Préparation à l'agrégation Interne, année ( )

Transcription

1 Préarato à l'agrégato Itere, aée 6-7 ( ) Ce roblème exlore le thème arch-classue des olyômes de Tchebychev La arte I établt leur exstece et doe leurs toutes remères rorétés La arte II les utlse our résoudre u roblème arthmétue assez aturel, ef les artes III, IV et V llustret le le rvlégé exstat etre les olyômes de Tchebychev et l'terolato olyomale (le u, d'alleurs, est à l'orge de leur découverte ar Tchebychev, la célèbre detté u sert désormas à les défr " cos x = T (cos x) ", frut d'u jol hasard, 'ayat été costatée u'ultéreureme Parte rélmare Sot l'éuato algébrue suvate, où les sot des eters, a et a état suosés o uls : Suosos ue (E) admette ue race ratoelle ostf, et remers etre eux Prouver alors ue dvse a et ue dvse a a (E) ax + a x + K + a = x =, où est u eter o ul, u eter strctemet Parte I a Sot u eter ostf ou ul Motrer, e utlsat la formule de de Movre, u'l exste u uue olyôme T (comme Tchebychev, be sûr) tel ue, our tout réel x, o at l'égalté : cos x = T (cos x) b Prouver ue T est à coeffcets eters relatfs, et doer so degré c Détermer,, et T T T T 3 d Prouver la relato de récurrece T + ( X X) = XT ( X) T ( ) e Prouver ue a même arté ue, détermer le coeffcet de so terme de lus haut degré as ue ses valeurs e et T a Quelles sot, e suosat suéreur ou égal à, les races de? Vérfer ue celles-c sot toutes réelles, smles et aarteat à l'tervalle ],[ b Précser la dsosto des zéros de T ar raort à ceux de T uad est lus grad ue T 3 Prouver ue l'o déft u rodut scalare sur R[X] e osat : ( Q ) = P( Q( P dt t Motrer ue la famlle ( T ) est orthogoale our ce rodut scalare

2 Parte II Il est be cou ue cos π 3 = O a doc Q < <, Q, cos π L'objet de cette arte est de détermer s est, ou o, l'uue ratoel r vérfat : 3 < r < et cosrπ Q Sot doc r u ratoel vérfat < r < et cos rπ Q S r =, et état des eters aturels remers etre eux, o a doc : <, ce u etraîe ue 3 Motrer ue cos π est ratoel (o utlsera l'detté de Bézout et les résultats de la arte I) Motrer ue 'est as multle de 4 Il est doc ossble d'écrre = h ou = h, h état u eter mar suéreur ou égal à 3 3 E suosat ue = h eter mar, motrer ue h = 3, us ue = (o utlsera la arte rélmare) 4 Peut-o avor = h? 5 Coclure Parte III O s'téresse c au le etre les olyômes de Tchebychev et le roblème de l'terolato Précsos : sot f ue focto umérue défe sur u tervalle [a,b] de R, et soet réels x, K, x élémets de [a,b] Iteroler f aux ots x, c'est assmler f à l'uue olyôme de degré lus ett ue u red les mêmes valeurs ue f aux x L'objet de cette arte est, das u remer tems, de rouver l'exstece et l'ucté d'u tel olyôme terolateur, et d'évaluer l'erreur commse uad o substtue ce olyôme à f Das u deuxème tems, o se ose le roblème suvat : usue l'o a le chox des ots, commet les réartr das le segmet [a,b] our ue l'terolato sot la lus effcace ossble? La remère réose u vet à l'esrt, totalemet tutve, est d'éuréartr les das [a,b] e osat : x our k =, K, : x = + ( ) b a k a k x

3 Nous allos vor u'e fat, l 'e est re, ue le bo chox des est tout autre, et ue, étragemet, l codut à redre lus de ots d'terolato de f vers les bords de l'tervalle u'e so cetre x A Polyôme d'terolato de Lagrage O fxe c u tervalle [a,b] de R, u eter suéreur ou égal à, et ots deux dstcts Sot d'autre art ue focto umérue f défe sur [a,b] x, K, x de [a,b] deux à Prouver ue l'alcato R Φ : P a [ X ] R ( P( x ), K, P( x )) est u somorhsme d'esaces vectorels E dédure l'exstece et l'ucté d'u olyôme P de degré féreur ou égal à u red les mêmes valeurs ue f aux ots x 3 Doer ue formule exlcte de ce olyôme P (o ourra au réalable costrure u olyôme reat la valeur e x et s'aulat aux x our k ) k B Évaluato de l'erreur O garde c les otatos de la arte A O suose de lus ue f est de classe C, et o ose g = f P Sot x u élémet fxé de [a,b], dfféret de tous les x a Prouver u'l est ossble de chosr ue costate réelle K our ue la focto h défe sur [a,b] ar : h = g( K( t x ) K ( t x ) ( s'aule e tous les x et e x Ce chox sera suosé fat das la sute () b Prouver alors ue la dérvée h s'aule sur [a,b] c E dédure l'exstece d'u ot c de [a,b] tel ue : ( ) g ( c) g( x) = ( x x) K ( x x)! Sot M u majorat de la valeur absolue de la dérvée d'ordre de f sur [a,b] Prouver ue our tout x de [a,b], o a l'égalté suvate : f( x) P( x) M ( x x) K ( x x)! C Chox des ots d'terolato O suose c ue l'tervalle [a,b] est l'tervalle [,], et o fxe toujours ue focto umérue f de classe C sur [,] Pusu'l 'est as ossble de jouer sur l'ordre de gradeur de la dérvée d'ordre de f u est 3

4 fxée, le bo chox des x our fare la melleure terolato de f ossble est, e vertu de l'égalté u vet d'être rouvée, celu u mmse le rodut ( x x ) K ( x x ) uad x décrt [,] O mut doc R [X] de la orme P = su P(, et l s'agt de détermer, de tous les olyômes utares t de degré ossédat races dstctes das [,], celu (ou ceux) u sot de orme mmale O est be d'accord? T Calculer T O osera das la sute U =, de telle sorte ue U est u olyôme utare de orme égale à Résoudre, our x das [,], l'éuato U ( x ) = 3 Sot Q u olyôme utare de degré, et de orme féreure ou égale à E evsageat certaes valeurs rses ar le olyôme Q, rouver ue Q = U U 4 Quel est, e toute gééralté, le bo chox à fare our les ots x,, d'terolato? Fare u dess, ar exemle our = 6, de leur réartto das l'tervalle [,] K x Parte IV Sot f ue focto umérue de classe C sur u tervalle coteat [,] Pour tout eter, o ote P le olyôme de degré lus ett ue reat les mêmes valeurs ue f aux races du olyôme de Tchebychev O cherche das cette arte ue codto suffsate our ue la sute,] T ( P ) coverge uformémet vers f sur [ O suosera ue f est somme de la sére etère a x sur [,], cette sére etère état de rayo de covergece R ( R be sûr!) Sot r u réel élémet de [,R[, et α u réel vérfat α < r a Prouver ue la sute ( ) a r est borée ; o otera M = su a r b Prouver ue our tout x de [ α α], et our tout eter ostf, o a : f ( ) ( x) Mr! + ( r α) 4

5 À artr de uelle valeur de R eut-o affrmer ue la sute ( P ) coverge uformémet vers f sur [,]? Parte V Das cette arte, o désge ar I l'tervalle [,], et o mut l'esace E des foctos umérues cotues sur I de la orme de la covergece uforme (o raelle u'l s'agt alors d'u esace de Baach) O chost ue sute fe x, x, K, x ) de + ots dstcts de I (ue l'o ourra suoser être ragés ( das l'ordre crossa, et o déft l'alcato léare Λ u, à u élémet f de E, assoce so olyôme terolateur de Lagrage aux x : E E Λ : f a = f( x ) L ( X) (avec L ( X) = j ( X x j) ) ( x x ) j Prouver ue Λ est u oérateur cotu, et ue sa orme subordoée vérfe : λ = Λ = su L ( x) x I = O suose désormas ue les ots x ot été choss éudstats ; o a doc x = a Prouver ue L ( ) 4 b E dédure ue λ 4 3 Grâce au délcat théorème de Baach-Stehaus (?!), e dédure l'exstece d'ue focto f de E our lauelle o 'a as : lm Λ ( f) = f 4 Sachat ue s l'o avat chos les ots d'terolato comme races du + ème olyôme de Tchebychev, o aurat trouvé λ α l où α est ue certae costate, commeter 5 Redémotrer la comlétude de l esace E mu de la orme fe That's all, folks! 5

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