CHAPITRE 4 : Le modèle de Cox 1. Approche par la régression
|
|
- Solange Clotilde Lessard
- il y a 6 ans
- Total affichages :
Transcription
1 CHAPITRE 4 : Le modèle de Cox 1. Approche par la régression Le modèle de Cox est un modèle à hasards proportionnels de la forme: t Z 0 t. expz où la fonction 0 t n est pas spécifiée paramétriquement Lorsque la k-ième covariable est continue, le k-ième coefficient de vérifie pour tout t: k lnt z Z k 1
2 Donc k mesure l élasticité du taux de hasard par rapport à la k-ième covariable Z k qui est supposée ne pas varier dans le temps Le modèle de Cox peut se ré-écrire sous forme linéaire: où W suit une loi de Gumbel ln 0 t Z Z W La théorie classique des MCO ne peut s appliquer ici parce que: la loi de W n est pas centrée : où est la constante d Euler, et EW varw 2 /6 on ne connaît pas en général 0 on observe en général des données non complètes 2
3 Le premier obstacle peut être levé en posant: W W où W est une variable centrée. On modifie le paramètre en introduisant une composante égale à 1 pour capter la constante Si on connaît 0 et si les données sont complètes, i.e. si on dispose d un échantillon i.i.d. T i,z i i1,...,n, on peut estimer le paramètre par la procédure classique des moindres carrés Si R p et si Z i R p, alors n n Z i Z i1 i 1 n i1 Z i ln 0 T i 3
4 En présence de données complètes, une procédure de moindres carrés non linéaires du type arg min 0 X i exp Z i1 i fournit également un estimateur convergent de n 2 2. Estimation paramétrique Supposons que l on connaisse 0, éventuellement à un paramètre de dimension finie près La log-vraisemblance s écrit: n i1 i lnfx i Z i 1 i lnsx i Z i 4
5 soit lnl n i1 n n i lnx i Z i lnsx i Z i i Z i1 i ln 0 X i expz i 0 X i d où la fonction score: lnl n n Z i i expz i1 i 0 X i où n i1 Z i expz i r i r i 0 X i i expz i Dans le cas d un modèle sans censure ( i 1 pour tout i), r i serait le résidu théorique du modèle, c est-à-dire r i 0 X i expz i 5
6 On appelle les r i les résidus généralisés L EMV de, noté, est donc racine de l équation exprimant l orthogonalité entre les résidus et une fonction des covariables: n i1 Z i expz i r i 0 En dérivant une seconde fois lnl n, on obtient l information de Fisher I n E 2 lnl Z n Z i Z i1 i expz i.e 0 X i Z i La quantité E 0 X i Z i est peu maniable car elle fait intervenir explicitement la loi de C. Mais comme 0 est croissante, E 0 X i Z i E 0 T i Z i 6
7 De plus, lorsque lim u 0 u E 0 T i Z i 0 tst Z i dt Z i expz i t Z i expt Z i dt Z i expz i Donc pour tout i, il existe un facteur i 0, 1 tel que On a alors E 0 X i Z i expz i i n I n i1 Z i Z i i 7
8 En l absence de censure, l information de Fisher correspondant au modèle latent I n serait n I n i1 n Z i Z i i1 n Z i Z i i i1 Z i Z i 1 i I n I n I n Le fait d avoir des observations censurées introduit une perte d information qui s exprime par la présence de la matrice positive I n Cette diminution de l information de Fisher a pour conséquence l accroissement de la borne de Cramer-Rao pour l estimation de La théorie usuelle des tests asymptotiques peut être utilisée avec lnl n et son maximisateur : tests de Wald, du score, du rapport des vraisemblances, etc., pour tester la nullité de certains éléments de 8
9 3. Vraisemblance partielle Soit un couple U,V de v.a. admettant des fonctions de densité marginale f u et conditionnelle f u Vv. v Supposons que l on observe un échantillon de réalisations u i, v i i1,...m qui ne sont a priori ni indépendantes, ni identiquement distribuées Vraisemblance des observations: Lu 1,v 1 ;... ;u n,v n Lu 1,v 1.Lu 2,v 2 ;... ;u m, v m u 1, v 1 m j1 où u j u 1,...,u j et v j v 1,...,v j Lu j,v j u j1, v j1 9
10 On peut alors écrire: Lu 1,v 1 ;... ;u n,v n j1 Le second terme L p u 1,v 1 ;... ;u n,v n j1 m Lu j u j1,v j1 Lv j u j,v j1 m Lv j u j,v j1 est appelée vraisemblance partielle de v dans u,v Lorsque toutes les lois conditionnelles admettent des densités, la vraisemblance partielle s écrit L p u 1,v 1 ;... ;u n,v n j1 m f Vj U j,v j1v j u j,v j1 10
11 En général, la vraisemblance partielle n est ni une vraisemblance totale, ni une vraisemblance conditionnelle (vraisemblance des observations conditionnellement à d autres variables considérées alors comme fixes). Dans certains cas, on peut utiliser L p comme s il s agissait de la vraisemblance totale des observations La méthode divise l information présente dans la vraisemblance en deux parties: l information pertinente pour estimer les paramètres du modèle et un bruit que l on peut négliger (ce bruit est ici apporté par U Pour pouvoir résumer la vraisemblance totale par la vraisemblance partielle, il faut que la partie bruitée ne fasse pas intervenir les paramètres que l on cherche à estimer 11
12 Notons toutefois que ces derniers apparaissent dans la partie m j1 via le conditionnement par v j1 Lu j u j1,v j1 Mais, dans bien des cas, la vraisemblance partielle se comporte comme une véritable vraisemblance, c est-à-dire qu on peut lui appliquer la théorie asymptotique standard Cette bonne propriété dépend du choix des variables U, V Soit p arg max L p l estimateur du maximum de la vraisemblance partielle 12
13 Pour obtenir la consistance de p, il faut d abord vérifier que l argument maximum de la log-vraisemblance partielle, ou de son espérance E m 1 lnlvj u j,v j1 ; j1 tend bien vers lorsque m m Il faut également que la log-vraisemblance partielle converge uniformément par rapport au paramètre dans un voisinage de Ces deux conditions dépendent de la forme retenue pour L p et ne peuvent être davantage précisées dans ce cadre général Si on suppose la consistance de p, on peut montrer que cet estimateur est asymptotiquement normal (cf. polycopié) 13
14 4. Application au modèle de Cox Soit le modèle à hasards proportionnels suivant, valable pour tout t et tout z : t Z t 0 t. expz t Ici, le processus de covariables peut dépendre du temps On suppose que la durée d intérêt est continue et que les sorties (ou décès) ont lieu à des instants distincts: t 1... t m, avec t
15 On note: R j l ensemble des individus à risque juste avant l instant t j u j toute l histoire du processus entre les dates t j1 et t j, plus le fait qu une sortie est observée en t j v j j l indice de l individu qui sort en t j, ou encore l indice de la j-ième statistique d ordre des durées observées Alors: soit: m L p j1 Pr jsort dans l intervalle t j,t j j u 1,v 1 ;.. ;u j1, v j1 ; u j m L p j1 PrT j t j,t j j R j,, u j 15
16 soit encore: m L p j1 ce qui implique: PrT j t j,t j j T j t j ; PrT k t j,t j j T k t j ; kr j m L p j1 m j1 t j z j t j ; t j z k t j ; kr j 0 t j exp z j t j 0 t j exp z k t j kr j 16
17 donc: m L p j1 exp z j t j exp z k t j kr j Pour un échantillon de taille fixe n, incluant les données censurées à droite, et non de taille m variable comme précédemment, Andersen et Gill (1982) ont montré que, sous certaines hypothèses de régularité, l estimateur du maximum de la vraisemblance partielle de, noté p, tend en probabilité vers quand n De plus, p est asymptotiquement normal: n loi p N0, 1 n 17
18 On montre par ailleurs que n 1 I n tend en probabilité vers, où I n 2 lnl p p L inverse de la matrice I n fournit donc un estimateur de la variance asymptotique de p La vraisemblance partielle L p permet de construire des tests asymptotiques de l hypothèses nulle: contre H 0 : 0 H 1 : 0 comme pour une vraisemblance classique. Ainsi, la statistique du score sous l hypothèse nulle s écrit lnl n p 1 lnl I n p
19 Sous H 0, n tend en loi vers un chi-deux à q degrés de liberté, où dim q 5. Estimation de la survie de base S 0 Reprenons l approche par le maximum de vraisemblance en dimension infinie introduite pour l estimateur de Kaplan-Meier (au chapitre 2) Notons comme alors: D i l ensemble des indices des individus qui sortent en X i C i les indices des individus censurés dans l intervalle R i l ensemble des individus à risque à la date X i X i,x i1 19
20 La vraisemblance approchée s écrit alors : k L app S 0 i1 expz S 0 X l ii S 0 X ii ld i c i l i 1 expz l S 0 X i,li exp z li Par un raisonnement identique à celui utilisé dans le chapitre 2, on montre que, pour maximiser cette quantité sur l espace des fonctions de survie, toute solution doit être constante par morceaux, avec des sauts aux instants des durées complètes X i On pose alors : S 0 X i i j1 j, j 0, 1 pour tout i et j 20
21 Les constantes j doivent maximiser: k L app S 0 i1 ld i expz 1 l i i1 j1 j expz l i j1 j c j lj 1 exp z lj soit: k L app S 0 i1 ld i expz l 1 i k i1 i j1 expz ldi C l i j i j1 expz l ldi i 21
22 soit encore: k L app S 0 j1 ld j expz l 1 j expz l lr j j j expz l ld j Si on suppose connu, i est solution de l équation L app S 0 0 i soit ld i expz l expz 1 l i lr i expz l En remplaçant par un estimateur p, on peut trouver numériquement une solution i 22
23 Dans le cas particulier où il n existe pas d ex-aequo, D i est réduit à un singleton, et l équation précédente devient: i 1 exp z i lri expz l exp z i en notant z i la covariable relative à l individu i prise à la date X i Dans tous les cas, on estime les survies de base et conditionnelles par S 0 t i et St z ix i ix i t t i expz en remplaçant le paramètre par un estimateur consistant 23
24 Remarques: 1. Si z 0 pour chaque individu de l échantillon, on retrouve l estimateur de Kaplan-Meier; en effet: 1 1 n ld i 1 i i 1 m i i n i lr i 2. La fonction de hasard intégrée de base 0 s estime généralement par l estimateur dit de Breslow : 0 t i ix i t jri exp z j X i p 3. On peut estimer la fonction de hasard de base 0 en lissant l estimateur 0 t : 0 t 1 h n K t u h n 0 du 1 h n n i1 K t X i h n i jri exp z j X i p 24
25 6. Le modèle de Cox en temps discret Cas avec nombreux ex-aequo Supposons que les données sont regroupées en intervalles I j de la forme: I j a j1,a j si j 2,...,k avec I 1 0,a 1 et I k1 a k, Les durées exactes sont donc inconnues Seule est disponible l information sur l indice de l intervalle I j dans lequel l individu sort ou est censuré 25
26 Hypothèses: 1. Une durée censurée dans l intervalle I j ne peut correspondre à une sortie au cours de cet intervalle, i.e. T a j 2. Le processus zt des covariables est constant dans chaque intervalle I j et égal à z j Le modèle à hasards proportionnels s écrit ici, pour tout j : où PrT I j T a j1,z 1 1 j exp z j a j 1 j exp aj1 0 udu 26
27 Preuve: PrT I j T a j1,z PrT I j z PrT a j1 z Sa j1 z Sa j z Sa j1 z a j 1 exp aj1 a j 1 exp aj1 u zdu 0 u expz udu en posant: 1 1 j exp z j a j j 1 exp aj1 0 udu 27
28 Remarque: j PrT I j T a j1,z 0 C est la probabilité de décéder dans l intervalle I j pour un individu de référence (tel que z 0) sachant qu il n a pas encore décédé Cette quantité s assimile à un taux de hasard en temps discret Vraisemblance du modèle en temps discret : k L j1 PrT I j z l PrT a j z l ld j lc j en notant comme précédemment: D j l ensemble des indices des individus sortant dans l intervalle I j C j l ensemble des indices des individus censurés dans l intervalle I j R j l ensemble à risque dans l intervalle I j (les individus toujours présents dans l échantillon en a j1 n j cardr j et d j cardd j 28
29 Convention: les durées appartenant à I k1 a k, sont supposées être censurées et leur indice appartient donc à C k : on sait seulement que ces durées sont supérieures à a k Posons : j ld j PrT a j T a j1,z l Alors : j ld j 1 PrT I j T a j1,z l 1 j expzl a j ld j 29
30 En remarquant que et que on obtient alors: k L j1 j PrT a j z l PrT a j1 z l j PrT a j z l 1 p expz l p1 ld j Pr T I j T a j1, z l PrT a j1 z l lc j PrT a j z l 30
31 soit: k L j1 j 1 ld j Pr T I j T a j1, z l lc j D j PrT a j z l k j1 j 1 ld j 1 1 j expzl a j k p1 k jp 1 p expzl a p lc j D j 31
32 soit encore: L k j1 j 1 ld j 1 1 j expz l a j k p1 1 p expzl a p lr p k j1 ld j 1 1 j expzl a j 1 j expzl a j lr p \D j 32
33 En effectuant le changement de variables on obtient k lnl j1 j lnln1 j, j 1,...,k ln1 expexp j z l a j ld j exp j z l a j lr j \D j En dérivant une fois cette identité par rapport aux j et à, on obtient les équations de vraisemblance (non linéaires) On montre que les racines, de ces équations sont asymptotiquement normales, de matrice de covariances asymptotique estimée par l inverse de 2 ln L,,,, 33
Continuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
Plus en détailProbabilités III Introduction à l évaluation d options
Probabilités III Introduction à l évaluation d options Jacques Printems Promotion 2012 2013 1 Modèle à temps discret 2 Introduction aux modèles en temps continu Limite du modèle binomial lorsque N + Un
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur
Plus en détailLe modèle de Black et Scholes
Le modèle de Black et Scholes Alexandre Popier février 21 1 Introduction : exemple très simple de modèle financier On considère un marché avec une seule action cotée, sur une période donnée T. Dans un
Plus en détailMODELES DE DUREE DE VIE
MODELES DE DUREE DE VIE Cours 1 : Introduction I- Contexte et définitions II- Les données III- Caractéristiques d intérêt IV- Evènements non renouvelables/renouvelables (unique/répété) I- Contexte et définitions
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailCONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE. Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE. (durée : cinq heures)
CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE (durée : cinq heures) Une composition portant sur la statistique. SUJET Cette épreuve est composée d un
Plus en détailLes indices à surplus constant
Les indices à surplus constant Une tentative de généralisation des indices à utilité constante On cherche ici en s inspirant des indices à utilité constante à définir un indice de prix de référence adapté
Plus en détailDualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies
Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailMéthodes de Simulation
Méthodes de Simulation JEAN-YVES TOURNERET Institut de recherche en informatique de Toulouse (IRIT) ENSEEIHT, Toulouse, France Peyresq06 p. 1/41 Remerciements Christian Robert : pour ses excellents transparents
Plus en détailAnalyse des durées de vie avec le logiciel R
Analyse des durées de vie avec le logiciel R Ségolen Geffray Des outils ainsi que des données pour l analyse des durées de vie sont disponibles dans les packages survival MASS Il est nécessaire de charger
Plus en détailQuantification Scalaire et Prédictive
Quantification Scalaire et Prédictive Marco Cagnazzo Département Traitement du Signal et des Images TELECOM ParisTech 7 Décembre 2012 M. Cagnazzo Quantification Scalaire et Prédictive 1/64 Plan Introduction
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailExercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Plus en détailSimulation de variables aléatoires
Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détailContents. 1 Introduction Objectifs des systèmes bonus-malus Système bonus-malus à classes Système bonus-malus : Principes
Université Claude Bernard Lyon 1 Institut de Science Financière et d Assurances Système Bonus-Malus Introduction & Applications SCILAB Julien Tomas Institut de Science Financière et d Assurances Laboratoire
Plus en détailChapitre 3. Les distributions à deux variables
Chapitre 3. Les distributions à deux variables Jean-François Coeurjolly http://www-ljk.imag.fr/membres/jean-francois.coeurjolly/ Laboratoire Jean Kuntzmann (LJK), Grenoble University 1 Distributions conditionnelles
Plus en détailChapitre 1. L intérêt. 2. Concept d intérêt. 1. Mise en situation. Au terme de ce chapitre, vous serez en mesure de :
Chapitre 1 L intérêt Au terme de ce chapitre, vous serez en mesure de : 1. Comprendre la notion générale d intérêt. 2. Distinguer la capitalisation à intérêt simple et à intérêt composé. 3. Calculer la
Plus en détailTests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles
Tests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles Valentin Patilea 1 Cesar Sanchez-sellero 2 Matthieu Saumard 3 1 CREST-ENSAI et IRMAR 2 USC Espagne 3 IRMAR-INSA
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailModélisation aléatoire en fiabilité des logiciels
collection Méthodes stochastiques appliquées dirigée par Nikolaos Limnios et Jacques Janssen La sûreté de fonctionnement des systèmes informatiques est aujourd hui un enjeu économique et sociétal majeur.
Plus en détailEXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Plus en détailTests d indépendance en analyse multivariée et tests de normalité dans les modèles ARMA
Tests d indépendance en analyse multivariée et tests de normalité dans les modèles ARMA Soutenance de doctorat, sous la direction de Pr. Bilodeau, M. et Pr. Ducharme, G. Université de Montréal et Université
Plus en détailSouad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/
Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation
Plus en détailChapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque
Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailCorrection du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
Plus en détailMéthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48
Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation
Plus en détailTABLE DES MATIERES. C Exercices complémentaires 42
TABLE DES MATIERES Chapitre I : Echantillonnage A - Rappels de cours 1. Lois de probabilités de base rencontrées en statistique 1 1.1 Définitions et caractérisations 1 1.2 Les propriétés de convergence
Plus en détailFiltrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales
Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales Adriana Climescu-Haulica Laboratoire de Modélisation et Calcul Institut d Informatique et Mathématiques Appliquées de
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailExo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs
Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication
Plus en détailDonnées longitudinales et modèles de survie
ANALYSE DU Données longitudinales et modèles de survie 5. Modèles de régression en temps discret André Berchtold Département des sciences économiques, Université de Genève Cours de Master ANALYSE DU Plan
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détailAmphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues
Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite
Plus en détailExamen optimisation Centrale Marseille (2008) et SupGalilee (2008)
Examen optimisation Centrale Marseille (28) et SupGalilee (28) Olivier Latte, Jean-Michel Innocent, Isabelle Terrasse, Emmanuel Audusse, Francois Cuvelier duree 4 h Tout resultat enonce dans le texte peut
Plus en détailExercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.
14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détailTexte Agrégation limitée par diffusion interne
Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse
Plus en détailEconomie de l incertain et de l information Partie 1 : Décision en incertain probabilisé Chapitre 1 : Introduction à l incertitude et théorie de
Economie de l incertain et de l information Partie 1 : Décision en incertain probabilisé Chapitre 1 : Introduction à l incertitude et théorie de l espérance d utilité Olivier Bos olivier.bos@u-paris2.fr
Plus en détailLa mesure de Lebesgue sur la droite réelle
Chapitre 1 La mesure de Lebesgue sur la droite réelle 1.1 Ensemble mesurable au sens de Lebesgue 1.1.1 Mesure extérieure Définition 1.1.1. Un intervalle est une partie convexe de R. L ensemble vide et
Plus en détailThéorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
Plus en détailContexte. Pour cela, elles doivent être très compliquées, c est-à-dire elles doivent être très différentes des fonctions simples,
Non-linéarité Contexte Pour permettre aux algorithmes de cryptographie d être sûrs, les fonctions booléennes qu ils utilisent ne doivent pas être inversées facilement. Pour cela, elles doivent être très
Plus en détailProgrammes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles
Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme
Plus en détailFiche PanaMaths Calculs avec les fonctions sous Xcas
Fiche PanaMaths Calculs avec les fonctions sous Xcas Cette fiche destinée aux élèves des classes de Terminale requiert un premier niveau de connaissance du logiciel Xcas. Définition d une fonction Fonctions
Plus en détail1 Systèmes triphasés symétriques
1 Systèmes triphasés symétriques 1.1 Introduction Un système triphasé est un ensemble de grandeurs (tensions ou courants) sinusoïdales de même fréquence, déphasées les unes par rapport aux autres. Le système
Plus en détailDérivation : cours. Dérivation dans R
TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition
Plus en détailModélisation des risques
2 Modélisation des risques 2. Introduction L objectif de ce chapitre est de présenter les modèles de base utilisés pour décrire le comportement aléatoire d un risque en actuariat pour une période xe. Les
Plus en détailSéminaire TEST. 1 Présentation du sujet. October 18th, 2013
Séminaire ES Andrés SÁNCHEZ PÉREZ October 8th, 03 Présentation du sujet Le problème de régression non-paramétrique se pose de la façon suivante : Supposons que l on dispose de n couples indépendantes de
Plus en détailMCMC et approximations en champ moyen pour les modèles de Markov
MCMC et approximations en champ moyen pour les modèles de Markov Gersende FORT LTCI CNRS - TELECOM ParisTech En collaboration avec Florence FORBES (Projet MISTIS, INRIA Rhône-Alpes). Basé sur l article:
Plus en détailTESTS PORTMANTEAU D ADÉQUATION DE MODÈLES ARMA FAIBLES : UNE APPROCHE BASÉE SUR L AUTO-NORMALISATION
TESTS PORTMANTEAU D ADÉQUATION DE MODÈLES ARMA FAIBLES : UNE APPROCHE BASÉE SUR L AUTO-NORMALISATION Bruno Saussereau Laboratoire de Mathématiques de Besançon Université de Franche-Comté Travail en commun
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailBac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)
Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre
Plus en détailCalcul différentiel sur R n Première partie
Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité
Plus en détailVI. Tests non paramétriques sur un échantillon
VI. Tests non paramétriques sur un échantillon Le modèle n est pas un modèle paramétrique «TESTS du CHI-DEUX» : VI.1. Test d ajustement à une loi donnée VI.. Test d indépendance de deux facteurs 96 Différentes
Plus en détailCorrection du baccalauréat S Liban juin 2007
Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau
Plus en détailSuites numériques 4. 1 Autres recettes pour calculer les limites
Suites numériques 4 1 Autres recettes pour calculer les limites La propriété suivante permet de calculer certaines limites comme on verra dans les exemples qui suivent. Propriété 1. Si u n l et fx) est
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailCAPTEURS - CHAINES DE MESURES
CAPTEURS - CHAINES DE MESURES Pierre BONNET Pierre Bonnet Master GSI - Capteurs Chaînes de Mesures 1 Plan du Cours Propriétés générales des capteurs Notion de mesure Notion de capteur: principes, classes,
Plus en détailPROBABILITES ET STATISTIQUE I&II
PROBABILITES ET STATISTIQUE I&II TABLE DES MATIERES CHAPITRE I - COMBINATOIRE ELEMENTAIRE I.1. Rappel des notations de la théorie des ensemble I.1.a. Ensembles et sous-ensembles I.1.b. Diagrammes (dits
Plus en détailDéveloppements limités, équivalents et calculs de limites
Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(
Plus en détailSuites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite
Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailÉTUDE ASYMPTOTIQUE D UNE MARCHE ALÉATOIRE CENTRIFUGE
ÉTUDE ASYMPTOTIQUE D UNE MARCHE ALÉATOIRE CENTRIFUGE JEAN-DENIS FOUKS, EMMANUEL LESIGNE ET MARC PEIGNÉ J.-D. Fouks. École Supérieure d Ingénieurs de Poitiers. 40 avenue du Recteur Pineau, 860 Poitiers
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailMoments des variables aléatoires réelles
Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................
Plus en détailCapacité d un canal Second Théorème de Shannon. Théorie de l information 1/34
Capacité d un canal Second Théorème de Shannon Théorie de l information 1/34 Plan du cours 1. Canaux discrets sans mémoire, exemples ; 2. Capacité ; 3. Canaux symétriques ; 4. Codage de canal ; 5. Second
Plus en détailPremier ordre Expression de la fonction de transfert : H(p) = K
Premier ordre Expression de la fonction de transfert : H(p) = K + τ.p. K.e τ K.e /τ τ 86% 95% 63% 5% τ τ 3τ 4τ 5τ Temps Caractéristiques remarquables de la réponse à un échelon e(t) = e.u(t). La valeur
Plus en détailLa Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1
La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois
Plus en détailFibonacci et les paquerettes
Fibonacci et les paquerettes JOLY Romain & RIVOAL Tanguy Introduction Quand on entend dire que l on peut trouver le nombre d or et la suite de Fibonacci dans les fleurs et les pommes de pin, on est au
Plus en détailÉVALUATION FORMATIVE. On considère le circuit électrique RC représenté ci-dessous où R et C sont des constantes strictement positives.
L G L G Prof. Éric J.M.DELHEZ ANALYSE MATHÉMATIQUE ÉALUATION FORMATIE Novembre 211 Ce test vous est proposé pour vous permettre de faire le point sur votre compréhension du cours d Analyse Mathématique.
Plus en détailSYSTEMES LINEAIRES DU PREMIER ORDRE
SYSTEMES LINEIRES DU PREMIER ORDRE 1. DEFINITION e(t) SYSTEME s(t) Un système est dit linéaire invariant du premier ordre si la réponse s(t) est liée à l excitation e(t) par une équation différentielle
Plus en détailaux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale.
MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (I/II) 1. Rappels théoriques : résolution d équations aux différences 1.1. Équations aux différences. Définition. Soit x k = x(k) X l état scalaire
Plus en détailSur certaines séries entières particulières
ACTA ARITHMETICA XCII. 2) Sur certaines séries entières particulières par Hubert Delange Orsay). Introduction. Dans un exposé à la Conférence Internationale de Théorie des Nombres organisée à Zakopane
Plus en détailMaster IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. n o 1
Master IMEA Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. n o Corrigé exercices8et9 8. On considère un modèle Cox-Ross-Rubinstein de marché (B,S) à trois étapes. On suppose que S = C et que les facteurs
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailChapitre VI - Méthodes de factorisation
Université Pierre et Marie Curie Cours de cryptographie MM067-2012/13 Alain Kraus Chapitre VI - Méthodes de factorisation Le problème de la factorisation des grands entiers est a priori très difficile.
Plus en détailINTRODUCTION. 1 k 2. k=1
Capes externe de mathématiques : session 7 Première composition INTRODUCTION L objet du problème est l étude de la suite (s n n définie par : n, s n = Dans une première partie, nous nous attacherons à
Plus en détailVariables Aléatoires. Chapitre 2
Chapitre 2 Variables Aléatoires Après avoir réalisé une expérience, on ne s intéresse bien souvent à une certaine fonction du résultat et non au résultat en lui-même. Lorsqu on regarde une portion d ADN,
Plus en détailChapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques
Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Savoir-faire théoriques (T) : Écrire l équation différentielle associée à un système physique ; Faire apparaître la constante de temps ; Tracer
Plus en détailTravaux dirigés d introduction aux Probabilités
Travaux dirigés d introduction aux Probabilités - Dénombrement - - Probabilités Élémentaires - - Variables Aléatoires Discrètes - - Variables Aléatoires Continues - 1 - Dénombrement - Exercice 1 Combien
Plus en détailESSEC. Cours «Management bancaire» Séance 3 Le risque de crédit Le scoring
ESSEC Cours «Management bancaire» Séance 3 Le risque de crédit Le scoring Les méthodes d évaluation du risque de crédit pour les PME et les ménages Caractéristiques Comme les montants des crédits et des
Plus en détailThéorie de l estimation et de la décision statistique
Théorie de l estimation et de la décision statistique Paul Honeine en collaboration avec Régis Lengellé Université de technologie de Troyes 2013-2014 Quelques références Decision and estimation theory
Plus en détailFonctions Analytiques
5 Chapitre Fonctions Analytiques. Le plan complexe.. Rappels Soit z C, alors!(x,y) IR 2 tel que z = x + iy. On définit le module de z comme z = x 2 + y 2. On peut aussi repérer z par des coordonnées polaires,
Plus en détailIntroduction à la statistique non paramétrique
Introduction à la statistique non paramétrique Catherine MATIAS CNRS, Laboratoire Statistique & Génome, Évry http://stat.genopole.cnrs.fr/ cmatias Atelier SFDS 27/28 septembre 2012 Partie 2 : Tests non
Plus en détailSujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes.
Promotion X 004 COURS D ANALYSE DES STRUCTURES MÉCANIQUES PAR LA MÉTHODE DES ELEMENTS FINIS (MEC 568) contrôle non classant (7 mars 007, heures) Documents autorisés : polycopié ; documents et notes de
Plus en détail= 1 si n = m& où n et m sont souvent des indices entiers, par exemple, n, m = 0, 1, 2, 3, 4... En fait,! n m
1 épartement de Physique, Université Laval, Québec Pierre Amiot, 1. La fonction delta et certaines de ses utilisations. Clientèle Ce texte est destiné aux physiciens, ingénieurs et autres scientifiques.
Plus en détailProjet Etienne Marceau Méthodes statistiques en assurance non vie
Trinôme : Carine Sauser, Mélanie Groisne, Xavier Milhaud Projet Etienne Marceau Méthodes statistiques en assurance non vie Méthodes statistiques pour la finance et l assurance ISFA - Décembre 2007 Table
Plus en détailUne application de méthodes inverses en astrophysique : l'analyse de l'histoire de la formation d'étoiles dans les galaxies
Une application de méthodes inverses en astrophysique : l'analyse de l'histoire de la formation d'étoiles dans les galaxies Ariane Lançon (Observatoire de Strasbourg) en collaboration avec: Jean-Luc Vergely,
Plus en détailRésolution de systèmes linéaires par des méthodes directes
Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.
Plus en détailCOURS CALCULS FINANCIERS STATISTIQUE
UNIVERSITÉ JOSEPH FOURIER M1 MIAGE UFR IMA COURS DE CALCULS FINANCIERS ET STATISTIQUE Serge Dégerine 4 octobre 2007 INTRODUCTION Ce document comporte trois parties consacrées à deux thèmes très indépendants
Plus en détailContinuité d une fonction de plusieurs variables
Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs
Plus en détailAnalyse des Systèmes Asservis
Analyse des Systèmes Asservis Après quelques rappels, nous verrons comment évaluer deux des caractéristiques principales d'un système asservi : Stabilité et Précision. Si ces caractéristiques ne sont pas
Plus en détailNON-LINEARITE ET RESEAUX NEURONAUX
NON-LINEARITE ET RESEAUX NEURONAUX Vêlayoudom MARIMOUTOU Laboratoire d Analyse et de Recherche Economiques Université de Bordeaux IV Avenue. Leon Duguit, 33608 PESSAC, France tel. 05 56 84 85 77 e-mail
Plus en détail