Contrôle optimal d un serveur de production avec coûts non linéaires

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1 Contrôle optimal d un serveur de production avec coûts non linéaires Grenoble Sciences pour la Conception et l Optimisation de la Production Par Rachid LABRIK ENSIMAG 2A-MMIS Dans le cadre du module Introduction À La Recherche En Laboratoire Encadrants Jean-Philippe Gayon Samuel Vercraene Mai 2012

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3 Table des matières 1 Introduction Générale Contexte du travail et présentation de l équipe Motivation et présentation de la problématique État de l art Contributions Production sans coût de set up Description du problème Processus de décision markovien du modèle Équations d optimalité Caractérisation de la politique optimale Production avec coût de set up Description du modèle Processus de décision markovien du modèle Équations d optimalité Caractérisation numérique de la politique optimale Les propriétés numériques de la fonction de valeur Les propriétés de la fonction de valeur Production par lot Description du problème traité et les différentes hypothèses faites Processus de décision markovien Équations d optimalité Caractérisation de la politique optimale

4 5 Conclusion Bilan du travail fourni Perspectives Bilan personnel A Le code source en JAVA du deuxième module 25 3

5 Chapitre 1 Introduction Générale 1.1 Contexte du travail et présentation de l équipe Les travaux présentés dans ce document s inscrivent dans le cadre du module Introduction à la Recherche en Laboratoire. Ce module consiste à réaliser un petit travail de recherche dans un laboratoire grenoblois de recherche sur un sujet proposé par des enseignants-chercheurs. Ce travail a eu lieu au laboratoire G-SCOP au sein de l équipe "Optimisation et systèmes de production", cette équipe a pour domaine d étude l optimisation combinatoire, la recherche opérationnelle pour les systèmes de production et la gestion des systèmes de production. Il a été encadré par Jean-Philippe Gayon un enseignant-chercheur et Samuel Vercraene un doctorant et il portait sur le contrôle optimal d un serveur de production avec coûts non linéaires. 1.2 Motivation et présentation de la problématique Fournir le produit ou le service désiré par le client, avec un coût minimum en tenant compte de tous les coûts non linéaires et principalement les coûts de stockage et les coûts de lancement de serveur de production est de nos jours le souci majeur de chaque entreprise existant dans un marché local ou international. Par exemple, supposons qu une entreprise vend des produits qu elle fabrique ellemême avec des machines qui demandent une intervention d un technicien compétant à chaque lancement de la production. L intervention de ce technicien peut être modélisé par un coût fixe que l on appelle "coût de set up". Alors, pour un contrôle optimal du serveur de production, on doit obligatoirement prendre en compte ce coût. C est dans ce contexte que ce sujet a été traité dont l objectif est le contrôle optimal d un serveur de production avec coûts non linéaires. L outil utilisé pour traité ce problème est la programmation dynamique stochastique (ou processus de décision markovien) qui 4

6 CHAPITRE 1. INTRODUCTION GÉNÉRALE permet d étudier des problèmes de prise de décision. Les applications sont nombreuses : contrôle de files d attente, ordonnancement, gestion des stocks, etc... Afin de caractériser la politique optimale, on peut démontrer des propriétés de la fonction de valeur (convexité, super-modularité). Pour ce faire, nous allons dans le chapitre 2 commencer par un problème simple déjà résolu qui est le modèle de gestion de stock sans coût de set up pour se familiariser avec ce genre de problème [4]. Dans le chapitre 3, nous allons essayer de traiter le même modèle mais avec un coût de set up non nul. Ainsi, nous observons numériquement que la politique optimale est (s, S) c est à dire on lance la production si le stock est inférieur à s et on l arrête lorsque le stock atteint S. Nous obtenons ensuite quelques résultats théoriques sans pour autant réussir à démontrer cette conjecture. Enfin, dans le chapitre 4, nous essayerons de voir un autre problème similaire mais avec la possibilité de produire plusieurs unités avec un coût fixe de commande. Ce modèle nous permet de simplifier le deuxième modèle. Et nous monterons que sa politique optimale est la politique (s,s). 1.3 État de l art Dans ce travail de recherche, nous étudions un problème de gestion de stock avec des demandes et des productions non stationnaires qui sont modélisés par une file M/M/1, et un coût de set up non nul. Ce problème se caractérise par son originalité, et il combine plusieurs problèmes déjà traités dans la littérature, d où sa complexité : Un modèle de stock sans coût fixe (coût de set up nul) avec des demandes supposées constantes et connues avec certitude, un coût de passation d une commande et un coût de possession [1] c est ce qu on appelle le modèle EOQ. La politique optimale de ce modèle consiste à réapprovisionner une quantité constante Q lorsque le stock s annule. Un modèle de stock comme le notre mais avec un coût de set up nul [3]. Les demandes et les productions sont modélisés par une file M/M/1 dans le cas de backorders c est à dire les clients se mettent en attente lorsque leurs commandes ne peuvent pas être satisfaites ce que entraine un coût de rupture de stock. la politique optimale de ce modèle est base-stock : on produit tant que le stock est inférieur à une un seuil S. Un modèle de gestion de stock comme ce dernier mais en lost sale c est à dire une demande qui ne peut être immédiatement satisfaite est alors perdue et accompagnée d un coût de vente perdue. La politique optimale reste la même (base-stock) [4]. Dans tout ce document, nous utilisons des propriétés et définitions de la convexité et la super-modularité qui sont données dans la réference [5]. Et nous utiliserons les travaux de [2] qui consiste à transformer un processus de décision markovien à temps continu à un processus de décision markovien à temps discret c est ce qu on appelle le processus d uniformisation. 5

7 CHAPITRE 1. INTRODUCTION GÉNÉRALE 1.4 Contributions Les deux modèles traités dans ce document sont des modèles ouverts dans le domaine de la gestion de stock. Nous les avons modélisés avec des programmes dynamiques stochastiques qui nous a permis de caractériser leur solutions optimales numériquement pour l un et théoriquement pour l autre. Nous obtenons ensuite quelques premiers résultats théoriques pour le premier modèle sans pour autant caractériser sa politique optimale. Et nous démonterons la politique optimale du deuxième modèle. 6

8 Chapitre 2 Production sans coût de set up Le modèle étudié dans ce chapitre est un modèle simple de gestion de stock. Et c est la base de tous les autres modèles que nous aborderons. D abord, nous allons décrire ce modèle avec les différentes hypothèses adoptées. Ensuite, nous caractérisons la politique optimale qui minimise le coût total. 2.1 Description du problème Considérons une société qui vend des produits et qui produit une seule catégorie du produit. Elle souhaite décider combien d articles à produire pour un niveau de stock donné. Son objectif est alors de chercher une politique qui minimise le coût total. Pour ce faire, nous allons supposé que : La file d attente est une file M/M/1 La demande est un processus de Poisson de taux λ La production est une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre µ Chaque produit en stock induit un coût de stockage c h par unité de temps. FIGURE 2.1 Modèle classique de gestion de stock On suppose également qu une demande non satisfaite induit un coût de vente perdue qui est c l. Ce coût correspond aux pertes des marges et profits et la dégradation de l image de marque de l entreprise. L objectif est alors de trouver la politique optimale qui minimise le coût total actualisé du système à horizon infini. Notre problème peut être modélisé par un problème de de décision markovien à temps 7

9 CHAPITRE 2. PRODUCTION SANS COÛT DE SET UP continu puisque l objectif est de trouver la politique optimale qui minimise le coût total actualisé du système à horizon infini. Or, le coût total actualisé est la somme de coût de production, de stockage et de ventes perdues donc son expression est donnée par : [ ] v π (x) = E e αt c p dwx π (t) + e αt c h dxx π (t) + e αt c l dyx π (t) 0 Avec : π est la politique avec laquelle est associé notre processus. x est le stock initial. α est le taux d actualisation (α > 0) Xx π (t) est le niveau de stock disponible à l instant t. Yx π (t) est le nombre de demande n ayant pas été satisfaites jusqu à l instant t Wx π (t) est le nombre de produits fabriqués jusqu à l instant t. 0 Alors, notre objectif sera de déterminer la politique π qui minimise ce coût, et on note : v (x) = v π (x) = min v π (x) π Ce problème a été déjà traité [4] et l expression de v (x) satisfait des équations qu on appelle les équations d optimalités Processus de décision markovien du modèle Un processus de décision markovien peut être vu comme une chaîne de Markov à laquelle on ajoute une composante décisionnelle. Il permet de prendre des décisions dans un environnement lorsque l on a une certitude sur l état dans lequel on se trouve et en présence d incertitude sur l effet des actions à prendre [2]. Le processus de décision markovien associé au modèle de gestion de stock avec les ventes perdues (Lost sale cost ) est donnée par : µa µa µa λ(1 a) λ(1 a) λ(1 a) FIGURE 2.2 Processus de décision markovien du modèle avec les ventes perdues Cette chaîne décrit complètement le système avec ses différents états.a est l action à prendre (si a = 1 alors on produit sinon on ne produit pas). 8

10 CHAPITRE 2. PRODUCTION SANS COÛT DE SET UP Pour avoir la politique optimale, nous allons montrer que ces états sont borné par un seuil S qu on calculera numériquement. 2.3 Équations d optimalité Les équations d optimalité permettent de caractériser la politique optimale qui minimise le coût total actualisé du système. Cette politique est donnée par les actions qu il faut prendre pour chaque état. La valeur optimale du coût est donné par l équation suivante : v (x) = T v (x), x N, Avec T v(x) = 1 C [c hx + µt p v(x) + λt d v(x)] Avec C = λ + µ + α et T p v(x) = min[v(x), v(x + 1) + c p ] T d v(x) = { v(x 1) si x > 0 v(x) + cl si x = 0 L opérateur T p est associé à la décision optimale de production. L opérateur T d est associé à la demande. 2.4 Caractérisation de la politique optimale Dans cette section nous allons caractériser la politique optimale de ce modèle numériquement et théoriquement. Pour ce faire, nous avons implémenté un programme dynamique pour représenter les équations d optimalité sous le langage JAVA. Ce programme cherche le point fixe de l opérateur T et il s arrête lorsque la différence entre v n+1 et v n est très petite. Cette implémentation nous permet de calculer v et la politique optimale du modèle. Ainsi, ce programme donne le vecteur décisionnel de production spécifiant pour chaque état du système la décision qu il faut prendre. Pour voir la politique optimale nous avons fait plusieurs tests avec différents valeurs des paramètres λ, µ, c h et c l. Nous constatons donc que la politique est base-stock puisque les éléments du vecteur décisionnel a sont de la forme : a[i] = 1 i S et a[i] = 0 i > S C est à dire il faut produire tant que on a pas atteint le seuil S. Ce que s explique mathématiquement par le fait que la fonction du coût optimal est convexe. 9

11 CHAPITRE 2. PRODUCTION SANS COÛT DE SET UP C est à dire v(x) = v(x + 1) v(x) est croissant en x. La preuve est faite par itération en montrant que l opérateur T propage la convexité [4]. La chaîne de Markov est donnée par : µ µ µ S λ λ λ FIGURE 2.3 La chaine de Markov d un modèle de vente perdue Ce qui donne : x < S : Produire v(x) 0 x S : ne pas Produire v(x) 0 Par exemple la figure 2.4 donne le graphe de la fonction v pour des paramètres donnés. FIGURE 2.4 Le cout optimal v(x) pour les paramètres c h = 1, λ = 4, µ = 1, c p = 50, c l = 100 et S max = 1000 On remarque bien que la fonction du coût est convexe et que S (le base stock level) égal à

12 Chapitre 3 Production avec coût de set up Dans ce chapitre nous étudions le modèle général avec un coût fixe non nul. Pour ce faire, nous allons d abord donné le processus de décision markovien associé à ce problème en précisant les états possibles, les transitions ainsi que les différentes notations abordées. Ensuite, nous allons donner les équations d optimalité qui nous permettent d obtenir la politique optimale minimisant le coût. 3.1 Description du modèle En plus des hypothèses faites dans le modèle présenté chapitre 2 (vente perdue sans coût fixe), nous supposons que la mise en marche du serveur induit un coût de set up K non nul. 3.2 Processus de décision markovien du modèle La processus de décision markovien de ce modèle est un processus à deux dimensions (s, x) avec s l état du serveur (0 s il est éteint 1 sinon) et x et le niveau de stock. Les transitions dépendent de deux variables décisionnelles : { 1 si on doit mettre le serveur en marche a m = 0 si on l arrête Et { 0 si on doit mettre le serveur en marche a s = 1 si on l arrête 11

13 CHAPITRE 3. PRODUCTION AVEC COÛT DE SET UP (1 a s )µ (1 a s )µ (1 a s )µ 1, 0 1, 1 1, 2... λ λ λ a m λ a s µ a m λ a s µ a m λ a s µ a m λ 0, 0 0, 1 0, 2... (1 a m )λ (1 a m )λ (1 a m )λ 3.3 Équations d optimalité En se basant sur les résultats de Puterman [2], la valeur optimale du coût total de ce modèle est donné par l équation suivante : v (x, e) = T v (x, e), x N, e {0, 1} avec T v(x, e) = 1 C [c hx + µt p v(x, e) + λt d v(x, e)], C = λ + µ + α Avec Donc : et T p v(x, e) = { min[v(x + 1, 1) + cp, v(x + 1, 0) + c p ] si e = 1 min[v(x, 0), v(x + 1, 1) + K + c p ] si e = 0 T p v(x, e) = min[v(x + 1, 1) + c p + (1 e)k, v(x + e), 0 + ec p ] T d v(x, e) = { min[v(x 1, e), v(x 1, 1 e) + (1 e)k] si x > 0 min[v(x, e), v(x, 1 e) + (1 e)k] + cl si x = 0 L opérateur T p est associé à la décision optimale de production. L opérateur T d est associé à la demande. 3.4 Caractérisation numérique de la politique optimale D après ces équations, on constate bien que le démarrage et l arrêt du système sont pilotés par une quantité qu on notera dorénavant e v(x, 0) : e v(x, 0) = v(x, 1) v(x, 0) 12

14 CHAPITRE 3. PRODUCTION AVEC COÛT DE SET UP Par conséquent, selon e v(x, 0) on a différentes actions à prendre : e v(x, 0) < K il faut démarrer le serveur K e v(x, 0) < 0 il faut attendre e v(x, 0) 0 il faut arrêter le serveur D après les analyses numériques, nous remarquons que la politique optimale de notre problème est une politique (s, S). Cette politique est décrite comme suit : FIGURE 3.1 La politique (s, S) Ceci nous amène à faire la conjecture suivante : e v(x, 0) < K (s, S) Z avec s S telles que K e v(x, 0) < 0 e v(x, 0) 0 si x < s si s x < S si x S 3.5 Les propriétés numériques de la fonction de valeur L opérateur T est défini tel que v = T v. Par conséquent, la suite v n+1 = T v n converge vers v pour n importe quel v 0 (théorème du point fixe)[2] et en particulier si v 0 est la fonction nulle. Ainsi, en partant de la fonction nulle, nous implémentons un programme dynamique v n+1 = T v n sous le langage JAVA (cf. Annexe). Ce programme donne une solution ɛ-optimal qu on calculera avec le critère d arrêt suivant : v n+1 v n ɛ Pour voir le comportement de la fonction de valeur v, nous avons fait plusieurs tests en changeant à chaque fois les paramètres du système. Nous constaterons que e v(x, 0) est toujours croissant, c est à dire v est super-modulaire. Un exemple est donné figure

15 CHAPITRE 3. PRODUCTION AVEC COÛT DE SET UP FIGURE 3.2 La fonction e v avec les paramètres k = 100, λ = 15, µ = 5, h = 4, c p = 3 et S max = 1000 Où l on a s = 215 et S = 254. La fonction x v(x, 0) est convexe, c est à dire x x v(x, 0) 0.(voir figure 3.3) FIGURE 3.3 La fonction x v(x, 0) 14

16 CHAPITRE 3. PRODUCTION AVEC COÛT DE SET UP 3.6 Les propriétés de la fonction de valeur Dans cette partie nous allons tenter de caractériser la structure de la politique optimal en caractérisant les propriétés de la fonction de valeur. Nous allons montrer que ces propriétés sont préservées par les opérateurs de minimisation et les équations d optimalité. Pour simplifier la démonstration, on suppose sans perdre la généralité du problème que c p = 0. Alors les équations d optimalité peuvent se réécrire de cette façon : x N et e {0, 1} c(x) = hx T p v(x, e) = v(x + e, e) { v(x 1, e) si x > 0 T d v(x, e) = v(x) + c l si x = 0 T c v(x, e) = min[v(x, 1) + (1 e)k, v(x, 0)] T v(x, e) = 1 [c(x) + µt C ct p v(x, e) + λt c T d v(x, e)] Lemme 1. Si v est super-modulaire alors la politique optimale est de la forme (s, S). Démonstration. Si v est super-modulaire alors e v (x, 0) est croissant. Posons s = min[x e v(x, 0) K] et S = min[x e v(x, 0) 0]. Par conséquent, e v(x, 0) < K si x < s K e v(x, 0) < 0 si s x < S e v(x, 0) 0 si x S Donc si x < s il faut démarrer le serveur si s x < S il faut attendre si x S il faut arrêter le serveur Ce que correspond bien à la politique (s, S) D après ce lemme il suffit de montrer que v est super-modulaire pour caractériser la politique optimale. C est ce que nous allons tenter de démonter. Pour ce faire, nous allons essayer de démontrer que chaque opérateur propage cette propriété en essayant de la combiner avec la convexité. Dans toutes les démonstrations qui suivent, on suppose que v est super-modulaire ( ie. x e v(x, 0) 0 ) et que v est convexe pour e = 0 ( ie. x x v(x, 0) 0 ). C est à dire : x e v(x, 0) = v(x + 1, 1) v(x + 1, 0) v(x, 1) + v(x, 0) 0 Et on pose : x x v(x, 0) = v(x + 2, 0) 2v(x + 1, 0) + v(x, 0) 0 s = min x et S = min x ev(x,0) K ev(x,0) 0 15

17 CHAPITRE 3. PRODUCTION AVEC COÛT DE SET UP Les démonstrations qui sont présentées dans cette section sont faites par récurrence. On a pour chaque opérateur v k+1 = T v k donc l idée est de supposer que v k satisfait des propriétés et montrer que v k+1 les satisfait aussi. Théorème 1. La fonction c(x) est convexe et super-modulaire. Démonstration. On a : x e c(x) = 0 et x x c(x) = 0 Théorème 2. L opérateur T p propage la convexité en x. Démonstration. On a : x x T p (x, 0) = x x v(x, 0) 0 Théorème 3. Si v est super-modulaire et convexe, alors T p v est super-modulaire. Démonstration. On a Or v est super-modulaire, donc : x e T p v(x, 0) = x ( e T p v(x, 0)) = x (T p v(x, 1) T p v(x, 0)) = x (v(x + 1, 1) v(x, 0)) = v(x + 2, 1) v(x + 1, 0) v(x + 1, 1) + v(x, 0) v(x + 2, 1) v(x + 1, 1) v(x + 2, 0) v(x + 1, 0) Et par la convexité de v en x, on obtient : x T p v(x, 0) v(x + 2, 0) 2v(x + 1, 0) + v(x, 0) 0 Théorème 4. L opérateur T d propage la convexité et la super-modularité. Démonstration. La super-modularité, on a : x e T d v(x, 0) = x e v(x 1, e) 0 La convexité : x x T d v(x, 0) = x x v(x 1, 0) 0 16

18 CHAPITRE 3. PRODUCTION AVEC COÛT DE SET UP Théorème 5. l opérateur T c propage la super-modularité. Démonstration. On a Par suite : T c v(x, e) = min[v(x, 1) + (1 e)k, v(x, 0)] x e T c v(x, 0) = min[v(x + 1, 1), v(x + 1, 0)] min[v(x + 1, 1) + K, v(x + 1, 0)] min[v(x, 1), v(x, 0)] + min[v(x, 1) + K, v(x, 0)] 1. Si x + 1 < s alors Par suite : v(x + 1, 1) + K < v(x + 1, 0) et v(x, 1) + K < v(x, 0) x e T c v(x, 0) = v(x + 1, 1) (v(x + 1, 1) + K) v(x, 1) + (v(x, 1) + K) = 0 2. Si x + 1 = s alors Donc v(x + 1, 1) + K v(x + 1, 0) et v(x, 1) + K < v(x, 0) x e T c v(x, 0) = v(x + 1, 1) v(x + 1, 0) v(x, 1) + v(x, 1) + K = v(x + 1, 1) v(x + 1, 0) + K 0 3. Si s < x + 1 < S alors On a alors : v(x + 1, 1) + K v(x + 1, 0), v(x, 1) + K v(x, 0), v(x + 1, 1) < v(x + 1, 0) et v(x, 1) < v(x, 0) x e T c v(x, 0) = v(x + 1, 1) v(x + 1, 0) v(x, 1) + v(x, 0) = x e v(x, 0) 0 4. Si x + 1 = S alors Donc v(x + 1, 1) + K v(x + 1, 0), v(x, 1) + K v(x, 0), v(x + 1, 1) v(x + 1, 0) et v(x, 1) < v(x, 0) x e T c v(x, 0) = v(x+1, 0) v(x+1, 0) v(x, 1)+v(x, 0) = v(x, 0) v(x, 1) 0 5. Si x + 1 > S alors v(x + 1, 1) + K v(x + 1, 0), v(x, 1) + K v(x, 0), v(x + 1, 1) v(x + 1, 0) et v(x, 1) v(x, 0) 17

19 CHAPITRE 3. PRODUCTION AVEC COÛT DE SET UP Donc x e T c v(x, 0) = v(x + 1, 0) v(x + 1, 0) v(x, 0) + v(x, 0) = 0 Conjecture. Pour montrer que T propage la super-modularité, il nous reste de faire propager la convexité pour l opérateur T c. C est ce que nous allons essayer de faire dans la démonstration suivante sans pour autant terminer les différents cas. Démonstration. Cette démonstration est incomplète, il manque un cas pour affirmer que T c propage la convexité. Numériquement cet opérateur propage bien cette propriété. On a T c v(x, e) = min[v(x, 1) + (1 e)k, v(x, 0)] Donc x x T c v(x, 0) = min[v(x + 2, 1) + K, v(x + 1, 0)] 2 min[v(x + 1, 1) + K, v(x + 1, 0)]+ min[v(x, 1) + K, v(x, 0)] 1. si x s alors : v(x + 2, 1) + K v(x + 2, 0), v(x + 1, 1) + K v(x + 1, 0) et v(x, 1) + K v(x, 0) Par conséquent : x x T c v(x, 0) = v(x + 1, 0) 2 v(x + 1, 0) + v(x, 0) = x x v(x, 0) 0 2. si x + 1 = s alors : v(x + 2, 1) + K v(x + 2, 0), v(x + 1, 1) + K v(x + 1, 0) et v(x, 1) + K < v(x, 0) Donc x x T c v(x, 0) = v(x + 2, 0) 2v(x + 1, 0) + v(x, 1) + K D où Ce cas reste aussi ouvert. 3. si x + 2 = s alors : Donc x x T c v(x, 0) = x x v(x, 0) + e v(x, 0) v(x + 2, 1) + K v(x + 2, 0), v(x + 1, 1) + K < v(x + 1, 0) et v(x, 1) + K < v(x, 0) x x T c v(x, 0) = v(x + 2, 0) 2(v(x + 1, 1) + K) + v(x, 1) + K > x x v(x, 0) + e v(x, 0) 18

20 CHAPITRE 3. PRODUCTION AVEC COÛT DE SET UP On peut rien dire pour ce dernier terme, donc ce cas reste encore ouvert. 4. si x + 2 < s alors : Donc v(x + 2, 1) + K < v(x + 2, 0), v(x + 1, 1) + K < v(x + 1, 0) et v(x, 1) + K < v(x, 0) x x T c v(x, 0) = v(x + 2, 1) 2v(x + 1, 1) + v(x, 1) = x x v(x, 1) Ce terme n est pas toujours positif, puisque numériquement v n est pas convexe pour e = 1. Par conséquent, il reste le cas x + 1 s à démontrer. 19

21 Chapitre 4 Production par lot 4.1 Description du problème traité et les différentes hypothèses faites Dans ce modèle, on considère une file M/M/1 produisant plusieurs unités (le temps pour fabriquer un lot de z unités, z N, prend un temps exponentiel de taux µ et le coût associe est K + zc p ) et les hypothèses qui y sont faites sont les suivantes : La demande est un processus de Poisson de taux λ. La production est une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre µ. Chaque produit en stock induit un coût de stockage c h par unité de temps. Une demande non satisfaite induit un coût de vente perdue qui est c l. Lorsqu on lance la production, on paie un coût fixe K. 4.2 Processus de décision markovien Puisque on peut produire plusieurs unités alors le processus de décision markovien est donné par : µa x x x + z λ(1 a) µa FIGURE 4.1 processus de décision markovien de ce modèle 20

22 CHAPITRE 4. PRODUCTION PAR LOT 4.3 Équations d optimalité En se basant sur les résultats de Puterman [2], la valeur optimale du coût total de ce modèle est donné par l équation suivante : v (x) = T v (x), x N, Avec T v(x) = 1 C [c hx + µt p v(x) + λt d v(x)] Avec C = λ + µ + α et T p v(x) = min z 0 [v(x), K + v(x + z) + zc p] T d v(x) = { v(x 1) si x > 0 v(x) + cl si x = 0 L opérateur T p est associé à la décision optimale de production. L opérateur T d est associé à la demande. 4.4 Caractérisation de la politique optimale Nous allons écrire ces équations de telle sorte à avoir des opérateurs déjà traités dans la littérature. En faisant un changement de variable dans l opérateur T p on retrouve ces équations : x N c(x) = hx T p v(x) = min y x [v(x) + xc p, K + v(y) + yc p ] xc p T d v(x) = { v(x 1) si x > 0 v(x) + cl si x = 0 T v(x, e) = 1 λ+µ+α [c(x) + µt pv(x) + λt d v(x)] Pour caractériser la politique optimale, nous allons introduire une définition de la K- convexité et des propriétés de ces opérateurs. Définition 1. Une fonction f(x) : Z R est K-Convexe si pour tout x Z, a N, et b N K + f(x + a) f(x) + a [f(x) f(x b)] b 21

23 CHAPITRE 4. PRODUCTION PAR LOT D après cette définition, on remarque bien que si une fonction f est convexe alors elle est K-convexe K 0. Théorème L opérateur T p propage la K-convexité. 2. L opérateur T d propage la K-Convexité. Démonstration. La démonstration de ce théorème a été traité dans la littérature, on se contente juste de donner les références. T p propage la K-convexité(cf. Porteus [2] Chapter 7 :Dynamic Inventory Models p110, en prenant G t (x) = v(x) + xc p qui est bien K-convexe car elle est convexe). T d propage bien la K-convexité car il propage la convexité (cf.[4] A.6). Théorème 7. La politique optimale de ce modèle est la politique (s,s) Démonstration. Les opérateurs T p et T d propagent la K-convexité donc T propage la K- convexité. Par conséquent, le coût optimal est K-convexe et d après Porteus ([1] Chapter 7 :Dynamic Inventory Models p109) la politique est (s,s). Donc la chaine de Markov décrivant notre modèle est donnée par : λ λ λ x x s... S λ λ µ µ µ µ FIGURE 4.2 La chaine de Markov de ce modèle 22

24 Chapitre 5 Conclusion 5.1 Bilan du travail fourni Dans ce document, nous avons pu traiter deux modèles originaux de gestion de stock qui sont la production par lot et la production avec un coût de set up. Nous avons caractérisé la politique optimale du premier et nous avons donné un aperçu sur le comportement du deuxième. 5.2 Perspectives Le modèle de production avec coût de set up non nul est un modèle assez important dans le monde de l optimisation des systèmes de production. Nous avons formulé ce problème avec un programme dynamique stochastique, nous l avons codé et nous avons obtenu quelques premiers résultats théoriques. Mais nous avons pas pu démontrer les propriétés de la fonction de valeur de ce modèle. Donc, nous laisserons ce problème ouvert. 5.3 Bilan personnel En choisissant ce module de recherche, je me suis fixé deux objectifs découvrir le monde de la Recherche de l intérieur et entrevoir le travail exigé pour une thèse. Ainsi, je pense que ces objectifs ont été bel et bien atteints, j ai beaucoup appris tant sur le plan technique que sur le plan théorique et j ai su être autonome dans la réalisation pas à pas des objectifs définis en concertation avec mes encadrants. Et j ai bien aimé la phrase de mon encadrant lorsqu il m a dit "On a fait avancer la science un petit peu". 23

25 Bibliographie [1] Evan L. Porteus. Foundations of stochastic inventory theory. Stansford University Press, [2] Martin L. Puterman. Markov decision processes. University of British Columbia, [3] Michael H. Veatch ; Lawrence M. Wein. Scheduling a make-to-stock queue : Index policies and hedging points. Operations Research, vol. 44 No.4 : , Jul.- Aug.,1996. [4] Mohamed Hicham Zerhouni. Integration des flux inverses dans la gestion des stocks et de la production. G-SCOP, 6 novembre [5] Youhua (Frank) Chen ; Yi Yang ; Yun Zhou. Generalized notions of convexity with applications in inventory systems with batch ordering. Department of Systems Engineering and Engineering Management The Chinese University of Hong Kong, Shatin, N.T., Hong Kong, December 16,

26 Annexe A Le code source en JAVA du deuxième module 1 /** 2 * Classe Calculant le cout optimal 3 * 4 Rachid LABRIK 5 mars /04/ */ 8 9 public class VopK { 10 double[][] v; 11 double[][] vnew; 12 int[] a; 13 int[] b; 14 double lambda = 4; 15 double mu = 1; 16 double alpha = 0.01; 17 int Smax = 100; 18 double h = 4; 19 double cp = 3; 20 double K=100; 21 double maxit = ; 22 double C = 0; 23 int iterations = 0; 24 double cl=100; VopK() { 27 v = new double[smax + 1][2]; 28 vnew = new double[smax + 1][2]; 29 a = new int[smax + 1]; 25

27 ANNEXE A. LE CODE SOURCE EN JAVA DU DEUXIÈME MODULE 30 b = new int[smax + 1]; 31 C = lambda + mu + alpha; 32 for (int j = 0; j <= Smax; j++) { 33 v[j][0]= v[j][1]= 0; 34 vnew[j][0]= vnew[j][1]= 0; 35 a[j]= 0; 36 b[j]= 0; 37 } 38 for (iterations = 1; iterations <= maxit; iterations ++) { 39 for (int j = 0; j <= Smax; j++) { 40 v[j][0] = vnew[j][0]; 41 v[j][1] = vnew[j][1]; 42 a[j]=0; 43 b[j]=0; 44 } 45 for (int j = 0; j <= Smax; j++) { 46 for(int s=0;s<2;s++){ 47 vnew[j][s] = (1 / C)*(h*j +mu*tp(v,j,s)+lambda* Td(v,j,s)); 48 } 49 } 50 if (normemax(v, vnew) <= ) { 51 break; 52 } 53 } } double normemax(double[][] tab1, double[][] tab2) { 58 double result = 0; 59 for (int j = 0; j <= Smax; j++) { 60 for(int s=0;s<2;s++){ 61 if (Math.abs(tab1[j][s] - tab2[j][s]) > result) 62 result = Math.abs(tab1[j][s] - tab2[j][s]); 63 } 64 } 65 return result; 66 } double normeinf(double[][] tab1, double[][] tab2) { 69 double result = Math.abs(tab1[0][0] - tab2[0][0]); 70 for (int j = 1; j <= Smax; j++) { 71 for(int s=0;s<2;s++){ 72 if (Math.abs(tab1[j][s] - tab2[j][s]) < result) 73 result = Math.abs(tab1[j][s] - tab2[j][s]); 26

28 ANNEXE A. LE CODE SOURCE EN JAVA DU DEUXIÈME MODULE 74 } 75 } 76 return result; 77 } double span(double[][] tab1, double[][] tab2) { 80 return normemax(tab1, tab2) - normeinf(tab1, tab2); 81 } double Tp(double[][] v, int j,int s) { 84 double result = 0; 85 if (j < Smax) { 86 if(s==1){ 87 result = Math.min(v[j+1][1]+cp,v[j+1][0]+cp); 88 if (v[j+1][1]> v[j+1][0]) { 89 a[j+1]=-1; 90 } 91 } 92 if (s==0){ 93 result =v[j][0]; 94 } 95 } 96 if (j == Smax) { 97 result = v[j][1]; 98 } 99 return result; 100 } double Td(double[][] v, int j,int s) { 103 double result = 0; 104 if (j > 0) { 105 if (s==1){ 106 result =Math.min(v[j-1][1],v[j-1][0]); 107 if(v[j-1][1]>v[j-1][0]){ 108 a[j-1]=-1; 109 } 110 } 111 if (s==0){ 112 result =Math.min(v[j-1][0],v[j-1][1]+K); 113 if(v[j-1][0]>v[j-1][1]+k){ 114 b[j-1]=1; 115 } 116 } 117 } 118 else{ 119 if (s==0){ 27

29 ANNEXE A. LE CODE SOURCE EN JAVA DU DEUXIÈME MODULE 120 result = Math.min(v[0][0]+cl,v[0][1]+cl+K); 121 if(v[0][0]>=v[0][1]+k){ 122 b[0]=1; 123 } 124 } 125 if (s==1){ 126 result = Math.min(v[0][0]+cl,v[0][1]+cl); 127 if(v[0][0]<v[0][1]){ 128 a[0]=-1; 129 } 130 } 131 } 132 return result; 133 } 134 } 28