La géodésie. 1 Définition. 2 Les formes de la terre. La Terre : géoïde. La Terre : sphère. La Terre : ellipsoïde

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1 La géodésie 1 Définition La géodésie est la science qui étudie les formes de la terre ou d'une partie de la terre. Elle a pour but également d'en donner une représentation plane. La géodésie tire son nom des mots grecs γη (Terre) et δαιω (je divise). 2 Les formes de la terre La terre a une forme très irrégulière puisqu'elle est constituée de plaines, de montagnes, de fosses océaniques. Mêmes les océans et les mers n'ont pas une forme régulière, mais leur détermination est plus facile. Cette surface océanique, supposée prolongée sous les continents, prend le nom de géoïde (du grec geos = terre et eidos = idée, apparence). Le géoïde est une surface physique équipotentielle (même potentiel) qui est constamment perpendiculaire à la direction du fil à plomb. Elle sert de référence au système altimétrique donnant des altitudes. Le géoïde en France a été modélisé et des grilles de conversion permettent de passer des valeurs d'altitudes à des hauteurs ellipsoïdales avec une précision centimétrique (voir système géodésique). La Terre : géoïde Cependant pour la représenter en première approximation nous adoptons une sphère. Cette forme est suffisante pour les applications courantes. La Terre : sphère Pour pouvoir la représenter avec plus de précision, les mathématiciens l'assimilent à une surface mathématique que l'on appelle un ellipsoïde et qui est une sphère aplatie aux pôles. Cet ellipsoïde est donc un modèle mathématique approchant la forme réelle de la terre (géoïde) et permettant d effectuer avec précision des calculs de position. La Terre : ellipsoïde J.BAQUIE Ing. E.S.G.T. - Notions de géodésie 2013/2014 1/47

2 Une fois ses dimensions définies, cet ellipsoïde doit être positionné par rapport au centre de la terre et orienté par rapport à son axe de rotation. Il existe donc autant d'ellipsoïdes que l'on veut selon la forme et la position choisie. D'une façon générale, il y a deux types d'ellipsoïdes : les ellipsoïdes globaux qui sont définis pour représenter la totalité de la terre et qui tendent à se généraliser, notamment le IAG-GRS 80, utilisé pour le système GNSS (GPS). géoïde Ellipsoïde global Fig. 1 : Ellipsoïde global les ellipsoïdes locaux qui sont définis par les pays pour représenter la partie de la terre qui intéresse ces pays. géoïde Pays Ellipsoïde local Fig. 2 : Ellipsoïde local Les ellipsoïdes sont les bases des systèmes géodésiques sur lesquels nous allons positionner des points ou nous positionner. Mais ils ne sont pas développables 1. 3 Les mesures à la surface de la terre 3.1 Erreur sur les distances Nous pouvons dans un premier temps considérer les distances mesurées sur le terrain comme horizontales. Par contre les distances à prendre en compte seront les distances sur l ellipsoïde pour tous les travaux qui devront être rattachés (voir cours rattachement). 1 Une surface développable est une surface que l'on peut mettre à plat sans l'étirer. J.BAQUIE Ing. E.S.G.T. - Notions de géodésie 2013/2014 2/47

3 Nous allons démontrer dans ce paragraphe qu'en topométrie les distances mesurées sur une surface sphérique (ou ellipsoïdale) sont assimilables, à une erreur près négligeable, à la corde ou la tangente. B' e s A I B R N Ô O Fig. 3 : Distances assimilables La distance AB» = R.O µ va servir de distance de référence et sera appelée D. Nous allons calculer l'écart de cette distance par rapport aux distances rectilignes AB' et AB. AB' = R.tan Oµ La fonction tangente peut être assimilée à son développement limité car l'angle Ô est un petit angle. µ µ µ 3 µ 5 O O tan O» O Nous allons garder uniquement les deux premiers termes J.BAQUIE Ing. E.S.G.T. - Notions de géodésie 2013/2014 3/47

4 D'où æ» µ µ µ µ 3 ö O e AB' AB R.tan O R.O R O Oµ = - = -» + - ç 3 çè ø Soit Oµ 3 e = R. 3 Or µ AB» D O = = R R D R Alors e R. 3 3 D e 2 3.R Pour une distance D de 10 km et un rayon de 6379 km cela donne un écart de 8mm, donc complètement négligeable en topométrie. De même æµo ö AB = 2.R.sin ç çè 2 ø Le sinus peut aussi être assimilé à son développement limité : µ µ µ 3 µ 5 O O sin O = O ! 5! En gardant ici aussi uniquement les deux premiers termes. æ 3 µ ö æo ö 3 µ µ µ» O µ O 2 çè ø µ µ O e = AB- AB = 2.R.sin - R.O» 2.R. R.O R.O R. R.Oµ - - = ç çè ø æd ö 3 Oµ ç çèr ø e = - R. = - R D e 2 24.R Cet écart est huit fois plus petit que le précédent donc parfaitement négligeable aussi. 3.2 Erreur sur les altitudes Toujours sur la figure 3, nous allons utiliser le théorème de Pythagore. Soit BB' = e s et AB' D, nous pouvons écrire : R N 2 + D 2 = (R N +e s ) 2 En développant : R N 2 + D 2 = R N R N.e s + e s J.BAQUIE Ing. E.S.G.T. - Notions de géodésie 2013/2014 4/47

5 Le terme e s est petit et du second degré pourra être négligé et en simplifiant : D 2 = 2.R N.e s D où 2 D es 2.R En prenant une distance de 1 km nous obtenons une erreur de sphéricité de 7,8 cm. Cette erreur n'est pas négligeable. Nous verrons dans le cours de nivellement direct comment prendre en compte cet écart. 4 Le réseau de nivellement N 4.1 Historique Il y a eu en France trois réseaux nationaux : "Ce fut par circulaire du 15 juillet 1857 qu Eugène Rouher, ministre l Agriculture, du Commerce et des Travaux publics, lança le premier nivellement général de la France. Le Conseil général des ponts et chaussées en confia la mise en œuvre à Paul Adrien Bourdalouë ( ). Reconnu pour sa direction du nivellement de l isthme de Suez (sur lequel la construction du canal s appuya), cet ingénieur avait perfectionné les méthodes de nivellement et instruments de mesure (grands niveaux à bulle et à lunettes, mires parlantes). Les premières données recueillies pour le nivellement général de la France furent levées fin septembre 1857 à Paris, le long de la Seine. Les opérations se poursuivirent à travers toute la France jusqu en avril 1863, par le soin de brigades comprenant un opérateur, un lecteur et deux portes mires. Ces brigades arpentèrent ainsi des lignes qui suivaient des voies de communication : fleuves, rivières, canaux, voies ferrées, routes impériales et départementales, chemins vicinaux. À chaque kilomètre environ, l emplacement référencé fut signalé par des repères ou plaques métalliques, généralement avec la mention de l altitude. Le modèle type de repère métallique ne fut cependant adopté que par décision ministérielle du 15 novembre 1858, soit plus d un an après le début des opérations. Fig. 4 : Repères Bourdalouë Les altitudes furent tout d abord rapportées au niveau moyen de l océan observé à J.BAQUIE Ing. E.S.G.T. - Notions de géodésie 2013/2014 5/47

6 Saint-Nazaire ; les différences sensibles constatées le long du littéral conduisirent finalement à la décision ministérielle du 13 janvier 1860 fixant le point fondamental le «zéro Bourdalouë» au niveau moyen de la Méditerranée, à 40 centimètres audessus de l échelle des marées observée au fort Saint-Jean, à Marseille." (Archives Nationales). En 1878, il s'avéra nécessaire de vérifier et de compléter le réseau Bourdalouë. Ce réseau est entrepris en 1884 et est confié à l'ingénieur Charles Lallemand. Il est rattaché au niveau moyen des mers par un marégraphe totalisateur (appareil muni d'un flotteur et permettant d'enregistrer le mouvement des marées et ainsi de déterminer le niveau moyen de la mer) installé dans l'anse Calvo à Marseille qui fonctionnera du 1er février 1885 au 1er janvier (Voir annexe 1). Fig. 5 : Mécanisme du marégraphe Le zéro ainsi déterminé correspond à la cote 0,329 de l'échelle du Fort Saint-Jean soit 71 mm au-dessous du zéro BOURDALOUË. Un contrôle sera effectué par 19 marégraphes et 11 médimarémètres (appareil inventé par M. Lallemand) situés dans différents ports français. Fig. 6 : Bâtiment supportant le marégraphe Le zéro de nivellement Lallemand ainsi déterminé est dit "Zéro Normal". J.BAQUIE Ing. E.S.G.T. - Notions de géodésie 2013/2014 6/47

7 La pièce qui symbolise le marégraphe de Marseille est un rivet de bronze dont la calotte est constituée d'un alliage extrêmement résistant de platine et d'iridium qui a été enchaîné dans une plaque de granit scellée dans les rochers à une côte de 1,661 mètre au-dessus du niveau de la mer et est appelé repère fondamental. Fig. 7 : Repère fondamental de nivellement Depuis 1897, le marégraphe (classé monument historique) continue de suivre avec précision les oscillations de la mer et un géomètre de l'ign continue chaque semaine à remonter le mécanisme et à noter les mesures du marégraphe. Depuis une dizaine d'année, en parallèle de l'appareil d'origine un marégraphe numérique a été installé. Le dernier réseau en vigueur est le réseau NGF IGN 1969 : établi de 1962 à 1969 par l'institut Géographique National. On a conservé comme point de départ le "Zéro Normal" défini par Charles Lallemand. C'est ce réseau qui est actuellement le réseau de nivellement officiel en France métropolitaine. Ce réseau est régulièrement recalculé (calcul de compensation). Ainsi, les cotes des repères de l'ign 69 par rapport au Zéro Normal peuvent avoir été modifiées depuis la première détermination de l'altitude des repères en Pour la Corse, le réseau est le NGF IGN 78 qui a été fini en Constitution du réseau Le réseau actuel NGF IGN 1969 s'appuie en grande partie sur les mesures du réseau N.G.F. de C. Lallemand qu'il complète et s'en différencie essentiellement par les moyens de calculs. se présentent sous des formes diverses : Bourdalouë Le réseau est constitué de mailles (voir carte page suivante), c'est à dire de polygones formant des boucles. Le long des sections, parties communes à 2 polygones voisins, sont disposés des repères qui peuvent être des médaillons, consoles, boules ou rivets. Fig. 8 : Repère Médaillon Les données descriptives des repères de nivellement sont accessibles par le moyen d une fiche signalétique. Chaque repère possède sa fiche et chaque fiche correspond à un repère et un seul. J.BAQUIE Ing. E.S.G.T. - Notions de géodésie 2013/2014 7/47

8 Il y a quatre ordres imbriqués les uns dans les autres, du plus précis (1er ordre) au moins précis (4ème ordre). Fig. 9: repères console et boule Le territoire national comprend 40 polygones fermés de 1er ordre. Chaque polygone de 1er ordre est divisé en 7 mailles de 2ème ordre. Chaque maille de 2ème ordre est divisée en 10 à 15 mailles de 3ème ordre et à l'intérieur des mailles de 3ème ordre, on nivelle des traverses de 4ème ordre. Fig. 10 : Extrait du réseau de nivellement Les nombreux profils de rivières, nivellements réalisés le long des cours d'eau de 1910 à 1970, sont considérés comme des traverses de 4ème ordre. J.BAQUIE Ing. E.S.G.T. - Notions de géodésie 2013/2014 8/47

9 Ordre Longueur (km) Nombre de repères Précision (écart-type) 1 er ,0 mm 2 ème ,3 mm 3 ème ,0 mm 4 ème ,6 mm Profil de rivière environ environ Total environ environ La numérotation est composée des lettres de chacune des mailles Exemple de numérotation : 1er ordre F'L'-26 Entre les mailles de 1 er ordre F' et L'. 2ème ordre F'.ED-32 Dans la maille de 1 er ordre F' et entre les mailles de 2 ème ordre E et D. 3ème ordre F'.E.N3P3-19 Dans la maille de 1 er ordre F', dans la maille de 2 ème ordre E et entre les mailles de 3 ème ordre N3 et P3. 4ème ordre F'.E.N3-78 Dans la maille de 1 er ordre F', dans la maille de 2 ème ordre E et dans la maille de 3 ème ordre N Ecart entre le géoïde et l'ellipsoïde L'écart entre les altitudes H et les hauteurs ellipsoïdales h (voir coordonnées géographiques p.13) est appelé ondulation N avec : h=h+n En France la transformation de l'altitude en hauteur ellipsoïdale peut être obtenue à l'aide de la grille RAF09 (Référence Altimétrique Française de 2009). "Cette grille permet donc de calculer les altitudes de points connus en RGF93, et d'effectuer du nivellement par GPS en France continentale. La grille RAF09 a été obtenue par comparaison et adaptation du modèle de géoïde QGF98 aux points GPS nivelés du Réseau de Base Français de l'institut Géographique National. La précision d'opérations de nivellement par GNSS s'appuyant tant sur le RGP (Réseau géodésique Permanent) que sur les points du Réseau de Base Français et utilisant RAF09, estimée par des tests indépendants, est de l'ordre de 2 à 3 centimètres si les mesures et traitements GNSS sont de qualité suffisante" (Doc I.G.N). La RAF09 se présente sous la forme d'une grille en coordonnées géographiques RGF93, en degrés décimaux. Le pas de la grille est 0,025 en latitude, 0,0333 en longitude, soit un point tous les 2,7 km environ, ce qui permet une interpolation bilinéaire si on ne recherche pas une précision d'interpolation meilleure que le centimètre. La grille RAF09 a été intégrée dans de nombreux logiciels GPS et dans le logiciel CIRCE distribué gratuitement par l'ign 2. 2 L'Institut national de l'information géographique et forestière, anciennement Institut géographique national du 27 juin 1940 au 31 décembre 2011, dénomination dont il a conservé l'abréviation IGN, est un J.BAQUIE Ing. E.S.G.T. - Notions de géodésie 2013/2014 9/47

10 4.4 Le champ de pesanteur Le géoïde est une surface équipotentielle du champ de pesanteur qui correspond approximativement au niveau moyen des mers. Les points sur la terre sont soumis à deux forces : La force centrifuge due à la rotation de la terre. La gravitation. Sur une même verticale ces deux forces ayant des normes différentes cela conduit à des pesanteurs dont la direction et la norme sont différentes. Fig. 11 : Indication de la pesanteur Comme nous pouvons le voir sur la Fig.11, du fait de pesanteurs différentes, les surfaces équipotentielles ne sont pas parallèles. Cela conduit à avoir des altitudes différentes suivant le chemin suivi pour aller d'un point à un autre sur des surfaces différentes. Les altitudes sont dites normales, elles prennent en compte un modèle utilisant des mesures de pesanteur réelle. établissement public à caractère administratif ayant pour mission d'assurer la production, l'entretien et la diffusion de l'information géographique de référence en France. J.BAQUIE Ing. E.S.G.T. - Notions de géodésie 2013/ /47

11 5 Les coordonnées géographiques Le méridien origine est le méridien international de Greenwich 3. La longitude d'un point est l'angle que fait le plan du méridien passant par ce point et le plan du méridien d'origine (Greenwich). Elle se compte de 0 à 180 degrés vers l'est ou vers l'ouest. Représenté sur le schéma par la lettre. La latitude d'un point est l'angle que fait le rayon de la terre passant par ce point avec le plan de l'équateur. Elle se compte de 0 à 90 degrés vers le nord ou vers le sud. Représenté sur le schéma par la lettre. Sur l'ellipsoïde, la latitude est l'angle que fait la normale du lieu par rapport au plan de l'équateur. Il est à noter que les normales ne convergent pas au centre des masses de la terre. Fig. 12 : Longitude/latitude P A B E' O A B E P' Fig. 13 : Normale en un lieu 6 Les systèmes géodésiques Un système géodésique est un ensemble de paramètres qui définit mathématiquement la forme de la terre. Il est constitué de : Un centre de la terre défini comme centre des masses en fonction des connaissances scientifiques en date de son calcul. Un système d'axes O, X, Y, Z 3 Sur l'ellipsoïde de Clarke (1880), le méridien de Paris (observatoire) est à 2 20' 14, 025" E soit 2, gr E du méridien de Greenwich. J.BAQUIE Ing. E.S.G.T. - Notions de géodésie 2013/ /47

12 . Fig. 14 : Système cartésien Un ellipsoïde. Des points de référence sur la terre. Un système géodésique est constitué du choix d un ellipsoïde et d un ensemble de paramètres qui permettent de se positionner sur la terre et qui après transformation permettront d obtenir une carte. Les ellipsoïdes sont caractérisés par : le demi grand axe a le demi petit axe b l'aplatissement (anglais : flattening) : l'excentricité (anglais : eccentricity) : e= Exemples : a-b f= a a - b Systèmes Ellipsoïde a b 1/f e géodésiques associé NTF Clarke , ,0 293, , ED50 Hayford , , , , IAG GRS WGS , , , , Ils permettent un positionnement sur la surface terrestre par un jeu de coordonnées qui peut être de deux formes : Coordonnées cartésiennes (X, Y, Z) définies par rapport au centre de la terre. 2 2 a 2 J.BAQUIE Ing. E.S.G.T. - Notions de géodésie 2013/ /47

13 Z M(X,Y,Z) M0 X Y Z Y X Fig. 15 : Positionnement dans le système cartésien Coordonnées géographiques, et h (hauteur ellipsoïdale 4 ). Fig. 16 : Positionnement dans un système géographique Il existe des dizaines de systèmes géodésiques, mais pour nous, si nous restons en métropole, les plus utilisés sont : Le W.G.S La hauteur ellipsoïdale correspond à la distance entre le point considéré et le pied de la normale à l'ellipsoïde en ce point. La normale étant la perpendiculaire à l'ellipsoïde en un point. J.BAQUIE Ing. E.S.G.T. - Notions de géodésie 2013/ /47

14 Le GNSS utilise le système géodésique mondial WGS 84 (World Geodetic System) établi en Ce système est associé à un ellipsoïde global le GRS 80. L E.D. 50 Après la guerre de 39-45, l Europe de l ouest a adopté le système européen ED50 (European Datum 1950) qui est associé à l ellipsoïde global de Hayford de Ce système est largement en vigueur surtout sur nos cartes marines éditées par le S.H.O.M. (Service Hydrographique et Océanographique de la Marine) par exemple. La N.T.F. (Nouvelle Triangulation de la France) Ce système est basé sur l'ellipsoïde local de Clarke (1880), sur lequel ont été positionnés quelques points géodésiques, répartis en quatre ordres de mesure. Le point fondamental est la croix du Panthéon à Paris. En ce point, le géoïde et l'ellipsoïde sont tangents (la verticale et la normale sont confondues). Fig. 17 : Schéma du rattachement du Panthéon Les mesures de la N.T.F., faites par triangulation, ont débutés en 1873 et ont été officiellement achevées en 1991 avec une dernière mission dans les Landes (voir annexe 3) et ont permis d atteindre une densité d un point géodésique pour 9 km². La précision relative globale est de J.BAQUIE Ing. E.S.G.T. - Notions de géodésie 2013/ /47

15 Fig. 18 : 1er ordre de la N.T.F. Le premier ordre est composé de six chaînes de triangles : trois chaînes méridiennes et trois chaînes parallèles (Triangles en gras sur la fig. 9). Le premier ordre complémentaire complète l'ensemble du territoire. Le deuxième ordre s'appuie sur les points du premier ordre, le troisième sur les points du premier et du deuxième et le quatrième ordre sur les points des trois premiers. Fig. 19 : Point géodésique de 1 er ordre de la N. T. F. Un cinquième ordre, appelé aussi ordre complémentaire ou triangulation cadastrale, vient densifier le nombre de points. J.BAQUIE Ing. E.S.G.T. - Notions de géodésie 2013/ /47

16 Ces points sont en général représentés sur le terrain par des bornes en granit mais aussi par des clochers, châteaux d'eau, pylônes ou autres éléments caractéristiques visibles. Ce système est ancien et n'est plus légal depuis 2001, mais il est encore utilisé par certains organismes. Le RGF 93 Fig. 20 : Schéma d'une borne géodésique L'I.G.N. (Institut Géographique National) a mis en place, sur recommandation du C.N.I.G. (Conseil National de l'information Géographique : ), un nouveau système géodésique ayant la dénomination de R.G.F. 93 (Réseau Géodésique Français 1993) qui est un sous-ensemble du système européen E.T.R.S. 89 (European Terrestrial Reference System 1989), lui-même issu du système mondial I.T.R.S. (International Terrestrial Reference System). L'expression des coordonnées dans ce système est tridimensionnelle sous forme de longitude, latitude et hauteur ellipsoïdale ou X, Y, Z (voir : Positionnement dans le système cartésien Fig. 15 et Fig. 16). Elles sont déterminées par mesures satellitaires sur l'ellipsoïde IAG GRS 80. Ce réseau est composé de trois niveaux : o Le R.R.F. (Réseau de Référence Français) 23 sites sont répartis régulièrement sur l'ensemble du territoire et sont le prolongement du système européen E.T.R.S. 89, dont 3 font partie du système mondial (ITRS). C'est le premier niveau hiérarchique du R.G.F. La précision relative entre deux sites du R.R.F. est supérieure à J.BAQUIE Ing. E.S.G.T. - Notions de géodésie 2013/ /47

17 VLBI LASER GPS (EURF89) Fig. 21 : Réseau de Référence Français o Le R.B.F. (Le Réseau de Base Français) Ce deuxième niveau hiérarchique comprend 1009 sites 5 environ. Appuyés sur les points du R.R.F., ils sont particulièrement destinés aux utilisateurs de G.P.S.. Il y a un site tous les 25km environ et la précision relative de l'ensemble est de Il est constitué pour deux tiers de sites nouveaux et pour un tiers de sites de la N.T.F. (37%) répondant au cahier des charges des points du R.B.F. Ce sont des sites (pour le R.B.F.) qui répondent à des critères précis : Bonne répartition sur le territoire. Chaque site doit être constitué de plusieurs points d'égale précision. Pérennité des points. Accessibilité par un véhicule motorisé. Absence de masques occultant les signaux G.P.S. Possibilité d'orientation. Exemple de site du R.R.F. en annexe 4. o Le R.D.F. (Le Réseau de Détail Français) Ce troisième niveau est constitué d environ points qui sont essentiellement ceux de l'ancienne N.T.F.. Ils ont été requalifiés par une procédure de transformation de système mise au point à l I.G.N.. La précision relative est de Un site propose au moins 2 points, a des facilités d'accès pour tout véhicule, une orientation est toujours possible et bien sûr ne présente aucun masque. J.BAQUIE Ing. E.S.G.T. - Notions de géodésie 2013/ /47

18 7 Les systèmes de projection 7.1 Généralités Le but d'un système de projection est de transformer l'ellipsoïde en une surface géométrique simple et développable. Il s'agit de plans, cylindres ou cônes. D'un point de vue mathématique, une projection permet d'établir entre l'ellipsoïde et la surface développable une correspondance telle que : E f(,, h) et N g(,, h) où E, N désignent des coordonnées planes, f la latitude, λ la longitude, h la hauteur ellipsoïdale et f, g des fonctions qui sont continues partout sur l'ensemble de départ sauf sur un petit nombre de lignes et de points (tels que les pôles). Il existe donc une infinité de solutions. Les fonctions inverses existent également : i(e,n) et j(e,n) Nous classons les projections en fonction de leur caractéristique : Les projections dites conformes sont celles qui conservent les angles. Les projections dites équivalentes sont celles qui conservent les surfaces. Les projections dites "aphylactiques" ne conservent ni les angles ni les surfaces. Leur intérêt est que ces détériorations peuvent être moindres que dans les deux cas précédents. Aucune projection ne conserve les distances (voir Altération linéaire) 7.2 Les différentes projections Azimutales On projette l'ellipsoïde sur un plan tangent en un point ou sécant en un cercle. La zone bien représentée est situé au centre de la projection (image du point de tangence ou du centre du cercle sécant). Il existe trois types de projections azimutales, qui se différencient par la position du point de vue utilisé pour la projection Projection stéréographique Cette projection est basée sur le principe de l'inversion qui a comme caractéristique la conservation des angles. Elle est donc conforme. J.BAQUIE Ing. E.S.G.T. - Notions de géodésie 2013/ /47

19 Fig. 22 : Projection stéréographique polaire vue en 3D Si le point de vue est au pôle diamétralement opposé au plan tangent, la projection est stéréographique polaire. Les méridiens se transforment en droites concourantes et les parallèles en cercles concentriques dont l'écartement va en grandissant. Fig. 23 : Projection stéréographique polaire Si le point de vue est sur l'équateur et toujours diamétralement opposé au plan tangent, la projection est stéréographique méridienne ou équatoriale. J.BAQUIE Ing. E.S.G.T. - Notions de géodésie 2013/ /47

20 Fig. 24 : Projection stéréographique méridienne Sinon dans tous les autres cas c'est une projection stéréographique oblique. Fig. 25 : Projection stéréographique oblique Projection gnomonique ou centrale Le point de vue est situé au centre de la terre et le plan est tangent à l'ellipsoïde. J.BAQUIE Ing. E.S.G.T. - Notions de géodésie 2013/ /47

21 Projection orthographique Le point de vue est situé à l infini et la projection s effectue sur un plan perpendiculaire au point de vue et généralement positionné sur l équateur (projection orthographique polaire) ou sur un plan méridien (projection orthographique méridienne). Fig. 26 : projections orthographiques Cylindriques Les projections cylindriques sont caractérisées par un cylindre entourant l ellipsoïde. Ce cylindre peut être tangent à l équateur comme pour la projection Mercator ou suivant un méridien pour la projection U.T.M Mercator Gerhard Kremer dit Mercator ( ) est l'un des fondateurs de la cartographie mathématique. Il publie en 1569 la première carte du monde à l'usage des navigateurs, sous la forme d'un ensemble de 18 feuilles. Fig. 27 : Projection de Mercator Ce géographe et mathématicien flamand met pour cela au point une méthode de représentation cartographique qui porte son nom. Elle consiste à projeter la surface de la Terre sur un cylindre tangent à l'équateur. Fig. 28 : Projection de Mercator J.BAQUIE Ing. E.S.G.T. - Notions de géodésie 2013/ /47

22 Les méridiens sont donc représentés par des droites verticales équidistantes et les parallèles par des droites horizontales. Plus on s'éloigne de l'équateur, plus les distances sont exagérées ((voir carte ci-dessous). La projection étant conforme, les méridiens et les parallèles se coupent sous un angle droit. Ce type de carte est très utile pour la navigation maritime de l'époque qui se faisait essentiellement sur la zone équatoriale, Sur ce type de projection, il suffit de tracer une droite entre deux points, appelée loxodromie, pour déterminer le chemin le plus direct sans avoir besoin de changer de cap UTM L'UTM est un type de projection conforme de la surface de la terre. C'est une projection cylindrique où l'axe du cylindre croise perpendiculairement l'axe des pôles de l'ellipsoide terrestre au centre de l'ellipsoïde. Pour couvrir la surface de la terre, on l'a découpée en 60 fuseaux de 6 en séparant l'hémisphère Nord et l'hémisphère Sud. Soit au total 120 zones (60 pour le Nord et 60 pour le Sud). On a alors développé le cylindre tangent à l'ellipsoïde le long d'un méridien pour obtenir une représentation plane. Pour une plus grande précision les cylindres sont des cylindroïdes dont la section est une ellipse. J.BAQUIE Ing. E.S.G.T. - Notions de géodésie 2013/ /47

23 Le système de projection (représentation) est rectangulaire et mesuré en kilomètres. On peut donc calculer des distances à partir de coordonnées UTM. Si les points sont sur le même méridien les longueurs sont rigoureuses, par contre si elles sont sur des méridiens différents elles sont plus approximatives et elles ne sont plus du tout valables si les points ne sont pas dans la même zone. Le territoire français est situé sur 3 fuseaux: 1. UTM Nord, fuseau 30 : entre 6 degrés Ouest et 0 degrés Greenwich; 2. UTM Nord, fuseau 31 : entre 0 degrés et 6 degrés Est Grenwh; 3. UTM Nord, fuseau 32 : entre 6 degrés Est et 12 degrès Est Greenwich. Le système de coordonnées rectangulaires de la projection UTM est associé à un point de référence virtuel situé: - Pour l'hémisphère Nord : sur l'équateur à 500 km à l'ouest du méridien central de la zone considérée (500, 0) ; - Pour l'hémisphère Sud : sur le parallèle situé à km au Sud de l'équateur et 500 km à l'ouest du méridien central de la zone considérée (500, ). Ce décalage de point de référence permet d'avoir des coordonnées positives pour l'intégralité des points de la zone. J.BAQUIE Ing. E.S.G.T. - Notions de géodésie 2013/ /47

24 Fig. 29 : Projection UTM, représentation des fuseaux et des zones (Nord) J.BAQUIE Ing. E.S.G.T. - Notions de géodésie 2013/ /47

25 7.2.3 Coniques Il s agit d un cône qui est tangent ou légèrement sécant à l ellipsoïde. L axe du cône est mis en coïncidence avec le petit axe de l ellipsoïde. Fig. 30 : Projection conique La première représentation conique utilisée en France fut celle de Bonne. Elle fut mise en place par les ingénieurs géographes au 19 ème siècle pour transformer l ellipsoïde de Du Plessis en la carte d Etat Major qui était à l échelle du 1/ ème. Cette représentation était équivalente. Fig. 31 : Co axialité du cône et de l'ellipsoïde J.BAQUIE Ing. E.S.G.T. - Notions de géodésie 2013/ /47

26 8 La projection Lambert La projection Lambert 6 a été choisie par la France. Il s'agit d'une transformation conique conforme. Fig. 32 : Représentation plane de Lambert Les méridiens sont transformés en droites concourantes vers la représentation du pôle et les parallèles en cercles concentriques de centre S, représentant l'image du pôle. Ces méridiens et ces parallèles se coupent à angles droits, du fait qu'ils se coupent à angles droits sur l'ellipsoïde et que la projection est conforme. 8.1 Lambert "zone" Elle a comme système géodésique référant la N.T.F., c'est-à-dire quelle transforme l'ellipsoïde de Clarke (1880) en un cône. Cette projection est tangente et bien sûr conforme. Dans les faits, il y a quatre zones métropolitaines qui correspondent à quatre projections différentes qui forment un découpage nord-sud (trois continentales et une pour la Corse). Cette projection "Lambert zone" n'est plus officielle, mais nous la trouvons encore dans certains documents, notamment sur les cartes I.G.N. Ci-dessous les quatre zones. 6 Mathématicien, physicien et astronome naît à Mulhouse en 1728 et mort à Berlin en J.BAQUIE Ing. E.S.G.T. - Notions de géodésie 2013/ /47

27 Fig. 33 : Les quatre zones Lambert Pour toutes les zones, le méridien origine est celui passant par l'observatoire de Paris et situé à 2 20' 14,025" E du méridien de Greenwich. Les parallèles origines (isomètres centraux) sont indiqués dans le tableau ci-dessous. Dénomination Zone Parallèle origine E 0 (m) N 0 (m) Lambert I Nord 55 gon Lambert II Centre 52 gon Lambert III Sud 49 gon Lambert IV Corse 46,85 gon ,369 Pour chaque zone, un quadrillage vient se superposer sur la transformation des méridiens et des parallèles (voir Fig. 34 : Superposition du quadrillage), avec un point origine de 600 km en E (E 0 ) et 200 km en N (N 0 ). Nous pouvons noter dans le tableau précédent que le premier chiffre de la coordonnée nord indique le numéro de la zone et non une valeur kilométrique. La zone Lambert II a été étendue sur les deux autres zones, de ce fait pour éviter une chiffraison de la coordonnée nord, négative, l'i.g.n. a transformé ce premier chiffre indicateur de zone, en millier de kilomètres. Nous rencontrerons donc des coordonnées Lambert II étendu commençant par un 1ou rien (de 0 km à km) dans la zone sud et par un 3 ou un 4 (de km à km) dans la zone nord. J.BAQUIE Ing. E.S.G.T. - Notions de géodésie 2013/ /47

28 Fig. 34 : Superposition du quadrillage 8.2 Lambert 93 C'est une des deux projections officielles à utiliser en France, depuis le décret du 3 mars Elle est associée au système géodésique R.G.F. 93. C'est une projection conique sécante, elle est conforme. Du fait qu'elle soit sécante, il y a deux parallèles d'échelle conservée dits automécoïques de latitude respective : 44 et 49. Le parallèle central (isomètre central) origine est celui situé à 46 30' de latitude nord et le méridien central est situé à 3 Est du méridien de Greenwich. Le point origine, proche du barycentre du territoire, est donc de coordonnées géographiques rondes (longitude 3 E, latitude N). Il a pour coordonnées planes : Constantes de la projection : E0 = m et N0 = les coordonnées planes seront toujours : < E < < N < Caractéristiques particulières : L'altération linéaire due à cette projection est comprise entre -1 m/km et +3 m/km. La déformation des longueurs peut donc être importante et rendre malaisées certaines applications topographiques. C'est en particuliers la variation locale de l'altération qui met en cause la validité des procédés classiques de calcul de réduction des distances ou de visées azimutales. Les algorithmes spécifiques sont donc à définir. La quasi linéarité de la variation de l'altération en fonction de la latitude autorise des méthodes simples d'intégration. J.BAQUIE Ing. E.S.G.T. - Notions de géodésie 2013/ /47

29 Fig. 35 : Altération du Lambert 93 pour les préfectures Tableau récapitulatif Ellipsoïde IAG-GRS 80 1/2 grand axe a = ,00 aplatissement f = 1/298, Projection Parallèles d'échelle conservée Origine Coordonnées planes de l'origine conique conforme sécante φ 1 : 44 N φ 2 : 49 N Isomètre central : φ 0 = 46 30' N Méridien central : λ 0 = 3 E Greenwich E 0 = N 0 = J.BAQUIE Ing. E.S.G.T. - Notions de géodésie 2013/ /47

30 8.3 Lambert 9 zones Ces projections ont été développées pour réduire l'altération linéaire, par rapport au Lambert 93. La multiplication des zones amène en effet une altération faible comprise entre -9 cm/km et +7 cm/km. Le revers de la médaille est que les zones ont une faible étendue, malgré un recouvrement de 50% des zones voisines. Cela en limite l'emploi dans certain endroit et de plus elles font double emploi avec le Lambert 93. Donc deux systèmes de coordonnées peuvent cohabiter. Chacune des neuf zones est bien une projection à part entière comme les Lambert "zone", avec leurs paramètres spécifiques. Mais elles sont toutes conçues sur le même principe. Il s'agit de projections coniques conformes sécantes ; d'où leur nom CC pour Conique Conforme. Le sigle CC est suivi d'un numéro indiquant la latitude du parallèle origine de la zone exprimé en degré. Nous avons donc : N de la zone Dénomination Latitude de l'isomètre central 1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC Une zone couvre 2 de latitude et a un recouvrement de 1 (111 km) sur les zones voisines, comme indiqué sur le plan ci-dessous. Fig. 36 : Lambert Conique Conforme 9 zones J.BAQUIE Ing. E.S.G.T. - Notions de géodésie 2013/ /47

31 L'ellipsoïde référent est l'iag-grs80 comme pour le Lambert 93. Les constantes de la projection sont regroupées dans le tableau suivant : Dénomination Caractéristiques Exemple Ellipsoïde IAG-GRS 80 1/2 grand axe a = ,00 aplatissement f = 1/298, Projection conique conforme sécante CC 47 (Zone 6) Isomètre central φ 0 = (41+N de zone) N 47 N Parallèles d'échelle conservée φ 1 = (φ 0 0,75) N φ 2 = (φ 0 + 0,75) N Méridien central λ 0 = 3 E Greenwich 3 E Coordonnées planes de l'origine E 0 = N 0 = ( N de zone ) ,25 N 47,75 N Paramètres LA convergence Dans la projection Lambert, la direction donnée par le quadrillage est la direction des Y et non la direction du nord géographique. On introduit alors la notion de convergence des méridiens définie comme suit : La convergence des méridiens en un point est le gisement de l image (dans la projection) du méridien qui passe par ce point. En d autres termes, c est l angle compris entre l axe des Y (parallèle au méridien origine de la zone) et la direction du méridien au lieu considéré. Cet angle se retrouve au sommet de la projection entre le méridien origine et le méridien du lieu (angles alternes-internes), car tous les méridiens convergent vers le sommet de la projection, image de pôle nord (voir Fig. 34). J.BAQUIE Ing. E.S.G.T. - Notions de géodésie 2013/ /47

32 Fig. 37 : La convergence des méridiens Sur la Fig. 37 nous pouvons voir que depuis le sommet O : Le rayon r est calculé dans le plan du parallèle origine de la zone Lambert et - 0 est la différence de longitudes entre le méridien du lieu et le méridien origine. Ici nous prenons l'initiative de compter cette convergence positive à l'est avec comme référence à la Fig. 37 De même depuis le centre S En égalisant r γ = ( - 0) (1) R 0 J.BAQUIE Ing. E.S.G.T. - Notions de géodésie 2013/ /47

33 Sur la Fig. 38 nous pouvons voir que En remplaçant dans (1) Fig. 38 : Coupe sur méridien r sinφ = (2) R γ = ( - ) sinφ (3) Cette formule est valable uniquement si le cône est tangent. Si le cône est sécant, comme cela est le cas pour le Lambert 93 et le Lambert conique conforme 9 zones, le calcul de coefficient de zone n est nécessaire (voir tableau en annexe 6) et la formule devient : γ = n ( - ) La formule pour obtenir n est beaucoup plus complexe à obtenir et sa démonstration n'a pas lieu dans ce cours. Il faut remarquer que la convergence ne dépend que de la longitude et de la projection utilisée. C'est-à-dire que si l'on se déplace sur un méridien, la convergence reste la même. Donc pour calculer un gisement à partir d'un azimut géographique : 0 0 G = Az L'altération linéaire Il paraît évident que lorsqu une distance est mesurée sur l ellipsoïde (terre représentée mathématiquement), elle ne peut être représentée dans son intégrité sur un plan. Il y aura obligatoirement une déformation due à la projection. Comme une peau d orange ne peut être mise à plat sans subir de déformations, en l occurrence des déchirures. J.BAQUIE Ing. E.S.G.T. - Notions de géodésie 2013/ /47

34 En géodésie, les déformations linéaires sont calculées par deux éléments que sont le module et le coefficient d altération linéaire ou de réduction à la projection. L altération linéaire est donc représentée par le module de réduction à la projection, noté m r et le coefficient d altération linéaire, noté k r. Dans une projection conforme, le module de réduction à la projection est le quotient entre une distance en projection D r et la même distance sur l ellipsoïde D 0. distance projection r module d'altération= m r = = distance ellipsoïde D0 D (4) Le coefficient d altération linaire est le quotient de la différence entre une longueur sur le plan de projection D r et une longueur sur l ellipsoïde D 0 par la longueur sur l ellipsoïde D 0. Dr coefficient d'altération = K r= mr-1= 1 D (5) Soit Comme k r est donné en mm/km distance - distance D - D K r = = distance D projection ellipsoïde r 0 ellipsoïde 0 D r = D 0 + D 0.k r -6 D r = D 0 (1 + k r 10 ) 0 (6) (7) Avec D r et D 0 en m, k r en mm par km. C est ce coefficient qui est le plus couramment rencontré, notamment dans le programme de l I.G.N. "Circé ", sous la forme de millimètres par kilomètre. Il permet de calculer une distance en projection à partir d'une distance ellipsoïdale. Pour le calcul inverse, il faudra utiliser le même coefficient changé de signe. Pour plus d'information consulter le site de l'ign ou le lexique topographique. Le calcul exact du module est fourni en annexe 5. Le graphique suivant exprime la valeur du coefficient kr en fonction de la latitude pour les projections en France métropolitaine. Il n'est pas utilisable pour déterminer le coefficient, mais permet de comparer les coefficients entre eux, de voir les formes générales et les extremums de ces courbes. J.BAQUIE Ing. E.S.G.T. - Notions de géodésie 2013/ /47

35 Fig. 39 : Courbes des altérations linéaires métropolitaines Exemple numérique: Soit une distance sur l'ellipsoïde de 234,567 m et un coefficient d'altération linéaire de mm par km. Pour le calcul de la réduction, 234,567 m s'expriment par 0, km et 345 mm/km par 0,345 m/km. Nous avons alors : D r = 234,567 + (- 0,345) 0, D r = 234,567 0,081 = 234,486 m En appliquant la formule (7) D r = 234,567 (1 + ( ) D r = 234,486 m La correction de réduction angulaire à la corde Lorsque l'on mesure les angles d'un triangle à la surface de la terre, la somme des ces angles dépasse 200 gon d'une quantité E appelée l'excès sphérique. E=A+B+C-π ˆ ˆ ˆ (8) Le mathématicien Albert Girard 7 a démontré que la superficie d'un triangle sphérique dont la sphère a un rayon R est : 7 Albert Girard, dit le «Samielois», également appelé Albertus Gerardus Metensis, parfois Albert Gérard, né vraisemblablement le 11 octobre 1595 à Saint-Mihiel et mort à 37 ans, le 8 ou 9 décembre 1632 en Hollande, probablement près de la Haye, est un mathématicien d'origine française ayant mené toute sa carrière aux Pays- Bas (source Wikipédia). J.BAQUIE Ing. E.S.G.T. - Notions de géodésie 2013/ /47

36 2 S=E R (9) Cet excès sphérique ramené à chacune des visées des angles du triangle "sphérique" est appelé correction de réduction à la corde dont le symbole est rc ou dv. La transformée d'une ligne géodésique 8 géodésique est une courbe différente d'une droite. Les triangles géodésiques ont donc pour transformés des triangles curvilignes plans dont les angles aux sommets ont été conservés par le système de représentation (conforme). Nous remplaçons ces triangles par des triangles à cotés rectilignes en introduisant cette correction qui est donc l'angle entre l'image d'une ligne géodésique sur le système de projection utilisé et la corde qui sous-tend cette géodésique (voir le lexique topographique). Les transformations sur le système de projection des courbes de visée, (que l'on peut assimiler à des transformées de lignes géodésiques de l'ellipsoïde), tournent toujours leur concavité vers le parallèle origine en projection Lambert (ou vers le méridien origine en projection UTM). Le calcul de cette correction est donné par la formule : Avec dv D sin AZ D : distance en km entre la station et le point visé. Az : Azimut ou gisement sin sin 0 le résultat de cette expression est en décimilligrade par 2.R.cos.sin 0, 0001 kilomètre en prenant la latitude f d'un point T situé au tiers de la visée. Le dv sera donc en dmgon. En reprenant l'exemple cité dans l'ouvrage de S. MILLES, soient 2 points en Lambert III et une latitude de gon pour le point T situé au tiers de la visée. E N Dh G Station en A , , ,50 17,11237 Visée sur B , ,74 8 Courbe tracée sur une surface telle que son plan osculateur soit constamment normal à la surface. C'est une courbe gauche unique qui représente le plus court chemin entre deux points sur cette surface (en l'occurrence l'ellipsoïde). J.BAQUIE Ing. E.S.G.T. - Notions de géodésie 2013/ /47

37 " On place ces points sur la carte : leurs coordonnées géographiques sont proches de 5,27 gon Est de Paris et 48,44 gon Nord pour A, et 5,31 gon Est de Paris et 48,55 gon Nord pour B. Au point T, situé au tiers de AB à partir de A, la valeur de m est " : sin 48,47 sin 49 = 0, 414 dmgon cos 48,47 sin 0,0001 f 0 est la latitude du parallèle origine de la zone, ici 49 gon. En poursuivant le même exemple. dv 0, , 42 sin17,112 1, 26 dmgon En simplifiant la formule du dv, nous arrivons à une formule approchée qui nous permet un calcul plus rapide. dv K X (K est environ égal à, mais comme il n'est pas calculé de la même façon il est habituel de lui donner cette appellation). Y0 Avec K : Y 0 étant la distance du point jusqu'à l'isomètre central et non la soustraction 128 de l'ordonnée de l'origine du système de l'ordonnée du point (N-N 0 ) comme écrit dans de nombreux ouvrages. Pour ce calcul d'y 0, il est impératif de connaître la latitude f du point T au tiers de la visée. En reprenant l'exemple : Y 0 = (f-f 0 ). R. sin1 (f-f 0 ) 100 Y 0 = (48,47-49) 100 = - 53 km 53 d où K 0, X est la différence d'abscisses en la station et le point visé (E extrémité E origine) exprimée en kilomètre. Dans notre exemple X = 985, ,166 = + 3,033 km D où le dv = - 0,414 (+ 3,033) = -1,26 dmgon Toujours confirmer le signe de cette correction en faisant un croquis qui rappelle que la transformée d'une ligne géodésique tourne sa concavité vers le parallèle origine de la zone. Nous pouvons remarquer la petitesse de cette correction qui est toujours inférieure à la précision des mesures topométriques. Elle sera donc négligée, même dans les projections officielles (Lambert 93 ou CC) où les valeurs de correction à la corde en topométrie vont rarement dépasser quelques décimilligrades. Dans certains logiciels (Covadis par exemple de l'éditeur Géomédia), des écarts de l'ordre de 1 ou 2 décimilligrades par rapport aux valeurs initiales peuvent se rencontrer car ils appliquent cette correction. J.BAQUIE Ing. E.S.G.T. - Notions de géodésie 2013/ /47

38 9 Transformation entre systèmes géodésiques 9.1 Transformation de coordonnées Transformer des coordonnées signifie passer d un système de référence à un autre. Si une transformation ne concerne que le passage d'un type de coordonnées à un autre (géographiques vers planes par exemple) du même système de référence terrestre, une expression mathématique permet de la réaliser, il s'agit des transformations en vertical. Mais, si un changement de système est nécessaire (transformations en horizontal), des paramètres de transition d'un système à l'autre doivent alors être utilisés. Ces paramètres peuvent être uniques pour assurer une transformation exacte et complète (par exemple : la transition entre coordonnées géographiques ne nécessite que la connaissance de deux paramètres d ellipsoïde) ou peuvent au contraire varier avec le lieu. Des grilles de changements de systèmes (comme GR3DF97A) et de conversion altimétrique (comme la RAF09 ) sont alors nécessaires. Il existe des logiciels, tels que Circé (référence en France) qui effectuent les transformations de coordonnées. Le principe du processus de transformation est l'interpolation, dans un semis de points régulièrement répartis, ou "grille", de paramètres tridimensionnels de translation entre systèmes. Ces points constituent la grille de paramètres GR3D97A au pas régulier de 0.1 en longitude et latitude. Circé transforme des coordonnées dans les systèmes français que ce soient des coordonnées géographiques ou planes. Il est préférable pour un topographe d'utiliser la transformation grille. J.BAQUIE Ing. E.S.G.T. - Notions de géodésie 2013/ /47

39 Diagramme des transformations de coordonnées J.BAQUIE Ing. E.S.G.T. - Notions de géodésie 2013/ /47

40 Annexe 1 Retour J.BAQUIE Ing. E.S.G.T. - Notions de géodésie 2013/ /47

41 Annexe 2 Retour J.BAQUIE Ing. E.S.G.T. - Notions de géodésie 2013/ /47

42 Annexe 3 Retour J.BAQUIE Ing. E.S.G.T. - Notions de géodésie 2013/ /47

43 Annexe 4 J.BAQUIE Ing. E.S.G.T. - Notions de géodésie 2013/ /47

44 J.BAQUIE Ing. E.S.G.T. - Notions de géodésie 2013/ /47

45 Retour J.BAQUIE Ing. E.S.G.T. - Notions de géodésie 2013/ /47

46 Annexe 5 Retour Annexe 6 Zone f 0 Sin f 0 n C 55,00 gon 0, , ,98 Lambert zone 52,00 gon 0, , ,39 49,00 gon 0, , ,52 46,85 gon 0, , ,99 Lambert , , , , , , , , , , , , , , ,882 Lambert Conique 46 0, , ,698 conforme 9 zone 45 0, , , , , , , , , , , ,058 Retour J.BAQUIE Ing. E.S.G.T. - Notions de géodésie 2013/ /47

47 (Attention: L'ellipsoïde de référence WGS84, associé au système WGS84, diffère légèrement de l'ellipsoïde de révolution IAG GRS 80 pour la valeur de l'aplatissement. Cela implique de légères modifications des valeurs calculées. Par exemple, le demi petit axe b augmente de 0,1 mm.) Par définition : demi grand axe (GRS80) a = ,0 m demi grand axe (WGS84) a = ,0 m aplatissement (GRS80) f = 1/298, aplatissement (WGS84) f = 1/298, Par calcul : demi petit axe (GRS80) b , m demi petit axe (WGS84) b , m première excentricité (GRS80) e 0, première excentricité (WGS84) e 0, J.BAQUIE Ing. E.S.G.T. - Notions de géodésie 2013/ /47