θ par rapport à la direction incidente. En utilisant la relation entre les fréquences spatiales d'une onde plane et sa direction de propagation, exprimer θ en fonction de Λ (période de t(x)) et de la longueur d'onde λ. sinθ = λν! avec ν! = 1/Λ 1.2 Montrer que l'image de l'objet ne pourra pas être formée si Λ <!!". Une plane est transmisse par l'objectif à condition que son inclinaison θ soit inférieure à θ!"#. Cela implique Λ > λ/on. Si Λ < λ/on l'onde n'est pas transmise. 1

2 1.3 En déduire la fréquence de coupure ν! (en éclairage cohérent) du système d'imagerie. ν! = 1/Λ = ON/λ 1.4 Si l'onde plane incidence éclaire l'objet avec un angle d'incidence θ!, quelle est alors la direction de propagation de l'onde transmise par l'objet? sinθ + sinθ! =!! 1.5 Montrer que si l'objet est éclairé par un faisceau lumineux présentant une distribution d'angles d'incidence autour de l'axe optique z comprise entre -θ!! et +θ!!, il est possible d'augmenter la fréquence de coupure du système d'imagerie jusqu'à une valeur ν!,!"# que l'on explicitera en fonction de ON, λ, θ!!. ν!,!"# = ON + sinθ!m λ 1.6 Commenter l'influence de la cohérence spatiale de l'éclairage sur la résolution spatiale du système optique. En diminuant la cohérence spatiale, on voit qu'on peut augmenter la fréquence de coupure, c'est à dire améliorer la résolution. L'objectif est assimilé à une lentille mince convergente de focale f ne présentant aucune aberration. On considère que la pupille de l'objectif est une fente de largeur D, ce qui revient à traiter le problème à une seule direction transverse x. L'objet est situé à une distance d 0 de l'objectif. L'objet est éclairé par une onde plane monochromatique en incidence normale. 2.1 A quelle condition pourra-t-on observer une image réelle située à une distance d derrière l'objectif? Optique géométrique : il faut que d 0 > f 2.2 Calculer et tracer la réponse percussionnelle en amplitude h(x) de l'objectif. Préciser la (½) largeur Δx de h(x), définie comme l'abscisse du premier zéro de cette fonction. h(x) = p x λd πdx = sinc λd Δx = λd D 2.3 Calculer la fonction de transfert cohérente H(ν! ) et la tracer. H(ν! ) = Rec!"! ν!. Distribution rectangle de largeur totale!!". 2

3 2.4 Quelle est la fréquence de coupure du système optique dans le plan image? La fréquence de coupure au niveau de l'image est!!!". 2.5 En déduire la fréquence de coupure dans le plan de l'objet (on supposera pour faire le calcul que θ!"# 1radian)? Comparer avec le résultat de la question 1.3. Pour se ramener dans le plan objet on multiplie la fréquence de coupure au niveau de l'image par le grandissement, égal à!!!. En supposant sinθ!"# = θ!"#, on obtient ν! = ON/λ (idem question 1.3). L'objet est désormais éclairé au moyen d'une source de lumière incohérente spatialement. 2.6 Donner l'expression de la fonction de transfert incohérente H!"# (ν! ). Tracer cette fonction. H!"# (ν! ) est une distribution "triangle" de largeur totale!!!". 2.7 Quelle est la fréquence de coupure dans le plan image? Comparer avec le résultat de la question 2.4. La fréquence de coupure au niveau de l'image est!, soit le double de celle obtenue en!" éclairage cohérent. 2.8 Commenter l'influence de la cohérence spatiale de l'éclairage sur la résolution du système d'imagerie. Est-ce en accord avec les résultats de la question 1.5? On peut théoriquement doubler la fréquence de coupure en passant d'un éclairage cohérent à un éclairage incohérent. Mais plus la fréquence augmente plus elle est atténuée en incohérent (FTM décroissante) alors que la transmission est constante en cohérent (FTM plate). Résultats en accord avec les considérations "géométriques" du 1.5. En éclairage incohérent, la résolution d'un système optique peut être définie à partir de la largeur de la réponse percussionnelle (incohérente). Selon le critère de Rayleigh, la limite de résolution correspond à la distance entre la position du maximum de la réponse percussionnelle (incohérente) et celle de son premier zéro. 2.9 En vous aidant de la figure 2, commenter la pertinence de cette définition de la résolution Calculer la résolution dans l'espace image du système d'imagerie précédent selon le critère de Rayleigh. Comparer au résultat de la question 2.7 h!"# (x) = h(x)!. D'après la question 2.2, on a Δx =!". C'est le double de l'inverse de la! fréquence de coupure (en éclairage incohérent). 3

4 L'objet est maintenant un réseau de diffraction dont la transmittance en amplitude s écrit t x =!! 1 + γcos 2π!!! avec 0 < γ < 1. L'objet est éclairé par une onde plane en incidence normale. 3.1 Montrer que ce réseau transforme l'onde plane incidente en 3 ondes planes se propageant dans des directions différentes que l'on calculera (on pourra pour cela écrire la fonction "cosinus" à partir de fonctions "exponentielles complexes"). t x = γ 2 exp j2π x p! + exp j2π x p! On a 3 ondes planes de fréquences spatiales ν! = 0, 1/p!, +1/p!, c'est à dire se propageant selon sinθ = 0, λ/p!, +λ/p!. 3.2 A quelle condition sur la période p! du réseau, l'objet pourra-t-il être résolu par le système d'imagerie (en éclairage cohérent, i.e avec une onde plane d'illumination normale à z)? Il faut que sinθ < ON soit p! > λ/on 3.3 Donner l'expression de la répartition d'amplitude complexe dans le plan image dans ce cas. Quel est le contraste de cette image (en amplitude complexe)? U x =! 1 + γcos 2π! où p = p!!! grandissement Le contraste de l'image est le même que celui de l'objet, égal à γ. Si la source de lumière utilisée présente une densité spectrale de puissance suffisamment étroite, il est possible d'observer des interférences résultant de réflexions sur les différents dioptres à l'intérieur de l'objectif de microscope (système optique multi-éléments). 4.1 En supposant que la distance minimale entre deux dioptres correspond à une épaisseur optique e dans l'air, expliciter une condition sur la largeur minimale Δν de la densité spectrale de la source afin de ne pas être géné par ces interférences parasites. Ré-écrire cette condition en fonction de la finesse spectrale de la source N = λ! /Δλ, où λ 0 est la longueur d'onde moyenne et Δλ la largeur spectrale. Il faut que la longueur de cohérence (temporelle) l! soit inférieure à 2e. Comme Δν = c/l!, on a Δν > c/2e, soit Δλ > λ!! /2e, ou encore N < 2e/λ! 4

5 Figure 2 : Définition de la résolution selon le critère de Rayleigh. Problème 2 1. Calculer la figure de diffraction de Fraunhofer donnée par 2 fentes (géométrie indiquée sur la Figure 3), éclairée en incidence normale par une onde plane monochromatique de longueur d'onde λ. I x = sinc! πax λf cos! πbx λf a b x z Figure 3 2. Tracer la répartition transverse d'intensité I x de cette figure de diffraction lorsque b = 2a. 5

6 I x = sinc!!"!!" cos!!!!"!". On a 5 franges dans le lobe central de l'enveloppe en sinc. 3. Proposer un dispositif expérimental permettant d'enregistrer une image de cette figure de diffraction au moyen d'une caméra CCD muni d'un objectif de focale f. Source d'éclairage collimatée. Objectif de la caméra mis au point à l'infini. 4. Donner une condition sur la largeur e p des pixels (carrés) de la caméra CCD en fonction des paramètres λ, f et b, pour que l'image soit correctement acquise (on utilisera le critère d'échantillonnage de Nyquist-Shannon). Il faut que les franges d'interférences soient correctement échantillonnées. D'après Shannon, 2 pixels par franges. Cela donne e! <!"!! 5. On suppose que l'écart-type du bruit de la caméra est égale à 1/10 ème du signal maximal détecté. Combien voit-on alors de franges d'interférence dans l'image acquise lorsque b = 2a (on pourra s'aider de la table ci-dessous)? On voit 3 franges contenues dans le lobe central de l'envelope en sinc. Les autres ont une amplitude inférieure à l'écart-type du bruit. 6

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