Licence M.A.S.S. Feuilles de TD du cours d Analyse S

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1 Université Paris I, Panthéon - Sorbonne Licence M.A.S.S. Feuilles de TD du cours d Analyse S Jean-Marc Bardet (Université Paris, SAMM) bardet@univ-paris.fr Page oueb: U.F.R. 27 et Equipe SAMM (Statistique, Analyse et Modélisation Multidisiplinaire) Université Panthéon-Sorbonne, 9 rue de Tolbiac, 753 Paris.

2 2 Licence M.A.S.S. deuxième année: Analyse S4 Feuille n o : Intégrales généralisées () (*) Calculer les intégrales définies suivantes : 2 A = (t+2) α 2 dt pour α IR B = t 2 5t+6 dt C = (2) (*) Étudier la convergence des intégrales suivantes: A = (t+2) α 2 dt pour α IR B = t 2 5t+6 dt C = tdt D = ln(2t+)dt 3/2 (3) (**) Étudier la convergence des intégrales suivantes: A = sin( cost e t )dt B = dt C = t t( t) t3 2t 2 +t dt tdt D = ln 2t+ dt (4) (**) Déterminer la nature (semi-convergente, absolument convergente, divergente) des intégrales: A = cos( ln t+2 4π t)dt B = sin(t)e /t2 dt C = t t + dt D = cost dt (5) (**) Après avoir montré son existence, calculer lim n n + k= (6) (***) Étudier la convergence des intégrales suivantes: A = D = + t t dt B = cost sin( t )dt E = n n 2 +2k 2. exp(lnt ln 2 (t))dt C = e t t dt I = lnt t(+lnt) 3dt sin(πe t ) dt t (7) (*) Etudier l existence des intégrales suivantes et calculer les lorsqu elles existent: t + A = t 3 +3t 2 +3t+ dt B = 2 t+ + t 2 + dt C = t exp( 2t)dt (8) (**) On pose Γ(t) = x t e x dx, pour n ZZ. (a) Déterminer l ensemble de définition de Γ. (b) Calculer Γ() et Γ(2). Déterminerune relation de récurenceentre Γ(n+) et Γ(n) pour n IN. (c) Calculer Γ(n). (9) (***) Soit f : IR + IR +, dérivable sur IR +, telle que lim Montrer que l intégrale f(t)dt converge. x + xf(x) = et lim x + x3 f (x) =.

3 Licence M.A.S.S. deuxième année: Analyse S4 3 Feuille n o 2: Intégrales multiples dxdy () (*) Calculer x 2 y où = [,[2. dxdy (2) (*) Calculer (2 x+2y) 3 où = [,[2. dxdy (3) (*) Calculer (2 x+2y) où = {(x,y) [,[2, x y}. y (4) (**) Calculer x+y dxdy où = {(x,y) IR2, y x 2 }. x (5) (**) Calculer a 2 +x 2 +y 2dxdy où = {(x,y) [, [2, x 2 +y 2 a 2 } avec a > fixé. (6) (*) Calculer cos(x+y)dxdy où = {(x,y) [, [ 2, x+y }. (7) (*) Calculer (x+y)zdxdydz, puis cos(x+y +2z +)dxdydz, où = {(x,y,z) [, [ 3, x+y +2z }. (8) (*) Calculer x sin(xy)dxdy où = {(x,y) ],/2[ ], π 2 [}. (9) (**) Calculer xydxdy où = {(x,y) IR 2, x 2 +y 2 }. z 3 () (**) Calculer (y +z)(x+y +z) dxdydz où = {(x,y,z) [, [3, x+y +z }. () (**) Calculer xyzdxdydz où = {(x,y,z) [, [ 3, x + y + z } (on pourra poser u = x+y +z, uv = z +y et z = uvw). (2) (**) Déterminer l ensemble des valeurs de α telles que I α = cas, calculer I α. Même question pour J α = (3) (***) Montrer que l intégrale I α = sin(xy) (x+y) 2dxdy existe. Est-elle absolument ou semiconvergente? (x+y) α dxdy. (x +y) α dxdy existe, auquel (4) (**) Calculer le volume de l ensemble = {(x,y,z) IR 3, x 2 +z 2 a 2 et y 2 +z 2 a 2 } avec a > (on pourra commencer par tracer ). (5) (***) Pour (a,b) ], [ 2, calculer ln ( a cost) dt (on pourra introduire la fonction à deux variables (u,t) (u cost) et utiliser le Théorème de b cost Fubini). (6) (**) Calculer le volume d une boule de rayon r > dans IR 3.

4 4 Licence M.A.S.S. deuxième année: Analyse S4 Feuille n o 3: Intégrales dépendant d un paramètre () (*) Montrer que I n = (sinx)n dx existe pour tout n IN. Expliciter la limite l de (I n ) n. (2) (*) Montrer que J n = x/n dx existe pour tout n IN. Expliciter la limite l de (J n ) n. (3) (*) Montrerque K n = n x+n dx existepour tout n IN. Expliciterlalimite l de (K n ) n. Comparer en calculant la valeur explicite de K n. (4) (**) Déterminer, si elle existe, lim n n 2 x n dx. (5) (**) Déterminer, si elle existe, lim n arctan(nx)e xn dx. n (6) (**) Déterminer, si elle existe, lim n dx (+2x n ) /n dx. (7) (**) Soit f : IR IR une application dérivable et bornée sur IR. Après avoir montré son existence, calculer lim n e nx f(x)dx. (8) (***) Soit (a n ) n une suite de ], [ qui converge vers. soit f : IR + IR continue et bornée. Déterminer la limite de a nf(x) a dx (on pourra découper l intégrale sur [, a 2 n ] et [ a n, [). n +x2 (9) (***) Soit f une application définie sur [, ], à valeurs strictement positives, et continue. Pour α, on pose F(α) = fα (t)dt. (a) Justifier que F est dérivable sur R +, et calculer F (). ( /α. (b) En déduire la valeur de lim f (t)dt) α α () (***) Le but de l exercice est de calculer la valeur de l intégrale de Gauss I = définit deux fonctions f,g sur R par les formules f(x) = x e t2 dt et g(x) = (a) Prouver que, pour tout x R, g(x)+f 2 (x) = π 4. (b) En déduire la valeur de I. e (t2 +)x 2 t 2 + dt. e t2 dt. On () (***) Soit f : R + C une fonction continue. Pour x R, on pose Lf(x) = f(t)e xt dt. (a) Montrer que si f(t)e xt dt converge, alors f(t)e yt dt converge pour y > x. (b) Quelle est la nature de l ensemble de définition de Lf? (c) On suppose f bornée. Montrer que lim x + Lf(x) =. (2) (**) On pose e x(+t2 ) F(x) = +t 2 dt. (a) Montrer que F est définie et continue sur [,+ [ et déterminer lim x + F(x). (b) Montrer que F est dérivable sur ], + [ et démontrer que F (x) = e x e u2 du. x (c) En intégrant F sur ],+ [, montrer que e t2 dt = π 2. (3) (**) Donner le domaine de définition, de continuité et dérivabilité de la fonction f(x) = ln2 x t dt. (4) (**) Donnerle domainede définition, de continuitéet dérivabilitéde la fonction f(x) = (5) (***) Mêmes questions mais avec f(x) = sin(xt) t α dt, où α >. cos(xt) +t 2 dt.

5 Licence M.A.S.S. deuxième année: Analyse S4 5 (6) (**)Donnerledomainededéfinition,decontinuitéetdérivabilitédelafonctionf(x) = e xt2 cos(x)dt. Calculer f et en déduire que f est solution d une équation différentielle dont la résolution permet de donner l expression exacte de f. En déduire e t2 dt. (7) (***) Montrer que ln( t)lnt t dt = n= n 3.

6 6 Licence M.A.S.S. deuxième année: Analyse S4 Feuille n o 4: Equations différentielles linéaires () (*) Déterminer les solutions maximales des équations différentielles suivantes avec la condition initiale y() = : 2y 3y = x 2 x; y +2y = cos(3x); y +y = xe 2x ; y 2y = cos(x)+2sin(x). (2) (**) Déterminer les solutions maximales des équations différentielles suivantes avec la condition initiale y() = : y +y = (+e x ) ; (+x)y +y = x; y y x = x2 ; y 2xy = ( x)e 2x. (3) (**) Existe-t-il des solutions de classe C sur IR de l équation différentielle y y 2 =? (4) (**) L accroissement instantané d une population P est proportionelle à cette population. De plus la population double tout les 5 ans. En combien de temps triple-t-elle? (5) (***) Soit f une fonction de classe C sur IR telle que lim x f (x) + f(x) =. Montrer que lim x f(x) = (on pourra résoudre f (x)+f(x) = g(x)...). (6) (*) Déterminer les solutions maximales des équations différentielles suivantes avec les conditions initiales y() = et y () = : y 4y = y +2y = y 4y +4y = 2 y (3) 2y +y = x y 3y +2y = +2e x y +y = cosx y (4) y = x y +y = e x (7) (**) Déterminer les solutions maximales des équations différentielles suivantes avec la condition initiale y() = y () = : y 4y +4y = x y 3y +2y = (2x+)e x y 4y +3y = x cosx y +4y =. (8) (***) Soit l équation différentielle xy +2(x+)y +(x+2)y =. En posant z = xy, résoudre cette équation différentielle sur IR. De même pour y +y tan(x) ycos 2 (x) = en posant t = sinx, puis x 2 y +y = en posant t = lnx. (9) (**) Pour les deux équations différentielles suivantes, chercher des solutions polynomiales de l équation, puis en déduire les solutions maximales: (x 2 +x)y +(x )y y = x 2 y 3xy +4y = x 2. () (***) En utilisant le changement de variable y = u(y) résoudre l équation différentielle y = y y 2 avec y() = et y () = /3. () (**) Déterminer une solution maximale de l équation différentielle y +2xy +2y = après avoir vérifié que y(x) = e x2 est solution. (2) (**) Déterminer une solution maximale de l équation différentielle ( x 2 )y + xy y = en effectuant le changement de variable x = cht. (3) (**) Déterminerles éventuellessolutionssur IR de l équationdifférentiellex 2 y +4xy +(2 x 2 )y = en posant u = x 2 y. Quelle est leur classe? (4) (**) Déterminer une solution maximale de l équation différentielle 2x 2 y xy +2y =.

7 Licence M.A.S.S. deuxième année: Analyse S4 7 Feuille n o 5: Séries entières () (*-**) Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes :. n n! (2n)! xn 2. n lnnxn 3. n nx 2n 2 n + 4. (+n) lnn z 3n n n.2 5. n n (2+n)n z n 6. n 7. n a n z n, a > 8. n zn! 9. n n/n z n ( ) n 3 (2n ) zn (2) (**) Calculer le rayon de convergence de la série entière n a nz n lorsque a n est donné par:. a n = ( 2)n n 7 n! 3. a n = 2 2n (2n)! 2. a n = ln (+sinn) 4. a n = tan ( ) nπ 7 (3) (**) Répondez aux questions suivantes: (a) Donner un exemple de série entière de rayon de convergence 2. (b) Est-il possible de trouver des suites (a n ) et (b n ) telles que a n = o(b n ) et pourtant n a nz n et n b nz n ont le même rayon de convergence? (c) Quel est le lien entre le rayonde convergencedes sériesentières n a nz n et n ( )n a n z n? (4) (*) Pour les séries entières suivantes, donner le rayon de convergence et exprimer leur somme en termes de fonctions usuelles:. n n 2 2n+ xn (n+) 2. 2 n n! x n 3. n ( )n x 2n+. (5) (**) Soit n a nx n une série entière de rayon de convergence ρ >. Montrer que n rayon de convergence +. a n n! x n a pour (6) (**) Soit R le rayon de convergence de n a nz n. Comparer R avec les rayons de convergence des séries suivantes: a n e n z n ; a n z 2n ; a n z n2. (7) (**) Soit (a n ) une suite de réels qui converge vers l. (a) Quel est le rayon de convergence de la série entière a n n n! x n? (b) On note f la somme de la série entière précédente. Déterminer lim x + e x f(x). (8) (**) Déterminer le domaine de définition dans C de la série entière a n z n lorsque a n est donné par:. a n = 3n n+ 2. a n = ln 2 n 3. a n = ( ) n n+ 4.a n = sin(n) n (9) (***) Donner un exemple de série entière telle que (a) en tout point du cercle de convergence, la série numérique associée converge. (b) en tout point du cercle de convergence, la série numérique associée diverge. (c) la série numérique associée admet p IN, nombre fixé, points de divergence sur son cercle de convergence. () (***) Montrer que la fonction t e t4 entière f(x) = + n= une limite en +. ( ) n+ x 4n n!(4n ) t 2 est intégrable sur ],+ [. Soit f la somme de la série, dont on précisera le rayon de convergence. Montrer que f admet () (*) Développer en série entière au voisinage de les fonctions suivantes. On précisera le rayon de convergence de la série entière obtenue.. ln(+2x) 2. a x 2 avec a 3. ln(+x 2 e x ) 4. x 5. ln(+x 2x 2 ) 6. (4+x 2 ) 3/2

8 8 Licence M.A.S.S. deuxième année: Analyse S4 (2) (**) Soit f l application définie sur ],[ par f(t) = cos(αarcsint), α R. (a) Former une équation différentielle linéaire du second ordre vérifiée par f. (b) Chercher les solutions de l équation différentielle obtenue qui sont développables en série entière et vérifient y() = et y () =. (c) En déduire que f est développable en série entière sur ],[, et donner son développement. (3) (***) Pour x >, on pose f(x) = + n= ( ) n x+n. Montrer que f est développable en série entière au voisinage de (Indication: remarquer que x+n = tx+n dx, puis permuter la série et l intégrale et développer en série entière t x ). (4) (**) En utilisant un développement en série entière, montrer que les fonctions suivantes sont de classe C : (a) f(x) = sin(x)/x si x, f() =. (b) g(x) = ch( x) si x et g(x) = cos( x) si x <. (c) h(x) = sinx x si x ] π,[ ],π[, h() =. (5) (**) On considère la série entière f(x) = + ( ) n+ n= n(2n+) x2n+. (a) Quel est son rayon de convergence, que l on notera R? Y-a-t-il convergence aux bornes de l intervalle de définition? (b) Sur quel intervalle la fonction f est-elle a priori continue? Démontrer qu elle est en réalité continue sur [ R, R]. (c) Exprimer, au moyen des fonctions usuelles, la somme de la série dérivée sur ] R, R[. En déduire une expression de f sur ] R,R[. (d) Calculer + n= ( ) n+ n(2n+). (6) (**) Soit (u n ) la suite réelle définie par u = et, pour tout n, u n+ = n k= u ku n k. (a) On supposeque lasérieentièref(x) = n u nx n aun rayonde convergencestrictement positif r >. (b) Démontrer que pour tout x ] r, r[, on a xf 2 (x) f(x)+ =. (c) En déduire qu il existe ρ > tel que f(x) = 4x 2x pour tout x ] ρ,ρ[, x. (d) En développant en série entière la fonction précédente, calculer u n en fonction de n. (7) (***) Montrer que ln(x)ln( x)dx = + n= n(n+) 2. (8) (*) On considère l équation différentielle y + xy + y =. On cherche l unique solution de cette équation vérifiant y() = y () =. (a) Supposons qu il existe une série entière f(x) = n a nx n de rayon de convergence strictement positif solution de l équation. Quelle relation de récurrence doit vérifier la suite (a n )? (b) Calculer explicitement a n pour chaque n. Quel est le rayon de convergence de la série entière obtenue? (c) Exprimer cette série entière à l aide de fonctions usuelles. (9) (**) Déterminer toutes les fonctions développables en série entière au voisinage de qui sont solution de l équation différentielle: x 2 ( x)y x(+x)y +y =.