Thème : Son et musique

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1 TS spécialité page 1 Pratique expérimentale (Objectif ECE): Les vibrations d une corde tendue de guitare sont-elles régies par des lois mathématiques? Mots clés : Instruments à cordes Une guitare comporte six cordes de diamètres et de natures différents. Pour produire des sons, le guitariste fait vibrer ces cordes en les pinçant. Au cours de cette activité expérimentale, on se propose de modéliser une corde de guitare afin d en dégager des lois mathématiques. Document n 1 Les cordes des guitares acoustiques La guitare acoustique possède trois parties principale : des cordes au nombre de 6, un manche et une caisse de résonance servant à amplifier les vibrations des cordes. Celles-ci sont fixées à leurs deux extrémités. Les cordes ont des noms (Mi 1, La 1, Ré 2, Sol 2, Si 2, Mi 3 ) et des aspects différents. Document 2 Modélisation d une corde de guitare Pour modéliser une corde tendue de guitare fixée aux deux extrémités, on utilise le dispositif cidessous. Une corde est tendue à l aide d une masse M via une poulie et fixée à l extrémité d un vibreur dont on peut faire varier la fréquence f de vibration à l aide d un générateur basse fréquence (GBF). La masse M exerce sur la corde une force équivalente au poids P=M g de cette masse M (g : intensité du champ de la pesanteur =9,81 N/kg) et permet de choisir la tension de la corde de façon analogue au guitariste qui règle les six vis («mécanique») au niveau de la tête de la guitare.

2 TS spécialité page 2 Lorsqu une onde se propage sur la corde grâce au vibreur, elle se propage à la vitesse V et est réfléchie de nombreuses fois aux extrémités. Pour certaines fréquences particulières du vibreur appelées «fréquences propres de vibration», on obtient des ondes dites stationnaires se manifestant par la présence d un ou plusieurs fuseaux selon la fréquence f. On observe alors dans cette situation particulière que certains points de la corde sont constamment immobiles (nœuds N de vibration) tandis que d autres vibrent avec une grande amplitude (ventres V de vibration). Dans une guitare, l excitation de la corde avec le doigt permet aussi de réaliser des ondes stationnaires c est à dire des vibrations qui entraînent, de par leurs fréquences audibles, une onde acoustique amplifiée par la caisse de résonance. Document n 3 Matériels disponibles -Un ordinateur avec le logiciel Latispro (tableur-grapheur) ; -Un vibreur posé sur un support élévateur ; -Une corde de 1m de longueur approximativement ; -Une règle graduée ; -Un jeu de masselottes avec notamment une masse M=50g ; -Une tige verticale sur pied avec poulie. Document n 4 Protocole expérimental -Choisir les paramètres suivants : M =50 g ; L =0,80 m -Augmenter la fréquence de vibrations f du vibreur jusqu à atteindre la fréquence f 1 entraînant une onde stationnaire avec un seul fuseau ample: cette fréquence f 1 est appelée fréquence fondamentale (ou premier harmonique). -Continuer à augmenter f et noter successivement les fréquences f 2, f 3, f 4 et f 5 permettant d obtenir des ondes stationnaires (visualisation de fuseaux amples). Ces fréquences propres de vibration de la corde sont aussi appelées harmoniques. TRAVAIL A EFFECTUER I ) ETUDE DES ONDES STATIONNAIRES 1 ) S approprier ( 5 minutes conseillées) 1.1 ) Comme tous les instruments de musique, la guitare dispose d un excitateur (système mécanique vibrant) et d un résonateur. Localiser «l excitateur» et le «résonateur» dans une guitare.

3 TS spécialité page ) Sur une corde donnée de la guitare, comment un guitariste peut-il modifier la hauteur de la note? Quelle caractéristique physique du son est alors modifiée? 2 ) Réaliser ( 15minutes conseillées) Mettre en œuvre le protocole du document n 4 à l aide du matériel décrit dans le document n 3. Pour chaque fréquence propre de vibration obtenue, mesurer la longueur d un fuseau et compléter le tableau ci-dessous : Tableau 1 Nombre de fuseaux n mode propre de vibration Fréquence (Hz) f 1 = f 2 = f 3 = f 4 = Longueur d un fuseau (m) 3 ) Analyser ( 20minutes conseillées) 3.1 ) Faire le schéma de la corde lorsque n = 1 (mode propre n 1), n=2 (mode propre n 2), n=3 (mode propre n 3). Repérer dans chaque cas les ventres «V» et les nœuds «N» de vibration de la corde. Vibreur Poulie Mode 1 M Vibreur Poulie Mode 2 M

4 TS spécialité page 4 Vibreur Poulie Mode 3 M 3.2 ) Déduire des résultats du tableau une relation entre f 1 et les autres fréquences f n (n=2,3,4 )... Pourquoi parle-t-on, d après-vous, de «quantification» des fréquences? f n = n f ) L onde stationnaire dans les différents modes (n=1,2,3, ) correspond-t-elle à une onde transversale? Longitudinale? Justifier. 3.4 ) Une onde mécanique sinusoïdale est caractérisée par une période temporelle T et une période spatiale appelée longueur d onde. A quoi correspond la longueur d un fuseau dans les différents modes propres de vibration? En déduire, pour les modes n=1,2 et 3, la relation entre la longueur L de la corde et la longueur d onde n dans le mode n. 4 ) Valider ( 10 minutes conseillées) Quelle est la relation générale entre L, n et n traduisant la condition qui permet d avoir des ondes stationnaires dans le mode n? L = n n = 1, 2, 3,

5 TS spécialité page 5 II ) CELERITE V DE L ONDE INCIDENTE ET DES ONDES REFLECHIES AUX DEUX EXTREMITES DE LA CORDE Une onde stationnaire résulte de la superposition d une onde incidente et d ondes se réfléchissant aux deux extrémités fixes ayant toutes une même célérité V le long de la corde tendue. Dans cette partie, on se propose de déterminer la célérité de l onde incidente et réfléchie. 1 ) Réaliser ( 10minutes conseillées) : Détermination de et T Déduire des mesures du tableau n 1 précédent la période temporelle T et la période spatiale de l onde stationnaire dans chaque mode n. Nombre de fuseaux n mode propre de vibration Période temporelle (s) T 1 = T 2 = T 3 = T 4 = Longueur d onde (m) 1 = 2 = 3 = 4 = 2 ) Analyser ( 10 minutes conseillées) A partir de l ensemble des résultats du tableau, proposer une méthode permettant de déterminer la célérité V le long de la corde tendue à l aide du tableur-grapheur Latispro (Remarque : dans Latispro, on pourra noter sous la forme «Lamda») APPEL 1 Appeler le professeur pour la vérification de la méthode proposée en vue de déterminer la célérité V ou, en cas de difficulté, pour obtenir de l aide.

6 3 ) Valider ( 10 minutes conseillées) TS spécialité page 6 En mettant en œuvre la méthode précédemment décrite et validée par le professeur, déterminer la valeur de la célérité V des ondes le long de la corde tendue par la masselotte M=50g. V =.. unité :. III ) RELATION ENTRE LA FREQUENCE f 1 DU FONDAMENTAL, LA LONGUEUR L ET LA CELERITE V 1 ) Réaliser ( 20minutes conseillées) : relation entre L et f 1 On fixe M = 50 g et on règle f de façon à obtenir un fuseau pour différentes valeurs de L. Mesurer la fréquence du fondamental f 1 dans chaque cas. L (m) 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 f 1 (Hz) -A l aide de Latispro, créer un tableau avec deux colonnes «f 1» en «Hz» et «L» (en m). -A l aide d une feuille de calculs de Latispro, calculer «invl=1/l» -Représenter graphiquement «f 1» en fonction de «InvL» (en fait 1/L). -Modéliser à l aide du modèle linéaire «f 1 = a invl» a =. coef. de corrélation r = -Le modèle est-il satisfaisant? 2 ) Analyser ( 10 minutes conseillées) : Graphe f 1 (1/L) 2.1 ) Procéder à une analyse dimensionnelle du modèle linéaire «f 1 = a invl». Quelle est l unité de a?

7 TS spécialité page ) En comparant la valeur de «a» à la valeur de la célérité V trouvée en II.3 ), proposer une relation simple entre a et V?. a = unité : 3 ) Valider ( 5 minutes conseillées) Déduire de l analyse précédente, une relation entre f 1, V et L f 1 = IV ) POUR CONCLURE : ( 5 minutes conseillées) Les vibrations d une corde tendue de guitare sont régies par des lois mathématiques De l extrémité du manche à la caisse de résonance, les frettes sont numérotées 0, 1, 2, 3, Lorsque le guitariste appuie sur une corde entre deux frettes, la longueur L de vibration de la corde correspond à la distance entre le sillet du chevalet et la frette de numéro plus élevé. A partir d une des lois mathématiques obtenues au cours de cette séance, expliquer l effet sur la hauteur du son lorsqu on passe d un numéro de frette à un numéro de frette plus élevé?