Modèles matricielles J SA A. Carmen Bessa-Gomes Ecologie de populations et communautés - INAPG. !w* s sa s a. s j

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1 Modèles maricielles Carme Bessa-Gomes Ecologie de populaios e commuaués - INAPG w* J SA A s j s sa s a

2 Les modèles mariciels déermiises Des modèles e emps discre srucurés permee de modéliser des cycles de vie complexes à gééraios chevauchaes Les marices de rasiio coiee les paramères démographiques, ie les probabiliés de rasiio d ue éape du cycle à ue aure Marices de Leslie ( , marices de Lefkovich (1965

3 Modélisaio de la dyamique des populaios e emps discre 1 J J s j f A s a A f -> fecudié s j -> survie juvéiles s a -> survie adules

4 Modélisaio de la dyamique des populaios e emps discre f J s j A s a

5 f Cycle de vie J s j A sa Eude aeive e représeaio schémaique du cycle de vie (cf Caswell 1989, 2001 : Représeaio dicée par la biologie Ideifier les variables d éa Ideifier les sades du cycle de vie Choisir u iervalle de emps Ideifier les rasiios ere sades: coribuio de chaque éa aux resas

6 f Cycle de vie Ideifier les rasiios ere sades: a jj -> 0 a ja -> s j a aj -> f a aa -> s a ( = f a ( = a aj a ( ( = s j j ( s a a ( = a ja j ( a aa a ( j 1 a 1 i 1 p k =1 ( = a ki k ( J s j A sa

7 f Cycle de vie J s j A sa ( = a ki k ( i 1 p k =1 " = j % a & ',A = " a a jj % aj a ja a ' aa & ( 1 = A( Equaio de projecio

8 Exemple: le cycles de vie de l orque Orcius orca

9 Du cycle de vie à la marice de rasiio Exemple de l Orque : " = = = = (4, 4 (3, 3 1 (4, (3, 3 (2, 2 1 (3, (2, 2 (1, 1 1 (2, (3, 3 (2, 2 1 (1, P G P G P G F F

10 Du cycle de vie à la marice de rasiio Exemple de l Orque : " % & = P G P G P G F F A " = = = = (4, 4 (3, 3 1 (4, (3, 3 (2, 2 1 (3, (2, 2 (1, 1 1 (2, (3, 3 (2, 2 1 (1, P G P G P G F F ( 1 ( = A " ( = (1, (2, (3, (4, " % & & & &

11 Cycles de vie : complexié presque illimié

12 Marice pré- ou pos-reproducio? Cycle de vie iègre cycle auel N( esime la aille à u mome doé elle sera différe si l o cosidère jusque après les aissaces ou jusque après l hiver à quel isa effecuos-ous le «compage»?

13 Modèles pré- ou pos reproducio? Age 0 s 0 Age 1 s 1 Age 2 Age 1 s 1 Age 2 s 0 f 1 f 1 f2 s 0 f 2 N0 N1 & & " N2% & 1 ( = 0 f 1 f 2 N0 s & & N1 & & " 0 s 1 0 %& " N2% & ( N1 " N2 & % ( 1 = s f 0 1 s 0 f 2 N1 " s 1 0 & % " N2 & % (

14 Pré- ou pos-reproducio: que choisir? Sychroie / saiso Iformaio dispoible Taille poe/poré versus aux de maerié/sevrage

15 Aalyse de l équaio de projecio (1 = A(0 (2 = A(1 = A 2 (0 M ( = A( 1 = A (0

16 Aalyse de l équaio de projecio (0 = c 1 w 1 c 2 w 2 c s w s (1 = A(0 = c i Aw i i = c i " i w i, i (2 = A(1 " = c i i Aw i i = " c i 2 i w i, i ( = s " i c i i w i

17 Comporeme ergodique 1 Croissace expoeielle de chaque classe 2 Taux de croissace cosa à log erme

18 Propriéés des valeurs propres de la marice de rasiio Théorème de Perro-Frobéius Si A es ue marice posiive ou o-égaive e primiive, il exise u valeur propre domia, ce-à-dire, sa composa réelle es supérieur à la parie réelle de ou aure valeur propre e les veceurs propres correspodas so réelles e sriceme posiifs s ( = " c i i w i ( c 1 1 w 1 i Ue marice es primiive s il exise u k > 0 pour lequel A k es posiive Le cycle de vie correspode a e peu pas êre rédui e ressemble différes classes

19 Exemple: cycle de vie passereaux s s s f s f " % & " % & = " % & ' 1 2 f 2 s 0 f 1 s 0 s 1 s 2 1 = A 1 = 1 = 0

20 Aalyse de la marice de rasiio La dyamique à log erme es déermiée par le valeurs propres de la marice; Croissace expoeielle > 1 Equilibre = 1 Populaio e décli < 1 Coraies Marice o-égaive Irréducible (oues classes coribua à la croissace Idépeda du veceur populaio (pas de desiédépedace

21 Propriéés des veceurs propres de la marice de rasiio Le veceur propre (à droie correspod à la srucure sable de la populaio " % & = " % & " % & = w w w w d c b a ' ' w A w ( = c i i w i i s " ( c 1 1 w 1

22 Comporeme ergodique 1 Croissace expoeielle de chaque classe 2 Taux de croissace cosa à log erme 3 Equilibre ere les classes d âge disribuio d âge sable

23 Srucure sable des âges (ou ailles, sades, ec Proporio d'idividus Alees humilis 0 graies 2-4 cm2 >4-50 cm2 > cm2 Classe de aille >100 cm2

24 Propriéés des veceurs propres de la marice de rasiio Veceur propre à gauche correspod à la valeur reproducive (0 = c 1 w 1 c 2 w 2 c s w s c = W -1 0 v A = v ( = V( 0 ' a ( v v % " = ( v v 1 2 & c b d 1 2 Si la populaio de dépar es cocerée das ue classe à fore valeur reproducive, c sera plus impora, ce qui aura u for impac sur l effecif

25 Ifluece des codiios iiiales

26 Valeurs reproducives F s 1 s 2 s 3 s 4 Valeur reproducive a 2 as 3 as > 3as

27 Modèles maricielles: aalyse de la marice de rasiio Première valeur propre aux d accroisseme : sau de la populaio (croissace, décli, sabilié? Veceur propre à droie srucure sable des âges/sades Veceur propre à gauche valeurs reproducives : réiroducios, reforcemes de populaios Aalyses de sesibilié mesures héoriqueme les plus efficaces

28 Ifluece des paramères démographiques

29 Aalyse de sesibilié Sesibilié du aux de croissace aux chagemes des élémes de la marice ( " = v( iw j a ij w,v Elasicié du aux de croissace aux chagemes des élémes de la marice " a ij "a ij

30 Aalyses de sesibilié Courbes de -cosa variaio plus grade des paramères Corrélaios ere paramères Iformaios doées par les valeurs reproducives (classes ouchées par les caasrophes

31 Exemple: aalyse de sesibilié de la croissace des populaios de vauour F s 1 s 2 s 3 s 4 Valeur reproducive a 2 as 3 as > 3as

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