Marc Gaudry. Université de Montréal Agora Jules Dupuit, Publication AJD-150F

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1 «Des chercheurs qu cherchen, on en rouve. Des chercheurs qu rouven, on en cherche.» Charles de Gaulle, le 8 mars 965 Méhodes Box-Cox, algorhmes de RIO e demande de ranspor : ros consgnes occamennes pour fare rendre sens aux coeffcens de régresson de modèles smples e logsques dscres ou agrégés Marc Gaudr Dreceur, Agora Jules Dupu (AJD), Unversé de Monréal, Monréal QC, Canada hp:// ou hp://e-ajd.mm.de/ Professeur honorare, Déparemen de scences économques Unversé de Monréal, Monréal, QC, Canada, marc.gaudr@umonreal.ca La premère mouure de ce documen, nulée «Coeffcens, élascés e aux margnaux de subsuon dans les modèles de régresson classque e logsque : applcablé aux esmaons dsponbles pour le proje Sene-Nord Europe», a éé rédgée pour le comé économque de ce proje de Voes Navgables de France (VNF) le 8 novembre Cee verson révsée nègre la noe «Quelques pons concernan l agrégaon, la segmenaon e la forme fonconnelle» élaborée pour la réunon du 4 avrl 204 du Comé de ploage des éudes socoéconomques de la Socéé du Grand Pars (SGP). L aueur es redevable à Jacques Pavaux de ses mans encouragemens à refourbr le exe nal rop bref, noammen en explcan les procédures des algorhmes de RIO décres à ce jour prncpalemen dans les manuels du logcel rédgés en anglas. L aueur a bénéfcé des consels e suggesons de Maheu de Lapparen sur pluseurs pons e de Kenneh ran sur les élascés, d nervenons de Jean- Vcor Côé e d Émle Qune sur l Annexe 3, e d un résumé des praques d esmaon des foncons «Gamma» élaboré par Saffan Algers. La verson 3 ajoue de nombreuses précsons sur des pons de déal, ans que l annexe 0, à celle du 8 décembre 205. Unversé de Monréal Agora Jules Dupu, Publcaon AJD-50F Verson le 8 décembre 205. Verson 3 du 8 mars 206

2 Sommare Dans ces noes sur la régresson économérque, nous nous néressons à la lsblé des coeffcens des modèles smples, classques e logsques mulnomaux, enrchs de ransformaons Box-Cox, e à dverses sasques qu en son dérvées. Nous posons d abord (secon 2) la queson de la valdé des paramères (coeffcens e pussances Box-Cox) e des de Suden obenus par esmaon du maxmum de vrasemblance. S agssan de la alle des paramères, de leurs sgnes e de leurs de Suden, nous proposons (secons 3, 4 e 5), pour chacune de ces ros dmensons de lsblé, un ndcaeur occamen spécfque de pernence, parm lesquels on rouvera l élascé e le aux margnal de subsuon enre varables, noons parculèremen ules dans les modèles de demande ou de chox du mode de ranspor. Dans un second emps (secon 6), nous nrodusons d aures spécfcaons de modèles conçus dans la connué des premers (comme le Dog e l IP-Log) e d aures sasques dérvables d esmaons, par exemple le aux margnal de subsuon e l élascé de subsuon enre momens d un prospec aléaore explqué par régresson Box-Cox. L ensemble consue une premère nroducon aux ros esmaeurs du maxmum de vrasemblance (LEVEL, SHARE, PROBABILIY) du logcel RIO e aux sasques dérvées qu ls produsen. S le conexe de modélsaon e les nombreux exemples réels rapporés on prncpalemen ra à la demande ou au chox enre modalés de ranspor, l analse es naurellemen de porée plus générale. Mos clés : régresson smple, régresson Box-Cox, Log, Dog, Inverse Power ransformaon- Log, de Suden, élascé, aux margnal de subsuon enre momens de, élascé de subson enre momens de, demande de ranspor, chox modal. Absrac hese noes on economerc analss focus on he legbl of regresson coeffcens n smple models, boh classcal and logsc, enrched b Box-Cox ransformaons, and on he varous sascs derved from model esmaes. A frs secon perans o he vald of such esmaes of parameers (coeffcens and Box-Cox powers) and of her -sascs obaned b Maxmum Lelhood esmaon. hen, for each e dmenson of parameer legbl, namel her sze, sgn and Suden s, we propose (n secons 3, 4 and 5) an Ochaman ndcaor of relevance, for nsance an elasc and a margnal rae of subsuon beween varables of neres: derved sascs of hs nd are of parcular mpor n ranspor demand and mode choce conexs. Secon 6 nroduces oher model famles, he Dog and IP-Log famles, specfed n nesng connu wh he smple Log faml models frs nroduced, as well and oher dervable sascs of neres, such as he margnal rae of subsuon and he elasc of subsuon among momens of a random prospec explaned b Box-Cox regresson. ogeher, hese noes provde a low-brow nroducon o he hree Maxmum Lelhood esmaors (LEVEL, SHARE, PROBABILIY) of he RIO sofware and o her varous derved sascs. he man real model examples summarzed n he ex peran prncpall o ranspor demand or modal choce bu our analss s general and no resrced o ha parcular feld of applcaon. Ke words: smple regresson, Box-Cox regresson, Log, Dog, Inverse Power ransformaon- Log, -sascs, elasces, margnal raes of subsuon among momens of, elasces of subsuon among momens of, ranspor demand, mode choce. Classfcaon du Journal of Economc Leraure (JEL) C-8, C-52, R-4. 2

3 able des maères. Inroducon : la lsblé des coeffcens de régresson Coeffcens de régresson, pussances des varables e de Suden Quels paramères bêa e lambda e quels rechercher? En présence de lnéaré dans les varables...7 A. Les bons ( 0 ; ; ) en régresson mulfacorelle classque smple...8 B. Les bons ( 0, ; ; ) en régresson logsque mulnomale...9 ) La ransformaon logsque de fréquences non nulles...0 ) L esmaon non lnéare drece, en praque avec des données dscrèes...2 ) L esmaon non lnéare drece avec des pars en leu d observaons dscrèes En présence de varables ransformées par des pussances Box-Cox...6 A. Corrélaons bêa-lambda cachées e ermnologe...6 B. Nos modèles de référence, en régresson Box-Cox classque e logsque...9 ) ransformer les varables e des régressons en nveaux...9 ) ransformer drecemen les p e les des régressons Log...25 ) ransformer ndrecemen les p des régressons Log...27 C. Pourquo abandonner les pussances smples au prof des BC?...29 o) Prélmnares : une ersaz-bc qu ne fera pas long feu...29 ) Connué à 0 ou dégénérescence?...30 ) Manen de l ordre des observaons ou rsque d nverson?...3 ) Geson des valeurs nulles e réalé...3 v) Lsblé des sgnes des dérvées, aux margnaux de subsuon e élascés...32 v) Modélsaon des effes ournans...33 D. Les bons ( ; ; ) en régresson Box-Cox...33 ) Un maxmum global?...34 ) Des lambdas nvarans aux unés de mesure (des ), e les consanes...34 ) Des de Suden (des ) nvarans aux unés de mesure des, e leur calcul...35 v) Cavea lecor! Cavea ndgaor!...36 E. Poolng de données Log, non lnéaré e déf pour les consanes...37 ) Données dscrèes e agrégées révélées...37 ) Dverses formes de poolng e rsques sur les consanes Un es de sgnes obenus, pour précser la conjoncon au sens de Hume Explcer le bêa-lambda mplcemen présen Effes de la BC sur les sgnes obenus Approche analque Démonsraon numérque La premère lame d un rasor auomaque Un es d élascés, à la sue de Sévène Une premère noon nuve : l élascé de par rappor à Orgne de l élascé smple par rappor à une varable posve Élascé smple ou échanllonnale de vs élascé d un momen de Varables explcaves, comprs auxlares, conenan des observaons nulles...48 A. Une varable quas-dumm...48 B. Une varable dumm...48 C. Une mesure approxmée pour la quas-dumm e la dumm Les élascés dans les modèles Log mulnomaux Élascés smples de pars e de probablés...49 A. Élascés de pars dreces e crosées...49 B. Élascés de probablés moennes pondérées e évaluées à la moenne...50 C. Échanllons pondérés : une asmére enre régresson classque e logsque Revenr en nveaux : élascé-pons de pourcenage ou de probablé...5 A. La lsblé exge de revenr en pons de pourcenage ou de probablé...5 B. Exemple : élascé-probablé e élascé-pons de probablé, moenne e à la moenne..52 3

4 Approxmaons pour une varable quas-dumm ou dumm Corrger les consanes e les p en cas d échanllons endogènes La fuure prse en compe des aléas Un es de subsuons, pour mere Lancaser en praque S néresser auss aux valeurs relaves des effes des varables explcaves? Vd propres du Log Box-Cox Sandard, e chox du mode de ranspor Usage de la rosème lame e chox Log classque du mode de ranspor Aures spécfcaons e sasques accessbles par les algorhmes de RIO LEVEL e ses famlles.6 e Les MS enre deux varables explcaves de Les MS enre deux momens explqués de Les élascés de subsuon enre momens de PROBABILIY e SHARE, aux ulés sandard ou généralsées, e leurs 5 famlles Ulé séparable ou pas dans le Log? Les foncons Box-Cox généralsées Les queues épasses e l gnorance des chercheurs : les famlles Dog e IP Concluson Remercemens Annexe 0. he sx prncpal Box-Cox ransformaon esmaon pfalls Annexe. Connué de la ransformaon Box-Cox à zéro Annexe 2. Invarance de la BC e observaons posves ou nulles Annexe 3. Porée des déplacemens e BC du emps e du coû Références Lse des fgures Fgure. Régresson lnéare smple (Y sur ou sur Y) e régresson orhogonale enre Y e... 9 Fgure 2. Quare modèles de régresson radonnels comme cas parculers du modèle Box-Cox... 9 Fgure 3. Quare formes classques en régresson lnéare Fgure 4. Du lnéare au sem-log avec Box-Cox Fgure 5. Du log-log au sem-log avec Box-Cox Fgure 6. Influence d une ransformaon logarhmque sur la varance de l erreur... 2 Fgure 7. Régresson Log lnéare vs régresson Log Box-Cox Fgure 8. Quelques cas de densés bnomales avec les deux BC dédoublées de Pregbon Fgure 9. Queues épasses de courbes de réacon IP : asmérque (en A) e smérque (en B) Fgure 0. Illusraon du manen de l ordre des valeurs, e de la connué à 0, de la BC... 3 Fgure. Passer d une courbe monoone à une courbe ournane en ulsan les BC Fgure 2. Impac d une ransformaon pussance (BC=2) de sur la dsrbuon des valeurs... 4 Fgure 3. Sgnes de coeffcens en régresson unfacorelle ou mulfacorelle, e BC Fgure 4. Valeurs moennes de probablés ou de penes e valeurs évaluées à la moenne Fgure 5. Coeffcens d asmére de la dsrbuon du nombre mensuel d accdens de la roue Fgure 6. Lo de Webull caracérsan nore gnorance, connue e paramérée Fgure 7. Log vs Dog Sandard

5 Lse des ableaux ableau. Impac de la dsponblé des modes sur les d une esmaon BZI... ableau 2. ransformaons Box-Cox (BC), Box-ue (B) e leurs nverses... 8 ableau 3. Modèle de Généraon-Dsrbuon de flux européens de ranspor (en onnes, 987) ableau 4. ros modèles avec 0 e ableau 5. Lsblé des sgnes résulan des modèles A (Box-Cox) e B (pussances smples) ableau 6. Condons d un reournemen e de son nverson avec deux BC sur un ableau 7. Caégores de varables explcaves à dsnguer lors d un calcul d élascé ableau 8. Élascé-probablé e élascé-pons de p évaluées à la moenne e moennes ableau 9. Valeurs des BC du emps e du coû dans 28 modèles Log Box-Cox Sandard ableau 0. Dérvées des momens de, varable explquée par régresson avec erreurs gaussennes 63 ableau. Dérvées des momens de par rappor à ableau 2. Rappel de la défnon des ros premers momens d une varable aléaore ableau 3. Prncpales esmaons e sasques de l algorhme LEVEL ableau 4. Prncpales esmaons e sasques des algorhmes PROBABILIY e SHARE ableau 5. Enrchssemens du Log classque esmables avec PROBABILIY e SHARE ableau 6. ess des famlles Log, Dog e IP sur deux modèles de chox modal Lse des encadrés Encadré. Vsa le nor ua le blanc : la réparon des coneneurs enre les pors du range alanque Encadré 2. Vesses ou lanernes? Sgnes e formes des varables : cas A (USA) e B (Île-de-France) 7 Encadré 3. Un sgne de conradcon forme e auocorrélaon sérelle : cas C (Île de Monréal) Encadré 4. La beaué es dans l asmére des formes ournanes : cas D (Allemagne) e E (France).. 35 Encadré 5. La naure es-elle jamas lnéare? cas F (Norvège)... 4 Encadré 6. Des courbures révélées, pluô que des cache-sgne : cas G (Québec-Wndsor) Encadré 7. Pédagoge ludque Nuella e véré bêa-lambda : cas H (Orl-VAL)... 6 Encadré 8. Les conduceurs manpulen les momens de la loere : cas I (Allemagne) e J (Québec). 70 Encadré 9. L ulé srce enre subsus ou complémens proches démsfée : cas K (Prénées)

6 . Inroducon : la lsblé des coeffcens de régresson Nous nous néressons c à la lsblé des coeffcens des modèles de régresson smples, classques e logsques mulnomaux, ouls de base de la quanfcaon économérque ensegnée de nos jours. Nous supposons famlères leurs hpohèses e propréés mahémaques e sasques elles qu exposées dans un premer cours d économére, ce qu nous auorse à les passer sous slence, sauf pour des précsons nécessares à nore propos. Car nous souhaons mere l accen sur la compréhenson praque des résulas représenafs fourns dans l mmense majoré des arcles scenfques à porée emprque, essenellemen les coeffcens de régresson e leurs de Suden. S agssan des modèles lnéares dans leurs varables, l a oujours éé dffcle au leceur aenf d apprécer le caracère rasonnable de leurs coeffcens rapporés, an pour les varables connues que pour les ndcarces, dans des lses de noms de code sans défnons assocées, e don les unés de mesure, ceres connues des aueurs, son fnalemen raremen ransparenes, parfos à dessen. Mas ou rappor nuf aux valeurs absolues e relaves des coeffcens dsparaî généralemen dès que les varables son ransformées, même s le modèle lu-même demeure lnéare dans ses coeffcens. Nous proposons donc, pour fare rendre sens aux «coeffcens sgnfcafs de sgne aendu» esmés e rapporés, de leur assocer des sasques dérvées; e nous envsageons, pour de els complémens essenels à la compréhenson conjone des valeurs absolues e relaves des coeffcens, de leurs sgnes e de Suden, ros pes de mesures ad hoc, sans pour auan en exclure d aures. En sus de leurs valeurs absolues, les valeurs relaves des coeffcens d où son rés les aux margnaux de subsuon (MS) enre varables son parculèremen ules dans les ranspors où les rôles respecfs du coû e du emps 2 son décsfs dans les foncons de demande ou de chox enre modes. Mas la reddon de sens, à l nsar de la reddon de compes, requer élaboraon. Comme aucun ndcaeur dérvé ne peu en praque êre défn de manère unque e unvoque, chaque pe de mesure ou sasque applquée pour fare rendre sens exge d abord de chosr pour elle un ndcaeur; ensue, en regrouper ros un par pe de mesure reven à consrure, dans un cadre c srcemen conforme au Modèle Lnéare Généralsé (Nelder & Wederburn, 972), un rasor rlame adapé à l émondage occamen des résulas. On peu ancper qu un el rasor permera de rejeer beaucoup de ravaux mean de l avan «des coeffcens sgnfcavemen dfférens de zéro» don le caracère rasonnable n es pas éabl, jusemen à cause d une carence de mesures dérvées nuvemen nerpréables, mesures don on aura parfos sogneusemen évé l usage. Il arrve même qu on cache par exemple des élascés, calculées pour so à grand fras à cause de leur absence au menu des logcels, car en produre d accepables exgera énormémen plus de raval : «l fau deux ans pour esmer correcemen une foncon de demande, d offre ou de coû», comme en a un jour convenu Jean-Jacques Laffon 3. On précsera d abord (à la secon 2) ce qu nous néresse au premer chef, s agssan des coeffcens, de leurs sgnes e de leurs de Suden; on proposera ensue (aux secons 3, 4 e 5), pour chacune de ces ros dmensons de lsblé, au mons un ndcaeur occamen spécfque de pernence. À la secon 6, on complèera en résuman dans la foulée d aures spécfcaons admssbles de modèles à esmer e d aures sasques que celles don l aura éé queson, enrchssemens qu donnen une dée plus juse de la porée des esmaeurs du maxmum de vrasemblance de RIO (LEVEL, SHARE, PROBABILIY) que ce qu en aura ranspré dans les cas plus smples déjà raés. E parfos auss leurs p-values, au sens de la probablé que dépasse, en valeur absolue, une valeur donnée, en foncon d un nombre de degrés de lberé (d.d.l.), mas cee nformaon n es pas essenelle au leceur s le es fourn. Plus raremen, on rouve en leu e place des la varaon de log-vrasemblance causée, ceers parbus, par l ajou de chaque varable concernée, mas cee mesure exace demeure rare à cause de son coû de calcul élevé (sauf auomasaon) en présence de nombreuses varables explcaves, e surou pour des formulaons non lnéares à convergence ncerane. 2 Vore d aures caracérsques du ben convoé dans les formulaons, des hédonques, de foncons de demande. 3 En conversaon avec l aueur, au déparemen de scences économques de l Unversé de Monréal vers 976, alors qu l ravalla sur l esmaon de foncons de demande e d offre de monnae, effor emprque qu l se garda de répéer. 6

7 2. Coeffcens de régresson, pussances des varables e de Suden 2.. Quels paramères bêa e lambda e quels rechercher? En régresson lnéare smple 4, classque (en nveaux) ou logsque (en probablés), on recherche conjonemen des coeffcens qu s ajusen aux unés de mesure des varables ulsées e des de Suden ndépendans de ces mêmes unés de mesure (.e. nvarans par rappor à elles). Les résulas apparens qu on nous présene c ou là joussen-ls ben de ces propréés élémenares? Il fau d abord s en assurer dans ous les cas de fgure avan de leur fare rendre sens, e l fau poser en sus de manère spécfque la queson de la valdé des consanes des modèles Log, car elles nervennen ndrecemen dans le calcul des élascés dérvées des pars e des probablés. Comme les modèles qu nous néressen mélangen en fa souven varables explcaves lnéares e varables ransformées (racne carrée, logarhme, ec.), l es ule de dscuer d abord du cas lnéare dans les varables e de poser ensue la queson plus générale de la forme des varables, assmlée c à celle de l usage de la ransformaon Box-Cox (964). Cee ransformaon non lnéare, qu comprend un grand nombre de cas parculers d usage couran, sera de ce seul fa «la plus ulsée en économére» (Davdson & MacKnnon, 993), comprs dans les modèles probablses (Porer, 978), même s d aures propréés peuven auss explquer cee popularé 5, mérée comme nous le rappellerons plus bas (vor sur ce pon Saa, 992). On recherchera donc auss des pussances Box- Cox lambdas esmées correcemen, elles auss ndépendanes des unés de mesure des varables ransformées, ou comme leurs de Suden, l va sans redre. Ces exgences, pas oujours sasfaes, condonnen la sue. On llusrera, an les faues echnques fréquenes que les calculs juses représenafs, surou par des cas connus, vore publés, rés des ravaux dans les ranspors. On fera comme s le chox Log éa fa enre modes, pluô qu enre nérares ou desnaons En présence de lnéaré dans les varables L écrure habuelle des observaons en régresson classque smple de sur K varables explcaves,..., K, hors la consane 0, es ben sûr, avec une erreur sphérque u dsrbuée normalemen : K (-A) 0 u, =,,, e celle de la régresson log mulnomale explquan, pour un ndvdu ou cas, la probablé de chosr le mode parm un ensemble de M possblés muuellemen exclusves, es : (2-A) p exp( V ) 0 exp( V ) V n s jm j j, j =,..., M; =,...,, n n s s où V es une foncon de d ulé représenave qu l sera parfos plus smple plus bas de réécrre provsoremen en gnoran l ndce d observaon mas en dsnguan ben enre les varables n qu varen selon le mode, comme son prx ou son emps de ranspor, e les varables soco-économques nvaranes selon le mode, comme le sexe ou le revenu du consommaeur. s On remarque auss la présence d une consane 0, spécfque à chaque mode. La formulaon (2-A) vau ndsncemen pour des observaons sur p () dscrèes ou booléennes, des «désagrégées», e des observaons sur des pars ou fréquences, des «agrégées». ouefos la naure des données pourra nfluencer le chox d un algorhme d esmaon des paramères d nérê ou l écrure des mesures dérvées de pernence comme les élascés. 4 On exclu les consommaons nulles (soluons «en con»), an en nveaux (e.g. Lu e al, 204) qu en probablés. 5 D aures approches relées, comme celle de Bcell & Dosum (98), n on jamas convancu e ne seron pas dscuées. 7

8 A. Les bons ( 0 ; ; ) en régresson mulfacorelle classque smple Depus son orgne, assocée prncpalemen à Gauẞ (809), la méhodes des mondres carrés, opmale à l égard de ben des crères, mnmse la dsance vercale enre une mesure, de dépendane, e des varables explcaves, désgnées par des. Il s ag de projeer orhogonalemen la varable dépendane sur le sous-espace vecorel engendré par le veceur consan e les veceurs des varables exogènes. Les penes. Il exse en praque deux manères prncpales d obenr des coeffcens en régresson «classque 6 smple» elle que défne en (-A). Consdérons pour les llusrer le cas parculer d une relaon enre une varable dépendane e seulemen deux varables explcaves. On peu ulser l nverson marcelle des Mondres Carrés Ordnares (MCO), don l écrure vecorelle famlère (e ndépendane du nombre de varables explcaves consdérées) es : (3-A) ˆ ( ), où le veceur des coeffcens comprend celu de la consane 0 ncluse dans la marce de veceurs colonnes 0,,,,, K. Mas l es auss losble d esmer les deux penes 7 des varables explcaves reenues comme on l explque dans les manuels (e.g. Johnson. 984, p. 8), en foncon des corrélaons smples («lnéares» ou «de Pearson») enre les varables (aures que la consane) e en foncon de leurs écars-pes. Avec les deux seules varables explcaves 2 e 3 ( 0 éan c réservé à la consane e la varable dépendane éan désgnée par Y ), la décomposon la plus clare des penes es alors : r r r s r r r s (4-) b2 e b r s r s , où, les mnuscules désgnan des dévaons par rappor à la moenne au forma x ( ), les écars-pes échanllonnaux de Y, 2 e 3 son respecvemen: (4-2) x2 x3 s, s2, s3 ; e les coeffcens de corrélaon smple (raos des covarances sur écars-pes) son, à leur our: (4-3) ( x2 ) ( x3 ) ( x2x3 ) x2 x3 x2 x3 r, r, r Ces deux modes de calcul de la somme des erreurs au carré mnmsen les dsances vercales enre les observaons e la droe ajusée, comme l llusren souven les manuels, par exemple à la fgure.a ou.b.a pour la régresson qu nous néresse c. Mas on aura pu s néresser pluô à la régresson smple nversée de sur Y ou à la régresson orhogonale 8 enre Y e, comme le fon Leng e al (2007) qu explquen ben les dfférences enre ces noons e leurs relaons, selon qu on assoce une erreur (e sa varance) à Y, à ou à chacune des deux varables. 6 Nous néglgeons ou des dzanes de pes de régressons suscés par le souc d analser, par des «boîes nores» les données massves (Bg Daa). 7 Comme le coeffcen de la consane es déducble de l échanllon, l n es oujours compé comme coeffcen esmé dans les formules qu ulsen leur nombre e calculen par exemple le nombre de degrés de lberé -K assocé à une spécfcaon parculère. 8 Sur la régresson orhogonale, vor le chapîre de Malnvaud (964). 8

9 La consane. Dans ces deux formulaons, la relaon enre o, le coeffcen de la consane, e l échanllon es smple: la consane, d-on, es égale à la moenne de la varable dépendane en l absence de varables explcaves e, en présence des, peu êre dédue des en fxan oues les varables à leurs moennes échanllonnales e parce que 9 u 0, ce qu mplque: (5-A) 0 2 Les de Suden. S ˆ ˆ ˆ u uu / K. ˆ ˆ 2 la désgne la varance esmée de l erreur e var( ) u marce de varance-covarance des ˆ, l es ben connu que les de Suden son obenus par (6-A) ˆ ˆ, ˆ où ˆ es la racne carrée de l élémen dagonal de cee marce de varance-covarance. Le succès de cee sasque, depus son nvenon par Gosse (908) 0, es en pare mpuable au fa que le rao (6-A) es ndépendan des unés de mesure des. Cee nvarance, mse à rude épreuve plus bas en présence de ransformaons de Box e Cox des varables, mas respecée lors des calculs de l algorhme LEVEL.6 (ran e al, 2008), es souven nconscene chez les leceurs. Fgure. Régresson lnéare smple (Y sur ou sur Y) e régresson orhogonale enre Y e A. Régresson smple des mondres carrés ordnares (MCO) de Y sur [Labarère, ] B. MCO de Y sur en (a), de sur Yen (b) e régresson orhogonale enre Y e en (c) [Leng e al, 2007] B. Les bons ( 0, ; ; ) en régresson logsque mulnomale Défne par le mahémacen Verhuls (838), la courbe logsque smple (mplcemen bnomale) serv souven pendan 00 ans à éuder l'évoluon emporelle des populaons de nombreux pas. C'es le bosascen Joseph Berson (944) qu en recommanda foremen l'usage, dans sa formulaon (bnomale) d'accepon courane aujourd'hu, en remplacemen du Prob (bnomal) alors domnan dans son mleu e don le nom (une conracon de Probabl un) l nspra pour créer le mo Log par conracon de Logsc un. 9 Vor n mpore quel manuel d économére de deuxème généraon, par exemple Johnson (984, p. 72 e Équaon 5-48 p. 76). Les prncpaux manuels de premère généraon, comme Goldberger (964), prvlégaen l écrure marcelle. 0 S néressan en parculer au degré d humdé e à la varéé des approvsonnemens en orge de la brassere Gunness à Dubln, Gosse n a pas éé auorsé à publer en son nom propre. 9

10 Il exse de nouveau deux voes prncpales pour obenr les coeffcens e de Suden du problème défn en (2-A), selon qu on applque la «ransformaon logsque», expresson proposée par Cox (970, p. 8), ou qu on préfère une maxmsaon drece d une foncon de vrasemblance. La premère méhode exge, s les observaons sur la varable dépendane son dscrèes, de les agréger d abord en fréquences relaves srcemen posves; la seconde s accommode d observaons dscrèes (mas l exse une formulaon héorque néglgée de son usage avec des observaons agrégées comprenan des pars observées nulles). Une rosème voe, plus éroe, ulse des données de pars en leu e place des observaons dscrèes e nous ramène à la premère méhode. ) La ransformaon logsque de fréquences non nulles Dans ses ravaux emprques à la Clnque Mao poran sur des fréquences d'occurrences muuellemen exclusves lors d'applcaons bomérques bnomales, Berson esma les coeffcens en applquan smplemen les MCO au logarhme du rao de deux pars (p /p 2 ) observées, rao alors explcable par la dfférence V V2 enre deux foncons lnéares dans leurs coeffcens. Des penes ndépendanes du mode de référence chos? Relavemen rvale dans le cas bnomal de log(p /p 2 ), la ransformaon fu généralsée au cas mulnomal par l'économse Henr hel (969). L esmaeur "de Berson e hel" consse donc à explquer le logarhme du veceur d'observaons, consué du rao de oues les pars (p /p r,..., p M- /p r ) rapporées à une par de référence p r, par les MCO applqués au veceurs correspondans des V Vr (pour =,..., M-). Avec par exemple 3 modes, e en chosssan le 3 ème en référence r, on écr : (7-A) p p V 3 ln p2 V p3 2 V V 3 3 u u 3 u u 2 3,... / 0, où p p, p p r M r don les erreurs pourraen elles-mêmes êre précsées, e qu es ben de la forme famlère (7-B) qu auorse qu on lu applque ensue un calcul de mondres carrés (3-A). Malheureusemen, cee procédure sans bas en une éape n es pas effcace : elle rend des coeffcens de régresson qu dépenden du mode de référence r, problème qu l es préférable de dscuer en supposan, sans pere de généralé, que les coeffcens de chacune des caracérsques n des modes (comme le prx e le emps) son générques, c es-à-dre communs à ous les modes. Dans (2-A), on suppose donc, pour ou mode ou j, que n jn n pour la caracérsque n. La dépendance au mode de référence sgnfe qu en applquan les MCO au cas rmodal (7-B) on croî obenr n 2n n alors qu en réalé on oben ( n 3n) ( 2n 3n) n. Les condons d'esmaon de coeffcens de régresson nvarans au chox du mode de référence r ne furen explcées que ben plus ard par le géographe Mchael Wlls (982). Elles exgen de formuler e d esmer la marce de varance-covarance carrée ˆ enre les M- erreurs e d'esmer pour (7) des Mondres Carrés Généralsés (MCG) par la méhode Seemngl Unrelaed Regresson (SUR) de Zellner (962) qu procède par esmaon séquenelle, de c «érave», de ˆ e ˆ jusqu'à convergence. Ces «éraons» jusqu à convergence de ˆ e ˆ son nécessares à l'obenon de ndépendans du mode de référence chos lors de l applcaon de : ˆ ( ˆ ) ˆ. - - (3-B) 0

11 La méhode n a pas de nom, mas pourra s appeler BZI (Berson-hel-Zellner «éré»). Ses propréés du maxmum de vrasemblance, démonrées par Wlls pour le cas du Log Lnéare avec marce plene (les covarances non nulles éan nécessares à l effcacé), valen en fa auss pour les cas mons effcaces de marces dagonales ou scalares e (on le rappellera plus bas) pour la forme Box-Cox des varables des foncons d ulé représenave de (2-A). S posen des quesons de corrélaon enre erreurs e varables d une même modalé. Mas, s la propréé d nvarance des coeffcens au mode de référence chos es une conséquence du SUR de Zellner «éré» jusqu à convergence, elle exge ouefos mplcemen que l dené e le nombre des modes so denques pour oues les observaons. S des modes son ndsponbles pour ceranes observaons, la procédure rendra, comme avec les MCO à une éape, des coeffcens condonnels au chox du mode de référence. L usage d un esmaeur BZI offre donc 6 possblés décres dans le manuel de SHARE S-/S-5 (ran & Gaudr, 2008, 204) e résumées au ableau : ableau. Impac de la dsponblé des modes sur les d une esmaon BZI Indponblé de modes pour ceranes des observaons plene dagonale scalare Aucune ndsponblé nvarans nvarans nvarans Parelle, mas au mons 2 modes son oujours présens* condonnels condonnels condonnels * Les obenus son condonnels à celu des deux modes chos en référence. Deux ensembles de son possbles. La méhode d'esmaon BZI es rès praquée avec les données agrégées car elle rédu le nombre de dmensons non lnéares à esmer sans changer la localsaon du Maxmum de la foncon de (log-) vrasemblance (Log Lelhood (LL) en anglas). Mas l arrve encore à des aueurs ravallan smplemen sur le cas lnéare, comme dans l exemple de l encadré, de se lmer à applquer les MCO au problème ransformé (7-A), en oublan d esmer la marce ou en la supposan smplemen dagonale, vore scalare, deux erreurs rendan des esmaeurs sans bas mas neffcaces. Encadré. Vsa le nor ua le blanc : la réparon des coneneurs enre les pors du range alanque Consdérons le cas du modèle CPB-VIO de chox conjon du por marme alanque e du mode erresre européens d achemnemen connenal des coneneurs. Une premère verson (Veldman & Bücmann, 2003) s néresse au rans par 4 pors (Anvers, Brême, Hambourg e Roerdam). Dans la seconde, les mêmes aueurs e leurs co-aueurs (ECORYS ranspor e al, 2004) ajouen les pors du Havre e de Zeebruges aux premers e applquen la même méhode d esmaon du chox du por, qu consse à défnr un chox Log enre combnasons de por e de mode erresre. On rouve donc, dans la verson la plus complèe, 8 combnasons por-mode enre les 6 pors e 3 modes fre erresres d achemnemen (ral, roue, voe navgable). Ses aueurs chosssen en référence l une des 7 combnasons por-mode admssbles dans la forme générale de (7-A) e applquen ensue, comme en (7-B), les MCO à cee spécfcaon parculère. Une elle façon de fare produ, selon la combnason por-mode chose en référence, l un de 7 résulas parculers concevables mas ne peu jamas rendre le résula souhaé d une formulaon aux coeffcens n générques n jn n pour chaque varable n. On pourra à la rgueur magner l esmaon des 7 modèles possbles, suve d un chox du melleur d enre eux, mas ce ps-aller ne sera guère sasfasan e n es n souhaé n formulé ou annoncé par les aueurs qu vsen seulemen l esmaon de coeffcens du prx e du emps de ranspor qu soen générques. Ils formulen donc un modèle avec n jn n mas esmen en fa ( n rn) ( jn rn) n parce qu ls on applqué un MCO à la Berson-hel pluô que l esmaeur BZI nécessare. Ce prolongemen, qu conourne l exgence apparene de n ulser que des observaons sans modes manquans, sans quo les raos de pars ne seraen pas ous défns, a éé proposée de vve vox à l aueur par Rchard Laferrère en 988. Le mode de référence do êre présen pour oues les observaons e au mons deux modes êre oujours présens.

12 Le rôle des consanes spécfques. La ransformaon logsque condusan à l applcaon des mondres carrés, généralsés e érés ou pas, les consanes spécfques à chaque mode conserveron, muas muands, la propréé des MCO de fare passer la droe de régresson par la moenne des observaons sur log(), so (en ulsan sans pere de généralé des coeffcens générques) : (5-B) 0 ( 0 r0) ln( p ) ln( pr ) r qu, de même forme que (5-A), ndque que () les consanes spécfques esmées son, en l absence de varables explcaves, chacune srcemen égale à la moenne de la dfférence enre le logarhme de la ème par consdérée e celu de la r ème en référence; () en présence de elles varables, peuven êre dédues des en fxan oues les dfférences de varables à leurs moennes échanllonnales. Les de Suden. Il es évden que les de coeffcens dépendans du mode de référence chos ne seron pas non plus ceux que la même formule (6-A) devra rendre en présence des bons coeffcens. ) L esmaon non lnéare drece, en praque avec des données dscrèes S l a éé possble de dscuer plus hau de l usage de la ransformaon logsque e de l esmaon des coeffcens sans formuler explcemen de foncon de vrasemblance de l échanllon, l es préférable d êre plus explce en esmaon non lnéare de «drece». Consdérons successvemen le cas des données agrégées e celu des données dscrèes. L objecf du premer cas es pédagogque, car l n exse pas encore d algorhme reconnu e fonconnel d esmaon drece d un modèle Log 2 de pars admean les pars nulles, même s la héore rgoureuse en a éé formulée par Dagenas (986). Il s ag donc pour nous d apprendre c quelque chose des dffculés de l enreprse condue «drecemen» sur des pars e d nrodure au second cas avec données dscrèes, ben éabl e fonconnel, mplané dans de nombreux logcels. Penes, consanes spécfques e de Suden avec des données de pars. Avec des observaons sur des pars srcemen posves, e ous les modes éan pour nos fns d exposon oujours dsponbles, au mons dans un premer emps 3, la vrasemblance d un échanllon de alle (par exemple des lasons orgne-desnaon) peu êre comprse e formulée comme le produ d auan de pars assocées à M sous-ensembles d observaons. S les chox son ndépendans 4, ce produ s écr :, (8-A) L( p) p... p... p M écrure ad hoc qu nous faclera la présenaon du cas dscre, e qu peu évdemmen se smplfer : (9-A) L( p) M p. De plus, les pars éan oues observées e posves, e s on noe f (, x ) p( / x, ) u l ajou de l erreur dans (2-A) où désgne l ensemble des paramères à esmer, la vrasemblance du veceur u (de dmenson M = x M), composé d élémens à dsrbuon gaussenne, ndépendans, d espérance 2 nulle Eu ( ) 0 e de marce de varance-covarance E( uu) I, es sponanémen: 2 Le modèle de pars de Wales & Woodland (983), applqué à des pars de dépenses sur les bens de consommaon, auorse des pars nulles mans n es pas un Log e n es pas compable avec l axome IIA de Luce (959). 3 Il ne fau pas confondre mode de par observée nulle, la problémaque complexe raée par Dagenas (986), e mode ndsponble. Dans ce derner cas, les formulaons (8-A) e (9-A) de produs s adapen d elle-mêmes à l ndsponblé de cerans modes dès lors qu on nrodu l dée d ensemble dsponble C, ce qu condu rès smplemen pour chaque observaon à des produs défns pour C, à l nsar des formulaons (8-B) e (9-B) plus bas avec données dscrèes. 4 Dagenas (986) adme que les observaons sur des pars, par exemple O-D, soen ndépendanes enre elles en même emps que les corrélaons enre les erreurs des pars enre elles soen non nulles à l néreur d une même observaon. 2

13 (0-A) S() 2 2 M 2 2 ( M /2) ( /, ) u (2 ) exp L u où S() désgne la somme des erreurs au carré (( f (, x ) ( p( / x, )) (( f (, x ) ( p( / x, )). E le logarhme de sa forme concenrée, obenue après subsuon pour S()/M pour donné, s exprmera (-A) M /2 () ( / ) M (ln(2 ) ) M ln S LL u 2 2 M, 2 d une esmaon analque où les formes exponenelles des p( / x, ) de (2-A) demeuren. Mas maxmser cee LL par rappor à es en fa dérasonnable, un problème qu n es pas résolu car la formulaon rès complexe proposée par Dagenas (986) es encore naccessble en l absence d un algorhme éprouvé. S on pouva esmer ce modèle, smple au sens où l ne rend pas compe des observaons nulles, ses penes e consanes devraen en prncpe êre denques à celles obenues par l esmaeur du maxmum de vrasemblance BZI. E, comme les foncons d ulé V en (2-A) son (encore) lnéares dans leurs varables, on pourra calculer des des Suden nvarans aux unés de mesure des, par exemple par la méhode des dérvées premères de Bernd e al (974). ouefos, les dérvées secondes analques du Log n éan guère complquées, on préfèrera généralemen exrare, au pon de vrasemblance maxmale, les écars-pes (des paramères esmés ˆ ) des racnes carrées des élémens de la dagonale de mons l nverse de la marce varance-covarance des paramères consuée des dérvées secondes de LL par rappor aux élémens du veceur colonne : (2-A) 2 LL Var( ). Malheureusemen, cee voe pose des problèmes drmans : l n es pas rasonnable de supposer en (0-A) que les erreurs de f (, x ) p( / x, ) u aen une dsrbuon normale, car les pars son oues comprses enre 0 e. E, en présence d observaons lme à 0 e, l faudra généralser le ob à deux lmes (Rosse & Nelson. 975) auorsan pluseurs pars nulles, e.g. (0,9; 0,; 0; 0), e le fare enfn avec des BC sur les varables (les logarhmes ne suffsan pas). Une voe encore fermée faue de formulaon sasfasane avec pars nulles e BC, sauf peu-êre celle de Dagenas. Penes, consanes spécfques e de Suden avec des données ndvduelles dscrèes. Par conre, avec des données exprman des chox muuellemen exclusfs, la vrasemblance d un échallon de alle peu êre comprse comme le produ des probablés mulnomales 5 assocées à M sousensembles d observaons dans lequel le premer nclu ndvdus qu on chos le mode, 2 qu on chos le mode 2, ec. Comme les chox son par hpohèse ndépendans, ce produ s exprme (8-B) 2 M M L( p) p p... p e peu se smplfer en défnssan une varable auxlare d elle que d s l ndvdu a chos le mode C e d 0 auremen (cf. le manuel de PROBABILIY P-2/P-6 de ran & Gaudr, 2009) (9-B) d C C L( p) p ( f (, x )) d 5 On ne génère pas des valeurs mas des probablés don la varance ne dépend pas de l échanllon mas de la lo du LMN elle-même. Les coeffcens maxmsen la LL des observaons sur les éas : l n a pas d erreurs au sens usuel. 3

14 e s on noe f (, x) p( / x, ), où désgne l ensemble des paramères à esmer. Avec un échanllon aléaore, la vrasemblance L du veceur p e la LL son: (0-B), C d L( p / ) ( p( / x, )) (-B) LL( p / ) d ln( p / x, ). C Le veceur ( 0,..., M,0 ;,...,,..., K;...; M,..., M,..., MK ) des paramères esmés par maxmsaon de LL perme d obenr les de Suden en applquan (2-A), don les élémens son : (2-B) LL 2 p r j jr p j m j jm p j r. m De plus, les M- consanes spécfques denfées joussen d une propréé analogue à celle que nous avons consaée plus hau en (5-A) : s p ˆ désgne la probablé esmée du chox du mode pour l observaon, le nombre d observaons dans l échanllon pour lequel d es égal à la somme des probablés esmées (.e. la fréquence oale esmée es égale à la fréquence oale observée): (5-C) d pˆ. Mas deux mporanes propréés supplémenares exprmen la relaon enre paramères (don les consanes) d un éhanllon aléaore srafé, par exemple par le chox d un mode 6, e les mêmes paramères d un échanllon global de la populaon. S H g () représene la proporon d'ndvdus chosssan le mode dans échanllon oal (d enrch) e W g () la proporon analogue dans l'échanllon srafé (appelé c «endogène» parce que srafé par le chox observé du mode). On a: ) la soluon * d une maxmsaon de la LL suvane, qu pondère chaque observaon par W g ()/H g (), es un esmaeur 7 asmpoquemen convergen de (Mans & Lerman, 977) : (3-A) G g I Wg () max dn ln( p( / xn, )) g Hg () ; ) s on a esmé un modèle avec l échanllon endogène aléaore, les ˆ son sans bas, e les * consanes vérables de l échanllon enrch oal ˆ0 s obennen ex pos en ajouan ln( W H ) aux consanes esmées avec ce échanllon endogène srafé par les chox (Cossle, 98): (5-D) ˆ ˆ * 0 0 l W n. H Ces propréés remarquables, relées aux propréés des foncons exponenelles ou à leurs nverses e valdes pour le seul Log donc pour aucun aure modèle de chox dscre (Arcan, Prob 8, ec.) permeen de consuer des échanllons ds endogènes ou srafés par les chox («choce based») 6 E.g. on veu esmer un modèle de chox enre modes voageur urbans, vélo comprs. Comme un échanllon éléphonque au hasard ne rendra pas suffsammen d usagers du vélo, on les nervew drecemen, au hasard, sur la roue. 7 Cee procédure Weghed Endogeneous Sample Maxmum Lelhood (WESML) es dsponble dans PROBABILIY. 8 Le jugemen de Berson en 944 sur les avanages relafs du Log e du Prob n en a que plus de force : on peu, comme lu, avor rès mauvas caracère e ou auan profondémen rason! 4

15 à peu de fras 9. On fa des rages à aux varables enre les modes (ls son aléaores par mode) e on corrge les consanes du modèle esmé qu en résule (e donc ses élascés dérvées) pour obenr les consanes vérables (e donc les vérables élascés dérvées) du modèle pour l ensemble de la populaon. On verra plus bas des exemples smples de cee rouvalle sasque s économque... ) L esmaon non lnéare drece avec des pars en leu d observaons dscrèes Que penser de la praque qu consse à ulser des données de pars dans la foncon de vrasemblance (0-B)? Maheu de Lapparen 20 fa remarquer que ce usage peu êre légme à ceranes condons. Dsnguons deux approches (applcables auss aux modèles emboîés). Dans la premère, supposons que, pour oue modalé m l ulé peu s écrre comme su : (0-C) U, V ( x, ), m m m où V ( x, ), la pare «modélsable» de la foncon d ulé ndrece, ne conen aucune varable m propre à l ndvdu pour lequel on observe en fa m, s U m, es le maxmum des U j, e 0 snon S les m, son ndépendans e suven une lo Gumbel de paramère d échelle unare, alors la vrasemblance prend la forme : (0-D) m, m, m M M M exp( Vm ( x, ) exp( Vm ( x, ) exp( Vm ( x, ) M M M m V (, ) m (, ) m (, ) x V x V x Lx (, ) m avec m m, le nombre d ndvdus chosssan m. S M exp( Vm ( x, ) (0-E) LL( x, ) ln, m m M V(, ) x Dans la seconde approche, la foncon d ulé s écr pluô : (0-F) Um, Vm ( x, ) m m, e les probablés de chox ndvduelles son : (0-G) pr m, s es sa par du marché, la LL es m M m exp( Vm( x, ) ou ben LL( x, ) ln. m M V(, ) x exp( Vm m, ). M exp( V ) E, s D désgne la demande oale e D m la demande agrégée pour un ben m, on a : (0-H) j exp( V ) D exp( V ) D D, ou s. m m m, m m m, M m M exp( V j j, ) D exp( V j j, ) j j En chosssan comme dans l esmaon Berson-hel plus hau une alernave r en référence, on passe de (0-H) à l équaon (7-A); e on peu à nouveau précser que des problèmes d endogénéé peuven survenr dans la mesure où l exse des faceurs nobservés propres aux modalés e corrélés aux varables qu consuen les j j, V, ce qu peu exger d adaper l esmaeur BZI m m, 9 Par exemple, les éudans docorans herr Blaac e Anne Causse (998, 200) de l Unversé Monpeller on échanllonné eux-mêmes 500 voageurs de l avon e du ran aux gares ferrovare e aérenne monpelléranes. 20 Cee secon résume une noe de Maheu de Lapparen à l aueur le 23 novembre

16 les mr, précédemmen décr, esmaeur de pe Mondres Carrés Généralsés qu gèrera la corrélaon enre e réablra leur ndépendance asmpoque par l esmaon de la marce de varancecovarance carrée enre les M- erreurs. Lorsqu l es fa l hpohèse de préférences dsrbuées dans la populaon, l agrégaon des demandes ndvduelles deven alors complexe, comme on le consae en économe ndusrelle emprque où des esmaeurs on éé développés, noammen par Paes (Berr e al, 995, 2004, 2007; Acerberg e al, 2007) chez qu les foncons V m dépenden n fne des caracérsques des ndvdus dans la populaon, ce qu conourne en apparence les propréés de compablé avec l axome IIA du Log qu mplque des élascés crosées égales (vor l équaon 24-B). Plus généralemen, Fosgereau & Palma (205) on ou récemmen ouver une nouvelle voe héorque parculèremen néressane lorsqu l s ag de spécfer drecemen un ssème de demande sur données agrégées de pars qu so cohéren avec l hpohèse de maxmsaon de l ulé, ssème conssan dans l agrégaon des demandes ndvduelles, e flexble dans la spécfcaon des corrélaons enre les ermes d erreur. Il es un peu ô pour en sasr les mplcaons e les lens avec d aures formulaons défnes drecemen sur les pars ( comprs nulles) comme celle de Wales & Woodland (983) qu n es pas un Log. L effe ne de ces ravaux es de fonder e de raffner les condons de valdé des modèles esmés à parr de données sur les pars, dans le sens du souha de Berson (944). Ce n es pas rop ô : l usage de données dscrèes n es pas une queson de veru, mas d opporuné, comme nous en redscuerons davanage plus bas En présence de varables ransformées par des pussances Box-Cox A. Corrélaons bêa-lambda cachées e ermnologe Maxmsaon des sgnes ou de la vrasemblance? Il exse, dans les ranspors comme alleurs, une praque de modélsaon plus ou mons avouée qu consse à ransformer ad hoc les varables, le plus souven explcaves mas auss parfos explquées, jusqu à ce que les sgnes aendus soen obenus. Cee praque combnaore énergvore s éend auss au chox des varables explcaves reenues. Dans une premère éape, on chos donc, sans crère commun de comparason enre les varanes des modèles, le résula qu plaî le meux. Ensue, dans la seconde éape, on se garde ben de fare des essas ssémaques supplémenares qu démonreraen que la combnason de varables e de formes rouvée n es pas souenable au regard par exemple des crères d ajusemen global habuels, comme le R 2 ou la LL. L encadré 2 llusre ces deux comporemens par des cas réels. 6

17 Encadré 2. Vesses ou lanernes? Sgnes e formes des varables : cas A (USA) e B (Île-de-France) A. Arlne Prce Dsperson, U.S.A. (RP daa) B. Dscree Passenger Mode Choce, Pars (RP daa) Borensen & Rose (994); Model 2 from able 3 Gaudr (985); Models from able 3 (976 daa) Coeffcens and -sascs condonal on form Elasces and -sascs condonal on form varable : Gn ce prce dsperson ndex varable : 6 modal choces Car mode varables... Lnear Log-log Opmal varables Lnear Opmal [...] [...] Monopol +0,54-2,69 n.c. Car cos -0, -0,7 (+4,8) (-5,27) n.c. (-3,27) (-4,5) Duopol +0,74-2,033 n.c. Parng cos/income; csp,3-0,0 0,00 (+4,97) (-9,46) n.c. (-3,23) (2,76) Large-duopol -0,022-0,7 n.c. Parng cos/income; csp 2,4-0,0 0,00 (-2,77) (-0,2) n.c. (-2,48) (,70) Small-duopol -0, n.c. Cars per worer n household 0,28 0,33 (-,89) (-,0) n.c. (6,05) (6,92) Compeve +0, n.c. Car me -0,28-0,28 (+7,6) (-6,98) n.c. (-4,62) (-3,76) Lambda (fxed),00 0,00 n.c. Lambda (fxed and esmaed),00 0,50 Log-lelhood n.c. n.c. n.c. Log-lelhood -9,82-904,03 Wenn es en Spaß mach, dann s es ene Arbe. Au cas A, Borensen & Rose (994) explquen un ndce Gn de dsperson des prx aérens observés par lason orgne-desnaon par dvers faceurs, don 5 varables auxlares résuman le régme de concurrence qu prévau sur le marché en queson. Le colonne de gauche présene une relaon lnéare enre oues les varables e celle de droe présene une relaon lnéare dans les logarhmes de oues les varables ransformables. Ils ne fournssen aucune mesure globale d ajusemen, ou aucun résula sous forme opmale de pe Box-Cox, e concluen péremporemen que «les résulas qualafs prncpaux son robuses aux changemens de forme fonconnelle» (sc!). Pouran, seules les 2 varables les mons sgnfcaves ne voen aucun changemen de sgne lors du changemen de forme: les 3 aures, d une grande mporance dans une analse jusemen du degré de concurrence, son rès sgnfcaves dans les deux cas de fgure mas malheureusemen de sgnes conrares... Les aueurs, qu s aenden à ce que la concurrence favorse la dsperson de prx praqués, chossen le résula lnéare parce que le sgne de la dernère varable auxlare Compeve es conforme à leurs aenes. Publsh and persh! Überzechenarbe mach fre. Au cas B, on présene des résulas du premer modèle de chox modal dscre esmé en Île-de-France (au dre de ses aueurs) : consru par RAP & Cambrdge Ssemacs (982) sous la responsablé de Moshe Ben-Ava, à parr d une excellene base 2 de données sur les réseaux RAP e les déplacemens de l Enquêe Globale de ranspors (EG) 976 reenan 447 déplacemens à mof raval (Moïs e al, 98). Il aura fallu selon eux des mos de raval pour obenr les résulas présenés en premère colonne, deux des varables (aux résulas encadrés e surlgnés de grs en seconde colonne) présenan des sgnes nsables. Lorsque le présen aueur reprodus 22 les résulas du modèle lnéare (ceux de la premère colonne) e applqua une ransformaon Box-Cox à oues les varables explcaves ransformables de coû e de emps de ce même modèle, l obn (dans la deuxème colonne) une pussance Box-Cox opmale égale à la racne carrée des varables (0,50), un gan en LL de presque 7 pons (pour un seul d.d.l. de dfférence), des modfcaons de 20% des élascés; e les deux varables décrvan le coû (relaf au revenu) du saonnemen pour des personnes de caégores soco-professonnelles (CSP) les plus élevées ( à 4, sur les 8 CSP défnes par l INSEE pour l éude des mgraons alernanes) aan changé de sgne sans vramen changer de nveau de sgnfcaon sasque (Gaudr, 985). 2 Bande RAP N o 0988, «Banque de données pour l esmaon de modèles désagrégés sur la régon parsenne». La localsaon géographque des ménages es donnée par un carroage de 300m de côé. 22 Moshe Ben-Ava ava ulsé le logcel S-Log de Cambrdge Ssemacs; nous avons ulsé le logcel BLOGI de Crle & Johnson (980), publc e documené (Hensher & Johnson, 98a, Ch.0), qu ava l avanage d esmer des BC, vore des B, e de calculer les élascés des probablés. On revendra sur cee noon essenelle plus bas. 7

18 Des bêas aux bêas-lambdas. Nous proposons de mere un peu d ordre, vore d honnêeé, dans ces praques en préconsan l usage des ransformaons de Box e Cox (964) défnes dans leurs dverses accepons au ableau 2. ableau 2. ransformaons Box-Cox (BC), Box-ue (B) e leurs nverses ransformaon Pussance Drece (DP) Wf f, f Condons 23, f ( ) W f ransformaon Pussance Inverse (IP) W Condons f f f BC (ou BC) BCG 24 f 0, Wf 0 f f W f fwf f f 0, 0 lnw f f0, Wf 0 expw f f0, Wf 0 f lnw f f W f f f B (ou B) 0, W 0 f f f f W f f W BG f f fwf f f f 0, 0 0, 0 expw f 0, 0 f f Wf L éablssemen d une corrélaon sasque élarge aux ransformaons de varables (vore de foncons complèes, ce qu ne sera qu esqussé c) n a pas encore de nom en propre : nous l appellerons faue de meux corrélaon bêa-lambda. Un pon de ermnologe. L expresson «ransformaon Box-Cox (BC)» désgne habuellemen ce qu es présené au ableau 2 sous ce sgle, mas c es la B du même ableau qu pore ce nom dans l arcle de Box e Cox de 964. ouefos, () ces aueurs n on pas alors rouvé de paramères de ranslaon sasquemen sgnfcafs; (), le sens d une ranslaon par une consane, par exemple d une varable explcave dans un modèle de nveaux comme (-A), ne sembla pas avor de sens aure que numérque dans une foncon l ulé : elle assura d observaons srcemen posves sur 25 ; () l usage du pour rendre endogènes en régresson les coordonnées habuelles (x, ) des varables lorsque les pussances ( ; ) dffèren de es rapdemen ombé en désuéude. Lorsque Gaudr & Wlls (978) rouvèren des sasquemen sgnfcafs noammen lors d applcaons aux varables explcaves des foncons d ulé d un Log mulnomal ls proposèren de résoudre le problème ermnologque en appelan B la ransformaon orgnelle ulsée avec 0 parce qu Anscombe & ue (954) avaen éudé les propréés de ces ranslaons, e noammen ue (957) dans le conexe des ransformaons pussance. Cee proposon ermnologque fu adopée par d aures chercheurs, par exemple pour éuder auss la formulaon des foncons d ulé e la sensblé des élascés (Hensher & Johnson, 98), e des opons «Box-ue» furen programmées dans des logcels comme BIOGEME (Berlare, 2003) ou VISUM (PV AG). Mas l usage des ranslaons ne se répand guère car les souffraen oujours d un défc de sens économque, cela jusqu à leur usage avec des ransformaons IP nverses pour représener la capvé à un mode, vore le nveau d gnorance du modélsaeur, comme on en fera menon plus bas dans nore dscusson sur la ransformaon ndrece des p du Log e en secon 6. En effe, les premères applcaons ssémaques de la BC aux modèles de nveaux ne ransformaen que les varables explcaves (Box & dwell, 962) e cee praque s es manenue, sauf rares excepons, dans les modèles Log Box-Cox don nous décrrons c la endance cenrale. ouefos, on ne d généralemen pas «modèle Box-dwell» mas «modèle Box-Cox» dans ous les cas, même lorsque la varable dépendane n es pas ransformée. 23 On verra plus lon qu on peu auss ransformer des varables non booléennes qu comprennen des observaons nulles. 24 Jeu de mos des éudans sur le nom du vaccn, sue à l usage des nverses (IP) dans Gaudr (98). 25 Cee ranslaon a un coû en ncerude, parce que la varance de dffère de celle de. Il s ag mplcemen d un aure modèle économque. Mas que pourra-l donc êre? 8

19 B. Nos modèles de référence, en régresson Box-Cox classque e logsque Aux fns d exposon e de commenare, nous reenons les deux références les plus couranes. Dans la régresson en nveaux, oues les varables connues srcemen posves son ransformées 26 : (-B) u, =,,, ( ) K ( ) 0 mas en régresson log mulnomale on se lme généralemen aux varables explcaves : (2-B) p exp( V ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) exp( V ) V n s n n n s s s jm j j, j =,..., M; =,...,. Généralemen parlan, l a leu de dsnguer enre les propréés mahémaques e les propréés sasques de l usage des BC. Les premères concernen la forme des relaons enre varables dépendanes e explcaves; les secondes néressen surou la varance de l erreur de régresson, don on suppose qu elle es consane (homoscédasque) pour dérver les bons de Suden. Mas des correcons, qu dvsen oues les varables, consanes comprses, par une quané posve, les repondèren par rappor à l erreur, ce qu déermne les pods respecfs des varables explcaves e des aléas dans l explcaon recherchée par le modèle : elles on donc des mplcaons fondamenales. ) ransformer les varables e des régressons en nveaux La régresson Box-Cox classque es populare parce qu elle comprend les cas parculers radonnels obenus en combnan les valeurs 0 e des BC sur e les, llusrés aux fgures 2 e 3; mas on sa que des formes nermédares, parellemen llusrées aux fgures 4 e 5, son le plus souven rendues par l esmaon 27. S les propréés mahémaques son clares, cela n es guère vra des propréés sasques, surou lorsqu on ransforme. Commen en effe pourra-on ransformer la varable dépendane sans en même emps modfer drecemen la varance de l erreur u du modèle (2-B)? En fa, beaucoup mposen une forme logarhmque à la varable dépendane dans l espor d obenr une varance consane de l erreur : c es souven le cas dans les modèles de flux de ranspor nerurbans enre des vlles de alles rès dfférenes. Fgure 2. Quare modèles de régresson radonnels comme cas parculers du modèle Box-Cox GENERAL MODEL () and () dfferen from 0 & INVERSE LOG AND LOG-LOG FAMILLE LOG-LOG E INVERSE-LOG () = 0 SEMI-LOG AND LINEAR () = )= () = 0 () = 0 ()= LOG INVERSE () = 0, () = LINEAR () = () = LOG-LOG () = 0, () = 0 SEMI-LOG () =, () = 0 26 On suppose mplcemen que E( ) es grand par rappor à (Davdson & MacKnnon, 985, p. 50), sans quo l ne u sera pas rasonnable de supposer que les cas lnéare e logarhmque son vramen emboîés. 27 Ces fgures son reprses de la communcaon d Alan Blanquer e Dder Révllon «L usage de l algorhme RIO LEVEL.4 chez SEEC-économe» à l École Naonale des Pons e Chaussées (ENPC), Pars, le 25 novembre

20 Fgure 3. Quare formes classques en régresson lnéare Inverse-Log Sem-Log 300 Log-Log 200 Lnear Fgure 4. Du lnéare au sem-log avec Box-Cox Sem-Log (BC 0.0) 300 BC 0. BC BC 0.7 Lnear (BC.0) Fgure 5. Du log-log au sem-log avec Box-Cox Sem-Log 300 BC 0.7 BC BC 0. Log-Log Mas l es faux de penser que la BC applquée à sablsera oujours la varance 28 e n aura jamas l effe conrare. Modfan en même emps la forme de e la varance de l erreur, el qu llusré à la fgure 6, son effe sur cee dernère es à l évdence nceran. 28 Draper & Cox (969) on monré l ulé de la ransformaon même s aucune pussance ne produ exacemen la normalé, mas Nelson & Granger (979) le conesen sue à des ess sur 2 séres qu ne produsen presque jamas la normalé. À nore avs, l a c confuson enre objecfs: rouver la vrae forme de e sablser la varance de l erreur. 20

21 Fgure 6. Influence d une ransformaon logarhmque sur la varance de l erreur Cas : Reducon de la non lnéaré e de l hééroscédascé Cas 2: Réducon de la non lnéaré e producon d hééroscédascé Cas 3: Reducon d hééroscédascé e producon de non lnéaré Hééroscédascé. Pendan longemps, les chercheurs esmaen les BC e fasaen ensue un es d hééroscédascé 29 des erreurs, à la sue de Zaremba (974). En fa, s on a deux objecfs de conrôle opmal le premer d obenr la forme vérable dcée par les données e le second une varance consane commen ne pas ulser un nsrumen par cble? C es la sraége reenue dans les deux versons de l algorhme LEVEL, so L-.6 (op. c.) e L-2. (ran & Gaudr, 2008), qu esmen en même emps que (2-B) une ransformaon de l erreur selon la méhode de Gaudr & Dagenas (979) u exp m mzm v, ( ) (-C) /2 m où les Z m peuven êre auss des (en quel cas un même varable explque à la fos le nveau de e la varance de l erreur). Un exemple de prse en compe de l hééroscédascé es fourn au ableau 3. Auocorrélaon sérelle e auocorrélaon drgée, don spaale. Les deux algorhmes en queson se dfférencen en ce que le premer auorse, en plus de (-B) e (-C), d esmer auss smulanémen l auocorrélaon sérelle sur v e le second d esmer auss sur v une auocorrélaon générale (de drgée), comprs spaale. L erreur fnale w es alors, dans les 2 cas, un bru blanc de varance. 2 w 29 On rédu c le sens du mo grec pour dsperson () à la varance mas l exse d aures mesures de varablé que la varance ou sa racne carrée, l écar-pe. 2

22 Dans le premer algorhme (L-.6), la sraége adopée approxme ou processus auorégressfmoenne moble ARMA (p,q), el d un ordre supéreur AR(r), el: (-D) p q j j j, par un processus auorégressf v v a a r, où r p q v v w e es le maxmum de ( pq, ), e fa les dagnoscs des propréés avan/après de a à l ade d analses de Box & Jenns (970). On consaera à l encadré 3 que l usage d une BC peu changer non seulemen les sgnes de varables explcaves, comme on l a vu à l encadré 2, mas auss les sgnes de paramères d auocorrélaon. Encadré 3. Un sgne de conradcon forme e auocorrélaon sérelle : cas C (Île de Monréal) Le modèle DEMEC explque la demande de ranspor en commun sur l Île de Monréal, alors desserve par la SCUM, noammen par des varables de prx P e de nveau de servce des modes (C e VP), de confor clmaque C, d acvé A (raval, éudes, achas, vacances, ec.) e par le revenu hebdomadare moen des ménages Y. Des foncons son spécfées pour le marché des adules D a e celu des écolers D e e, s agssan de ce derner, on a, pour chaque mos (3,,8) : (E-) De, f ( P,, C, A, Y ) ue,, avec ue, ue, 3 ue, 3 4 ue, 4 2 ue, 2 we,, où une BC commune aux varables dépendane e explcaves es esmée à ˆ 0,84, en quel leu de vrasemblance maxmale la srucure d auocorrélaon (, 3, 4, 2) es saonnare (par l négalé de Mnows ) e l erreur w e es devenue un bru blanc de varance consane. La fgure suvane, rée de Gaudr & Wlls (978, fgure 9) monre l évoluon de 4 élascés de cee demande (par rappor au emps d aene, au emps de raje, au arf e au revenu) e celle des valeurs des paramères d auocorrélaon, la BC des varables ransformées varan de 0 à 2: Élascés choses e auocorrélaon, demande C mensuelle des écolers, SCUM (déc. 956-déc. 97) On remarque: ) des changemens de sgne des varables emps de raje e revenu au vosnage de la racne carrée (à 0,55 ) e un changemen de sgne de 4 à droe du cas lnéare (à,30 ); ) que, s le modèle es log-log (à l orgne, 0 ), les écolers se déplacen davanage lorsque le emps de raje augmene, cela malgré que le ranspor C so alors un ben nféreur. Mas l nverse es vra au pon de vrasemblance maxmale = 0,84, ou s on mpose la lnéaré: des emps de rajes plus longs rédusen alors la demande écolère de ranspor C, qu es devenu un ben supéreur, les élascés. éan défnes c par, pas par Les données ne doven-elles pas décder? 22

23 Dans le second algorhme (L-2.), on auorse la spécfcaon d une corrélaon défne par une hpohèse sur l exsence d un effe, par exemple de proxmé spaale mas qu peu auss résuler de crères soco-économques (en quel cas la corrélaon es de «drgée»), défn dans une marce booléenne 30 R (de dmenson x), effe qu peu par alleurs êre dsrbué de proche en proche enre les vosns des vosns. Formellemen, on éude l erreur de la régresson avec : 2 n (-E) n, v r v w n n où r es un élémen de la marce R normalsée, ou ben plus claremen sous forme marcelle :,n (-F) 2 v R v w, avec R I ( ) R R, (0 ), où le paramère de proxmé donne la porée de la dsrbuon spaale de l effe : une valeur nulle sgnfe qu l n a aucun échelonnemen de l effe e une valeur égale à l uné que ce échelonnemen s éend de proche en proche avec R p à mesure que p end vers l nfn, ce qu es une généralsaon spaale du reard échelonné de Koc (954) en séres chronologques s le pods de chaque marce décroî de manère géomérque avec la «dsance p», conformémen à Blum e al (995/996). Le ableau 3 présene un exemple. Le modèle de Généraon-Dsrbuon de flux européens de marchandses, rès smple, es : D j = f(pib, PIB j, Dsance j, Fronère nerprovncale allemande) + u j. Dans les 3 premères colonnes du ableau, don la Pare I présene les élascés e les de Suden des varables explcaves, oues les varables (dépendane e ndépendanes) sauf la dumm fronalère ner-lӓnder, nervennen de manère logarhmque, ce qu ndque la Pare II du ableau. ouefos, en passan de la premère à la deuxème colonne, on vo l effe d ajouer la corrélaon spaale, la marce R éan défne, pour un flux donné de à j, par le fa que la zone «vosne» ou n se sue, en orgne ou en desnaon, à mons de 300m des zones ou j. Cela vala-l la pene? On consae, dans la Pare III du ableau, un gan mporan en LL, avec ( ˆ ; 0), c esà-dre avec une spécfcaon classque d Ord (975) sans effe de vosnage dsrbué de proche en proche, e un gan plus fable lorsqu on ulse vramen (-E), avec ( ˆ ˆ ; 0.435). ouefos, les valeurs de ces 2 paramères se raffermssen (comme l ndquen leurs de Suden), lorsqu aux colonnes 4 e 5 on auorse d abord une BC commune aux 4 varables qu éaen de forme logarhmque, pus deux BC (la premère sur e la seconde sur les 3 ). L ajou selon (-C) d une varable Z m (défne par le produ des PIB en orgne e en desnaon) dans la dernère colonne rend des gans rès sgnfcafs de LL, pusque seulemen 2 paramères supplémenares nervennen. Dans l ensemble, on consae que l élascé de la Dsance vare presque du smple au double selon la spécfcaon reenue. Les élascés du ableau son évaluées à la moenne, an pour les varables connues que pour les varables auxlares booléennes (dummes), respecvemen : (-G) (, ),, d (-H) (, d ), d où d désgne la moenne des valeurs non nulles des observaons 3 sur les dummes. On pressen déjà qu l faudra développer cee dmenson d analse des résulas par les élascés. 30 Conraremen à une marce booléenne, une marce comprenan des foncons de varables, comme la dsance, rend des résulas qu dépenden des unés de mesure de ces varables (Bolduc e al, 989, p. 369). Cee erreur es fréquene : la moé des résulas de Proe & Madre (20) dépenden des unés de mesure de leur varable de corrélaon spaale. 3 Les varables auxlares e ndcarces ne son par oujours représenées par des. 23

24 ableau 3. Modèle de Généraon-Dsrbuon de flux européens de ranspor (en onnes, 987) (enre 0 pas européens e les provnces allemandes de 987, ans qu enre elles). =========================================================================================== I. YPE =LEVEL-2 LEVEL-2 LEVEL-2 LEVEL-2 LEVEL-2 LEVEL-2 ELASICIY E() (EP) VARIAN = LOG LOG+ LOG+ BC+ BC2+ BC2GH+ AU AU+PR AU+PR AU+PR AU+PR (COND. -SAISIC) VERSION = =========================================================================================== LEVEL VARIABLES GROSS DOMESIC mecu87_o PRODUC A ORIGIN (4.65) (2.49) (2.4) (2.49) (2.75) (3.24) LAM LAM LAM LAM LAM LAM GROSS DOMESIC mecu87_d PRODUC A DESINAION (5.5) (2.92) (2.49) (3.0) (3.37) (3.56) LAM LAM LAM LAM LAM LAM DISANCE ds (-5.54) (-2.39) (-3.50) (-7.6) (-6.05) (-7.44) LAM LAM LAM LAM LAM LAM INERPROVINCIAL RADE gdumm DUMMY ====== (6.38) (3.47) (3.9) (2.97) (2.72) (3.0) HEEROSKEDASICIY SRUCURE DELA COEFFICIENS PRODUC OF GDP A mecuprod ORIGIN AND DESINAION (-4.33) LAM =========================================================================================== II. PARAMEERS =========================================================================================== HEEROSKEDASICIY SRUCURE BO-CO RANSFORMAIONS: UNCOND: [-SAISIC=0] / [-SAISIC=] LAMBDA(Z) mecuprod.000 FIED BO-CO RANSFORMAIONS: UNCOND: [-SAISIC=0] / [-SAISIC=] LAMBDA(Y) goods [4.07] [3.2] [-47.33] [-40.7] LAMBDA(Y) - GROUP LAM FIED FIED FIED [4.04] [-47.85] LAMBDA() - GROUP LAM FIED FIED FIED [4.04] [4.40] [4.86] [-47.85] [-.89] [-2.47] SPAIAL AUOCORRELAION: COND: [-SAISIC=0] / [-SAISIC=] O and D: DIS (300 m) RHO (DIS_OD) [4.77] [5.26] [.35] [23.9] [27.28] PI (DIS_OD) FIED [.08] [.53] [2.07] [2.25] [-.40] [-6.73] [-2.5] [-5.78] =========================================================================================== III.GENERAL SAISICS =========================================================================================== LOG-LIKELIHOOD SAMPLE : - NUMBER OF OBSERVAIONS FIRS OBSERVAION - LAS OBSERVAION NUMBER OF ESIMAED PARAMEERS : - FIED PAR :. BEAS BO-CO ASSOCIAED DUMMIES SPAIAL AUOCORRELAION :. RHO 0. PI HEEROSKEDASICIY :. DELAS BO-CO ASSOCIAED DUMMIES =========================================================================================== Source: Gaudr (2004). 24

25 ) ransformer drecemen les p e les des régressons Log De naure agrégée, le ou premer Log Box-Cox (Gaudr & Wlls, 978), qu présena un modèle de chox nerurban quadrmodal, e les applcaons au chox modal urban avec des données désagrégées qu suvren (Hensher & Johnson, 98b; Koppelman, 98), se lmèren à ransformer les varables explcaves. Depus, ls on éé més en cela dans ben plus qu une cenane d applcaons au chox modal des personnes ou des marchandses 32 : l s ag donc oujours, au sens src, d applcaons Log Box-dwell. La souplesse de (2-B) es malgré ou consdérable, car es ben le cas lnéare s populare e n s 0 représene un modèle classque de la léraure du mareng quanaf des années 960 qu vse à pondérer les élémens du veceur des caracérsques des bens dans la héore de Lancaser (966), so, s la BC es commune à oues les varables e en néglgean la consane : (2-C) p exp log( ) exp log( ) j n s j j j On peu vsualser l effe des BC sur la forme de la courbe de réacon du Log à la fgure 7. On consae que cee dernère courbe, don le pon d nflecon es à 0,5 lorsque la varable nerven de manère lnéare, deven asmérque dès qu on s élogne, dans un sens ou l aure, de la lnéaré. On comprendra faclemen que, s une courbe de réacon es asmérque, la foncon d ulé sous jacene n es pas lnéare dans la varable, e récproquemen. Fgure 7. Régresson Log lnéare vs régresson Log Box-Cox La capacé de la dsrbuon. Le problème prncpal de la ransformaon de la varable dépendane es celu de la préservaon de la capacé de la dsrbuon des probablés, ce que la BC applquée aux p du Log ne fa pas, sauf en apparence dans le cas bnomal, e avec la seule BC sur p, car ( p ) ( p ) p p, p. ouefos, le problème capacare demeure, même dans ce cas smple, comme on le vo en reprenan l asuce bnomale de Berson, qu rendra alors l expresson : (7-C) ( ) p p ln ( ) ( ) u ( p ) p, où ( p ) ( p p ) p ( ) ( ) , 32 On rouvera les résulas sur plus de 50 modèles qu on esmé des BC dsnces pour le coû de ranspor e le emps de ranspor dans Gaudr (200) qu, sauf excepon, ne relève pas les applcaons avec BC commune à ces varables. 25

26 don l es évdemmen mpossble de sasfare la condon de srce posvé du rao des pars ransformées ( p ) ( p ) p p 0. La ransformaon drece des pars es-elle donc mpossble? Il exse pouran une façon de ransformer chacune des pars, ou en manenan la capacé de la ln p / p, mas l fau pour cela un aure dsrbuon bnomale, e d obenr comme cas parculer modèle, développé en 979 par Pregbon dans sa hèse de bomére (déparemen de sasque) de l Unversé de orono (Pregbon, 980). Il souhae vérfer la pernence de la ransformaon logsque de Berson e recherche une foncon sgmoïde fournssan un melleur ajusemen aux pars observées (de moralé du rbolum de la farne soums à dverses doses de dsulfure de carbone (CS 2 ) en phase gazeuse) que celle du Log. L objecf avoué es de créer de l asmére comme à la fgure 7, mas en applquan des BC à la verson bnomale du len Log-même de (7-A), pluô qu à une ou pluseurs varables explcaves. Il fau dre qu on rouve souven en bomére des problèmes de réacon ou réponse à des doses pour lesquels l aracon ou ulé assocée à l une des pars, dsons V 2, es raée comme un consane e la seule varable ransformable es la dose présene en V, ce qu lme le nombre de canddas à une BC. Mas Pregbon va rès lon dans sa ransformaon du rao. Cadre bnomal, ransformaons dreces des p e len de Pregbon. Son modèle, qu nous élogne an du Log mas le comprend comme cas parculer, consse à ransformer e [- ] par deux BC dédoublées. Au leu de n ulser que deux BC smples, comme su (7-D) g( ; ) 2 [ ], 2 sa formulaon propre de la varable dépendane * de (7-C) les dédouble chacune smérquemen, * (7-E) g( ;, ) [( ) / ( )] [(( ) ) / ( )], ce qu rend ben [ln( ) - ln(- )] s e 0. Il suppose ensue que l erreur [u -u 2 ] demeure gaussenne e homoscédasque lors de l esmaon des composans e La valeur calculée des pars e (- ) do enfn êre recouvrée des esmaons, apparemmen par la dffcle résoluon numérque * d une équaon d un déroulé de u, résoluon mal explcée par l aueur. Comme l llusre la fgure 8 rée de Koener & Yoon (2009, fgure 2), don l mage cenrale correspond au cas Log [ln( ) - ln(- )] pusque e son nuls, le paramère conrôle la forme e le paramère l asmére de la foncon de densé de, mas la capacé de la dsrbuon es à l évdence oujours assurée par l absence de BC sur les pars elles-mêmes, pusque [ + (- ) =]. Fgure 8. Quelques cas de densés bnomales avec les deux BC dédoublées de Pregbon 26

27 ) ransformer ndrecemen les p des régressons Log À cause de l mpossblé de ransformer drecemen les pars, l peu êre préférable d obenr des courbes de réacon ou de réponse asmérques en ransforman l une ou l aure quané du côé dro. En applquan à (2-A) ou (2-B) une BG à chaque quané exp(v ), e en remplaçan chaque V par une B de [exp(v )], on oben successvemen le modèle LIN-IP-L (Gaudr, 978a ou 98): (2-D) p jcn / exp( V ) exp( V ) / j j j j e le modèle B-IP-L (Gaudr, 989; Lem & Gaudr, 993, 997) (2-E) p jcn exp( V) exp j exp( Vj) j exp j, 0 e,, 0. Dans ces deux formulaons apparenan aux famlles des LIN-IP e B-IP : ) queues épasses : les paramères de localsaon des e rouven sens comme mesures d gnorance du chercheur (sa connassance présumée caracérsan les V ), que d aucuns préfèren nerpréer comme des nveaux de capvé aux modes 33! Les e son les lmes asmpoques des probablés de chox (ou des pars) qu génèren des queues épasses, llusrées à la fgure 9 où la valeur de l ulé elle-même es en abscsse, conraremen à la fgure 7 où désgne une varable explcave. Ce rôle des e n es pas à confondre avec celu des consanes spécfques des foncons d ulé, car les 0 n empêchen nullemen les lmes en probablé de oujours aendre 0 ou pour des valeurs rès fables ou rès grandes des V ; Fgure 9. Queues épasses de courbes de réacon IP : asmérque (en A) e smérque (en B) A. Log lnéare vs LIN-IP-L à queues égales B. Log lnéare vs B-IP-L à queues négales ) asmére de la courbe de réacon/réponse : enre ces lmes asmpoques, la courbe de réacon, elle qu llusrée à la fgure 9, peu êre asmérque (comme en A) ou pas (comme en B), selon que la non lnéaré applquée aux foncons V en ener joue smérquemen (égalemen pour oues) ou pas (les ou les varan enre modes). Cee non lnéaré n es pas à confondre avec celle des 33 Comme dans les praques d affecaon manuelle des capfs à dvers modes, les aures répondan à un modèle de chox. 27

28 varables comprses dans ces mêmes foncons. Il exse donc deux nveaux de non lnéaré qu, séparémen ou conjonemen, peuven provoquer une asmére de la courbe de réacon (avec en abscsse). Le problème mplce qu es résolu par cee dsncon es celu de la localsaon de la non lnéaré : es-elle assocée aux varables de la foncon néreure, à sa ransformaon exéreure enveloppane (mas dfférencée selon le mode), ou aux deux nveaux smulanémen? ) denfcaon des M consanes, spécfques ou égales 34 : les formes non lnéares e enveloppanes des foncons V permeen d denfer les M consanes (dsnces enre elles ou égales), comme cela a éé fa avec un LIN-IP-L par Gaudr & ran (20) pour un chox (dscre) enre 9 modes urbans en posan ous ses e ous ses à des valeurs arbraremen proches de. Cee asuce devra s avérer plus ule encore en analse des chox enre nérares, pour lesquels l es essenel de pouvor esmer M consanes générques 35. Dans un chox enre nérares d un même mode, les consanes doven nervenr : on pourra dre qu l fau esmer une consane générque e nerpréer les aures varables comme perurbarces des pars égales mplquées. Inversemen, on pourra auss dre que, les e ou les e les éan fxés égaux pour oues les modalés, ajouer un 0 donné à oues les ulés déjà esmées sans consanes les augmenera, e augmenera auss oues les pars, d une même quané. Les pars qu compen pour mons que /M ème du marché augmeneron e celles qu compen pour plus que /M ème du marché dmnueron, comme on le comprendra en augmenan sans cesse la valeur des M consanes ( 0, ), ce qu produra à la lme des pars égales à /M, comme l a déjà fa remarquer Laferrère (987, p. 07) en denfan oues ses consanes Log à l ade d un LIN-IP-L. v) le Log emboîé? S on chos de ne reenr que M- consanes, le deux formulaons comprennen le Log comme cas parculer à condon que les e les soen fxés à dans le premer cas, e les e les à 0 dans le second. S par conre on esme M consanes, le Log ne sera pas un cas parculer emboîé. On peu noer en passan que poser les e les égaux à en (2-E) rend une jole varane à double exponenelle 36. v) condons d nvarance des BC des varables explcaves : on s néressera plus bas aux «bonnes ransformaons» des varables explcaves, c es-à-dre aux BC ndépendanes des unés de mesure des ransformés Les procédures documenées des algorhmes SHARE e PROBABILIY déallen ces condons d nvarance, qu dépenden en fa du régme de consanes ulsé (M spécfques, M- spécfques, M égales), du mode oms s on n en séleconne que M-, e des conranes d égalé (ou d négalé) mposées aux paramères exéreurs, e. À nore melleure connassance, le len de Pregbon n a jamas éé éendu au cas mulnomal; l exge en plus, pour déermner les probablés mplcemen calculées par l esmaon, une résoluon d équaons par des méhodes numérques mal documenées à ce jour 37. Sa pernence se lme donc au meux aux problèmes bnomaux. Les ransformaons ndreces des famlles IP mulnomales semblen a pror plus ules, au mons pour l éude des problèmes de ranspor ou de problèmes semblables. Leur esmaon es auss ben plus facle que celle de (7-E) parce qu on applque smplemen aux pars brues une procédure BZI, comme dans l algorhme SHARE, e aux données dscrèes une procédure du genre de (0-B), comme dans l algorhme PROBABILIY. Dans les secons qu suven, on se lmera aux deux modèles de référence domnans, (-B) e (2-B). 34 On rouvera une applcaon des deux modèles au chox modal nerurban, avec données agrégées, dans Gaudr (989 ou 990) qu compare leurs performances prncpales à celles du Log e du Dog. 35 C es ben l usage qu en fon Leblond & Langlos (203) pour le modèle Global 9 de la RAP. 36 On rouve dans les Log urbans de chox de desnaon des varables d acvé nervenan sous forme exp(a) dans V. 37 S, dans une équaon comme (-B), on remplace la varable dépendane par le * de (7-E), l do exser, comme on le verra plus bas, un déroulé smple qu ne enne pas compe de l erreur. ouefos, la valeur calculée devra en enr compe : l fau en fa dérver E( ), l espérance de, procédure don n Pregbon n Koener & Yoon ne fournssen d ndces. 28

29 C. Pourquo abandonner les pussances smples au prof des BC? Pourquo se complquer la ve avec des BC alors que des pussances smples son dsponbles e rès prsées, par exemple dans les modèles calculables d équlbre général? Pour en dscuer, consdérons les ros opons de modélsaon résumées au ableau 4 e comparons-en ceranes caracérsques. Mas avan de procéder, ceranes précsons son de mse. ableau 4. ros modèles avec 0 e 0 A. Box-Cox B. Pussance smple C. Log-Log 2 Modèle comple avec erreur u N(0, ) u ( ) K ( ) K K 0 0 u ln 0 ln u u Ajusemen calculé par un «déroulé» qu néglge l erreur ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ( ) 0 ˆ ˆ Ajusemen calculé correcemen 3 ˆ ˆ 0 ˆ exp ˆ 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ln w( ) w( ) w ( ) E( ˆ ˆ ˆ ) w( ) exp 0 ln E ( ) ( u ) du ( w ) dw ( w ) dw, ( e 0) où désgne la moenne de la varable log-normale exp(w ) pour l échanllon ulsé. o) Prélmnares : une ersaz-bc qu ne fera pas long feu Un déour nule? En premer leu, nous supposons que les BC de A du ableau 4 son esmées correcemen, sans déour par les foncons des «Gamma» (Dal, 20, 202). Ce déour laboreux, conçu pour esmer des BC sans reprogrammer les logcels comme ALOGI qu ne les admeen pas ( ) (un ne recul par rappor à BLOGI de Crle & Johnson, 980), propose de subsuer à : (4) qu combne les formes lnéare e logarhmque de ( )ln, pour approxmer sa BC ( ). S les valeurs de son de l ordre de grandeur de (ce qu n exge que de dvser ses observaons par leur moenne) 38, e s les coeffcens de régresson ˆ e ˆ 2 ln obenus son de même sgne, alors ˆ apparendra 39 au domane requs [0, ] où la «Gamma» es une excellene approxmaon de la BC. Ce ne sera pas le cas ouefos s l ordre de grandeur des observaons dffère de, s la valeur vrae de es négave (une suaon assez fréquene), ou s les sgnes de ˆ e ˆ 2 alernen. Le déour facle la maxmsaon de la LL en supprman la dmenson non lnéare de ( ), mas ce gan numérque ceran repose sur beaucoup de s, sans comper la résoluon numérque ex pos pour récupérer en ( ) ˆ ˆ 2ln la valeur de la BC ˆ approxmée 40. De plus, l arrve ben sûr que les sgnes de ˆ e ˆ 2 alernen, ce qu 38 Cee praque n es pas neure. Souven ulsée dans le passé pour obenr drecemen des coeffcens égaux aux élascés, elle perme en fa de ben ulser les décmales dsponbles d une puce parculère. Son usage, à la place des dmensons nales des varables, affece les valeurs numérque des dérvées premères de la LL, e en conséquence le sener de maxmsaon parcouru e les chances d obenon d un maxmum. Dans l algorhme LEVEL, on donne aux usagers le chox d ulser ou pas les moennes des varables lors de la maxmsaon de la LL. 39 Comme ˆ ˆ / ( ˆ ˆ ) Par exemple, voc commen procède un usager : «I dd no rerve he lambda values analcall, bu numercall. I formed one arra conanng cos or me n a reasonable nerval, hen wo oher arras conanng wo ransforms of hs varable (lnear and log n he sandard case) mulpled b her esmaed parameers. A fourh arra conans he sum of hese wo ransforms. hen I formed a ffh arra conanng a Box-Cox ransform usng an arbrar lambda value o be deermned. Fnall, a sxh arra was formed, conanng he squared dfference beween he sum of he wo ransforms (wh esmaed parameers) and he Box-Cox ransform (wh an arbrar lambda parameer). In hs wa, he sum of squared dfferences can be calculaed, beng a funcon of he lambda parameer. Mnmsng he sum of squares wll gve 29

30 ndque une foncon ournane avérée en leu e place de la foncon monoone qu on chercha à esmer. Il ne fau pas s en surprendre, parce que (4) es un cas parculer de la formulaon plus générale à deux BC applquées au même en (6), comme on se le rappellera un peu plus bas. Prendre l erreur au séreux. De plus, la dscusson des caracérsques des formulaons suppose auss que leurs valeurs calculées, e les mesures d ajusemen global qu s ensuven, seron rapporées aux valeurs observées de qu l s ag d explquer, e pas à ses valeurs ransformées. Il es fréquen qu on rappore 2C au leu de 3C parce qu on esme C par les MCO, e qu on récdve en présenan les 2 aures «déroulés». À or, les déroulés ne reconnassen pas la présence de l erreur u du modèle : leur usage à mauvas escen 4 es l hérage nconscen des modèles lnéares pour lesquels E( ) ˆ parce que Eu ( ) 0, ce qu es faux dans les modèles non lnéares. Pour 3C, cas parculer de 3AB, ˆ es esmable comme moenne d une varable aléaore log-normale exp( u ˆ ) exrae de l esmaon fae avec un échanllon parculer. On rouve souven, dans les modèles de dsrbuon par exemple, une dfférence de 20-30% (e oujours dans le même sens, pusque ˆ es une consane!) enre 2C e 3C. On veu donc esmer les bons coeffcens pour obenr une valeur calculée de observé, pas une valeur calculée de ransformé. Pour obenr cee valeur calculée, l fau en premer leu prendre en compe l exsence de l erreur mas l fau par alleurs reconnaîre en même emps que es en fa une varable explcemen lmée vers les bas, parce que 0, e rès souven auss mplcemen par le hau, ndépendammen du fa que l échanllon ne comprenne aucune observaon lme à ces exrémés. Même en leur absence, cee deuxème exgence peu êre prse en compe en posan que les observaons sur fon l obje d une double censure, vers le bas e vers le hau, à l néreur d un domane observé où e désgnen respecvemen les valeurs de censure communes à oues les observaons. Dans ce cas, une généralsaon du modèle ob 42 s mpose naurellemen. Avec une varable censurée à ses deux exrémés, l espérance de s exprman par (5) w( ) w( ) E ( ) ( w ) dw ( w ) dw ( w ) dw, ( e 0), w( ) w( ) s ( w) désgne la densé normale de w, erreur de moenne nulle e de varance 2 w. Ces remarques conexuelles faes, commen se pose le chox enre BC e pussances smples? ) Connué à 0 ou dégénérescence? On sa que la BC es connue à 0 (cf. preuves à l Annexe ), e qu elle a le grand avanage de comprendre comme cas parculers emboîés le cas lnéare (seule l échelle de la consane 0 es alors * modfée en 0, par rappor à celle des MCO, ce qu es sans conséquence sur la vrasemblance de l échanllon) e le cas logarhmque (donc le modèle Log-Log en C du ableau 4). Pour sa par, le modèle à pussances smples présene sur ce pon un problème de fond car non seulemen la pussance smple 0 fa-elle endre les varables vers, ce qu es déjà lmaf, mas l esmaon du modèle B du ableau 4 adme cee soluon dégénérée ( 0 ). C es pour éver ce «rou nor» dans le ssu de la LL qu on esme ceranes foncons de producon en mposan des conranes sur ces paramères 43. Au demeuran, on peu monrer que le ˆ de A es dans ceranes condons nerpréable comme une esmaon non-dégénérée du ˆ de B parce qu l es nvaran à une he correspondng lambda parameer. hs can be neal done wh he solver n Excel.» Qu a d que la praque héroïque des verus ava dsparu? 4 Il exse des usages rasonnables, par exemple pour éuder ceers parbus le comporemen de ŷ par rappor à un. 42 Le modèle d orgne de obn (958) posula l exsence de lmes dsnces par observaon. 43 Jusemen, la praque des modèles calculables d équlbre général n esme pas les paramères mas les suppose connus. 30

31 ransformaon pussance de même sans 0 (Gaudr & Laferrère, 989), ce qu es une manère pole de proposer l abandon des pussances smples ou cour au bénéfce des BC. ) Manen de l ordre des observaons ou rsque d nverson? Mas l a un aure rsque parfos drman, e souven û, à l usage des pussances smples : elles ne manennen par l ordre des observaons. Conraremen à la pussance smple, la BC manen l ordre des valeurs enre varables ransformées, comme on peu le vor à la fgure 0, rée de Johnson (984, p. 63), où deux valeurs 0 e e = 2,8428 son ransformées de ros façons : en (a) par une smple ransformaon pussance, ce qu mplque une nverson des valeurs lors du passage par le pon (0,); en (b) par /, ce qu manen l ordre mas cause une dsconnué à = 0; en (c) par ( /, ce qu préserve à la fos la connué e l ordre des valeurs. Comme 0 e, l ordre es modfé en (a) lors du changemen de sgne de, car 0 e s 0 e 0 e s 0; par conre, l es préservé en (c) car [(0 ) / ] [( e ) / ] pour oue valeur de. Fgure 0. Illusraon du manen de l ordre des valeurs, e de la connué à 0, de la BC L usage des pussances smples exge donc une vérfcaon ex pos pour s assurer du manen de l ordre des valeurs. S cee bonne praque scenfque es répandue, nous n en avons rouvé aucune race écre : jusemen, scrpa manen Les nversons décelées son-elles parfos cachées? ) Geson des valeurs nulles e réalé Nous avons supposé aux ableaux 2 e 4, e plus généralemen comme arfce d exposon, que seules les varables explcaves srcemen posves ( 0, ) éaen ransformables. S c éa le cas, beaucoup de faceurs verraen leurs effes mal mesurés. Par exemple : lorsque des varables clmaques explcaves son ulsées, commen dsnguer enre le fa qu l fasse mauvas e l effe de la quané d eau ou de nege sur, pusqu l ne pleu ou ne nege pas oujours? Excluons d emblée l usage d un de ue parce que, comme l a éé d plus hau, la varance de n es pas la même que celle de : cela revendra à changer de modèle, ce qu pose problème s le paramère de ranslaon des coordonnées n a pas de sens économque. Dans ces crconsances, on peu voulor : () so remplacer les valeurs nulles par des valeurs rès fables (par ex. 0,00000); () so, avec des BC, ajouer une dumm complémenare des observaons nulles, ce qu produ une esmaon sans bas des BC (cf. la démonsraon numérque dans l Annexe 2). Nous allons dscuer des deux approches, en comparan surou A e C du ableau 4 pour lesquels exse un reour d expérence. Le remplacemen des zéros par des valeurs rès fables. On peu penser que le remplacemen des valeurs nulles par des valeurs rès fables n nfluencera pas beaucoup la varance, sauf évdemmen s la 3

32 proporon de valeurs nulles es élevée e s on nsse pour ulser le modèle Log-Log, car la ransformaon logarhmque de fracons nfmes crée des valeurs foremen négaves e apques qu von perurber la pene de la droe de régresson e/ou sa courbure. Par exemple, dans une applcaon vsan à éablr le rôle du rafc ferrovare dans l explcaon de la dégradaon des voes, on a pu consaer 44 que, le vra modèle éan de pe A avec des BC dfférenes de 0 e de, ce derner géra beaucoup meux la présence de rafcs explcafs nuls (ous les pes de rans n ulsan pas ous les genres de voes) que les modèles de pe C e leurs généralsaons ranslogarhmques usuelles, qu ajouen des neracons enre les logarhmes des mêmes varables déjà présenes (Chrsensen e al, 97a, 97b). 0/ L usage d une dumm assocée. La seule manère exace de ransformer une varable explcave conenan ceranes observaons nulles de manère à ce que la BC esmée so nvarane à ses unés de 0/ mesure, ce qu perme de raer la varable en queson comme oues les aures srcemen posves, es de le fare en ulsan smulanémen une varable auxlare (dumm) assocée aux valeurs nulles : on en fourn une preuve numérque dans la premère pare de l Annexe 2. E, comme le modèle A comprend C comme cas parculer, cee règle lu es auss applcable. Faue d avor essaé de l applquer auss au modèle B, nous ne savons pas s la même règle produra les mêmes effes d nvarance des pussances smples. Dans ces condons, l usage des BC es, sur ce pon, encore préférable à celu des pussances smples. v) Lsblé des sgnes des dérvées, aux margnaux de subsuon e élascés Un grand avanage des modèles BC es, comme on le vo en A du ableau 5, que le sgne de la BC esmée pour n affece pas celu de la dérvée par rappor à cee varable, qu ne dépend que du sgne de ; s par conre on ulse des pussances smples, la drecon de l effe de dépend des sgnes des ros paramères mplqués dans. E de même pour les élascés ordnares. ableau 5. Lsblé des sgnes résulan des modèles A (Box-Cox) e B (pussances smples) Défnons de sasques dérvées de modèles esmés avec : A. Box-Cox B. Pussance smple Dérvée parelle 2 aux margnal de subsuon (MS) enre e 3 Élascé échanllonnale (.e. ordnare) (, ) 4 Pon crque d un explcaf ulsé deux fos 0 * 2 2 * 2 2 La lsblé n es pas plus grande s on s néresse au aux margnal de subsuon enre deux varables, don le sgne dépend des quare paramères mplqués dans pusque, comme pour les dérvées parelles e les MS, le rao des quanés es posf ndépendammen des valeurs ou des sgnes des pussances Box-Cox ou smples auxquelles elles son assujees. La lsblé des sgnes des résulas du modèle A es donc de nouveau plus grande que celle du modèle B. De plus, on pressen que la recherche de pons ournans sera auss plus smple, comme l auguren les expressons analques qu, à la lgne 4, caracérsen l exsence d un pon crque de Vor Gaudr & Qune (200, fgure ). 32

33 v) Modélsaon des effes ournans Pour alléger l écrure, nous dscuerons de l denfcaon d effes ournans sans ulser l ndce de varable car la même varable explcave es mplquée deux fos dans le cas smple envsagé c, celu d une foncon qu ne ournera qu une fos. Les condons nécessares à l denfcaon d un mnmum ou d un maxmum son déjà complexes pour le modèle Box-Cox, comme on le consae au ableau 6: nous reporons donc à plus ard la consrucon d un ableau auss lsble que le ableau 6, e qu srucurera auss ben les rches possblés offeres par un passage masochse des aux. ableau 6. Condons d un reournemen e de son nverson avec deux BC sur un CAS 2 ( ) 2 2 Maxmum 2 Mnmum 3 Maxmum 2 4 Mnmum 2 Colonne ( ) ou 2 2 Pour modélser un effe ournan, on peu en effe ulser deux BC sur une même varable explcave d nérê, par exemple W, comme su: (6) Q Q2 Q( W ) W W Q Q2 e examner ensue s les condons nécessares à une forme ournane, résumées au ableau, son réunes e, son exsence une fos éable, caracérser sa smére. S agssan de l exsence d une forme ournane, on consae au ableau que l nverson des sgnes des coeffcens e 2, ndqués aux colonnes e 2, es nécessare à l obenon d une forme en U, que le sgne de la dfférence 2 enre les pussances, ndquée en colonne 3, nverse ou U présen, e que le sgne de l neracon enre ces deux précédens ndcaeurs, décre en colonne 4, décde s l s ag d un maxmum ou d un mnmum, la smére de (6) permean d en denfer deux de chaque espèce. Pour ce qu es de la smére, ou de l asmére, d une forme ournane donnée, rappelons d abord que, comme on l a vu aux fgures 3-5, la BC es une ransformaon monoone rès souple, comprs dans le cas de ransformaon d une fracon llusré à la fgure.a. Il ne fau donc pas se surprendre que l usage en (6) de deux BC sur une même varable permee une exraordnare souplesse d ajusemen aux données, llusrée aux fgures non monoones ournanes B, C e D. La smére ne peu êre obenue par l égalé des pussances enre elles, car les varables ransformées seraen alors parfaemen colnéares. On l oben souven en praque par l usage de pussances enères, par exemple ( ; 2 2 ) pour la forme quadraque classque llusrée en.b. Des valeurs non enères ou la valeur nulle d au mons une des pussances, comme la foncon Gamma ( ; 2 0 ) en (4), renden des formes asmérques. Une éude déallée de cee asmére rese à fare, mas la pernence de la méhode ne fa aucun doue, comme l ndque l encadré 4. Les doubles ransformaons selon (6) son auorsées dans la foncon de régresson de l algorhme LEVEL e dans les foncons d ulé des algorhmes SHARE e PROBABILIY. D. Les bons ( ; ; ) en régresson Box-Cox S l usage de pussances smples peu êre pégé par les dégénérescences de la dsconnué à 0, vore auss par des nversons d ordre des valeurs des varables ransformées, e demeure caracérsé par l opacé des sgnes des dérvées parelles e aures résulas pernens exras des esmaons, l usage de pussances Box-Cox n es pas lu-même sans aspérés, vore chausse-rappes, que nous avons pu mplcemen menonner en passan. Il es ule de les regrouper, en débuan par une dffculé passée à dessen sous slence lors de la formulaon des foncons de vrasemblance : celle de leur unmodalé, assurée s la seule varable dépendane es ransformée, parce que la LL es alors srcemen concave vue 33

34 (x) de l orgne (Kouder & Chen, 995), mas pas s pluseurs varables explcaves son assujees. Ce problème se pose dans les ous les modèles que nous avons reenus en référence, an en nveaux qu en pars ou probablés. Fgure. Passer d une courbe monoone à une courbe ournane en ulsan les BC A. Impac monoone de dfférenes valeurs d une BC unqueapplquée à << x B. Impac ournan de l usage de deux BC e applquées à 0 Source : Axhausen e al (2006). Source : Gaudr (2000). (.4) (2.3) C. Usage de deux BC : 5 4 2, avec un Maxmum à (.0546, ) (.6) ( 2.) D. Usage de deux BC : 3 2 4, avec un Mnmum à (.206, 2.874) Source : Gaudr e al (2000). ) Un maxmum global? En fa, les chances de rouver nvolonaremen des maxma locaux, alors qu on cherche le maxmum global de la LL, augmenen avec le nombre de BC applquées aux varables explcaves, en praque lorsqu on en ulse 3 ou davanage 45. Il es donc nécessare de s assurer du maxmum global en fasan un recherche ssémaque des maxma obenus, par exemple en modfan les valeurs nales des pussances arrêées lors de la maxmsaon numérque. On peu ancper la créaon d une méasasque de la probablé d avor rouvé le maxmum global dès qu on aura un jour auomasé cee procédure, ce qu à nore connassance aucun logcel ne fa encore. L mposon précauonneuse de la lnéaré ou de valeurs de BC smpahques a pror, présompons procuséennes (Moser, 939) s souven rejeées par les données, élmnen ce rsque au prx de l ajusemen du modèle à la réalé. ) Des lambdas nvarans aux unés de mesure (des ), e les consanes S agssan des BC esmées, on obendra des esmaons (e des valeurs de la LL) nvaranes aux unés de mesure des varables non booléennes ransformées: 45 C es prncpalemen pour cee rason que l esmaon des BC es souven rès lmée dans les logcels commercaux. Dans un modèle de nveaux, par exemple, la dernère verson de Saa (SaaCorp LP, 205) auorse : () de ransformer oues les varables (seulemen s elles son posves), dépendane e ndépendanes, par une BC [opon model(lambda)]; () l usage d une BC dsnce sur la varable dépendane e d une aure sur oues les varables explcaves [opon model(hea)]; () de sousrare à l unque BC applquée aux varables explcaves ceranes d enre elles [opon norans()]. 34

35 -pour 0, -pour 0, à condon qu une consane de régresson, 0 ou 0 selon le cas en référence, so présene (Schlesselman, 97); à la condon supplémenare qu une dumm, assocée aux valeurs nulles de, so auss présene (Annexe 2, pare A). Encadré 4. La beaué es dans l asmére des formes ournanes : cas D (Allemagne) e E (France) d (C-) (C-2) Les formes ournanes Box-Cox asmérques son pas nouvelles. Hecman & Polache (974) esmen déjà une elle forme pour représener l mpac de l expérence sur le revenu mas rouven que la varane quadraque ; 2 2 rend meux. Dans les ranspors, on a éudé en parculer: () l mpac de la consommaon d alcool sur le nveau des accdens de la roue au Québec (Gaudr, 993) e à Socholm (egnér & Loncar-Lucass, 996; egnér e al, 2000) : les foncons son ben des asmérques, la fréquence des accdens suvan une forme en J par rappor à la consommaon d alcool; ( 3.3) 2 ( 3.3) () l nfluence du parc auomoble sur la moblé rouère en Allemagne, où ( ) ( ), la relaon esmée, es llusrée à la fgure D qu présene auss les dérvées premère e seconde : l s ag d un maxmum de forme asmérque. Au-delà du maxmum, l effe de l augmenaons du parc sur l usage des véhcules (à l essence) es à oues fns ules nul; () l nfluence du parc auomoble sur la moblé par ranspor en commun en Suède de 985 à 2004 (Gaudr ( 0,8) (3,25) & egnér, 205), où la relaon esmée es ( ) 20, De nouveau, les hausses du parc auomoble n on, au delà du maxmum, plus d mpac décelable sur la fréquenaon des C; () l mpac du rafc ferrovare cumulé sur les coûs d enreen du réseau franças (SNCF Réseau), un (,94) Maxmum llusré à la fgure E, avec ( ) (0.72E 06) (0.07E 4). Quand approche le momen de régénérer le segmen ferrovare, on rédu naurellemen les dépenses d enreen couran. D. Composan du modèle SNUS 46 pour l Allemagne (données mensuelles janver 968-décembre 989) E. Composan du modèle OCERSI 47 pour la France (données 999), ronçons ferrovares UIC e ''() 7.0e e e e () '() 3.0e e+005.0e = Cars per Emploee Source: Blum & Gaudr (2000). 0.0e e+008 4e+008 6e+008 8e+008 e+009 agrb Source: Gaudr e al (205). On remarque en passan qu un déroulé peu légmemen servr à l éude d une réacon. La fgure E es consrue pour éuder, ceers parbus (en se suan à la moenne des aures faceurs), l mpac de W (le rafc cumulé) sur (le coû d enreen, avec 0,276 ) par l expresson 2A du ableau 4 : ( W) ( ),, Q W W 0. ( ) (E-2) ) Des de Suden (des ) nvarans aux unés de mesure des, e leur calcul Le maxmum global rouvé, on s néressera à la sgnfcaon sasque, ce qu n es pas sans poser des quesons don on ne connaî pas encore les réponses. Es-l par exemple possble d obenr pour une BC sgnfcavemen dfférene d une cerane valeur en même emps que son coeffcen de régresson 46 SrassenverehrsNachfrage, Unfalle und hre Schwere. 47 Opmsaon Conjone de l Enreen e de la Régénéraon des Servces de l Infrasrucure. 35

36 n es pas sgnfcavemen dfféren de 0? Ce problème logque relé à la re-paramérsaon du modèle qu effecuen les BC n es pas résolu à ce jour, même s on s néresse à la queson (Cho & Ichda, 202). À vue de nez, la réponse ne semble pas dépendre d un chox enre un es de rappor de 2 vrasemblances e un es de Suden parce qu une lo es denque à une lo de Suden. On /2 ( ddl ) s néressera d abord à ce derner es, calculable de pluseurs façons. Les de Suden son consans en régresson classque des MCO pusqu un changemen d unés de mesure des condu à un ajusemen proporonnel des écars-pes en (6-A). L nroducon de BC conserve cee nvarance (aux changemens d unés de mesure des ) des, mas ne conserve celle des que seulemen s e seulemen s -pour ou, les son calculés condonnellemen aux valeurs esmées des (Spzer, 984; Dagenas & Dufour, 994). (C-3) Cee resrcon au calcul ncondonnel par (2-A), mse en lumère par Spzer es mporane : on pensa que le éa oujours nvaran aux unés de mesure du. Les ncondonnels calculés pour des modèles avec BC avan 984 son donc ous suspecs. S un dépend des unés de mesure de, alors on peu obenr les que l on veu en ajusan ces unés de mesure. En fa, c es précsémen l ndépendance du de la moenne e de la varance du paramère esmé qu a fa l nérê du. En praque, l usage de condonnels pour les coeffcens esmés n es pas un nconvénen rop grand parce que le nombre de varables explcaves es généralemen beaucoup plus mporan que le nombre de paramères de forme fonconnelle ulsés dans le modèle. On se sasfa alors de ess de rappors de vrasemblances sur les valeurs des ransformaons 48 e de ess condonnels à ces valeurs esmées pour les nombreux coeffcens. On ne cherche généralemen pas à fare sur les des ess de rappors de vrasemblance qu son nvarans, comme l on monré Dufour & Dagenas (992) parce qu ls son rop nombreux : les condonnels reenus suresmen donc quelque peu la sgnfcaon sasque des. v) Cavea lecor! Cavea ndgaor! Des ravaux publés malgré ou. Ces condons son souven volées en praque. Dans un modèle explcaf des pars des coûs par pe d npu dans l ndusre manufacurère amércane, Bernd & Khaled (984) esmen des BC sans consanes 0 (op. c., Equaon 28), ce qu vole C-, e calculen ensue des ncondonnels aux (op. c., ableau 4), ce qu vole C-3. Pour leur par, Caves e al (980, 985) modfen un modèle rans-log des coûs ferrovares amércans en ransforman par une BC les mesures d oupu explcaves (les acvés fre e voageurs) qu comprennen de nombreuses observaons nulles (la majoré des chemns de fer amércans ne ransporan aucun voageur) 49 sans ajouer de dumm assocée à ces dernères observaons 50, ce qu vole C-2. Les sx prncpaux pèges renconrés lors de l esmaon des BC son résumés à l annexe 0. Des logcels pour expers. Le logcel BIOGEME (Berlare, 2003, 2008), qu perme l esmaon de Log Box-Cox, calcule des ncondonnels de ous les paramères, comprs 5, ce qu vole C Comme les ess ncondonnels sur les BC elles-mêmes son valdes, on les ajoue parfos, comme à la secon 2 du ableau 3 où ls son calculés par rappor à 0 e à. 49 L usage de la BC es présené comme un asuceux déour qu perme, conraremen au logarhme, d ulser les 0 50 Comme le co-aueur Mchael rehewa nous l a confrmé dans un courrel d aoû Le remède consse à fare une éraon supplémenare des rounes ulsées (DONLP2, SOLVOP, CFSQP, BIO (rus regon)) en fxan les BC à leurs valeurs esmées pour 0 éraon, ce qu cela forcera le programme à recalculer la marce de varance-covarance des aures paramères condonnellemen aux BC e produra les bons condonnels recherchés. 36

37 Il es losble à l usager du logcel VISUM (PV AG, sne de) réalsan une affecaon des flux enre nérares concurrens d ulser des BC sur les varables pernenes (comme le emps ou le coû), mas la procédure semble applquée sans consane d nérare : l fau donc lu fournr des valeurs des BC esmées correcemen par alleurs, sans chercher à les esmer par des affecaons en boucle érave qu mnmseraen une mesure d ajusemen aux flux observés e voleraen C-. Les logcels LEVEL, SHARE e PROBABILIY calculen sur demande les condonnels correcs des mas auss leurs ncondonnels ncorrecs, ce qu perme de les comparer enre eux e aux résulas ncondonnels malheureusemen publés don on connaîra les unés de mesure des varables ransformées. E. Poolng de données Log, non lnéaré e déf pour les consanes Nous avons jusqu c dsngué enre données Log dscrèes e agrégées, mas sans vramen envsager la queson de leur regroupemen (ou poolng) ou celle de la relaon enre nveau d agrégaon e forme fonconnelle, l une des dmensons cenrales de nore quesonnemen sur les coeffcens. Peu-on dre sur ces quesons d agrégaon, ou de segmenaon, des choses relées à celles de la forme fonconnelle ou à celles des coeffcens qu nous préoccupen, don les consanes? enons, sans fare une revue complèe de la léraure dponble, de balser quelque peu le erran. ) Données dscrèes e agrégées révélées Agrégaon, segmenaon e forme fonconnelle : ros dmensons dsnces mas relées dès le débu. Même s le premer modèle Log de chox (urban) du mode de ranspor (Warner, 962) éa dscre (avec des foncons d ulé non lnéares), les premères grandes applcaons relan formellemen le Log à l ulé, développées par le bureau d éudes PMM (Ells & Rassam, 970; Rassam e al, 970, 97), furen agrégées, esmées sur des pars de marché nerurbanes, e lnéares dans les varables de réseaux de (2-A). n En conséquence, la paruon du rappor de consulaon de Charles Rver Assocaes Inc. (CRA, 972), qu devendra le lvre de Domencch & McFadden (975) sue à quelques modfcaons 52, posa mplcemen problème s agssan des avanages relafs des données dscrèes e de la pernence des foncons d ulé lnéares parce qu l ulsa des données dscrèes urbanes e des formes lnéares sans mover ce chox méhodologque. Le rappor ne présena en fa aucun es d agrégaon, aucun es de segmenaon e, conraremen au méculeux Warner 0 ans auparavan, aucun es de forme fonconnelle. Il es ule pour nous de dsnguer ces ros dmensons, même s elles peuven e doven êre crosées e s la fronère enre désagrégaon e segmenaon, conçue comme recherche du bon nombre de sous groupes d ndvdus homogènes, es mal défne. Données agrégées ou dscrèes? Les premères dscussons sur le chox enre données urbanes ndvduelles e leur agrégas euren leu rès ô (Donnea, 97; Kulash e al, 973) e connuen épsodquemen depus. Le conexe économérque général éa alors favorable aux dscussons sur l agrégaon : on s néressa par exemple au bas d agrégaon ou à l effcence relave des esmaeurs agrégés e désagrégés. On sava déjà que, dans cerans cas, les esmaeurs agrégés son plus effcens, par exemple (dans un cas à deux sous-groupes) lorsque la dfférence enre les covarances des résdus des deux équaons désagrégées e la corrélaon enre les deux varables explcaves es négave 53 (Agner & Goldfeld, 973) ou lorsque les agrégas son mesurés avec mons d erreur que leurs composans (Agner & Goldfeld, 974), ou lorsque la populaon es héérogène (Gvon & Hors, 978). Les condons de 52 Don la suppresson d une annexe néressane monran la dffculé de dérver des foncons de demande de ranspor urban ndvduelles e agrégées à parr de foncons d ulé de forme parculère (Quadraque, Log-lnéare, Sone-Gear), l échec de oues les dérvaons éan mpuable aux arbus des modes à prendre en compe, nconournables dans les ranspors. 53 Y comprs dans le cas où les deux varables explcaves des groupes son denques. 37

38 supéroré de chaque pe de données par rappor à l aure connuen à néresser (e.g. Bnle & Nelson, 990), mas un éclecsme de bon alo s es nsallé : l ne confond plus verueux e désagrégé, comme f un ceran mareng prmare enre 975 e 985. En effe, l es aujourd hu ben connu (Anderson e al, 986; 988; 992, Ch.3) que le ssème de demande consué par un Log peu auss êre dérvé pour un ndvdu représenaf unque don l ulé n es pas sochasque mas déermnse e comprend un erme de forme x ln( x ) exprman une préférence de forme enropque pour la dversé enre les bens x. En conséquence, l n es guère surprenan de lre qu l es ou à fa héorquemen jusfé d ulser un Log agrégé même en présence d héérogénéé : «when all consumers are exposed o he same mareng mx varables and he brands are close subsues» (Allenb & Ross, 99),.e. dans les condons pques de la concurrence enre modes ou nérares. De plus, s les faceurs communs son présens au nveau ndvduel, leur non lnéaré elle-même sera vrasemblablemen préservée pour les agrégas 54 (Granger & Lee, 999). Implcemen, l fau donc dsnguer enre les ndvdus, qu fon naurellemen face à des condons dfférenes, e les marchés, où les condons son communes à ous les ndvdus. Segmenaon. Les premers soucs de segmenaon apparassen ô (Reed, 973; Hensher, 976). Beaucoup prren ensue, e pour longemps, la mauvase habude : () de segmener les modèles à données dscrèes par classe de dsance, de coû ou de revenu, une aude laboreuse avec des varables connues où la lnéaré par morceaux n es pas l opon la plus asuceuse. Souven, on dé-segmene lorsque les sgnes obenus son mauvas; de plus, on ne compare que raremen résulas par segmen e résulas agrégés. C es c un des problèmes récurrens de l ulsaon de données désagrégées : l fau dsposer so d un échanllon exhausf, so de pondéraons adéquaes des observaons ndvduelles. Il exse un pon crque enre les deux naures de données : que fare avec du désagrégé sans dsposer de l échanllon exhausf ou de pods rgoureusemen exacs? L agrégé peu êre supéreur : ne sommes-nous pas smplemen en présence de M équaons de forme m exp( Vm) normalsées par leur somme? Fosgereau & Palma (205) encouragen mplcemen dans ce sens. () de la lnéaré généralsée, ulsée sans vergogne 55, avec quelques excepons mal jusfées (noammen pour le coû parfos nrodu sous forme logarhmque, mas sans jusfcaon aure que celle de la recherche de bons sgnes ou de varables sgnfcaves). Dans beaucoup de cas, on ne maxmse pas vramen la vrasemblance mas pluô le nombre de sgnes obenus conformes aux ancpaons, e leurs de Suden : comme on l a d plus hau pour rre, on mmmse vramen l nvrasemblance des résulas obenus... ou les roomonades du donneur d ordres. Non lnéaré. Les ess sognés de Warner n on jamas éé nvaldés, mas pluô confrmés par de nombreux ess Box-Cox (BC) débués dès 975 (Gaudr & Wlls, 978). S l exse beaucoup de méhodes d nroducon de la non lnéaré (développemen en sére de alor, formes ad hoc, ec.), les BC son des foncons paramérques qu obéssen à des crères de souplesse e de parsmone. Mas l a en fa pluseurs dmensons au problème fondamenal, hors consdéraons sur le caracère aléaore des paramères (coeffcens de régresson e pussances) esmés, en parculer : 54 Il s ag dans ce exe d agrégaon dans le emps. ouefos, la leraure monre généralemen que des condons rès fables son nécessares pour obenr des foncons agrégées aux propréés correces ( well-behaved ) lorsque l agrégaon es fae sur le revenu (Hldenbrand, 983) ou les préferences (Grandmon, 992): de elles propréés comprennen ceranes condons de la marce des effes prx non-compensés, condons pour lesquelles exsen des ess (Korenman e al, 988). 55 Warner compara l ajusemen obenu par des formes lnéares à celu obenu par d aures formes e ren ces dernères, l ulé margnale de l argen e du emps n éan, apparemmen, pas consane... Comme l écrva en 20 Claude Abraham : «Dans le modèle classque Log [lnéare], l n exse aucune dfférence enre un gan de 2 mnues lors d un déplacemen de 0 mnues e lors d un déplacemen de 60 mnues, une hpohèse assurémen absurde». En fa l hpohèse d une ulé margnale consane n es pas absurde au sens propre du mo mas la plupar du emps smplemen fausse e paresseuse. 38

39 ) l ulé margnale par rappor au coû e au emps de ranspor peu-elle jamas êre vrasemblablemen supposée consane sans que cela ne so mmédaemen l obje d un es? ) l exsence e la drecon de la corrélaon sasque (le sgne du coeffcen) éan ceranemen condonnels à la forme fonconnelle des varables, comme on revendra plus bas, l fau déermner cee dernère de la manère la mons condonnelle possble. Il s ag en fa d une queson épsémologque fondamenale. Par exemple, dans un des grands modèles de demande marchandses franças récen aux 4 équaons de chox modal (une par caégore de marchandses), le sgne du emps de ranspor éa souven posf s on supposa la lnéaré de cee varable, mas oujours négaf sous BC aux jusemen rès supéreurs par surcroî. Ces deux dernères dmensons de segmenaon e de forme fonconnelle allaen êre dscuées ndépendammen jusqu à une analse ssémaque de la queson dans le cadre du modèle naonal nerurban suédos (Algers & Gaudr, 994), analse (désagrégée) qu monra que segmenaon e forme mahémaque éaen parfos des subsus, parfos des complémens e parfos smplemen des dmensons ndépendanes : un jugemen de modélsaon es donc oujours nécessare Éclecsme e jugemen. Les ros dmensons de conesaon qu suvren la publcaon du lvre de Domencch & McFadden demeuren pernenes. On s nquèera par exemple de foncons de demande segmenées qu, conraremen aux sgnes obenus pour les agrégas, auraen des sgnes peu crédbles, car l fau équlbrer le rsque de «fausseé écologque» réel lors de l agrégaon (Panados e al, 988) e le rsque de comporemens dosncraques lorsqu on désagrège rop. ) Dverses formes de poolng e rsques sur les consanes Poolng agrégé/dscre. Beaucoup, convancus de l égalé de performance des sources agrégées e dscrèes, les regroupen dans une même 56 régresson en prenan quelques précauons sur la alle relave des varances des erreurs des foncons V mplcemen combnées : ls praquen l usage fusonnel de données désagrégées e agrégées dans une même esmaon Log. Cerans renconrés plus hau (e.g. Berr e al, 2004) 57 parlen alors de «mcro» e de «macro» données, ermes pluô mons clars que «dscre» e «agrégé» de la léraure des ranspors. Un ruc rès souven adopé pour réalser cee fuson dans les modèles de chox enre modes de ranspor consse noammen à ransformer les pars en observaons dscrèes répéées e à les ajouer aux observaons vérablemen dscrèes, ou à pondérer adéquaemen l ensemble des observaons dscrèes, naurelles e reconsuées, pour l esmaon 58. Par défnon, (5-C) sera valde, mas l faudra manpuler les consanes de l échanllon fusonné avec prudence, selon (5-D), car elles nfluenceron les élascés. On s aendra auss à une hééroscédascé dfférencée enre échanllons, mas ce problème n es guère au cenre des préoccupaons. Poolng RP/SP. Cee praque fusonnelle s éend aux mélanges de données dscrèes de naure booléenne RP, sur les préférences révélées, e SP sur les préférences déclarées. Elle es jusfée par une nerpréaon généreuse de Bradle & Dal (99, 997), proposon qu mérera un examen approfond. Même s on consdère que répondre à des quesons hpohéques révèle auan les préférences vérables que d observer les chox réels 59, le poolng pose des problème non rvaux pour les consanes e les calculs d élascé qu s ensuven. Nous aborderons manenan drecemen les 3 grandes quesons que posen la compréhenson des coeffcens esmés. Nos modèles de référence n on pas changé. 56 Paradoxalemen, on mélange dans une même régresson données dscrèes e données de pars de marché, le logcel (comme ALOGI) aan éé conçu à l orgne pour les données dscrèes (d aures esmaeurs de la Log-Vrasemblance éan plus performans pour les seules varables agrégées). 57 Les aueurs préenden ulser des foncons log lnéares «pour des rasons de smplcé» (op. c., p. 7), ce qu es un peu cour en 2005, so 43 ans après Warner. À quand le sevrage de la lnéaré e la soumsson au prncpe de réalé? 58 Vor plus hau la dscusson sur (3-A) e l esmaeur WESML. 59 On peu ben sûr fare des ess des dérvées par pe d observaon. 39

40 3. Un es de sgnes obenus, pour précser la conjoncon au sens de Hume 3.. Explcer le bêa-lambda mplcemen présen Avan de proposer un remède aux praques de maxmsaon du nombre de sgnes aendus, remède qu consse à reconnaîre que la corrélaon sasque bêa présenée es mplcemen condonnelle à la forme ad hoc mposée aux varables e à exger pluô des résulas bêa-lambda ncondonnels (.e. éprouvés au sens d un moulnage Box-Cox) avec leurs formes opmales, l es ule de décrre l ambance qu prévau à ce égard, caracérsée par un flou lnéare à dem conscen, e de donner des exemples praques en sus de ceux qu se rouven déjà à l encadré 2. Un nsconscen lnéare? Par exemple, l analse des jeux e négocaons enre données e chercheurs (Leamer, 978a, 978b; Le, 2006), quêe pouran sensble aux dffculés renconrées pour produre des résulas honnêes avec des données non-expérmenales en ulsan par exemple des echnques de varables nsrumenales (Leamer, 983; Hecman & Urzúa, 2009), néglge ou sur la queson non mons percuane des formes fonconnelles lors de la spécfcaon de la LL pour ous les pes de données. On se sue oujours mplcemen dans le cadre du MLG mas la forme des varables explcaves es le plus souven lassée ndéfne, s an es qu elle n es pas explcemen lnéare. Généralemen, la causalé sasque, défne en ermes d assocaon sasque, comme par exemple l approche née par Wener (956) e Granger (969) pour l éude des relaons dnamques enre séres emporelles ne fa aucune place explce à la forme des varables, qu l s agsse d approxmaons locales de cee forme par des BC ou plus globales par des ransformées de Fourer l avenr... (Gallan, 98). S cerans aueurs onl eld a complee pcure of lnear causal properes (Dufour & Renaul, 998), d aures son mons clars. S agssan par exemple de conégraon, Granger, qu se lme aux séres chronologques (Granger, 2008), d ben : Noe, we ofen see and log beng consdered as modelng alernaves, wh he assumpon ha he have he same me seres properes. (Granger, 200, p. 4). En fa, l es évdemmen possble que la forme des séres nfluence leur ordre d négraon e celle de leur combnason lnéare, comme l a rouvé Djursc (2000) avec des BC. En gros, la dscusson sur la causalé sasque prvlége les séres emporelles de varables RP aux formes mal défnes ou mplcemen lnéares. Les coupes ransversales, noammen spaalsées avec auocorrélaon spaale, e les données SP, son passées sous slence. Ne--on la causalé spaale? Nous souhaons donc, en préconsan des ess bêa-lambda, raffermr ce fondemen de la noon de causalé qu es, selon Hume, la «conjoncon consane» enre les phénomènes, en la précsan : de quelle conjoncon s ag-l? On peu penser que nore nuon locale e bvarée de la conjoncon es valde s le modèle es vérablemen 0,.e. s l es de forme lnéare ou quas-lnéare, monoone e smérque. Mas qu en es-l de nore nuon s l es pluô de forme non-monoone e asmérque pour pluseurs faceurs? ( ) ( j) ( ) j f (, ), vore La corrélaon es condonnelle à la forme des varables. Le problème pour nore nuon de la «conjoncon consane» es que la corrélaon réelle vare selon la forme spécfque e nconnue des varables e qu elle es par alleurs mulfacorelle. La BC monoone nfluencera le sgne de la corrélaon bvarée e celu de la corrélaon mulfacorelle en affecan la dsrbuon des observaons, comme l llusre la fgure 2 en monran des valeurs ransformées qu ne son plus dsrbuées smérquemen comme avan ransformaon. Les encadrés 5 e 6 démonren l mporance d une sane praque à ce égard. Consaons- que, dans les 2 cas, l applcaon de BC amélore l ajusemen e recfe un mauvas sgne encadré. Avec les mêmes données que celles de l encadré 6, Bha (995) ne rappore que des résulas lnéares pour le mof affares e supprme (sc!) le mode bus en préexan que rop peu l on chos, cela sans dre un mo du problème des mauvas sgnes obenus avec la forme lnéare e 4 modes Vous avez d scenfque? 40

41 Dens Dens Fgure 2. Impac d une ransformaon pussance (BC=2) de sur la dsrbuon des valeurs Dens of Lambda= Values of Source : graphques réalsés par Maheu de Lapparen à l INRES, le 4 ocobre Values of ransformed Encadré 5. La naure es-elle jamas lnéare? cas F (Norvège) Dans l exemple suvan d un modèle de préférences déclarées (SP) poran sur le chox enre 4 pes de ransporeurs (2 pour compe propre e auan pour compe d auru) norvégens, les aueurs obennen le sgne aendu d une mesure du rsque de reard de lvrason des envos de marchandses dès qu ls ulsen une BC sur cee varable, en même emps que deux aures BC spécfques aux varables de coû e de emps. L usage de 3 BC augmene la LL de 80 pons! Une explcaon bêa-lambda clare e honnêe. F. Wholesalers Fregh Shpmens n Norwa Log choce 4 alernaves : 2 For-Hre and 2 Own-Accoun Opons Frdsröm & Madslen (995 ; Models A- and A-2) Coeffcens and -sascs condonal on form Form of varables Lnear Opmal [...] Lae delver rs of a general naure +0,0036 (+2,50) -0,043 (-4,24) [...] Lambda (,00 Fxed 0,536 Log-lelhood -775,34-595,36 Commen : none of he oher varables changed sgns and 3 BC are nvolved (for me, Cos and Lae delver rs). 4

42 Encadré 6. Des courbures révélées, pluô que des cache-sgne : cas G (Québec-Wndsor) G. Quebec C-Wndsor Corrdor of Canada, domesc nerc flows (offcal VIA RAIL 987 daabase) From: Gaudr & Le Lezour (994) A. Busness rps (4 402 observaons) B. Oher rps (8 536 observaons) Column 4 Case Lnear Lnear Probabl pon elasces 60 (rounded) evaluaed a means 2 Sandard Box-Cox 3 Generalzed Box-Cox 5 Sandard Box-Cox 6 Generalzed Box-Cox Orgnal reference Model 8 Model 8 Model 46 Model 43 Model 48 Model 05 Cos (access + n-vehcle) - Plane own cos -0,30-0,3-0,0 0,0-0,0-0,0 - ran own cos -0,03-0,07-0,03 0,0-0,03-0,03 - Bus own cos -0,00-0,0-0,0 0,02-0,05-0,04 - Car own cos -0,5-0,30-0,5 0,02-0,0-0,07 -sasc of (-3,66) (-7,23) (-2,85) (2,4) (-6,9) (-4,8) Assocaed Box-Cox,00 0,28-0,22,00 0,48-0,02 ravel me (access + n-vehcle) - Plane own me -0,9-0,08-0,6-0, 0,00-0,00 cross w.r.. car ravel me , ,02 - ran own me -0, ,06-0,05 0,02-0,02 cross w.r.. car ravel me , ,03 - Bus own me -0,02-0,02-0,0-0,09 0,02-0,00 cross w.r.. car ravel me , ,04 - Car own me -0,33-0,7-0,29-0,0 0,03-0,08 -sasc of own (-0,9) (-5,9) (-4,3) (-6,65) (,44) (-,5) -sasc of cross (4,59) (8,38) Assocaed own generc B-C,00,80 0,6,00 0,47 4,8 Assocaed cross generc B-C , ,88 Frequenc - Plane own frequenc 0,7 0,8 0,2 0,0 0,0 0,02 - ran own frequenc 0,0 0,00 0,0 0,0 0,0 0,0 - Bus own frequenc 0,00 0,00 0,00 0,02 0,02 0,03 -sasc of (2,02) (,67) (,88) (8,35) (0,03) (,25) Assocaed generc Box-Cox,00,53,34,00,07 0,88 Income (Gross Indvdual) - Plane (reference: car) 0,2 0,2 0,3 0,0 0,0 0,00 -sasc of specfc (4,99) (5,00) (5,05) (4,0) (2,72) (-0,57) - ran (reference: car) -0,02-0,02-0,02-0,0-0,02-0,0 -sasc of specfc (-2,6) (-2,99) (-3,00) (-3,86) (-5,09) (-2,48) - Bus (reference: car) -0,0-0,0-0,0-0,07-0,06-0,05 -sasc of specfc (-5,80) (-6,89) (-6,93) (-3,3) (-5,52) (-2,3) Assocaed generc Box-Cox,00 0,6 0,8,00 0,33 0,44 Oher varables no repored rp orgn n a large c [...] rp orgn n a large c; par sze [...] Log-lelhood (rounded) Degrees (rounoooooooooded) of freedom Procédure. Les pussances unares des colonnes e 4 son esées aux colonnes 2 e 5 par l esmaon de 4 BC (sur coû, emps, fréquence e revenu). Dans les colonnes 3 e 6, on enrch oues les V du emps VP assuje à sa propre BC, ce qu fa passer du modèle Box-Cox Sandard au Généralsé (cf. (32)). Cachez ce sgne que je ne sauras vor! Ces deux généralsaons son rès sasquemen sgnfcaves. Les mauvas sgnes encadrés des varanes 4 e 5 se corrgen en colonne 6 par l ajou du emps VP. À l évdence, l es nule e nusble, pour résoudre le problème du mauvas sgne obenu en colonne 4 (lnéare), de consrure une varable de coû généralsé (Prx + emps) avec un arbrare, comme l on fa KPMG & Koppelman (990). Haro sur ce derner, qu a déjà fa meux (Koppelman, 98)! E haro sur Bha (995) qu, lors de ess d une formulaon de l hééroscédascé maladroe e ben mons smple que celle de (-C), ne rappore que des résulas lnéares sur le mof affares pour lesquels l supprme le mode bus aux résulas problémaques... Ah publer...! Comme pour le cas A de l encadré 2, les revues n on pas fa leur raval Vor la défnon (26) pour le Log Box-Cox Sandard: les pons gagnés par un mode son perdus par les aures: les varaons sommen donc à,00 (sauf arronds). L arcle d orgne ulse des pondéraons des observaons légèremen dfférenes e la défnon (25). 42

43 3.2. Effes de la BC sur les sgnes obenus Il nous fau explorer quelque peu cee queson, analquemen e numérquemen, pour sasr le mécansme e l mporance, aux fns de l éablssemen des sgnes, d une corrélaon bêa-lambda explcée Approche analque Reprenons les formules des penes du modèle bfacorel relan lnéaremen Y à 2 e à 3 r r r s r r r s (4-) b2 e b r s r s , où les mnuscules désgnen des dévaons par rappor à la moenne, e.g. x ( ), les s les écars-pes échanllonnaux de Y, 2 e 3 explcés en (4-2) e les r j les coeffcens de corrélaon smple explcés en (4-3). S les faceurs 2 e 3 son orhogonaux, le coeffcen de corrélaon enre eux es nul (r 23 = 0) e les coeffcens de pene b 2 e b 3 coïncden avec les coeffcens de corrélaon smple de (4-3), qu peuven êre posfs ou négafs. S par conre les varables 2 e 3 ne son pas orhogonales, r 23 0 peu changer les sgnes de b 2 ou b 3 qu dépenden alors d une dfférence enre deux ermes don l un es un produ de coeffcens de corrélaon smples aux sgnes peu-êre conrares. À l évdence, un coeffcen r 23 0 es un nsrumen-clé d un changemen de sgne quand on passe de la corrélaon smple enre deux varables à la régresson mulple. E ous ces coeffcens de corrélaon smple e écars-pes (cf. fgure 2 sur ce pon) enre lesquels on peu décomposer les penes son modfés par l usage de ransformaons Box-Cox, e cela de manère dffclemen prévsble. Pour fare éa de la dffculé accrue de prévor des changemens de sgnes mpuables à l usage de BC, on peu se rappeler que chacune des varables présenes, Y comprse, es * x réécre au forma, ce qu sgnfe que les corrélaons smples de (4-3), comprs r 2 e r 3, se réécrven oues parellemen : (4-4) r 23 * * ( xx 2 3) * * x2 x3 2 2, où * ( ) ( ) x ( ) ce qu peu fare changer les sgnes d une régresson, an de Y sur ou 2 que de Y sur e Démonsraon numérque Une conjoncon condonnelle. Pour llusrer cee affrmaon avec des données réelles, examnons les penes b 2 e b 3 obenues en applquan des BC à ceranes varables exraes du modèle (E-) décr à l encadré 3. Parm ses varables explcaves (une qunzane), les deux qu voen leurs sgnes s nverser lors de l usage d une BC commune produraen-elles de elles nversons dans une applcaon ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 unfacorelle ou plurfacorelle, 0 ou 0 2 2? Calculons-en donc les penes possbles b 2 e b 3 par (4-), en n accepan que des valeurs de BC qu auraen auorsé une nverson marcelle habuelle de pe (3-A) sur les valeurs ransformées 6. On rouve à la fgure 3 que, ( ) dans l explcaon de : 6 Cee règle perme d exclure les cas de colnéaré. Menonnons par alleurs que, lorsqu on s élogne rop des valeurs les plus fréquenes des BC, dsons du domane cenré à 0 sué enre e +2.00, une dfférence numérque se fa progressvemen jour enre les penes b 2 e b 3 calculées par (4-) & (4-4) e celles que rend l nverson marcelle de pe (3-A) applquée aux mêmes valeurs ransformées des varables. La comparason des valeurs numérques obenues par ces deux méhodes relève d une aure enreprse que la nôre. 43

44 . Fgure 3. Sgnes de coeffcens en régresson unfacorelle ou mulfacorelle, e BC Pene ou coeffcen de corrélaon UNI-facorelle r x enre ransformé e ou 2 ransformés ( 2.65), ( 2 2) 2. ( 2.65), ( 2 2) 2 'bea2.x' Bea 3 'bea3.x' Bea 2 2.5e-009 2e-009.5e-009 e-009 5e-00 8e-009 7e-009 6e-009 5e-009 4e-009 3e-009 2e-009 e e Lambda(CSCNFA) Lambda() Lambda(CSCNFA) Lambda(RAWEM) 2 Pene ou coeffcen de corrélaon PLURI-facorelle r x enre ransformé e l un de deux ransformés 3. ( 6.5 ), ( 2.5) ( 6.5 ), (.5.5) Bea 'bea.x' Bea 2 'bea2.x' 6.0e e e e e-008.0e e e e e e e e-008.0e e e e Lambda(CSCNFA) -2.0 Lambda() Lambda(CSCNFA) Lambda(RAWEM) 5. ( 0.4), (5 6) ( 0.4), ( 6 3.5) Bea 2 'bea2.x' Bea 3 'bea3.x' Lambda(CSCNFA) Lambda() 2e-0.5e-0 e-0 5e e Lambda(CSCNFA) Lambda(RAWEM) On préend explquer le nombre mensuel d écolers ransporés par la SCUM (=CSCNFA) par le emps de raje par ranspor en commun ( =) e/ou par le revenu hebdomadare moen des ménages ( 2 =RAWEM), varables exraes du modèle à 8 observaons de l encadré 3, les penes éan calculées comme en (4-) & (4-4) avec des varables assujees aux BC ndquées. ous les graphes présenen de penes qu changen de sgne, à l excepon du cas. ) s on n ulse que la varable (emps de raje) pour explquer la varable CSCNFA (la demande C des écolers), l n exse pas de combnasons des e qu paragen les valeurs de en zones de sgnes opposés (cas ). Par conre, une régresson unfacorelle sur la seule varable RAWEM (Revenu hebdomadare moen des ménages) rend une nverson évdene des sgnes enre les pares du domane des e couver par la grlle (cas 2); 44

45 ) s on ulse ces varables explcaves ensemble, le sgne de dépend des valeurs des BC des aures varables e 2, cela pour des domanes de e condonnels à 2 (cas 3 e 5). C es auss vra dans l aure sens, pour le coeffcen 2, condonnellemen à (cas 4 e 6). Le sgne d un coeffcen de régresson es donc ben condonnel à la forme fonconnelle des varables, an dans le cas unfacorel que dans le cas plurfacorel. La conjoncon préendue consane s nverse e flucue avec la forme des varables. Alors commen fare rendre sens aux coeffcens qu on nous présene e quel es auomasable en permera une explcaon ule? La premère lame d un rasor auomaque Dénoons par LL ˆ ˆ 0(, ) la valeur de la log-vrasemblance assocée à un modèle comprenan ( ) noammen le erme parculer ˆ, don la pussance a éé so fxée a pror so esmée conjonemen aux aures paramères ˆ ( ˆ, ˆ,...). S on réesme ben le modèle, successvemen avec e avec, l sera losble de calculer ensue les deux sasques : (7) [ LL ˆ ˆ 0(, ) - LL ˆ ˆ (, ) ] e [ LL ˆ ˆ 0(, ) - LL ˆ ˆ (, ) ] fondées sur ces réesmaons. Elles on décalé d une consane vers la gauche e vers la droe, ce qu a produ la pare de valeurs ( ) (, ). S correspond en fa à un maxmum global, on rouvera oujours ( 0, 0) en (7); dans ous les aures cas, on aura au mons une valeur négave, vore deux s caracérsa un mnmum local. S par conre es arbrare, ou s sa valeur ad hoc a éé manpulée pour obenr le bon sgne de ˆ, on aura alernance des sgnes en (, ) dans un ordre qu dépendra du sgne de la pene de LL au pon LL ˆ ˆ 0(, ). Malgré que e ne soen pas esmés par cee procédure smple mas dépenden du chox d un rasonnable (par exemple 0.5 ou.00), l auomasaon de ce es smple pourra, s agssan de la réesmaon par deux fos des paramères ˆ pour chacune des varables prse à our de rôle, poser quelques problèmes de convergence numérque ou de maxma locaux. Cec explque que les aueurs de logcels qu auraen fa un pas dans ce sens, par exemple en réesman le modèle avec 0, successvemen pour chaque ˆ, hésen e lmen aujourd hu le nombre oal de BC esmables à un nombre rès fable, comme 2. Alernavemen, on peu envsager d applquer les ess sophsqués comme le quas-lelhood rao sasc proposé par Bae e al (205) qu fa pare de la léraure crossane sur les parcularés des BC (e.g. Cho & Ishda, 202), léraure qu n es pas encore sablsée. 45

46 4. Un es d élascés, à la sue de Sévène Pour garanr une capacé de lecure nuve des coeffcens don on aura assuré les sgnes par des ess bêa-lambda, e leur fare rendre sens, l fau en dérver les élascés, des nombres purs don l dée, née dans les modèles de nveaux, ser auss aux modèles Log. Conraremen aux coeffcens, elle a en effe l avanage d êre à la fos un nombre sans unés e d êre nuve : on décde mmédaemen s une élascé es rasonnable. On verra que la noon d élascé es applcable à oues les caégores de varables, an connues qu auxlares ou caégorques (booléennes), mas que son applcaon au Log, don les varables dépendanes son déjà normalsées, exge de ben précser la queson posée e d en moduler la réponse en enan explcemen compe des consanes spécfques don nous nous sommes dèjà préoccupés, e qu jouen un rôle mporan dans le calcul. 4.. Une premère noon nuve : l élascé de par rappor à La noon d élascé ulsée en économére proven vrasemblablemen des ravaux de phsque ou d ngénere réalsés au 9 ème sècle sur des sujes comme celu de la propréé phsque d'un corps de reprendre sa forme nale après suppresson de la sollcaon, ou de rebondr lorsque lâché d une cerane haueur : elle ne dépassa jamas l uné, au conrare des mesures économques qu on suv Orgne de l élascé smple par rappor à une varable posve Sens premer. S on s néresse à une varable explcave connue srcemen posve, la noon smple d élascé es le rao de deux varaons dsnces exprmées oues deux en pourcenage : celle de la varable dépendane e celle de la varable explcave d nérê. Leur rao es (le 00 devenan alors superféaore) : (8-A) Élascé de par rappor à e on écr, pour une foncon de régresson Box-Cox quelconque (8-B) Varaon de / nveau de référence de 00 ; Varaon de / nveau de référence de 00 r % 00 r % 00 ( ) K ( ) 0 u : r r où e son les nveaux de référence de de. Mas on préfère généralemen à cee mesure d arc la mesure en un pon : (8-C) (, ) où la lgne vercale sgnfe que la dérvée es «évaluée au pon r, r, r r r r e, r» pour les varables r d nérê e e «au pon» pour les aures varables. En fa, l es sage de reconnaîre d emblée que l évaluaon peu généralemen êre fae en n mpore quel pon de l échanllon e d ncorporer cee nformaon à la formule qu deven alors, plus explcemen c, en l absence d hééroscédascé de pe (-C) comprenan une varable Z m denque à : (8-D) (, ),, s où nous avons ajoué l ndce s (pour «sample») au smbole usuel, ndce qu sera défn sous peu., 46

47 L élascé n es pas la pene. Sauf excepon, par exemple dans le cas logarhmque ( 0), l élascé vare selon le pon d évaluaon, comprs pour une foncon lnéare ( ) de pene consane. Le rappor des valeurs de référence peu êre un ensemble de pons, ou leu vruel représenaf, par exemple celu des valeurs moennes des varables. On l évalue souven au pon moen de l échanllon, ce qu a l avanage que la valeur moenne de de correspond à l espérance mahémaque de cee varable s la foncon es lnéare. En conséquence, l ne faudra pas confondre l évaluaon au pon moen d un échanllon e la moenne des évaluaons faes chacune en un pon de l échanllon. L élascé «à la moenne» n es pas l élascé moenne calculée en fasan la moenne des élascés poncuelles. Le mleu de l ENPC vers 875, qunze ans avan les Prncpes de Marshall. Cee noon smple es souven arbuée dans la léraure à Marshall qu préend l avor découvere en 882 lors d un séjour à Palerme avan de la rendre publque en 890 dans la premère édon des Prncples of Economcs. En fa, l exse de bonnes rasons de reconnaîre pluô l anéroré de Sévène (877) 62 dans son cours sur les chemns de fer à l École Naonale des Pons e Chaussées. Mas la défnon commune à Sévène, averner ou Nördlng, reprse ou pas ensue par Marshall, suff-elle aujourd hu? Élascé smple ou échanllonnale de vs élascé d un momen de Reconnassance du caracère aléaore de. En fa l expresson (8-D) rae mplcemen la foncon de régresson qu fourn le coeffcen sans reconnaîre le caracère aléaore de. C es pour cee rason que Dagenas e al (987) on proposé dans un long développemen de 0 pages résuman la noon d élascé, e en l absence de erme reconnu à ce égard, de l appeler «smple» ou échanllonnale (d où l ndce supéreur s pour sample) pusqu elle n es calculée qu à parr des observaons, sans se préoccuper de l exsence de l erreur u e de sa dsrbuon. Elle es consdérée en quelque sore comme un résula de calage, pas d esmaon. Pusque es ben aléaore, on peu s néresser rgoureusemen à ous ses momens dans nore explcaon du nveau de, pour mémore ( ) K ( ) 0 u. On écrra srcemen, respecvemen pour les ros premers momens de (espérance e, écar-pe e asmére ) 63 e sans en explcer c les formules, oues complexes 64 s on se rappelle la défnon de E ( ) en (5) : (9) e E( ) ( ) ( ) (, ), (, ), (, ) E( ) ( ) ( ) Il es ben connu que, s le modèle avec erreur gaussenne ou juse rappelé es lnéare, l évaluaon smple fae aux valeurs moennes de e des es denque à celle du premer momen e que, s l es logarhmque, ces mesures son denques (Goldberger, 968) à celle de la médane m( ) : (20) s e E( ) m m( ) (, ) (, ) (, ) E( ) m( ) L élascé, une sasque dérvée elle-même aléaore. On peu en effe s néresser auss à la médane de parce que connaîre l mpac de sur le pon médan (e.g. l éleceur ou le revenu médan) es souven d nérê praque, même s les mpacs sur les moennes son les plus recherchés. 62 La noon d élascé éa commune dans les cours à l ENPC (e.g. Sévène, 877, e averner, 889) e ulsée dans sa formulaon mahémaque par un élève de l ENPC qu publa sur les coûs des chemns de fer aurchens dans les Annales des Pons e Chaussées (Nördlng, 886), comme l on vérfé Eelund & Héber (999) qu lassen enendre qu elle aura ben pu êre emprunée par Marshall qu lsa le franças e ca même Jules Dupu sur d aures pons, au emps de l Enene Cordale Vor les défnons au ableau On fera un développemen parel de ces formules à la secon

48 On ne calcule malheureusemen que rès raremen les mpacs sur la médane ou sur les momens srcs supéreurs de ; d alleurs, les mesures de la qualé d ajusemen des modèles prvlégen presqu nconscemmen l explcaon du nveau moen, ou espérance, de. Comben exse--l d analogues du R 2 défns sur l écar-pe ou l asmére de? E pourquo ce déser? Nous revendrons en secon 6. plus bas. En fa, la mesure elle-même de l élascé es aléaore pusqu elle ncorpore des varables aléaores, e on peu défnr des écars-pes de l élascé, mas nous ne développerons pas ces dées complexes e ponues c : l aléaore a, lu auss, ses rendemens margnaux décrossans, vore négafs Varables explcaves, comprs auxlares, conenan des observaons nulles Commen fare pour assurer la lsblé des résulas des modèles par un calcul des élascés s une pare mporane des varables explcaves es de naure caégorque, conraremen à ce qu a éé supposé mplcemen ou explcemen aux ableaux 4 e 5 ou dans les défnons (8)-(9)? Pour répondre, l es ule de dsnguer les 4 caégores de varables explcaves proposées au ableau 7 : ableau 7. Caégores de varables explcaves à dsnguer lors d un calcul d élascé Caégore Varable Valeur ransformable par une BC 0 lnéare Non posve 0 Ou 2 quas-dumm 0 3 dumm 0 ou c, une consane posve Non Ou, s accompagnée par une dumm assocée (vor C-3) Les élascés évaluées aux moennes échanllonnales e supposen mplcemen qu on s néresse à l mpac relaf sur en général du faceur en général. Qu en sera-l donc s on s néressa pluô à l mpac de lorsqu l arrve sur en général? Cee queson pore mplcemen sur des varables explcaves qu conennen des zéros; pour répondre le plus smplemen possble, connuons de supposer qu on s néresse aux mpacs sur en général, pluô qu aux mpacs sur des sous-ensembles de, même s cee référence sera ou à fa légme. A. Une varable quas-dumm S agssan d une varable quas-dumm, quelle formule ulser s on ne s néresse plus à son mpac en général mas seulemen lorsqu elle enre en vgueur? S on remplace par, sa moenne calculée seulemen sur ses valeurs posves, on peu réécrre les formules smple e srce comme su : s (2) (, ) e E( ) e (, ) E( ) où nous avons explcé le fa que les momens de dans (9) e (20) son ous condonnels, ce qu alourd l écrure, e où les foncons son évaluées au pon (,...,,..., K), ce qu auorsera de remplacer E( ) par E( ) s on souhaa renoncer à la référence générale. B. Une varable dumm Le problème des varables auxlares booléennes es que la dérvée parelle () des formules an smple que srces n exse pas, ce qu exge de reourner à une mesure dscrèe (arc) pour calculer la varaon en pourcenage de par rappor à la varable dépendane (ou à son espérance) : E 0 (22) ( ) E ( ) e (,...,,,,..., K ), (, ), où E ( ) 0 (,...,, 0,,..., K ). 48

49 C. Une mesure approxmée pour la quas-dumm e la dumm E, comme les mesures en (2) e (22) comporen un coû non nul d évaluaon de foncons à un pon aure que le pon moen, Dagenas e al (op. c.) proposen d ulser dans les deux cas une approxmaon don ls démonren le caracère rasonnable e e (23) (, ) (, ), e qu reven à mulpler la valeur calculée précédemmen comme s la varable en queson éa srcemen posve par un rao de la moenne calculée avec les seules observaons posves sur la moenne calculée avec oues les observaons. Dans le cas d une dumm chffrée 0 ou, on mulple la même valeur précédene par, l nverse de la proporon d observaons posves sur. Cee approxmaon es exace dans le cas lnéare. Plus généralemen, l usage de la mesure srce e d espérance éve ous les problèmes assocés au déroulé 2.A du ableau 4, problèmes que l on rerouve chez Blaloc & Smallwood (983) qu exgen que so posf e que le conenu de la grande parenhèse du déroulé so auss srcemen posf. Son usage perme d éendre le calcul des élascés aux varable conenan des valeurs nulles, noammen les varables auxlares (dummes) Les élascés dans les modèles Log mulnomaux S on applque à un Log mulnomal la noon smple défne plus hau, mas pour laquelle nous s n ulserons pas l ndce supéreur s de parce qu on ne dsngue pas (encore) pour ce modèle enre mesures échanllonnales e mesures srces d une élascé des pars de marché 65, l fau précser d emblée, dans ce ssème où chaque p dépend de M foncons d ulé «modales», la dfférence enre élascé propre e élascé crosée par rappor à oue varable 0. On verra que oues les expressons dépenden de pars ou de probablés calculées 66, ce qu me en jeu les consanes des foncons d ulé en (2-A) qu nous on déjà néressés e auxquelles nous revendrons Élascés smples de pars e de probablés Examnons, pour des formulaon Log Box-Cox de pars e de probablés, les expressons convenonnelles (srces, avec ndces d observaons, donc pour 0 ) des élascés dreces (ou propres) e crosées. Dans les deux cas, on vse à obenr la réacon de la populaon enère. On suppose d abord que l échanllon es comple, c es-à-dre non-endogène («no choce-based»). A. Élascés de pars dreces e crosées Pour les pars, on a dans la léraure les deux expressons suvanes s l échanllon es comple : (24-A) ( p, ) p p p j (24-B) ( p, ) p p j pj [Élascé drece ou propre d une par] [Élascé crosée d une par] qu possèden une srucure rasonnable selon laquelle un ceran mpac absolu d une varaon de mplque une élascé drece qu dmnue avec l mporance de la ème par en référence, e le conrare 65 On verra plus bas que le modèle Log désagrégé (de chox dscre) n es paradoxalemen pas un modèle aléaore (parce que c es la foncon V qu pore l aléa ). La queson de mesures srces de l élascé de la probablé ne s pose donc pas, conraremen au Log agrégé où elle es posée mas pas résolue hors usage de l esmaeur BZI dscué plus hau qu n adme pas de pars nulles. 66 Ulser les pars observées pour évaluer une élascé créée une erreur ssémaque qu, pour les évaluaons à la moenne, lu sera proporonnelle e commune aux élascés calculées pour oues les varables. 49

50 pour l élascé crosée, complémenare. De plus, comme le membre dro de (24-B) ne dépend que de varables aux ndces du mode, les élascés crosées son égales pour ous les aures modes j, propréé compable avec l axome IIA (d «Independence from Irrelevan Alernaves») de Luce (959) : on crée une pse cclable enre deux vlles e ses nouveaux usagers vendron dans les mêmes proporons de ous les aures modes (VP, avon, ran, auocar, deux-roues moorsés, covourage...) préexsans. B. Élascés de probablés moennes pondérées e évaluées à la moenne Pour les probablés, l conven de présener ans la probablé moenne (weghed aggregae elasc) s l échanllon es comple : (25-A) p p p ( p, ) p p j (25-B) p p j p ( p, ) j p p p j j p j p p j [Élascé drece ou propre d une probablé] [Élascé crosée d une probablé] don la srucure pondère la valeur de l élascé de chaque ndvdu par sa probablé de chox, comme au pon (a+b)/2 sué au dessus de la courbe de la fgure 4.A: l élascé agrégée calculée ans «par énuméraon échanllonnale (sample enumeraon)» rendra la mesure exace de l mpac agrégé de la varaon de (Hensher & Johnson, 98a) s l échanllon es sans bas. Une évaluaon à la moenne des observaons donnera une réponse rès dfférene (alve, 976), llusrée sur la courbe de la fgure 4.A; e même problémaque pour les penes, llusrée en 4.B Conraremen à (24-B), l élascé crosée en (25-B) dépend de varables aux ndces e j, ce qu mplque qu au nveau agrégé les élascés crosées peuven varer selon le mode (Ben-Ava & Lerman, 985) s leur évaluaon es fae par énuméraon échanllonnale. S l ne fau pas confondre valeur moenne pondérée (exace) e valeur (basée) évaluée à la moenne, cee dernère ser souven, par exemple par cohérence lorsque d aures composanes d un modèle complexe son évaluées à la moenne. Évaluer les élascés pondérées à la moenne reven à ulser l élascé en un pon, so pour (25-A), semblable à (24-A) : (25-C) ( p, ) ( p ), e pour (25-B), semblable à (24-B) : (25-D) ( p, ) ( p ). j Fgure 4. Valeurs moennes de probablés ou de penes e valeurs évaluées à la moenne A. Probablé moenne (weghed aggregae) e probablé évaluée à la moenne de a e b B. Une dérvée moenne (des valeurs aux pons a e b) fable qu deven fore s évaluée au pon moen Source : ran (2003, p. 34; 2009, p. 30). 50

51 C. Échanllons pondérés : une asmére enre régresson classque e logsque Il conven par alleurs de soulgner au passage, pour les cas de pondéraon d observaons, une dfférence concepuelle enre un calcul d élascé en régresson classque e un calcul d élascé en régresson Log dscrèe, vore en régresson Log agrégée s les observaons sur les pars on éé pondérées pour enr compe de leur représenavé. Lorsqu en régresson classque on s néresse à l élascé calculée à parr d esmaons obenues avec des observaons pondérées par leur représenavé, cee pondéraon réabl l ndépendance enre les observaon e perme d esmer correcemen les coeffcens e aures paramères (qu auremen seraen basés); e, lorsqu on calcule ensue les élascés, on n ulse pas dans le calcul les valeurs pondérées des mas leurs valeurs brues. Par conre, lorsqu en régresson Log on ulse les observaons pondérées d un échanllon endogène, on oben des esmaons sans bas de ous les coeffcens (sauf les consanes spécfques) mas le calcul de l élascé pour la populaon exge d ulser ensue les valeurs des probablés ndvduelles mulplées par leur représenavé ou pods lors de l esmaon (3-A). Ce usage des pondéraons n a ren à vor avec le réablssemen des consanes, nécessare par alleurs, suje dscué plus lon en Revenr en nveaux : élascé-pons de pourcenage ou de probablé Nous lman sans pere de généralé aux varables explcaves posves au sens du ableau 7, force es de consaer que ces formules (24)-(25) exprmen un changemen en pourcenage d un nombre qu es déjà normalsé, ce qu es conrare à la noon nuve d orgne (8-A), don la varable dépendane es un nveau. L applcaon mécanque de la noon d orgne aux p rend donc des varaons en pourcenage de nombres qu son déjà des pourcenages (des pars de marché) ou des probablés. Il a là une sore de perverson de la mesure d orgne défne sur des nveaux, perverson qu rend les résulas peu lsbles. A. La lsblé exge de revenr en pons de pourcenage ou de probablé Pour ben sasr le manque d nellgblé nuve de cee mesure d élascé for commune, vore unverselle, magnons qu une varable explcave, comme la fréquence de servce d un mode, so doublée. Une hausse de 5 pons de sa par de marché représenera une varaon de 00% (une élascé de la par égale à,00) s le mode jou de 5% de marché mas de seulemen 5,8% (une élascé de la par égale à 0,055) s l es domnan avec 90% du marché. On a donc oujours beson de la par de marché (ou de la probablé) pour ben comprendre e apprécer le caracère rasonnable du résula obscur présené. La léraure scenfque e professonnelle es remple de els résulas srcemen mpénérables, comme ceux du cas B 67 de l encadré 2, llsbles précsémen parce que les pars de référence ne son (surou) pas fournes. Pour fare rendre sens à de els résulas, l fau les ramener en pons, ce qu exge de mulpler les mesures (24)-(25) par les pars ou probablés calculées. Cee dée pouran smple e clare de Bolduc e al (989, p. 368) es absene des manuels les plus cés (Ben-Ava & Lerman, 985; ran, 2003, 2009; Orúzar & Wllumsen, 20) e des hsores de la modélsaon (Boce & Wllams, 205). Les élascés-pons de pourcenage son alors : p c p p p p p (26-A) (, ) (, ) p c p p p p p j (26-B) (, ) (, ) j j j pj [Élascé-pons de pourcenage drece] [Élascé-pons de pourcenage crosée] 67 Pour démonrer l arbrare des résulas lnéares, les résulas avec BC son exprmés dans les mêmes unés que les premers, celles des élascés propres de la par VP. Cela ne sgnfe en ren que ces élascés soen nellgbles au leceur : e elles ne le son ceres pas parce qu l lu es mpossble de devner la par de la VP dans l échanllon de 6 modes (les 5 aures éan : marche à ped, deux-roues, bus, ral e bus+ral). 5

52 E les élascés-pons de probablés son : (27-A) (27-B) c( p, ) ( p, ) p c( p, ) ( p, ) p p p p p p p p j j j j j p j [Élascé-pons de probablé drece] [Élascé-pons de probablé crosée] Nous sommes donc en présence de 4 élascés dreces (d une par, d une probablé; d une par-pons de pourcenage, d une probablé-pons de probablé) e de 4 élascés crosées. Sauf à s néresser à une observaon (ou caégore) parculère, les élascés de pars rapporées s évaluen habuellemen à la moenne e, dans le cas dscre, l fau précser la méhode d évaluaon : moenne ou à la moenne. B. Exemple : élascé-probablé e élascé-pons de probablé, moenne e à la moenne Nous examnons manenan au ableau 8 un exemple déallé d un modèle de chox dscre qu démonre de nouveau qu un leceur ne comprend que les élascés-pons e pas les élascés des probablés. Nous dsnguons enre élascés propres e crosées, e enre méhodes d évaluaon, comme su : Élascé propre Élascé crosée RAPPEL héorquemen pondérée mas évaluée à la moenne (les formules son les mêmes que pour les pars, so (24) e (26)) [Élascé (25-C) ( p, ) ( ) p (25-D) ( p, ) ( ) j p de la probablé] [Élascépons (26-A) (, ) c p p p (26-B) c( p, ) j p p j de probablé] Moenne ou pondérée (weghed aggregae) p p (25-A) ( p, ) p j p [Élascé (25-B) ( pj, ) de la p p la probablé] (27-A) c( p, ) p p p p (27-B) p p p c( p j, ) p j j j j [Élascépons de probablé] L exemple chos au ableau 8 es celu de l encadré 6 déclné en 6 varanes. On se rappellera que la varane présenée en colonne 6 de ce encadré corrge la problème de sgne de la varable coû en colonne 4. Son coeffcen es générque, c es-à-dre commun aux 4 modes consdérés (Ral, Ar, Auocar, VP), comme d alleurs ceux des aures arbus (emps, fréquence). Il s ag dans ous les cas d élascés dérvées de résulas obenus d une esmaon avec échanllon endogène selon (3-A), de Weghed Endogeneous Sample Maxmum Lelhood (WESML) : ces résulas ne son donc pas encore corrgées pour obenr les valeurs pour la populaon, comme on le recommandera à la secon plus bas. Le ableau 8 ne présene que les résulas pour la varable coû par avon : () à la lgne 2 de la secon 0, les résulas d élascé-pons propres déjà reprodus à la premère lgne de l encadré 6 son répéés; on rouve aux aures lgnes, 3 e 4 de la secon 0 les aures élascés propres ou juse rappelées plus hau; () aux 4 secons suvanes on reprodu, surlgnées en grs, ces 4 mêmes élascés propres accompagnées des valeurs crosées calculées, à chaque secon, pour les 3 aures modes. Les valeurs pour la secon 4 son présenées sous oues réserves parce que nous n avons pu rouver dans la léraure de calculs fas selon (27-A) e (27-B) qu nous auraen perms de vérfer nore mse en œuvre du concep d élascé-pons moenne (pondérée). Cee réserve fae, chossons le modèle de la colonne 3 e envsageons un doublemen du prx de l avon. On l à la lgne 4 que cela rédura sa par de 3 pons, une valeur 30% plus élevée que celle obenue en 52

53 lgne 2 par une évaluaon à la moenne (une llusraon de la dfférence ndquée à la fgure 4.A). S on n ava en mans que les élascés des probablés (lgne ou.2) e (lgne 3 ou 3.2), que comprendre sans rénrodure la par de marché de l avon pour décder s elle pourra rasonnablemen basser de 87% ou de 32%? Seules les probablés-pons on un sens clar! ableau 8. Élascé-probablé e élascé-pons de p évaluées à la moenne e moennes G. Quebec C-Wndsor Corrdor of Canada, domesc nerc flows (offcal VIA RAIL 987 daabase) From: Gaudr & Le Lezour (994) A. Busness rps (4 402 observaons) B. Oher rps (8 536 observaons) Column 4 Case Lnear Lnear Rounded elasc values 2 Sandard Box-Cox 3 Generalzed Box-Cox 5 Sandard Box-Cox 6 Generalzed Box-Cox Orgnal reference Model 8 Model 8 Model 46 Model 43 Model 48 Model Ar cos (access + n-vehcle) own elasces. Probabl a means Probabl pon a means Weghed aggr. probabl Weghed aggr. prob. pon Ar cos (access + n-vehcle) own and cross probabl a means elasces.. Ral probabl Ar probabl Bus probabl Car probabl Ar cos (access + n-vehcle) own and cross probabl pon a means elasces 2.. Ral probabl pon Ar probabl pon Bus probabl pon Car probabl pon Ar cos (access + n-vehcle) own and cross weghed aggregae probabl elasces 3.. Ral weghed aggr. prob Ar weghed aggr. prob Bus weghed aggr. prob Car weghed aggr. prob Ar cos (access + n-vehcle) own and cross weghed aggregae probabl pon elasces 4.. Ral weg. aggr. prob. pon Ar weg. aggr. prob. pon Bus weg. aggr. prob. pon Car weg. aggr. prob. pon General sascs Assocaed Box-Cox,00 0,28-0,22,00 0,48-0,02 Log-lelhood (rounded) Approxmaons pour une varable quas-dumm ou dumm Les approxmaons rasonnables pour une varable quas-dumm ou dumm 0 son semblables à celles que nous avons développées pour le modèle de nveaux en (23) mas l fau enr compe de proporons dfférenes d observaons posves par mode pour les varables de réseaux d un Log. On aura, successvemen pour les élascés propres des cas agrégé e dscre: (28-A) ( p, ) ( p, ) (28-B) p ( p, ) ( p, ) p, 0 e c ( p, ) c( p, ) e p c ( p, ) c( p, ) p, 0 53

54 où : () dans (28-A), désgne la moenne calculée sur l échanllon global s es une varable socoéconomque s e sur les observaons dsponbles par mode s es une varable de réseau n, au sens des ndces défns pour (2-A), e désgne les moennes correspondanes calculées seulemen sur les observaons posves ; () dans (28-B), p, 0 désgne la somme calculée seulemen pour les ndvdus pour lesquels es posf. E, s on évalue (28-B) à la moenne des observaons ce qu reven à ulser l élascé en un pon on obendra pour cee élascé-pons par rappor à une varable quas-dumm ou dumm : (28-C) c ( p, ) ( p, ) p ( p ) p, semblable à (28-A) e avec les mêmes défnons de e selon le pe de varable s ou n Corrger les consanes e les p en cas d échanllons endogènes On pourra, sue à nore présenaon des échanllons srafés ou endogènes, de la LL pondérée en (3- A) e des rérocorrecons des consanes par (5-D), avor l mpresson erronée qu une elle endogénéé es réservée aux données dscrèes : l es en fa fréquen de rouver des échanllons agrégés srafés don les consanes soen de ce fa basées e en mal de recfcaon ex pos. Ce bas d endogénéé des consanes do mpéravemen êre prs en compe lors du calcul des élascés, comme on souhae le démonrer e l llusrer présenemen par des exemples exrêmemen smplfés. Un cas connu de consanes de régresson qu changen. La suaon à évoquer es analogue à celle, meux connue, d un modèle de nveaux log-log don on aura dvsé par 2 la varable dépendane : les coeffcens de régresson obenus par l applcaon des MCO seron nchangés mas la consane sera modfée. En effe, pusque log (/2) = log - log 2, la consane redmensonnée sera égale à ( + log 2) : seul son coefcen 0 sera affecé par un doublemen de : la LL ne le sera pas. Le héorème de Mans e Lerman smplfé. Pour llusrer le bas d endogénéé des consanes suscepble d affecer un modèle de pars ou de probablés, envsageons un cas bmodal agrégé don Y, la fréquence d usage observée du mode, représene 50% de la vérable fréquence dans la populaon. Doublons la fréquence observée e réesmons le modèle : on peu alors monrer, comme l on fa Mans e Lerman (cés plus hau) d une manère plus sophsquée, que la seule conséquence asmpoque sera de modfer la consane de régresson. En effe, so S, la par : V Y e (29-A) S. V V2 Y Y e e S l on double Y, alors * S, la nouvelle par du mode, peu s écrre successvemen : 2 (29-B) S * 2 * * V o V V 2Y 2e 2e e e 2Y Y 2e e 2 e e e e e (/ 2) e e V * * * * V2 0 V 02 V2 V 02 0 V2, * où V ne conen pas la consane. Doubler la fréquence Y n affecea donc que la dfférence enre deux consanes, la nouvelle consane éan égale à l ancenne, ), plus ln( 2) : (29-C) ( 02 0 ln( 2)( e ) ln ( 2) ln( e ) ( ) ln ( 2) Résumé d un exemple franças. Inéressons-nous à un modèle de chox modal marchandses réel où l une des varanes du fer, la combnason fer-camon relée à des ransbordemens effecués à la fronère prénéenne, n es pas observée. Supposons que la fréquence rédue des observaons «fer» mplque une 54

55 basse de 50% de S fer, mas qu l n exse pour auan aucun bas d échanllonnage du mode «fer» causé par l absence des observaons sur les combnasons fer-camon. Le modèle 68 es ensue esmé avec les ros modes fer, ranspor combné e roue (Gaudr e al, 2008). La alle de l échanllon assure que les propréés asmpoques du héorème Mans-Lerman jouen. La sous-esmaon de la par vérable du fer aura sur les élascés calculées un effe varable, selon qu on s néressera aux élascés dreces ou crosées, vore aux élascés en pons de pourcenage. On sa que l élascé drece de la par du fer donnée par le modèle esmé es : (30-A) ( p, ) ( p ). fer fer Mas, comme le coeffcen n es pas asmpoquemen affecé par l absence pour ce mode de nombreuses observaons, l élascé drece vérable esmée sans bas sera dans nore cas : (30-B) où * * ( p fer, ) ( p fer ) * p fer désgne la par vérable du fer recalculée avec la bonne consane corrgée selon (5-B). S par * * exemple S p fer 0.05 e S p fer 0.0, la vérable élascé propre sera en valeur absolue de 6% nféreure à celle qu sera calculée à parr de la par observée pusque le rao (30-B)/(30-A) es 0,90/0,95. * Le faceur de correcon ( p ) ( p ) de l élascé drece esmée n es donc pas proporonnel au rappor enre les pars vérables e corrgées. fer fer Par conre, s on s néresse aux élascés crosées, par exemple à l mpac d un changemen du prx du ral sur la par du mode roue ou du mode combné, la vérable élascé crosée, calculable par * fer, ( pfer ) pluô que par fer, ( pfer ) sera haussée en valeur absolue pour ous ces modes par un faceur de correcon proporonnel au rappor enre pars vérables e corrgées * ( fer ) ( fer ) p p. Cee asmére de la correcon enre ce qu es propre (ajusemen non proporonnel aux rappors des pars) e ce qu es crosé (ajusemen proporonnel au rappor des pars) es plus complexe pour les élascés-pons de pourcenage mas elle s manen parce que les faceurs de correcon son alors * * ( p fer ) p fer ( p fer ) p fer e * 2 2 ( fer ) ( fer ) p p, respecvemen pour l élascé-pons drece e pour l élascé-pons crosée, ce derner faceur éan proporonnel au rappor des pars au carré. Il es donc nécessare de connaîre les bons aux d échanllonage par mode e de recalculer les consanes e les pars (ou probablés) pour obenr des élascés juses La fuure prse en compe des aléas Dans oues ces formules d élascés des pars e des probablés, la varable dépendane du modèle Log (2-B) es raée en varable déermnse : en apparence, l ne s ag que de mesures «smples» s ( p, ) sans reconnassance de la présence d une erreur aléaore don la dsrbuon auorsera un e calcul de ( p, ), vore de l élascé d un momen plus élevé de p. Un Log agrégé avec p aléaores encore en gesaon. Le problème a déjà éé soulevé plus hau lors de la dscusson de la maxmsaon drece de la vrasemblance (9-A)-(0-A)-(-A) dans le cas «pédagogque» du problème agrégé de pe suvan : 68 Apparemmen négré depus à MODEV, un modèle franças du Servce économe, sasque e prévson (SESP) du Mnsère des ranspors, de l équpemen, du oursme e de la mer. 55

56 (3) p exp( V ) u exp( V ) jm j j, où 0 p ( ), u N. 2 (0, u ) élarg en 986 par Dagenas (op. c.) au cas 0 p ( ), don nous n avons pas décr le déal, mas pour lequel la maxmsaon de la LL exge d évaluer des négrales mulples e de repecer d aures conranes complexes, ce qu en a ceres frené la mse en œuvre. Son développemen permera en prncpe de passer enfn, pour l élascé drece de pe (24), par s e exemple de ( p, ) à ( p, ). héorquemen parlan, une applcaon dscrèe fondée sur l ulé déermnse (Anderson e al, op. c.) pourra auss condure à une spécfcaon du même genre que (3), avec erreur addve e sans doue des dffculés d esmaon comparables à celles des formulaons agrégées. Il es rop ô pour dre s les ravaux récens sur les pars (Fosgereau & Palma, 205), qu devraen auorser les pars nulles, conduron ou pas à des formulaons auorsan le calcul de momens des pars e leurs élascés. L oxmore apparen d un Log dscre avec p fxes. S agssan des modèles de chox dscre dans la radon de l ulé aléaore où les e obéssen à des los de Gumbel ndépendanes de varance 2 2 /6, l ulé maxmale es, dans le cas homoscédasque j : (32-A) p exp( V / ) exp( V / ) exp( V / ), ou j j exp ln exp( Vj / ) j p. s Dans ce cas dscre, la seule élascé calculable es de pe «smple ou échanllonnal» (exprmée en pons ou pas, moenne ou évaluée à la moenne) parce que p, conraremen à (3), n es pas c une varable aléaore. En effe, p es déermnée à un paramère d échelle (non denfable e mplcemen fxé à plus hau) 69 e à un paramère de localsaon (l'espérance ou logsum) près, comme on le vo c : V V j (32-B) p exp ln exp j. Dans ces condons, «les momens cenrés d ordre 2 ne changen pas e les momens non cenrés, qu par défnon fon nervenr des pussances de l espérance, dépenden de cee dernère» 70. Cee deuxème voe d un examen des momens non cenrés rese à explorer, ans que de nombreuses dérvaons du Log comme par exemple celle de Leonard (982, 984), pour sorr de cee mpasse : c es apparemen un oxmore qu une probablé so en fa une varable fxe. L ulé es aléaore mas les probablés son fxes Un our de force! 69 Le problème ne dsparaî pas lorsqu on éude des faceurs d échelle varan ssémaquemen enre modes, par exemple lors de prse en compe d hééroscédascé (e.g. Algers & Gaudr, 994). De els faceurs dfférencés changen la par de l aléa dans la foncon V de chaque mode, des valeurs relavemen élevées l augmenan mécanquemen. En effe, un élevé dvse oues les varables de V, consane comprse. Plus formellemen, s une varance héérogène égale à { 2 2 /6} requer de dvser la pare fxe de l ulé par { } pour obenr l homoscédascé { 2 /6} de varables dsrbuées selon une lo de Gumbel ou de Webull, une varance égale à { 2 2 [f (Z ) ]/6} requer évdemmen de dvser par { [f (Z ) ] /2 } pour obenr l homogénéé { 2 /6} de la varance de chaque erreur. La foncon [f (Z ) ] srcemen posve caracérse l hééroscédascé par des varables explcaves Z, exacemen comme dans les modèles de nveaux (e.g. Gaudr & Dagenas, 979, ulsé pour u à la lgne du ableau ). La formulaon de Bha (995) es nulemen complquée e lourde. 70 Remarque de Maheu de Lapparen le 30 jun

57 5. Un es de subsuons, pour mere Lancaser en praque 5.. S néresser auss aux valeurs relaves des effes des varables explcaves? Des aux margnaux de subsuon (MS) ancpés? Le caracère rasonnable des élascés de ou de p par rappor aux varables explcaves ndvduelles suff à fare parler les coeffcens d un modèle, compe enu des de Suden qu exprmen leurs plages d ncerude, sauf s on a auss des ancpaons sur les effes relafs de varables parculères, par exemple ( d / ) / ( d / ) pour e e une cerane varable dépendane d. De elles ancpaons son souven suscées par la naure vecorelle des bens, au sens où Lancaser (966, 970) l a soulgnée e précsée, e par le désr connexe de déermner par exemple le consenemen à paer 7 pour chaque caracérsque d un ben. Ic on posera d dans un modèle de nveaux e d V dans un Log, où d p donnera la même réponse pour un Log Sandard mas pas pour un Log Généralsé comme (33). Don la valeur du emps épargné (Vde). Offran à l évdence des veceurs d arbus dsncs (e.g. un emps d aene, un emps dans le véhcule, un emps de correspondance, un confor, ec.), les modes de ranspor consuen des bens «non scalares» noores e reconnus comme els depus for longemps, ben avan Lancaser, comme le monre, de 89 à 920 e au-delà, la querelle enre Fran aussng e Arhur Pgou sur la naure des unés des servces de ranspor. Leur usage es en effe mprévsble sans mesures de l mpac absolu du coû e des prncpales caracérsques consuves du servce envsagé, mpacs don l es alors rès ule d examner auan les valeurs relaves que les valeurs absolues. L expresson ( d / ) / ( d / C) es celle du MS prncpal dans les ranspors e, e C désgnan respecvemen le emps e le coû, ce MS parculer désgne la valeur du emps épargné (VS ou value of ravel me savngs), expresson abrégée en «valeur du emps» (Vd). MS enre varables e propres au mode? Pour précser le rao à évaluer, affecons comme en (2-A) aux varables de coû e de emps un ndce supéreur qu repère, dans les foncons M M M M f ( C,..., C ;,..., ) ou V f ( C,..., C ;,..., ), le mode auquel les varables du rao feron référence. Le chox des varables propres ( ( ) / ) / ( ( ) / C ) pour ce MS es plus fréquen que les j j chox de varables crosées ( ( ) / ) / ( ( ) / C ) ou ( ( ) / ) / ( ( ) / C ). Le chox enre varables propres e varables crosées, lorsque les spécfcaons des foncons l auorsen, se pose à ce jour plus fréquemmen dans les équaons en nveaux que dans les Log, sauf s ces derners son srucurés par des foncons d ulé représenave à ulé non séparable comme : (33) j ( n ) j j ( n ) ( s ) 0 n( n) n( n ) s ( s) n j n s V don la facure, qu généralse (2-B), es celle du Log Box-Cox Généralsé (Gaudr, 978b), une ncarnaon parculère du Log Unversel (ou «Moher Log») de McFadden (975). Elle posule que l ulé n es pas séparable enre subsus auss proches que les modes de ranspor e que l écrure de foncons d ulé qu ne reen des N marces M x M des coûs e des emps que les valeurs propres mpose par là une «ranne de la dagonale» don l faudra se lbérer un jour. Les formulaons des colonnes 3 e 6 de l encadré 6 fon un pas dans ce sens, pas qu consse à nclure une seule varable (le emps VP) en sus des varables propres. On rouve à l occason d aures exemples comparables de l usage d une ou deux varables en sus (e.g. le aux d équpemen auomoble du ménage) dans oues les foncons 72 aures que celles des modes propres qu les abren déjà. La foncon 7 On peu s néresser par exemple, pour un ndvdu, à la somme vercale de ses n consenemens à paer pour chaque caracérsque du ben e, pour un marché, à leurs sommes horzonales sur l ensemble des ndvdus. 72 Ce qu oblge à ulser une forme fonconnelle ad hoc dfférene pour la varable crosée concernée, par exemple ln( j ) dans les modèles lnéares, sans quo les coeffcens ne son pas denfables. 57

58 (33) ssémase ce raval de reour vers l ulé non séparable de la mcroéconome classque : comme en héore classque de la demande, elle offre la possblé de subsus e de complémens, conraremen à la spécfcaon du Log Sandard qu mpose la subsuon e exclu la complémenaré enre modes ou aures chox modélsés. La Vd s analse faclemen enre varables propres du modèle Log Box-Cox Sandard Vd propres du Log Box-Cox Sandard, e chox du mode de ranspor La Vd es-elle jamas consane? Cee queson pore mplcemen sur la forme fonconnelle des varables C e. E l exse des mllers, e ceres davanage, de modèles Log aux foncons de pe (2-A) pour lesquels la Vd es consane parce que ces modèles on des foncons V lnéares dans ces deux varables 73, ce qu va de so s on fa appel à la formule de la Vd propre du Log Box-Cox Sandard e que l on mpose : (34-A) C V ( ) V C ( C ), C, Vd ( V ;, C ) C. [Vd propre d un modèle de pars] Mas généralemen cee Vd vare, comprs avec la manère d évaluer les dérvées, par exemple : pour chaque observaon ou à la moenne e C des s le modèle es agrégé ; e à la moenne échanllonnale ou (de préférence) à la moenne pondérée par les probablés des chox ndvduels, comme pour l élascé (25-A), s l s ag d un modèle dscre : (34-B) Vd ( V ;, C ) p V p ( ) ( ) C,,,, C p C V C p. [Vd propre d un modèle dscre] Pernence de Vd qu dépenden de la forme e des nveaux du emps e du coû. La pernence d une Vd qu n es pas consane s éabl par un consa des valeurs des BC du emps e du coû renconrées dans les cas réels. Le ableau 9 présene les résulas d une enquêe sur la fréquence des valeurs esmées (sans rapporer leurs plages de fablé) : on consae qu elles son généralemen dfférenes de.00. Valeur du emps e dsance. On peu monrer que ( ), la dfférence enre les pussances esmées, décde commen la Vd vare avec la dsance. Pour ce fare, on réécr (33-A) en ermes du prx lomérque ( P ), de la vesse en m/h ( S ) e de la dsance parcourue ( D ), ou en posan que C P D e ( S ) D, c es-à-dre : C (34-C) V,, S C D C C, C, C Vd ( V ;, C ) V C C P. Dans le cas lnéare ( ), la Vd es ben e oujours consane, donc ndépendane de la C dsance ; dans le cas de courbures égales ( ), la Vd n es plus consane mas demeure C ndépendane de la dsance ; enfn, dans le cas de courbures dsnces ( ), l mpac de la dsance sur la Vd dépend du sgne de ( ). Au ableau 9, la Vd augmene avec la dsance dans 24 cas sur 28, relaon 0 C C que nous accepons comme référence pour la sue. C 73 Il exse auss des cas mxes, plus ou mons jusfés, où par exemple le emps es de forme lnéare e le coû de forme logarhmque. 58

59 ableau 9. Valeurs des BC du emps e du coû dans 28 modèles Log Box-Cox Sandard Valeur du emps e dsance Modèles urbans nerurbans voageurs voageurs fre La Vd augmene avec la dsance La Vd dmnue avec la dsance Dsance d ndfférence D* e pussances du emps e du coû 3 La porée D* augmene La porée D* dmnue Dsance d ndfférence D* e pussance du emps 5 La désulé margnale du emps es crossane La désulé margnale du emps es consane 3 (fxés) 0 7 La désulé margnale du emps es décrossane Dsance d ndfférence D* e pussance du coû 8 La désulé margnale du coû es crossane La désulé margnale du coû es décrossane Réparon des 28 modèles Source ; Gaudr (200, ableaux 7, 8 e 9 avec les références aux 28 modèles). Pussances du emps e du coû e porée des déplacemens. Mas ( ) dce auss la porée des déplacemens. Pour le meux comprendre, consdérons l arbrage enre dmensons à ulé consane, C c es-à-dre pour ( d / ) ( d / ) C 0, ou Vd=, ce qu auorse,, C * d soler D, que nous appelons porée d ndfférence enre une uné de coû e de emps : (35) D * C,, P S C C C C C C C C C, 0. L exposan ( ) C, donné posf au vu de la lgne du ableau 9, rendra ( ) C s e rendra ( ) C C dans le cas conrare : ces deux éas ben défns C * ndquen que la porée d ndfférence D varera selon ( ). Pussances du seul emps (ou du seul coû) e porée d ndfférence des déplacemens. Le premer éa de choses, fréquen dans les marchés nerurbans ( cas sur 2 aux lgnes 3 e 4 du même ableau) semble relé au fa que nous avons généralemen (0 cas sur 2 aux lgnes 5-6-7). Dans les marchés urbans par conre, on observe presque oujours (0 cas sur 3 aux mêmes lgnes lgnes). Inéressons-nous donc c à C, don le parage enre valeurs nféreures ou supéreures à.00 semble dépendre du genre de marché consdéré, au conrare de C C pusqu on rouve dans 27 des 28 modèles du ableau 9, ndépendammen du caracère urban ou nerurban du marché. C 59

60 * Pour caracérser D en (36) 74, allégeons l écrure, pusque varables e paramères son propres, en supprman l ndce supéreur : C C CP * ln( ) ( ) D C S * * * * ln / (36-A) D ln( D ) D S D * où oues les composanes son nécessaremen posves excepé condu celu de * D : * D augmene avec s * ( S/ D ), 0. C ln S/ D / ( ) don le sgne e dmnue s C * ( S/ D ). Dans ce derner cas, une hausse de rédu les porées d ndfférence an dans les marchés nerurbans que dans les marchés urbans mas la désulé margnale du emps croî plus que proporonnellemen ( ) en mleu urban e mons que proporonnellemen ( ) en mleu nerurban Usage de la rosème lame e chox Log classque du mode de ranspor L examen des résulas relafs, ou MS, nous a perms de fare ros consas généraux, ce qu sgnfe qu on peu proposer des ess correspondans, spécfques aux foncons Log des modèles de ranspor de pe Log Box-Cox Sandard. Il s ag d un escaler à ros marches : ) es Vd-dsance de la «conjecure de Jara-Daz» : 0? La Vd augmene--elle oujours avec la dsance, comme le propose parfos la héore (Jara-Daz, 2007, Equaon 2.34, p. 6), an en urban qu en nerurban? Cee fréquence emprque observée de 24 cas sur 28 suggère d en oujours fare le es dans un modèle de demande de ranspor, fu-l voageur ou fre. L encadré 7 donne un exemple urban des conséquences praques d gnorer scemmen un résula 0. C ) es de dfférence enre pussances e porée d ndfférence: C? La porée d ndfférence des déplacemens D* augmene--elle, avec ( ) C, ou dmnue-elle, avec ( ) C? ) es d une conjecure emprque sur la pussance du emps rée du ableau 9: la confguraon eselle urbane ( ) e * ( S/ D ), nerurbane * ( ) e ( S/ D ), ou aure? Comme on ne sa généralemen pas s * ( S/ D ) C, le plus smple es de défnr une conjecure nsprée du ableau 9 qu donne à penser qu l exse 2 confguraons, selon la valeur de. Ce es smplfé, complémenare du précéden, demande alors s l exse une dfférence srucurale pque enre marché urban, caracérsé prncpalemen par une endance à (avec ), e marché nerurban, caracérsé par une endance à (avec ). S les fréquences relaves des lgnes 5 e 7 du ableau 9 se confrmen, les porées d ndfférence seron ssémaquemen rès dfférenes enre ces mleux. Imposer suresmera généralemen les porées urbanes e sous-esmera les porées nerurbanes. En esan par rappor à, on verra s le cas parculer consdéré confrme ou pas la conjecure d exsence d une lgne de parage unare de la pussance Box-Cox du emps enre l nerurban e l urban. C C 74 Cf. la démonsraon à l Annexe 3 qu développe auss (36-B), l expresson analogue pour * D C. 60

61 On voudra peu-êre auss explorer le rôle propre de la dsance, sans mposer comme en (34) le len enre les pussances des 3 varables, en formulan D C ( ) ( ) ( ) P S D V f ( P, S, D ) avec 3 BC, comme le proposen Gaudr & Lapparen (204) pour des rasons dfférenes assocées au sens de la varable dsance, elle-même jouan un rôle propre, en plus de e C, dans de elles foncons. Encadré 7. Pédagoge ludque Nuella e véré bêa-lambda : cas H (Orl-VAL) Pauvres décdeurs, des gens smples ncapables de comprendre la non lnéaré! Évoquons le chox éonnan fa dans une éude de l accès à Orl don les aueurs (Hver e al, 988), après avor claremen éabl avec des BC la non lnéaré du coû e du emps noammen pour la varable coû 75 essenelle à la réalsaon de leur manda exgean jusemen des ess de scénaros arfares dfférencés, affrmèren conre oue aene raonnelle, lorsque vn le momen de fare des prévsons pour le VAL d Orl avec leur modèle à 6 modes développé à cee fn : «Sans ner l nérê scenfque de ces opéraons [démonran la supéroré des esmaons faes avec des BC sur les formulaons lnéares], nous avons souhaé réalser l nroducon du VAL à parr des modèles lnéares défnfs, de manère que les décdeurs jugen par rappor aux résulas d un modèle répandu e plus smple à explquer» (op. c., p. 50). La neuralé scenfque. On peu penser, en s nspran de nombreuses comparasons déallées enre prévsons lnéares e non lnéares faes alleurs pour des modèles nerurbans, caracérsés auss par comme on le consae au ableau 9, que les prévsons de clenèle réalsées avec la C forme lnéare du modèle favorsaen le VAL (l nérare RER B+VAL, par opposon à l nérare RER C+raccord avec Orl) au mons au sens où ces prévsons, requses jusemen «sous dfférenes hpohèses arfares» éaen en fa plus favorables pour le premer nérare que celles auxquelles condusaen les formulaons non lnéares du même modèle, la dfférence enre varanes ne résdan que dans l esmaon des BC. On le comprendra s la porée déermnée par le modèle lnéare dans les arfs ( ) sous-esme (raccourc) la porée vérable des déplacemens vers ou en C provenance d Orl, porée en fa déermnée par, e donc plus longue. Les BC affecen e la porée des déplacemens e le chox enre nérares ou modes concurrens C Connassances ludques ou luddes? On rejea donc la forme BC opmale des ajusemens pour des rasons qu n avaen ren à vor avec la maxmsaon de la vrasemblance de l échanllon. Une pare de l erreur de prévson consaée par la sue releva alors sans doue du chox du modèle le plus «pédagogque» au dérmen du modèle non lnéare avéré le plus vrasemblable à l aune des données. À l évdence, la pédagoge de la smplcé ue la connassance e, dans un unvers non lnéare (au mons localemen), produ des erreurs de prévson évables lorsque les condons de ranspor son beaucoup modfées. Ou, le non lnéare es mons répandu que le lnéare e plus dffcle à explquer. En effe, «La cvlsaon, ça n es pas le Nuella, c es l effor.» (Régs Debra, le 28 avrl 205). 75 Les aueurs on esmé pluseurs varanes. La BC du emps éa oujours proche de.0 e celle du coû proche de 0.40 : ces valeurs apparennen ben au domane urban pque [ emps e ] e mplquen une valeur du emps crossane avec la dsance [ 0 ]. Leur modèle BC es prs en compe au ableau 9. emps Coû Coû 6

62 6. Aures spécfcaons e sasques accessbles par les algorhmes de RIO Valdé e lsblé des résulas de 3 modèles de référence suffsen-elles? L usage du rasor occamen rlame (sgnes bêa-lambda explcés, élascés e aux margnaux de subsuon calculés e publés claremen) défn plus hau pourra conrbuer au vase programme de Leamer (983) vsan à «ae he con ou of economercs». Il en consue un débu perfecble : nous aurons pu allonger la lse des ess requs en exgean par exemple qu en séres chronologques les corrélogrammes des analses Box-Jenns (970) soen oujours annexés e que, dans ous les cas, la colnéaré a éé éudée avec les ndces Belsle-Kuh-Welsh (Besle e al, 980; Erel-Rousse, 995), comme le permeen d alleurs ous les algorhmes de RIO. Mas, dans cee naon générale à la régresson Box-Cox, nous avons écaré les sujes relevan de la plombere économérque e numérque e nssé sur les condons de valdé ou de lsblé apparenes des résulas des modèles de référence dscués, un par classe (nveaux, pars, probablés) d nérê. Élargssemen des spécfcaons e des sasques des modèles : les ableaux 3 e 4. Pour compléer l naon enreprse, nous souhaons résumer dans la foulée d aures spécfcaons admssbles de modèles à esmer e d aures sasques que celles don nous avons déjà parlé, enrchssemens prs en compe e résumés aux ableaux 3 e 4. Ces ableaux donnen une dée plus juse de la porée des esmaeurs du maxmum de vrasemblance de RIO que ce qu en a ranspré dans les cas plus smples déjà raés plus hau. Ceranes des sasques nouvelles proposées, poran par exemple sur les momens de en nveaux, e ceranes spécfcaons Log enrches, comme les famlles Dog e IP, posen en effe des quesons de modélsaon qu méren d êre soulevées même s leurs lens comples avec la maxmsaon de l ulé resen parfos à explcer en accord avec la maxme de l économse amércan Edwn S. Mlls à l effe que «If wors, mus be lned o ul». Quelques exemples choss monreron que les nouvelles sasques proposées sur les momens du nveau de e les spécfcaons enrches des explcaons des pars e des probablés son ules e fonconnen. 6.. LEVEL e ses famlles.6 e 2. Les conenus don l es queson pour les modèles en nveaux son documenés dans les deux manuels explcafs de LEVEL (ran e al, 2008, pour L-.6; ran & Gaudr, 2008, pour L-2.). Nous souhaons nrodure surou au premer, au rsque de répéer cerans pons déjà abordés plus hau. Aures mplcaons de la reconnassance du caracère aléore de. Examnons le ableau 3. Alors que les noons d élascé des lgnes 0 à 2, nrodues plus hau en (9), reconnassen le caracère aléaore de, l élascé à la lgne 9 e le MS à la lgne 3 semblen exprmés seulemen en ermes échanllonnaux, comme à la lgne 3 du ableau 5. Qu en es-l de ce ableau à rallonge avec des MS e des élascés des momens de? Pour comprendre commen MS e élascés s applquen ben auss aux momens qu à la varable ellemême, l a leu d nsser manenan sur ceranes mplcaons du modèle non lnéare adopé. En néglgean sans pere de généralé hééroscédascé e auocorrélaon des erreurs au sens des lgnes à 3, on reendra donc dans l mméda : (37-A) avec 76 (37-B) w, 0, 0, ( ) K ( ) 0 ( v ) v v ( v), 0, v ln ( v), Il es possble, à ceranes condons, d applquer des ransformaons Box-Cox à des qu conennen des zéros. 62

63 e (37-C) w ( ) w ( ) E ( ) ( w ) dw ( w ) dw ( w ) dw, ( e 0), w ( ) w ( ) 2 (37-D) ( ) Var( ) E E( ) E( ) E( ) (37-E) où, pour les pussances r =,2,3, on aura : lorsque 0 r (37-F) E ( ) = 2 2, 3 2 e E( ) ( ) 3 ( ) 2 ( ) 2 E E E 3 ( ), où e E( ) 3 3. w ( ) 0 e v r ( w ) dw r ( w ) dw n exse r w ( ) pas = ( w) dw = r ( w ) dw w 0 0 s 0 car, pour (37-C), on a supposé que oue observaon es, comme dans un modèle ob à deux lmes, censurée par le bas e le hau ( e désgnan des valeurs lmes scemen posves communes à oues les observaons 77. Remarquons en passan que, el que soulgné au ableau 4, l ajusemen à calculé par le modèle (37-A) 78 don l erreur w es dsrbuée normalemen es ben (37-C), pluô que le déroulé suvan de (37-A) : ˆ (37-G) ˆ ˆ ˆ ( ) 0 ˆ. ˆ Inuon de la queson des momens de. Les échanllons qu l nous néresse d explquer dans les problèmes des ranspors présenen des varables qu son souven dsrbuées ben auremen que normalemen. Leur explcaon, comme en (37-A) par régresson non lnéare Box-Cox avec erreurs gaussennes, perme en prncpe d esmer les mpacs des varables explcaves sur leurs dvers momens (c les 3 premers e, e ) ce qu es résumé au ableau 0 e explcé au ableau e sur les aux de subsuon (leurs raos) enre eux, comme nous allons le documener plus bas. ableau 0. Dérvées des momens de, varable explquée par régresson avec erreurs gaussennes Cas Domane de Pussance Box-Cox 79 de D e E ( ) ( ) D ( ) D Dérvée d un momen de A B C = la dérvée du momen en queson es non nulle. 77 La formulaon d orgne de obn (958) ava des lmes dfférenes enre observaons. Elle n exge pas la présence d observaons lme dans l échanllon. Nore foncon de vrasemblance suppose leur absence. 78 Dans la régresson Box-Cox, l'erreur ne peu êre vramen normale parce que do êre srcemen posf. Fau-l alors formuler un foncon de vrasemblance pondérée qu enne compe de la probablé d'êre au dessus de la lme nféreure mposée à (e smérquemen pour la lme supéreure)? Une elle poson sera excessve: oue régresson explcave d un PIB ne peu pas non plus avor une erreur normale au sens src. La poson adopée dans l'algorhme es donc la suvane : () on suppose la normalé ; () on regarde ex pos s c'éa rasonnable en calculan un ndce de la probablé d'êre aux lmes ou proches d'elles en ulsan des lmes e défnes par l'usager. 79 Au sens src, les MCO du cas n mplquen aucune ransformaon de. 63

64 D e D D a E ( ) 0 cf noe ableau. Dérvées des momens de par rappor à ( w) ( w) dw, où R w = domane d négraon Rw w dw w lm ( ) w w ( w) dw 0 ( w) dw w 0 E( ) 0 2 ( ) E( ) E( ) 2 E ( ) 2 ( ) 0 w ( ) ( w) dw ( w) dw w ( ) 0 ( w) E( ) ( w) dw ( ) 0 ( w) ( w) E( ) ( w) dw ( ) 0 ( ) w w ( ) w v 0 ( w) ( w) E( ) ( w) dw v ( w) dw ( ) w 3 a ( ) e3 ( ) ( ) a ( ) 3 ( ) * 3 2 E( ) E( ) 2 2 E( ) E( ) 2 ( ) 3 E( ) 2( ( )) ( ) 3 4 ( ) ( ) 3 ( ) 3 E E E a ( ) 0 r r 0 *, où E( ) ( w) dw r r 0 *, où E( ) ( w) dw 0 *, où 0 0 w w ( ) r r r E ( ) ( w ) dw ( w ) dw Noe : dans les 3 secons du ableau, les dérvées des ros premers momens non cenrés de (-F) s obennen par : r ( ) r r ( w) ( w) dw, r,2,3 ; où w Rw w ( ) R désgne le domane d négraon. Pour les dérvées en présence d hééroscédascé e d auocorrélaon de w, vor le manuel (ran e al, Secon 2.5). 64

65 Affner nore regard sur la régresson non lnéare. Nous sommes en effe ous habués au cas dans lequel une varable, apparenan au domane [ ] e dsrbuée normalemen, es explquée lnéaremen (mplcemen avec ( )) par mondres carrés ordnares (MCO), ce qu mplquera qu une modfcaon d une varable explcave sera alors sans effe sur ( ) e ( ), respecvemen l écar-pe e l asmére de. E nous oublons faclemen le cas 2 où, dès que le domane de es lmé à des valeurs srcemen posves ( 0 ) comme cela es nécessare à l usage de la ransformaon Box-Cox (BC) sur, ( ) deven sensble aux varaons de (l asmére nulle de la lo gaussenne demeuran nchangée) même s le modèle demeure lnéare en sa varables dépendane. Plus généralemen, lorsque, comme dans les cas 3, 4 e 5, la non lnéaré de produ une varable don la dsrbuon es asmérque, ous les momens de son alors sensbles aux varaons de, propréé connue de la régresson «non lnéare en» que nous proposons d exploer pour en exrare les aux margnaux de subsuon (MS) enre ses momens. La non lnéaré du modèle es nécessare à une reddon de compe de l asmére observée de, mas cee même reddon se fa c avec une erreur de régresson gaussenne e de dsrbuon sphérque (homoscédasque e non auocorrélée). Dsnguer ans enre l asmére de e celle de l erreur d explcaon par régresson es ben connu e n es pas propre au modèle Box-Cox (37-A)- (37-F). Ce derner a ouefos l avanage de comprendre comme cas parculers de nombreux cas possbles, e nooremen celu de la Lo de Posson ulsée en accdenologe rouère l s ag en fa du cas 4 du ableau enrch d une conrane d hééroscédascé parculère comme chez Frdsrøm (999, 2000). Explquer ou explquer les momens de? Un échanllon d observaons sur es caracérsable par ses dvers momens que l on pourra appeler «momens échanllonnaux» e l ajusemen réalsé par la régresson s en rapprochera ben sûr plus ou mons, nécessaremen. Du pon de vue de la modélsaon, la queson es ouefos dfférene e plus dffcle que celle de ce ajusemen plurel. S on ne peu explquer sans explquer par le fa même e mécanquemen les momens de, ces derners son-ls jamas objes d un chox? Peu-l exser un modèle de comporemen des momens, pluô que smplemen de? S c es ben le cas, observé n es que le véhcule des chox fas sur ses momens, une sore de demande dérvée de chox qu poren en fa sur les momens de eux-mêmes. Sauf dans le cas lnéare, explquer n es plus la même chose qu explquer les momens de. L mpac aendu sur l ulé de la réalsaon d un momen aléaore de, momen ( ), devra alors dépendre de la naure du prospec e peu-êre du consdéré. Pour examner la queson, néressons-nous (comme pour les élascés plus hau) aux 3 premers momens cenrés de rappelés au ableau 2. ableau 2. Rappel de la défnon des ros premers momens d une varable aléaore 80 Momen Expresson analque En franças (En anglas) er (ou cenre) e E( g ), moenne mean 2 ème (cenré) 2 2 E ( g E( g), écar-pe sandard error 3 3 ème E ( g E( g) (cenré), asmére sewness 3 où le premer e, la racne carrée du second momen cenré, on les mêmes unés que celles de mas où le rosème, dvsé par la rosème pussance de comme chez Fscher, es un nombre sans unés qu es posf ou négaf selon la longueur relave des queues à droe ou à gauche. 80 Le mo aléaore ven du mo lan pour le jeu de dés (comme dans «alea jaca es»). On emploe auss sochasque ou au hasard, selon qu on prvlége parfos le mo grec ou arabe désgnan le même jeu. 65

66 Ulé e prospec : quels sgnes en alernance? En quo la naure du prospec nfluence--elle l ulé? Accepons pour nos fns que, par exemple, un rendemen fnancer so consdéré comme un ben, mas un reard ou un accden de ranspor ne le so pas : cec nversera les sgnes aendus des dvers momens, sans affecer leur alernance présumée ou le sgne de leurs aux margnaux de subsuon (des rappors enre deux dérvées parelles). Cee alernance ancpée du sgne de U ( momen ) selon que le prospec es un ben ou un mal, peu êre résumée ans: Momen er 2 ème 3 ème Prospec : ben Prospec : mal En conséquence, une varaon posve d un rendemen d un placemen es agréable (+) mas sa varablé ne l es pas (-) alors qu une hausse de son asmére à droe (mons négave à gauche, ou plus posve à droe, suvan sa naure) l es (+). De manère analogue, muas muands, un accden de la roue ou un reard ferrovare es déesable (-) e on souhae une hausse de son ncerude (+) mas pas une hausse de son asmére à droe (mons négave ou plus posve) car une grandeur plus grande n es pas agréable (-). Des momens chos, vore consrus. Nous ne sous-enendons pas c qu on pusse, dans une foncon d ulé, modfer le 3 ème momen cenré sans affecer le second, une mpossblé logque évdene soulgnée ardvemen par Broce & Garven (998), mas seulemen qu on pusse, emprquemen parlan, chosr enre des confguraons dfférenes des ros premers momens e révéler ans les arbrages enre eux. Dans nore exemple plus bas, les momens de dsrbuons caracérsables par leurs seuls momens e don les momens son consrus par l ndvdu, nous néressen (pour plus de déals, vor Gaudr, 206). Consdérons successvemen les arbrages, ou MS, enre varables, don on verra qu ls son les mêmes pour ou momen, e enre momens, don on verra qu ls son les mêmes pour oue varable Les MS enre deux varables explcaves de Lgne 3 : sur les MS enre deux varables explcaves de ou de ses ros premers momens. Une caracérsque des MS enre varables (lgne 3), don la preuve es fourne dans le premer manuel, mére d êre soulgnée par l équaon explce suvane qu n a pas l heur de l évdence : (38) MS, E( ) ( ) ( ) E( ) ( ) ( ) car elle d que le aux smple de subsuon qu on rouve en 2.A du ableau 5 vau auss pour les ros premers momens. Il es éonnan qu un MS enre varables calculé sans prse en compe du caracère aléaore du modèle so denque à celu qu on oben avec une elle prse en compe (à la condon que les varables e n apparassen pas comme Z dans (37-C) 8 ) Les MS enre deux momens explqués de Lgnes 4-6 : sur les MS enre momens de, pour oue varable explcave de. S l es rasonnable de consdérer que, dans les loeres 82 par exemple (Purfeld & Waldron, 997) e même alleurs, on chos enre des momens, ou s on souhae nfluencer la srucure de ces chox enre momens eux-mêmes, l fau s néresser aux MS enre les momens observés. Consdérons sur ce pon un développemen nuf e un exemple dans les ranspors nsprés drecemen des dées d Allas (987). m 8 Auremen, comme on le démonre dans l explcaon de l algorhme (ran e al, 2008, Secon 2.5), la forme analque (38) ne peu exprmer le MS des rappors de dérvées par rappor aux momens de. 82 L ar du mareng des loeres semble êre de rouver la bonne combnason de momens qu maxmse le revenu. 66

67 ableau 3. Prncpales esmaons e sasques de l algorhme LEVEL Algorhme LEVEL e ses 2 famlles L-.6 (AJD-05) L-2. (AJD-08) A. Modèle Forme e hééroscédascé K ( ) ( ) esmées conjonemen ( ) /2 0 ; exp m m comprs, pour 2 avec ou sans auocorrélaon sérelle (L-.6) 3 ou drgée, don spaale (L-2.) B. Paramères esmés e leurs de Suden 4 coeffcens,,, e u u Z v m m W Q Q2 Q( W ) W W r v v w Q Q2 2 v R v w R I ( ) R R, ; ;,, 0 m m, ; ;,, 0 m m, ;, 5 pussances des BC de -ncondonnels des, ; ;,, ; 0 m m, ; m;,, m;, ;, Suden 7 =0 -condonnels des, ; 0 m, ; 0 m 8 = -ncondonnels des,, m,, ;, C. Élascés* de par rappor à oue varable (e ou m 2 Z, avec ou sans Z ), évaluées à la moenne de chaque m Z (varable posve, quas-dumm, dumm) ou pour des sous-ensembles d observaons m s 9 -échanllonnale (, ) 0 -de l espérance de -de l écar-pe de 2 -de l asmére de m e E ( ) (, ) E( ) ( ) (, ) ( ) ( ) (, ) ( ) s (, ) e E ( ) (, ) E( ) D. aux margnaux de subsuon enre deux varables, (ou Z ) explcaves de e enre deux momens m, m de, évalués à la moenne 3 r s -enre, momen** pour ou 4 -enre me, m pour oue varable 5 -enre me, m pour oue varable 6 -enre m, m pour oue varable, MS, e, MS E m ( ) ( ) ( ) ( ) e, MS E MS ( ) ( ) E. Élascés de subsuon enre deux momens, évaluées à la moenne me 7 -enre me, m pour oue varable, m me m m m 8 -enre me, m pour oue varable me, m e m m m m e m m e m m 9 -enre m, m pour oue varable, m m * On peu demander les dérvées parelles, les élascés ou les deux à la fos. ** MS, don Vd, à la condon que les varables e n apparassen pas comme Z dans (37-C). m 67

68 Les r ou MS d Allas. Ce aueur formule l ulé correspondan à la valeur monéare V d un ceran prospec aléaore pour un ndvdu de rchesse C, comme : u(c, V) = û + R( 2,..., P,..., ), où û désgne l espérance mahémaque des u (les ulés cardnales correspondan aux dvers gans g e les P désgnan les momens d ordre p de ces ulés u ), e où le rao r= R/û, pour le cer sur ce pon: «can be consdered as an ndex of he propens for rs: for r = 0, he behavour s Bernoullan [onl he frs momen maers], for r posve, here s a propens for rs and for r negave here s a propens for secur» (op. c.). En fa, Allas, comme l le précse lu-même: «adds o he Bernoullan formulaon a specfc erm [R] characersng he propens o rs whch aes accoun of he dsrbuon as a whole...». Que sgnfe pour lu cee prse en compe de l ensemble des momens du prospec aléaore en queson? Elle sgnfe, pour reprendre l exemple ulsé plus hau, que, s on fa par exemple un ceran placemen fnancer, on s néressera au mons à : () son rendemen moen E ( ) ; () l écarpe 83 de ce rendemen ( ) ; () l asmére du rendemen, ou rsque qu l subsse pluô une hausse (upsde rs) ou une basse (downsde rs) ( ) ; (v) e en prncpe aux momens supéreurs comme l aplassemen (un concep mons clar que le précéden), vore plus élevés encore. En se lman à ceux qu son décrs au ableau 2, l exse alors ros r d Allas ou MS dsncs enre eux (les nverses éan compés) défns de manère parfaemen analogue aux valeurs du emps : (39) U ( momen ) U ( momen j) ( momen j) ( momen ), don le sgne dépend de la pare consdérée, c es-à-dre (en fasan absracon du sgne négaf) : (39-A) (39-B) (39-C), E( ) E( ) E( ) MS ( ) ( ) ( ), E( ) E( ) E( ) MS ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) MS ( ) ( ) ( ) e e où le premer, au vu de ce qu a éé d plus hau, es sans unés, mas ceses pas les deux aures. Il es démonré, dans le premer manuel explcaf AJD-05, un aure résula éonnan à l effe que ces MS son ben communs à oues les varables d une même régresson : le aux de subsuon enre enre deux momens e j es ndépendan de l consdéré: ( momen ( )) ( momen j( )) ( momen ( )) ( momen j( )),, (39 bs) même s les dérvées parelles d un momen par rappor à des varables explcaves e dsnces dffèren ben sûr enre elles selon (38) : [ ( mom. ( )) / ] [ ( mom. ( )) / ]. Un exemple de MS enre momens d accdens de la roue. L exemple smplfé ré des ranspors es celu de deux équaons explcaves de la fréquence des accdens rouers par caégore de gravé 84 : avec dommages corporels (morels ou avec blessures), avec dommages maérels seulemen. On suppose par alleurs que chacune des deux équaons du «ssème de demande» auorse l usage en propre de BC sur sa varable dépendane g e sur ses varables ndépendanes, comme su 85 : (-I) ( ) K ( g ) g g g0 g g u, g=,2. où, pour smplfer l écrure, les mêmes varables explcaves (=,,,, K) nervennen dans les foncons, applquées c aux données mensuelles de l Allemagne de l Oues (modèle,,, 83 2 L écar-pe es la racne carrée de la varance, comme cela es défn au ableau La classfcaon enre ces caégores de gravé ordonnées es fae dans les rappors de polce. 85 L hééroscédascé e l auocorrélaon des résdus son néglgés c à des fns d exposon. 68

69 SNUS-2.5 ; Blum & Gaudr, 2000) e le Québec (modèle DRAG-, Gaudr, 984). On consae à la fgure 5 que les dsrbuons des accdens par régon son oues asmérques 86 e que, dans le cas des accdens corporels, la premère l es foremen à gauche e la seconde modérémen à droe : Fgure 5. Coeffcens d asmére de la dsrbuon du nombre mensuel d accdens de la roue Accdens maérels Allemagne de l Oues, Accdens corporels Provnce de Québec, *Les accdens de la roue son défns de la même façon dans les deux errores, mas on consae une asmére (mesurée par, le coeffcen Fscher-Pearson du ableau 2) des accdens corporels à gauche en (B) e à droe en (D). L encadré 8 présene les résulas de ce modèle smplfé : le modèle d orgne scnda les accdens corporels enre accdens morels e accdens avec blessés e analsa auss les subsuons enre aux de gravé (morbdé e moralé). Quelques commenares son de mse: ) on remarque d abord que le premer momen des varables explquées es meux ajusé par la régresson que les momens plus élevés, comme on le consae en comparan leurs valeurs dans l échanllon aux valeurs calculées (évaluées so à la moenne des varables ou à la moenne des momens des ajusemens ndvduels). Comme les modèles de régresson son consrus (nuvemen ou formellemen) pour ben explquer le premer momen, e en néglgean les momens supéreurs explqués auomaquemen e sans les jamas regarder, cela ne surprend guère ; ) en fasan absracon des sgnes 87, les aux de subsuon calculés son proches, an enre les deux premers momens de chaque caégore d accden qu enre les caégores. Par exemple, les conduceurs accepen une hausse de la probablé d accden avec dommages maérels d à peu près 20 pons (23 en Allemagne e 5 au Québec) conre une augmenaon de l ncerude (une dmnuon de la cerude) d avor un accden maérel d une uné (d écar-pe). Par alleurs, ls échangen une hausse des accdens maérels d à peu près 2-24 unés en moenne conre une hausse de l ncerude (une dmnuon de la cerude) d accdens corporels d une uné (d écar-pe). 86 La méhode a auss éé applquée aux durées asmérques des rajes en Île-de-France (Gaudr, 205, 206a). 87 Comme on le vo dans les cases surlgnées de grs e encadrées de nor, les sgnes des aux de subsuon son les mêmes dans la pare H e la pare I du ableau excepé pour les accdens corporels (UPS) en Allemagne, une suaon qu sera explcable par l absence de lmes de vesse sur 75% du réseau de m d auoroues, absence qu rendra alors les conduceurs rscophobes alors que les aures sgnes du ableau son compables avec une rscophlle. 69

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