MÉTHODES STATISTIQUES EXAMEN INTRA HIVER 2008 Date : Dimanche 16 mars 2008 de 14h00 à 17h00

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1 MAT 080 MÉTHODES STATISTIQUES EXAMEN INTRA HIVER 008 Date : Dimache 16 mars 008 de 1h00 à 17h00 INSTRUCTIONS 1. Détachez la feuille-réoses à la fi de ce cahier et iscrivez-y immédiatemet votre om, votre code ermaet et votre uméro de groue.. Seule la feuille-réoses doit être remise. Vous y iscrirez vos réoses sous la forme d ue lettre majuscule corresodat à votre choix. 3. Tout texte de référece (mauel, otes de cours, otes ersoelles, etc.) est iterdit. Tout cas de lagiat ou de fraude sera soumis au Comité de discilie.. L usage d ue calculatrice est autorisé. 5. L'étudiat doit lacer sa carte d'étudiat (avec hoto) sur la table et siger la feuille de résece lors de la remise de sa feuille-réoses. 6. Aucu téléhoe cellulaire sur la table. Questio 1 [++ oits] Le tableau suivat résete la distributio du ombre de chambres à coucher (X) das les aartemets d u immeuble : Nombre de chambres à coucher (X) 1 3 Fréquece 0,15 0,5 0,3 0,1 1 Détermier [Choix de réose au bas de la age]. 1-a) La moyee arithmétique de X; b) la médiae de X ; c) la variace σ de X. Questio [++++ oits] Pour chacue des variables aléatoires X suivates, détermier la variace de X : [Choix de réose au bas de la age]. Cotexte Variable aléatoire -a) Vous tirez avec remise u échatillo de 30 vis d u X = Le ombre de vis défectueuses das votre grad lot das lequel 0 % des vis sot défectueuses. échatillo. -b) Vous faites ue omelette avec œufs tirés d u aquet de X = Le ombre d œufs gâtés das votre 1 dot sot gâtés. omelette. -c) Le oids des orages d u très grad lot a u écart-tye X = Le oids total d ue douzaie d orages de 5 mg. tirées du lot. -d) Le oids des orages d u très grad lot a u écart-tye X = Le oids moye des orages das u de 5 mg. aquet de 1 orages tirées du lot. -e) Vous comosez au hasard les uméros de téléhoe des X = Le ombre de uméros que vous comoserez our costituer u échatillo de 0 méages d ue oulatio dot 0 % des méages sot allohoes. méages allohoes. Questio 3 [5+ oits] O forme au hasard deux équies de ersoes chacue à artir d u groue de 3 femmes et 5 hommes. L ue des équies est affectée au quart du jour, l autre au quart du soir. 3-a) Détermier la robabilité que des 3 femmes soiet affectées au quart du jour. 3-b) Détermier la robabilité que l équie du jour soit comosée d Albert, Berard, Carole et David. Réoses, questios 1 à 3 [Choisir l itervalle qui cotiet à votre réose]: A B C D E F 0-0,009 0,010-0,016 0,16-0,18 0,00-0,06 0, - 0,3 0,5-0,5 G H I J K L 0,71-0,73 1, - 1,6 1,65-1,75 1,99 -,01,06 -,10,3 -,36 M N O P Q R,,6,7 -,9 7,9 75, Aucue de ces réoses Blac :1

2 age de 3 Questio [5+5 oits] La quatité de café versée das ue tasse ar ue distributrice est ue variable aléatoire de loi ormale de moyee μ = 177 et d écart-tye σ = 15. -a) Quelle est la robabilité que votre tasse cotiee mois de 19 ml de café? -b) Quelle doit être la caacité (e ml) des tasses s il faut que le café déborde de la tasse 33 % des fois seulemet? Questio 5 [ oits] Vous assigez deux equêteurs à la tâche de rélever u échatillo de méages d'ue très grade oulatio. Muis d ue liste de tous les uméros de téléhoe (vous suoserez qu il y a qu u uméro ar méage), les equêteurs reçoivet des cosiges différetes : L'equêteur A doit téléhoer à 5 méages choisis au hasard à artir de la liste de uméros; L'equêteur B, lui, doit cotiuer à comoser des uméros jusqu au momet où il accumule 0 méages italohoes. Votre échatillo est l esemble de tous les méages sélectioés ar les deux equêteurs. Soit X le ombre de méages cotactés ar A et B; et Y le ombre de méages o italohoes cotactés ar A et B. O sait que das la oulatio, 80 % des méages sot italohoes. Détermier chacu des aramètres suivats: 5-a) L'esérace de X 5-b) La variace de X 5-c) L esérace de Y 5-d) La variace de Y 5-e) P(X = 6) Réoses, questios et 5 [Choisir l itervalle qui cotiet à votre réose] : A B C D E F 0,03-0,05 0,8-0,5 0,8-0,85 3,95 -,0 6, - 6,3 8,8-9, G H I J K L 9,9 10,1 10, - 10,3 13,8-1, 5,5-6,5 35,5-36,5 9,5-50,5 M N O P Q R Aucue de ces réoses Questio 6 [++++ oits] U aalyste étudie la relatio etre deux variables, X et Y afi de rédire évetuellemet Y à artir de X. Pour chacue des coclusios das la coloe de droite [6-a) à 6-e)], dites ce que vous ouvez déduire à roos des valeurs de r et de Z = r 1 r (coloe de gauche) qui l ot justifiée (r est le coefficiet de corrélatio etre X et Y). Valeurs de r et de Z V 1 : V : V 3 : V : r grad et Z grad r grad et Z etit r etit et Z grad r etit et Z etit Coclusios 6-a) Malgré ue déedace forte au iveau de l échatillo, o e ourra as à l aveir rédire Y à artir de X 6-b) La variable X est as iutile à la rédictio de Y 6-c) Il y a as de déedace réelle (das la oulatio) etre X et Y. 6-d) Malgré ue déedace faible au iveau de l échatillo, o aura itérêt à utiliser X our rédire Y 6-e) O ourra rédire Y à artir de X avec ue boe récisio Réoses, questio 6 : O eut déduire que les valeurs de r et de Z sot A B C D V 1 seulemet V seulemet V 3 seulemet V seulemet G H I J V 1 ou V V 1 ou V 3 V ou V V 3 ou V Blac :1

3 age 3 de 3 Questio 7 [+++++ oits] Ue comagie se réare à mettre sur le marché u roduit alimetaire aelé rovisoiremet «M», qui se résete sous ue forme liquide et ue forme solide. Les deux roduits ot la même teeur e rotéie, mais ot as écessairemet la même efficacité. L efficacité est mesurée ar le gai de oids our ue cosommatio doée. Afi de comarer l efficacité des deux roduits, o soumet 0 rats à u régime M liquide et 30 rats à u régime M solide edat 8 jour. O observe esuite leur gai de oids (Y). O costate que le gai de oids est suérieur avec le régime liquide, mais e eut ecore coclure à ue meilleure efficacité de l u ou de l autre car les rats soumis au régime liquide ot cosommé davatage. Voici les doées : M liquide M solide Nombre de rats 0 30 Gai moye de oids (e grammes) y Quatité de rotéies cosommée (e grammes) x 8 6 Variace (corrigée) des gais de oids s y 61 Variace (corrigée) des quatités cosommées s x 30 1,6 Covariace etre la quatité cosommée et le gai de oids s xy 15 0,8 Attetio : les questios 7 a) et 7 b) ortet uiquemet sur le roduit liquide 7-a) Détermier le coefficiet de corrélatio r etre la quatité de rotéie cosommée et le gai de oids. 7-b) Détermier la droite des moidres carrés Y = b o + b 1 X ermettat de rédire le gai de oids à artir de la quatité cosommée. 7-b-(i) La valeur de b 1 est 7-b-(ii) La valeur de b o est 7-c) Détermier, our l esemble des 50 rats, la quatité moyee de rotéies cosommées 7-d) Détermier la différece (liquide solide) das les gais de oids moyes, ajustés our élimier l effet de la cosommatio Réoses, questios 7-a) à 7-d) [Choisir l itervalle qui cotiet à votre réose]: A B C D E F G H -0,01-0,0 0,3-0,36 0,37-0,38 0,39-0,1 0,8-0,5 0,85-0,95 31,5-3,5 3,6-3,9 I J K L M N O P Aucue de ces réoses 7-e) Laquelle ou lesquelles des affirmatios suivates sot justifiées ar l esemble de vos calculs? C 1 Si les rats des deux groues avaiet cosommé la même quatité de rotéies, elles auraiet réseté le même gai de oids C Le roduit solide est lus efficace C 3 La différece observée das le gai de oids est due e artie mais e artie seulemet au fait que les rats soumis au régime liquide ot cosommé davatage. C L efficacité des deux roduits est la même C 5 La différece observée das le gai de oids est attribuable etièremet au fait que les rats soumis au régime liquide ot cosommé davatage. Réoses, questio 7-e) : Les coclusios suivates sot justifiées : A B C D E F Aucue C 1 seulemet C seulemet C 3 seulemet C seulemet C 5 seulemet G H I J K L C 1 et C seulemet C 1 et C 3 seulemet C 1 et C seulemet C 1 et C 5 seulemet C et C 3 seulemet C et C 5 seulemet M N O P Q R C et C 5 C 1, C 3 et C C 1, C et C 5 C, C 3 et C seulemet seulemet seulemet seulemet C 3 et C seulemet C 1, C 3 et C 5 seulemet Blac :1

4 Brouillo

5 Brouillo

6 Brouillo

7 Loi ormale Page 1 Table de la loi ormale Surfaces à gauche du oit z z 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,0 0,03 0,0 0,01 0,00 -,00 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000-3,90 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000-3,80 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001-3,70 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001-3,60 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,000 0,000-3,50 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000-3,0 0,000 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003-3,30 0,0003 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0005 0,0005 0,0005-3,0 0,0005 0,0005 0,0005 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0007 0,0007-3,10 0,0007 0,0007 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0009 0,0009 0,0009 0,0010-3,00 0,0010 0,0010 0,0011 0,0011 0,0011 0,001 0,001 0,0013 0,0013 0,0013 -,90 0,001 0,001 0,0015 0,0015 0,0016 0,0016 0,0017 0,0018 0,0018 0,0019 -,80 0,0019 0,000 0,001 0,001 0,00 0,003 0,003 0,00 0,005 0,006 -,70 0,006 0,007 0,008 0,009 0,0030 0,0031 0,003 0,0033 0,003 0,0035 -,60 0,0036 0,0037 0,0038 0,0039 0,000 0,001 0,003 0,00 0,005 0,007 -,50 0,008 0,009 0,0051 0,005 0,005 0,0055 0,0057 0,0059 0,0060 0,006 -,0 0,006 0,0066 0,0068 0,0069 0,0071 0,0073 0,0075 0,0078 0,0080 0,008 -,30 0,008 0,0087 0,0089 0,0091 0,009 0,0096 0,0099 0,010 0,010 0,0107 -,0 0,0110 0,0113 0,0116 0,0119 0,01 0,015 0,019 0,013 0,0136 0,0139 -,10 0,013 0,016 0,0150 0,015 0,0158 0,016 0,0166 0,0170 0,017 0,0179 -,00 0,0183 0,0188 0,019 0,0197 0,00 0,007 0,01 0,017 0,0 0,08-1,90 0,033 0,039 0,0 0,050 0,056 0,06 0,068 0,07 0,081 0,087-1,80 0,09 0,0301 0,0307 0,031 0,03 0,039 0,0336 0,03 0,0351 0,0359-1,70 0,0367 0,0375 0,038 0,039 0,001 0,009 0,018 0,07 0,036 0,06-1,60 0,055 0,065 0,075 0,085 0,095 0,0505 0,0516 0,056 0,0537 0,058-1,50 0,0559 0,0571 0,058 0,059 0,0606 0,0618 0,0630 0,063 0,0655 0,0668-1,0 0,0681 0,069 0,0708 0,071 0,0735 0,079 0,076 0,0778 0,0793 0,0808-1,30 0,083 0,0838 0,0853 0,0869 0,0885 0,0901 0,0918 0,093 0,0951 0,0968-1,0 0,0985 0,1003 0,100 0,1038 0,1056 0,1075 0,1093 0,111 0,1131 0,1151-1,10 0,1170 0,1190 0,110 0,130 0,151 0,171 0,19 0,131 0,1335 0,1357-1,00 0,1379 0,101 0,13 0,16 0,169 0,19 0,1515 0,1539 0,156 0,1587-0,90 0,1611 0,1635 0,1660 0,1685 0,1711 0,1736 0,176 0,1788 0,181 0,181-0,80 0,1867 0,189 0,19 0,199 0,1977 0,005 0,033 0,061 0,090 0,119-0,70 0,18 0,177 0,06 0,36 0,66 0,96 0,37 0,358 0,389 0,0-0,60 0,51 0,83 0,51 0,56 0,578 0,611 0,63 0,676 0,709 0,73-0,50 0,776 0,810 0,83 0,877 0,91 0,96 0,981 0,3015 0,3050 0,3085-0,0 0,311 0,3156 0,319 0,38 0,36 0,3300 0,3336 0,337 0,309 0,36-0,30 0,383 0,350 0,3557 0,359 0,363 0,3669 0,3707 0,375 0,3783 0,381-0,0 0,3859 0,3897 0,3936 0,397 0,013 0,05 0,090 0,19 0,168 0,07-0,10 0,7 0,86 0,35 0,36 0,0 0,3 0,83 0,5 0,56 0,60 0,00 0,61 0,681 0,71 0,761 0,801 0,80 0,880 0,90 0,960 0,5000

8 Loi ormale Page Table de la loi ormale Surfaces à gauche du oit z z 0,00 0,01 0,0 0,03 0,0 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,00 0,5000 0,500 0,5080 0,510 0,5160 0,5199 0,539 0,579 0,5319 0,5359 0,10 0,5398 0,538 0,578 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,571 0,5753 0,0 0,5793 0,583 0,5871 0,5910 0,598 0,5987 0,606 0,606 0,6103 0,611 0,30 0,6179 0,617 0,655 0,693 0,6331 0,6368 0,606 0,63 0,680 0,6517 0,0 0,655 0,6591 0,668 0,666 0,6700 0,6736 0,677 0,6808 0,68 0,6879 0,50 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,705 0,7088 0,713 0,7157 0,7190 0,7 0,60 0,757 0,791 0,73 0,7357 0,7389 0,7 0,75 0,786 0,7517 0,759 0,70 0,7580 0,7611 0,76 0,7673 0,770 0,773 0,776 0,779 0,783 0,785 0,80 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,803 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,90 0,8159 0,8186 0,81 0,838 0,86 0,889 0,8315 0,830 0,8365 0,8389 1,00 0,813 0,838 0,861 0,885 0,8508 0,8531 0,855 0,8577 0,8599 0,861 1,10 0,863 0,8665 0,8686 0,8708 0,879 0,879 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1,0 0,889 0,8869 0,8888 0,8907 0,895 0,89 0,896 0,8980 0,8997 0,9015 1,30 0,903 0,909 0,9066 0,908 0,9099 0,9115 0,9131 0,917 0,916 0,9177 1,0 0,919 0,907 0,9 0,936 0,951 0,965 0,979 0,99 0,9306 0,9319 1,50 0,933 0,935 0,9357 0,9370 0,938 0,939 0,906 0,918 0,99 0,91 1,60 0,95 0,963 0,97 0,98 0,995 0,9505 0,9515 0,955 0,9535 0,955 1,70 0,955 0,956 0,9573 0,958 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,965 0,9633 1,80 0,961 0,969 0,9656 0,966 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,90 0,9713 0,9719 0,976 0,973 0,9738 0,97 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767,00 0,977 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,981 0,9817,10 0,981 0,986 0,9830 0,983 0,9838 0,98 0,986 0,9850 0,985 0,9857,0 0,9861 0,986 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,988 0,9887 0,9890,30 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,990 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916,0 0,9918 0,990 0,99 0,995 0,997 0,999 0,9931 0,993 0,993 0,9936,50 0,9938 0,990 0,991 0,993 0,995 0,996 0,998 0,999 0,9951 0,995,60 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,996 0,9963 0,996,70 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,997 0,9973 0,997,80 0,997 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981,90 0,9981 0,998 0,998 0,9983 0,998 0,998 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 3,00 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 3,10 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,999 0,999 0,999 0,999 0,9993 0,9993 3,0 0,9993 0,9993 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,9995 0,9995 0,9995 3,30 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997 3,0 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998 3,50 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 3,60 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,70 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,80 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,90 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000,00 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

9 Formulaire 1 Moyee arithmétique : Pour ue série de doées : y = (1/) Pour ue distributio : 1 y = y i 1 i i = = Variace : Pour ue série de doées: σ = Formulaire MAT080 Exame Itra y i= 1 i 1 ( y i i y = ) yf i= 1 i i Pour ue distributio: σ = 1 ( y i i y ) f = i Écart-tye : racie carrée de la variace. 3 Écart-tye corrigé : s = i= ( y ) 1 i y 1 = σ. 1 Covariace corrigée : 1 s xy = ( xi x )( yi y ) i= 1 5 Coefficiet de corrélatio : σxy r = σxσ = sxy y sxs. y 6 Coefficiets de la droite des moidres carrés y = b o + b 1 x: σxy s xy b 1 = =, b o = y - b 1 x. σ x s x 7 Statistique Z our tester l'idéedace: r Z = 1 r 8 Esérace mathématique d ue variable aléatoire X : E(X) = μ = ( ) x x x. 9 Variace d ue variable aléatoire X : 1 Covariace : xi x )( yi y ) i= σ xy = ; Var(X) = ( ) ( ) x μ x. x 10 Lois discrètes Distributio Modalités de X Pr(X = x) E(X) Var(X) Biomiale B( ; ) x x (1-) -x (1-) Poisso P(λ) Hyergéométrique H( ; N 1 ; N ) Géométrique G() Biomiale égative B - ( ; ) Multiomiale M(; 1,, k ) x {0, 1,, } ( ) x {0, 1,, } 0 x N x N x {1,, } x 1 x {, +1, +, } ( 1) x i {0, 1,,, } e λ λ x λ λ x! N 1 N, x x N N q N = 1 N 1, N q = 1- ( )( ) ( ) q x-1, q = 1-1 P(X > x) = q x x,..., x (1-) x- x 1 + x + + x k = ( ) k x... x k k q q E(X i ) = i 11 Soit X ~ B( ; ), > 30, > 5, q > 5. Alors X ~ N( ; q), aroximativemet. Var(X i ) = i (1- i )

10 Exame de mi-sessio H08 Feuille-réoses (versio blache) /100 Ne rie écrire ici Nom : Préom : Code ermaet : Groue: 1-a) 1-b) 1-c) -a) -b) -c) -d) -e) 3-a) 3-b) -a) -b) Questio Réose Questio Réose L J G N D P K O E B C O a) 5-b) 5-c) 5-d) 5-e) 6-a) 6-b) 6-c) 6-d) 6-e) 7-a) 7-b)-(i) 7-b)-(ii) 7-c) 7-d) 7-e) L E G H A B H I C A B E J H A P Blac