Terminale SSI 1 Chapitre 3 : Suites numériques 1. L image d un entier naturel n par une suite u n est en général pas noté «u(n)» mais plutôt :

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1 Terminale SSI 1 Chapitre 3 : Suites numériques 1 1 Introduction 1.1 s On rappelle que IN est On appelle suite numérique une fonction définie sur L image d un entier naturel n par une suite u n est en général pas noté «u(n)» mais plutôt : Le terme u 0 est appelé 1.2 Deux genres de suites On peut définir une suite de deux manières. Première méthode : On donne une formule de la forme : où f est une fonction numérique. Exemple : u est la suite telle que pour tout n de IN : u n = 5n 2 4 Calculer : u 0 ; u 1 ; u 10 ; u 1,5. Deuxième méthode : On donne le terme initial et une relation de Dans ce cas, pour calculer le terme de rang n, Exemple : u est la suite telle que : u 0 = 2 et telle que pour tout n de IN : u n+1 = 2 u n 3 Calculer : u 1 ; u 2 ; u 4 ; u Suites bornées On dit qu une suite u est majorée lorsqu elle On dit qu une suite est minorée lorsqu elle On dit qu une suite est bornée lorsqu elle Exercice Soit u définie sur IN par : u n = 2 sin n 3 + sin n 1.4 Suites périodiques Montrer que u est bornée. On dit qu une suite u, définie sur IN, est périodique de période p ( p IN * ) lorsque pour tout n de IN : Exemple : Soit v définie sur IN par : v n = cos n.π 2 montrer que v est périodique.

2 Terminale SSI 1 Chapitre 3 : Suites numériques 2 2 Variations d une suite Une suite est dite croissante ssi pour tout n de IN : Une suite est dite décroissante ssi pour tout n de IN : On parlera de croissance ou décroissante stricte lorsque Dans la pratique, on dispose de plusieurs méthodes pour étudier les variations d une suite. On peut en donner trois, il y en a bien d autres. Méthode 1 : étudier le signe de : u n+1 u n Soit u définie sur IN par : u n = 4n n Méthode 2 Elle consiste à utiliser la propriété suivante : Soit f une fonction, et u une suite définie sur IN par : u n = f(n) Si la fonction f est croissante sur IR+, Si la fonction f est décroissante sur IR+, Exemple : Etudier les variations de u définie sur IN par : u n = 2n + 1 Méthode 3 Comparer u n+1 u n et 1. ATTENTION cette méthode n a de sens que lorsque u est une suite strictement positive. Exemple : Etudier les variations de u définie sur IN par : u n = 5 3 n

3 Terminale SSI 1 Chapitre 3 : Suites numériques 3 3 Suites arithmétiques Une suite arithmétique est une suite dont chaque terme s obtient en ajoutant au précédent un nombre r fixé. C est à dire que pour chaque entier n de IN : Le réel r est appelé Théorème Si u est une suite arithmétique de raison r, on a pour tout n de IN : Et : S n = u 0 + u u n = Exemple : Soit u la suite arithmétique de premier terme : u 0 = 3 et de raison 2. Calculer : u 1 ; u 5 ;u 10 et S 8. Variation d une suite arithmétique Une suite arithmétique est croissante lorsque 4 Suites géométriques Une suite géométrique est une suite dont chaque terme s obtient en multipliant le précédent par un nombre q fixé. C est à dire que pour chaque entier n de IN : Le réel q est appelé Théorème Si u est une suite géométrique de raison q, on a pour tout n de IN : Et : S n = u 0 + u u n = Exemple : Soit u la suite arithmétique de premier terme : u 0 = 1 4 et de raison 2. Calculer : u 1 ; u 5 ;u 10 et S 8.

4 Terminale SSI 1 Chapitre 3 : Suites numériques 4 5 Limites de suites La notion de convergence déjà définie pour les fonctions s applique aussi aux suites. Si u est une suite, on étudie seulement : Limites usuelles si α IN * : lim n α = lim n = Suites géométriques Soit a un réel strictement positif : si : 1 < a alors : lim a n si : 0 < a < 1 alors : lim a n Théorème Soit f une fonction u une suite définie sur IN par : u n = f(n) Si lim f(x) = L alors : x + Théorèmes de comparaison Soient u ; v et w trois suites convergentes. Si on a, pour tout n de IN : u n v n alors : Si on a, pour tout n de IN : w n u n v n et lim w n = lim v n Convergence des suites monotones

5 Terminale SSI 1 Chapitre 3 : Suites numériques 5 6 Raisonnement par récurrence Un nouvel axiome : le principe de récurrence Soit P(n) une propriété dépendant d un entier n et n 0 un entier naturel fixé. Si on démontre que : - P(n 0 ) - pour tout n n 0 Alors la propriété P(n) Dans la pratique, la rédaction d une démonstration par récurrence doit être rigoureuse. Exemple 1: Démontrons que pour tout entier naturel n : k = n = n k=0 n.( n + 1 ) 2 Exemple 2: Démontrons que pour tout entier naturel n : k 2 = n 2 = n k=0 n.(n+1)(2n+1) 6 On dit que deux suites u et v sont adjacentes lorsque : u est croissante, v est décroissante et : Théorème Deux suites adjacentes convergent et ont la même limite.