Nombres complexes. B. Aoubiza Département GTR. 18 septembre 2002

Transcription

1 Nombres complexes B. Aoubiza Départemet GTR 18 septembre 00

2 Table des matières 3 Nombres complexes 3.1 Défiitiosetotatios Opératiosalgébriquessurlescomplexes Opératiosalgébriquessurlescomplexes Additio Opératiosalgébriquessurlescomplexes Multiplicatio Représetatiogéométriquedescomplexe Quelquescocepts Nombrecomplexecojugué Iversed ucomplexe Divisiodeuxcomplexes Moduled uombrecomplexe Nombrecomplexesousformetrigoométrique Notatioexpoetielled ucomplexe Notatioexpoetielle Produitdedeuxcomplexes Notatioexpoetielle Puissaced ucomplexe Notatioexpoetielle FormuledeMoivre Notatioexpoetielle Formuled Euler Résolutio des équatios à coefficietscomplexes Résolutiodeséquatios Raciesd uombreégatif Résolutio des équatios Racies ième del uité Résolutio des équatios Racies ième d ucomplexe Résolutiodeséquatios Raciescarrées Résolutiodeséquatios Equatiodusecoddegré Complémets:Coséquecesdelaotatioexpoetielle Notatio expoetielle Justificatioformelle Notatioexpoetielle IdetitésTrigoométriques Notatio expoetielle Calcul différetiel Notatio expoetielle Equatios différetielles

3 Cha pitre 3 Nombres complexes Itroductio O e peut pas tout faire das l esemble des réels R. Par exemple, l équatio x 1 a pas de solutios réels. Das ce chapitre, o costruit u esemble plus grad que R et das lequel l équatio e questio et bie d autres aurot des solutios. 3.1 Défiitios et otatios Défiitio 1 U ombre complexe est u ombre de la forme : a + ib où a et b sot des ombres réels. Notatio 1 L esemble de tous les ombres complexes est oté : C. Si z a + ib est u ombre complexe : a est dit partie réelle de z. O ote : Re z a b est dit partie imagiaire de z. O ote : Im z b Si la partie imagiaire est ulle : z a + i0 a z est dit réel pur. Si la partie réelle est ulle c est-à-dire z 0+ib ib z est dit imagiaire pur. E particulier, o a 00+i0 i 0+i1 Remarque 1 Noter qu u réel peut être cosidéré comme u complexe dot la partie imagiaire est 0. Aisi, C cotiet tous les ombres réels et doc R C. Exemple 1 Le ombre 3+4i est u complexe : 3 estsapartieréelleet4 est sa partie imagiaire. Le ombre 1 3 i est u complexe : 1 estsapartieréelleet 3 est sa partie imagiaire. Le ombre 6i est u complexe : 0 estsapartieréelleet6 est sa partie imagiaire. Le ombre 7 est u complexe : 7 estsapartieréelleet0 est sa partie imagiaire. Egalitédedeuxcomplexes Soiet z 1 (a + ib) et z (c + id) deux ombres complexes, o a : z 1 z si et seulemet si a c et b d c est-à-dire Re z 1 Rez et Im z 1 Imz. 3. Opératios algébriques sur les complexes 3..1 Opératios algébriques sur les complexes Additio Soiet z 1 (a+ib) et z (c+id) deux ombres complexes. L additio et la soustractio sot défiies par : (a + ib)+(c + id) (a + c)+i(b + d) (a + ib) (c + id) (a c)+i(b d)

4 Exemple Calculer la somme (13 i)+(5+i). Solutio : (13 i)+(5+i) (13+5)+( i + i) 18 i µ 5 Exemple 3 Calculer µ 3 3 i + 5 i Solutio : Etape 1, o écrit le derier complexe sous sa forme stadard c est-à-dire : a + ib. µ µ 3 3 i + 5 i µ µ 3 3 i + 5 i +(9 i) Etape, o itroduit le sige à l itérieur des parethèses (distributivité), o obtiet µ µ 3 3 i + 5 µ 5 i +(9 i) i + µ 3 5 i +(9 i) Fialemet, o a µ i + µ 3 5 i +(9 i) µ µ µ µ i µ µ 3 i + 5 i µ µ ( i) + µ 1 6 i Propriétés de l additio Das ce qui suit, z 1, z,etz 3 représetet des ombres complexes arbitraires. 1. z 1 + z z + z 1 Commutativité. z 1 +(z + z 3 )(z 1 + z )+z 3 Associativité z z ( i) Elémet eutre 3.. Opératios algébriques sur les complexes Multiplicatio Soiet z 1 (a + ib) et z (c + id) deux ombres complexes. La multiplicatio est défiie par (a + ib).(c + id) (ac bd)+i(ad + cb) Cela paraît u peu bizarre, et difficile à reteir. Cepedat il e est rie, si o suit les deux règles simples suivates : sia 0,b1: i (0+i).(0 + i) 1. c est-à-dire i 1 les règles de calcul das C sot les mêmes que ceux das R à coditio de remplacer i par 1 chaque fois qu il apparaît. Aisi (a + ib).(c + id) ac + a(id)+(ib)c +(ib)(id) ac + i(ad)+i(bc)+i (bd) (ac bd)+i(ad + cb) Remarque L itroductio des ombres complexes à quelques côtés ihabituels, par exemple das l esemble C, la somme des carrées de ombres o uls peut être ulle : 1 +(i)

5 Exemple 4 Calculer le produit (3 + i)( 4+i). Solutio : O développe les calculs comme das R et o remplace i par 1 chaque fois qu il apparaît : (3 + i)( 4+i) 1 8i +3i +i 1 5i +( 1) 14 5i Exemple 5 Calculer le produit (5 i)(5+i). Solutio : O développe les calculs comme das R et o remplace i par 1 (5 i)(5 + i) 5(5) + 5(i)+( i)(5) + ( i)(i) 5+10i 10i 4i 5 4( 1) 9 Noterlerésultatestuombreréel. Propriétés de la multiplicatio Das ce qui suit, z 1, z,etz 3 représetet des ombres complexes arbitraires. 1. z 1 z z z 1 Commutativité. z 1 (z z 3 )(z 1 z ) z 3 Associativité 3. 1 z z Elémet eutre 4. z (z 1 + z )z z 1 + z z Distributive (z 1 + z ) z z 1 z + z z Remarque 3 Les puissaces du complexe i. Il est facile de voir que i 0 1 i 1 i i 1 i 3 i i 4 1 i 5 i i 6 1 i 7 i i 8 1 i 9 i i 10 1 i 11 i i 1 1 i 13 i i 14 1 i 15 i O costate que les puissaces multiple de 4 doe toujours 1. A partir de cette costatatio, o peut calculer facilemet les puissaces de i. Par exemple, i 5 i 4 i i (car i 4 i 4 6 1). 3.3 Représetatio géométrique des complexe A chaque ombre complexe o veut associer u poit uique pla euclidie Oxy. Pour cela o procède comme suit : Si z a + ib est u ombre complexe sous forme algébrique, alors o associe à z le couple de réel (a, b). Le poit du pla euclidie associé à z a + bi sera doc le poit de coordoée (a, b). Noter que si z a est u ombre réel o peut l écrire sous la forme a +0i. Cequisigifie que le poit du pla associé à a a pour coordoes (a, 0). Aisi, les ombres réels sot associés aux poits de l axe Ox. Sur la figure ci-dessous, o présete les poits 1 i, 3+i, 3 3i, et. ( 3, 1) 3 +i ( 1, ) ( 3, 3 ) -3-3i 1 - i 4

6 D u poit de vue géométrique, additioer deux complexes reviet à costruire la diagoale du parallélogramme détermié par les deux complexes e questios. C est-à-dire, si z 1 a 1 + ib 1 et z a + ib, alors les poits du pla correspodats aux trois complexes z 1, z,etz 1 + z ot pour coordoées : (a 1,b 1 ), (a,b ),et (a 1 + b 1,a + b ) respectivemet. Et o a doc la figure suivate y ( a 1 + a, b1 + b ) ( a 1, b1 ) ( a, b ) Les côtés de ce parallélogramme sot les liges allat de l origie aux poits (a 1,b 1 ) et (a,b ) respectivemet. La diagoale du parallélogramme état la lige allat de l origie au poit de coordoées (a 1 + b 1,a + b ). Il est facile de visualiser la soustractio. Il suffit deoterquez 1 z z 1 +( z ). O remplace doc le poit (a,b ) par le poit ( a, b ). Exemple 6 Représeter das le pla complexe la somme de 1 i et 3+i. Solutio : o fait l additio (1 i)+(3+i) 4. La figure (a) ci-dessous motre les complexes 1 i et 3+i. Lafigure (b) motre parallélogramme gééré par les deux complexes aisi que sa diagoale. ( 3, 1) ( 3, 1) x ( 1, 1 ) ( 1, 1 ) (a) Exemple 7 Représeter das le pla complexe la différece de 1+i et 3 i. Solutio : o fait la soustractio (b) (1 + i) (3 i) (1 3) + ( + 1) i +3i. La figure (a) ci-dessous motre les complexes 1+i et (3 i). La figure (b) motre parallélogramme gééré par les deux complexes aisi que sa diagoale. 1 + i 1 + i ( 3 i ( 3 i ( 3 1 ( i 3 i 5

7 3.4 Quelques cocepts Nombre complexe cojugué Soit z a + ib u ombre complexe, so cojugué est le complexe oté z est défii par z a ib b 0 a M1(z) -b M(z) Exemple 8 Calculer les cojugués des complexes suivats : 1 i, 3i, 8, 3 6i et π i 1. le cojugué de 1 i est 1 i 1+i.. le cojugué de 3i est 3i 3i. 3. le cojugué de 8 est le cojugué de 3 6i est 3 6i 3+6i. 5. le cojugua de z π i est z π +i Propriété du complexe cojugué Exemple 9 Das ce qui suit, z, z 1,etz représetet des ombres complexes arbitraires. 1. Le produit d u complexe et de so cojugué est u réel positif. E effet : z z (a + bi)(a bi) a + b +0i a + b. Si z est ombre réel, alors z z ; 3. Le cojugué du cojugué de z est égal à z c est-à-dire z z ; 4. Le cojugué de la somme est la somme des cojugués : (z 1 + z )z 1 + z ; 5. Le cojugué du produit est le produit des cojugués : z 1 z z 1 z ; µ z1 6. Le cojugué du rapport est le rapport des cojugués : z 1. z Exercice 1 Motrer que Re(z) 1 (z + z) et Im(z) 1 (z z). i 3.4. Iverse d u complexe Soit z (a + ib) u ombre complexe, so iverse oté z 1 est tel que : zz 1 1. U calcul simple doe z 1 1 a + ib Exemple 10 Calculer l iverse de z +3i. Solutio : O peut obteir l iverse comme suit : z a a + b + i b a + b z i 1 +3i 3i 3i 3i ( + 3i)( 3i) i Noter qu o a multiplier e haut et e bas par le cojugué du déomiateur. L idée est basée sur le fait que z z est u réel. 6

8 3.4.3 Divisio deux complexes La méthode permettat d écrire le rapport de deux complexes sous la forme algébrique est basée sur le fait que (a + bi)(a bi) a + b. Soiet z 1 (a + ib) et z (c + id) deux ombres complexes, o peut effectuer la divisio de z 1 par z comme suit a + bi c + di µ a + bi c + di µ c di (ac + bd)+(bc ad) i (ac + bd) c di c + d c + d + Noter qu o a multiplier les deux termes de la fractio par le cojugué du déomiateur. Exemple 11 Calculer 8+7i. i Solutio : O fait le calcul par étapes : 8+7i i (bc ad) c + d i 8+7i i (O multiplie par le cojugué du déomiateur i) i i 8i 7i i (Distributivité de la multiplicatio) 8i 7( 1) (Rappelez-vous que i 1) ( 1) 7 8i 7 8i 1 Exemple 1 Calculer 1+i 3 i. Solutio : O commece par ratioaliser le déomiateur e utilisat so cojugué. Notos que le cojugué de 3 i est 3+i. E multipliat le umérateur et le déomiateur par le cojugué : 1+i 3 i 1+i 3 i 3+i o multipliat le umérateur et le déomiateur par le cojugué 3+i 3+i (1 + i)(3 + i) o effectue la multiplicatio au umérateur et au déomiateur (3 i)(3 + i) 3+i +3i +i 9+6i 6i 4i rappelez-vous que i 1 3+i +3i +( 1) 9+6i 6i 4( 1) 3+5i i Exemple 13 Calculer 8+0i. 6 Solutio : Comme le déomiateur est u ombre réel, il est pas écessaire de passer par la techique de la multiplicatio par le cojugué. 8+0i Module d u ombre complexe i i Soit z a + ib, z a ib. Rappelos que pour tout z C o a : z.z a + b qui est u réel positif. O appelle module (ou valeur absolue) de z qu o ote z le réel positif : ρ z z.z b a + b 0 ρ M1(z) a 7

9 Propriétés Soiet z, z 1 et z des ombres complexes arbitraires. 1. z 0est équivalet à z 0. z 1 z z 1 z et z 1 z z 1 z 3. z 1 + z z 1 + z Exemple 14 Calculer le module des complexes suivats : 5i, 7+3i, 11 4i, et3i. Solutio :il suffit d appliquer la défiitio 5i i i i 93 Exemple 15 Motrer que le module du produit de 3 i et 4+i est égal au produit de leurs modules. Solutio :Ofaitlescalculs (3 i)( 4+i) i i 4+i Exercice Calculer le module des complexes suivats : z 1 1+i ; z 1+i 3 ; z 3 ( 1+i 3) 3 ; z 4 1+i 3+i 3.5 Nombre complexe sous forme trigoométrique Rappelos qu à chaque complexe z a + ib o peut associer u poit (a, b) du pla euclidie. b 0 ρ θ a M1(z) La représetatio de ce poit e coordoées polaires doe a ρ cos θ et b ρ si θ, oùρ 0. Aisi,tout ombre complexe peut s écrire sous la forme : z a + ib ρ cos θ + iρ si θ ρ (cos θ + i si θ) où ρ z p a + b et ta θ b a L agle θ est appelé argumet de z. Noter l argumet d u complexe est pas uique ; deux argumets d u complexe z diffèret par u multiple etier de π. O ote θ argz (π) D où la forme trigoométrique d u complexe : z ρ(cos θ + i si θ) qu o ote aussi z [ρ, θ] Si z a + ib ρ (cos θ + i si θ), o a les relatios suivates : a ρ cos θ et b ρ si θ 8

10 Propriétés Soiet z 1 ρ(cos θ+i si θ) et z σ(cos ϕ+i si ϕ) deux ombres complexes. O a les propriétés suivates : 1. Egalité de deux complexes z z 0 si et seulemet si ρ σ et θ ϕ (π). si z ρ(cos θ + i si θ) alors z ρ(cos θ i si θ) ; Par ailleurs, o a ρ a + b cos θ 3. si z (a + ib) ρ(cos θ + i si θ) o a si θ a a + b b a + b Exemple 16 Détermier le module et u argumet du complexe : z 1+i. Solutio : Etape 1 : o calcule d abord so module z 1+i Etape : o met le module e facteur das l expressio de z z ( i) ( + i)ρ(cos θ + i si θ) o a doc cos θ et si θ par suite θ π 4 (π). Aisi z [, π 4 ] Exemple 17 Détermier le module et u argumet du complexe : z 1+i 3 Solutio : Etape 1 : o calcule d abord so module z 1+i 3 Etape : o met le module e facteur das l expressio de z o a doc cos θ 1 et si θ 3 par suite θ π 4 z ( i)ρ(cos θ + i si θ) (π). Aisi z [, π 3 ] 3.6 Notatio expoetielle d u complexe Défiitio (Euler) Si θ est u réel, o défii e iθ par Plus gééralemet, si z x + iy, alors e iθ cosθ + i si θ e z e x e iy e x (cos y + i si y) 9

11 3.6.1 Notatio expoetielle Produit de deux complexes Soiet z 1 ρ(cos θ + i si θ) ρe iθ et z σ(cos ϕ + i si ϕ) deux ombres complexes. Le produit de ces deux ombres est doé par z 1 z ρe iθ σe iϕ ρσe iθ e iϕ ρσe iθ+iϕ + ρσe i(θ+ϕ) soit et doc O déduit sas peie que z 1 z ρσe i(θ+ϕ) ρσ [cos(θ + ϕ)+i si(θ + ϕ)] z 1.z [ρσ, (θ + ϕ)] z 1 z z 1 z et doc z z z 1 z z 1 z arg(z 1 z )arg(z 1 )+arg(z )(π) et doc arg(z )arg(z) (π) arg( z 1 )arg(z 1 ) arg(z )(π) z Autremet, le produit de deux complexes est u complexe ayat pour module le produit des modules et pour argumet la sommes des argumets Notatio expoetielle Puissace d u complexe Soiet u etier positif et z 1 ρ(cos θ + i si θ) ρe iθ u ombre complexe. O a z 1 [ρ(cos θ + i si θ)] ρe iθ ρ e iθ ρ (cos θ + i si θ) autremet [ρ(cos θ + i si θ)] ρ (cos θ + i si θ) ρ e iθ Notatio expoetielle Formule de Moivre A partir des propriétés des puissaces, o a Pour tout Z (e iθ ) e iθ pour tout Z Autremet o a la formuledemoivresuivate : (cos θ + i si θ) cosθ + i si θ Itérêt : la formule de Moivre est très utile pour calculer cos θ et si θ e foctio de cos θ et si θ. Exemple 18 Exprimer cos θ et si θ e foctio de cos θ et si θ. Solutio : d après la formule de Moivre o a : cos θ + i si θ (cosθ + i si θ) cos θ +cosθ i si θ +(i si θ) cos θ +i cos θ si θ si θ soit d où cos θ + i si θ cos θ si θ + i cosθ si θ cos θ cos θ si θ et si θ cosθ si θ 10

12 3.6.4 Notatio expoetielle Formule d Euler E utilisat la otatio d Euler o a : e iθ cosθ + i si θ et e iθ cosθ isi θ E additioat les deux expressios, o obtiet e iθ + e iθ cosθ E soustryat ces deux expressios, o obtiet e iθ e iθ isi θ D où o déduit les formules d Euler cos θ eiθ + e iθ si θ eiθ e iθ i U des itérêts de la formule d Euler peut être illustrer par l exemple suivat. Exemple 19 Liéariser cos θ et si θ. Solutio : d après les formules d Euler o a cos θ eiθ + e iθ et si θ eiθ e iθ et doc i µ e cos iθ + e iθ µ e θ si iθ e iθ θ i 1 4 (eiθ + e iθ ) 1 4 (eiθ e iθ ) 1 4 (eiθ +e iθ e iθ + e iθ ) 1 4 (eiθ e iθ e iθ + e iθ ) 1 4 (eiθ + e {z iθ +) 1 } 4 (eiθ + e iθ ) {z } cosθ cosθ Soit efi cos θ 1 (cos θ +1) et si θ 1 (cos θ 1) 3.7 Résolutio des équatios à coefficiets complexes Résolutio des équatios Racies d u ombre égatif Notos d abord que si r est réel positif (r >0), alors o a : i r r et i r r Aisi, les racies carrées de r sot Autremet i r et i r x r équivaut à x i r ou x i r Exemple 0 Détermier les racies de 4 et de 3. Solutio : cela reviet à résoudre les équatios x 4 et x 3. D après ce qui précède, o a x 4 équivaut à x i 4i ou x i 4 i de même x 3 équivaut à x i 3 ou x i 3 11

13 Dager! Quelques précautios sot à predre quad o fait des calculs coteat des racie des ombres égatifs, car les propriétés habituelles e sot pas valables das ce cas. E particulier, 3i i 3 6i 6 Tadis que p ( ) ( 3) 6 Aisi, la propriété ab a b est pas valable si les ombres a et b sot égatifs Résolutio des équatios Racies ième de l uité Notos que trouver les racies ième de l uité reviet à résoudre l équatio : z 1. Et rappelos que θ ϕ (π) (o lit θ est égale à ϕ modulo π) sigifie queθ ϕ +kπ pour k Z. Exemple 1 Trouver les racies carrées de l uité. Solutio : Trouver les racies carrées de l uité reviet à résoudre l équatio z 1. Pour cela o écrit 1 sous forme trigoométrique et o cherche z sous forme trigoométrique z ρ(cos θ + i si θ) [ρ, θ]. Aisi sous forme trigoométrique l équatio z 1s écrit [ρ, θ] [1, 0] soit [ρ, θ] [1, 0] car aisi ½ ρ 1 θ 0(π) 11(cos0+i si 0) [1, 0] ½ 1 ρ 1 ce qui est équivalet à θ 0+kπ pour k Z et doc ( ρ 1 θ 0 + kπ pour k Z o peut facilemet voir que les seules racies distictes sot k 0 k 1 z 0 cos( 0 π )+isi( 0 π )cos0+isi 0 1 z 1 cos( 1 π )+isi( 1 π )cos π + i si π 1 z1 0 z0 Exemple Trouver les racies troisièmes de l uité. Solutio : Trouver les racies troisièmes de l uité reviet à résoudre l équatio z 3 1. Comme das l exemple précédet o cherche z sous forme trigoométrique z ρ(cos θ + i si θ) [ρ, θ]. Aisi sous forme trigoométrique l équatio z 1s écrit [ρ, θ] 3 [1, 0] soit [ρ 3, 3θ] [1, 0] 1

14 et doc ½ ρ 3 1 3θ 0(π) par suite o a ½ 1 ρ 1 3 ce qui est équivalet à 3θ 0+kπ pour k Z ( ρ 1 θ kπ 3 o peut facilemet voir que les seules racies distictes sot k 0 k 1 k pour k Z z 0 cos( 0 π )+isi( 0 π )cos0+isi z 1 cos( 1 π )+isi( 1 π )cos π i si π 3 z cos( π )+isi( π )cos 4π i si 4π i 1 3 i z1 0 z0 z E gééral, la résolutio z 1das C reviet à chercher z ρ(cos θ + i si θ) [ρ, θ] tel que ce qui doe [ρ,θ][1, 0] ½ ρ 1 θ 0(π) ce qui est équivalet à ½ ρ 1 1 θ 0+kπ pour k 0,, 1 soit ( ρ 1 θ 0 + kπ Doc toutes les racies ot le même module. pour k 0,, 1 Coclusio 1 z 1admet racies distictes qui sot doées par z k cos kπ kπ + i si avec k {0,, 1} c est-à-dire k 0 z 0 cos( 0 π )+isi( 0 π )cos0+isi 0 k 1 z 1 cos( 1 π )+isi( 1 π )cos π + i si π k z cos( π )+isi( π )cos 4π + i si 4π k 3 z 3 cos( 3 π )+isi( 3 π )cos 6π + i si 6π.. ( 1) π ( 1) π k 1 z ( 1) cos( )+isi( ) Notos que les poits M i d affixe z i sot sommets d u polygoe régulier iscrit das le cercle uité de cetre O (M 0 A(z 0 )). 13

15 z3 z z1 z Résolutio des équatios Racies ième d u complexe Soit α a + ib u ombre complexe doé. O propose de détermier les racies ième de α. Notos que ceci reviet à résoudre l équatio : z α. Pour cela o écrit α sous forme trigoométrique α σ(cos ϕ + i si ϕ) et o cherche z forme trigoométrique z ρ(cos θ + i si θ) et l équatio deviet ρ (cos θ + i si θ) σ(cos ϕ + i si ϕ) cette équatio et doc possible si et seulemet si ½ ρ σ ρ σ 1 ce qui équivalet à θ ϕ (π) θ k 1 ϕ + kπ Coclusio L équatio z α admet racies distictes : même module k 0,, 1 c est-à-dire k 0 k 1 k k 3. k 1 z k σ 1 (cos( ϕ +kπ ³ z 0 σ 1 cos ϕ + i si ϕ µ z 1 σ 1 cos ϕ +π µ z σ 1 cos ϕ +4π z 3 σ 1. )+isi( ϕ +kπ )) avec k {0,, 1} + i si ϕ +π + i si ϕ +4π µ cos ϕ +6π + i si ϕ +6π µ ϕ + ( 1) π ϕ + ( 1) π z ( 1) σ 1 cos( )+isi( ) Les poits M i d affixe z i sot sommets d u polygoe régulier iscrit das le cercle de rayo r ρ de cetre O (M 0 A(z 0 )). Remarque 4 Les solutios de z a sot appelées les racies carrées de a. Ces deux racies sot opposées. E effet : Sia 1o a z 1 1et z 1 ; Sia ρe iθ 61o a : z 1 ρe i θ et z ρe i( θ + π ) ρe i θ e iπ ρe i θ z 1 14

16 Exemple 3 Détermier les racies quatrième de α 1+i. Solutio : rappelos que cela reviet à détermier des complexe z ρ(cos θ + i si θ) tel que : z 4 1+i. Tout d abord o met α 1+i sous forme trigoométrique 1+i ( + i. ) (cos π 4 + i si π 4 ) Aisi, e utilisat les otatios expoetielles o a : ceci est possible si et seulemet si : ( ρ 4 4θ π 4 (π) D où les solutios sot z 4 1+i doe ρ 4 (cos 4θ + i si 4θ) (cos π 4 + i si π 4 ) ρ 1 8 θ k π 16 + kπ 4 k 0,, 3 k 0 z 0 8 ³ cos π 16 + i si π 16 k 1 z 1 8 ³ ³ π cos 16 + π ³ π + i si 16 + π ³ ³ π π ³ π π k z 8 k 3 z 3 8 cos µ cos µ π π + i si + i si µ π π Exemple 4 Détermier les racies troisième de α i. Solutio : Cela reviet à détermier des complexe z ρ(cos θ + i si θ) tel que : z 3 i. Tout d abord o met α i sous forme trigoométrique Aisi, e utilisat les otatios expoetielles o a : ceci est possible si et seulemet si : ( ρ 3 1 3θ π (π) i 1(0+i.1) 1(cos π + i si π ) z 3 i doe ρ 3 (cos 3θ + i si 3θ) 1(cos π + i si π ) ρ D où les racies troisième de α i sot ³ k 0 z 0 cos π 6 + i si π µ µ 6 π k 1 z 1 cos 6 + π ³ ³ 3 π π k z cos i si θ k π 6 + kπ 3 µ π + i si 6 + π ³ 3 π π Résolutio des équatios Racies carrées k 0,, i i 3 1 i Soit α a + ib u ombre complexe doé. Détermier les racies carrées de reviet à détermier les complexes z tel que : z a + ib Notos que cette équatio est u cas particulier de ce qu o viet de voir ci-dessus. Pour la résoudre o propose ueouvelleméthodeappeléeméthode algébrique. Cette méthode cosiste à chercher les racies sous forme algébrique : z x + iy. O a doc z a + ib c est-à-dire (x + iy) a + ib 15

17 Soit ce qui est équivalet à Par ailleurs D où efi x y + ixy a + ib ½ x y a xy b z α x + y p a + b z a + ib est équivalet à E résolvat ce système, o détermie les deux racies de a + ib. x + y a + b x y a sige de xy sige de b Exemple 5 Résoudre das C l équatio : z 3 4 i. Solutio : O cherche ces racies par la méthode algébrique. O a doc Par ailleurs o A partir des deux équatios ci-dessus o a z 3 4 i soit x y + ixy 3 4 i z 1+i x + y s µ3 4 x + y 5 4 (1) x y 3 4 () xy < 0 (3) +( 1) 5 4 Pour résoudre ce système o procède de la maière suivate (c est ue techique très utile) O déduit doc que (1) + () doe (x + y )+(x y ) 5 4 +( 3 4 ) soit x 1 (1) () doe (x + y ) (x y ) 5 4 ( 3 4 ) soit y x 1 4 y 1 par coséquet x ± 1 y ±1 ces solutios ous doe quatre complexes qui sot : 1 + i, 1 + i, 1 i et 1 i. Or la troisième équatio du système xy < 0 permet de déduire les boes solutios qui sot z i et z 1 1 i Remarque 5 Les deux racies de z α sot opposées et s appellet les racies carrées de α. Eeffet : 1. Si α 1,oaz 1 1et z 1 (doc opposée). Si α 6 1α ρe iθ et o motre facilemet que les racies de α sot z 1 ρe i θ et z ρe i( θ + π ) or ρe i( θ + π ) ρe i( θ ).e i(π) ρe i( θ ) (cos π + i si π) ρe i( θ ) et par coséquet les deux racies sot opposées. 16

18 3.7.5 Résolutio des équatios Equatio du secod degré O s itéresse à la résolutio das C de l équatio où les coefficiets a, b et c sot das C. Cas 1 Si a 0et b 6 0alors x c b Cas Supposos que a 6 0 L équatio peut se mettre sous la forme : ax + bx + c 0 a(x + b a ) + c b b 0soit (x + 4a a ) b 4ac 4a 4a avec b 4ac Aisi résoudre l équatio reviet à chercher les racies carrées de ou de 4a Si 6 0, o sait qu il a toujours deux racies opposées z 0 et z 0. D où les racies de l équatio : x 1 b + z 0 a ; x b z 0 a Si 0, il y a ue racie double : x b a Coclusio 3 Das le cas où est o ulle, résoudre ax + bx + c 0reviet à détermier les racies de. Pour cela o utilise souvet la méthode algébrique. Exemple 6 Résoudre l équatio du secod ordre suivate x +90 Solutio : cette équatio s écrit : x 9 i 9 et la détermiatio des solutios deviet évidete : Et l esemble des solutios S { 3i ; 3i}. x 1 3i et x 3i Exemple 7 Résoudre l équatio Solutio : Etape 1 : O cherche le discrimiat x +4x (1)(5) 4 Etape : O cherche les racies de 4. Ces racies sot doc z 0 i et z 1 i Etape 3 : les racies de l équatio sot x 1 b + z 0 a 4+i Aisi l esemble des solutios S { +i ; i}. +i et x b z 0 a 4 i i 17

19 Exemple 8 Résoudre l équatio x 3ix +40,Solutiois:{x 4i}, {x i} Solutio : Etape 1 : O cherche le discrimiat ( 3i) 4(1)(4) 5 Etape : O cherche les racies de 5. Ces racies sot doc Etape 3 : les racies de l équatio sot z 0 5i et z 1 5i x 1 b + z 0 a 3i +5i Aisi l esemble des solutios S {4i ; i}. 4i et x b z 0 a 3i 5i i Exemple 9 Résoudre l équatio z +( 3 4i)z 1+5i 0,Solutiois:{z 1+i}, {z +3i}. Solutio : Etape 1 : O cherche le discrimiat b 4ac ( 3 4i) 4( 1+5i) 3+4i Etape : O cherche les racies de 3+4i par la méthode algèbrique. Pour cela o cherche z x + iy tel que z 3+4i. Soit A partir des deux équatios ci-dessus o a x + y 5 (1) x y 3 () xy > 0 (3) x y + ixy 3+4i de plus z 3+4i x + y 5 et doc (1) + () doe (x + y )+(x y )5 3 soit x (1) () doe (x + y ) (x y )5+3 soit y 8 O déduit doc que : x ±1 et y ±. Comme xy > 0 o a Etape 3 : les racies de l équatio sot z 0 1+i et z 1 1 i x 1 b + z 0 a ( 3 4i)+1+i Aisi l esemble des solutios S {+3i ; 1+i}. +3i et x b z 0 a ( 3 4i) 1 i 1+i 3.8 Complémets : Coséqueces de la otatio expoetielle Notatio expoetielle Justificatio formelle D après Euler, u ombre complexe peut se mettre sous forme expoetielle e it via les foctios trigoométriques cos t et si t comme suit : e it cost + i si t La justificatio de telle otatio est basée sur la dérivatio formelle des deux termes de l expressio ci-dessus. Plus précisémet, d ue part, o a : d dt (eit ) ie it i cos t + i si t i cos t si t si t + i cos t (car d dt (eat )ae at et o pred a i) 18

20 d autre part, o a : d (cos t + i si t) si t + i cos t dt E plus, pour t 0,oobtiet1 des deux côtés. Ce qui de permet de doer ue justificatio formelle à l idetité ci-dessus. La formulatio e iθ cosθ + i si θ est très importate pour plusieurs résultats e trigoométrie et e calcul différetiel. Elle permet, surtout, de détermier aisémet u certais ombre de formules trigoométriques Notatio expoetielle Idetités Trigoométriques La otatio d Euler permet d avoir qui s écrit, e terme de foctios cos et si : d où o déduit e it.e is e i(t+s) (cos t + i si t)(cos s + i si s) cos(t + s)+i si(t + s) cos(t + s) cost cos s si t si s et cos(t + s) sit cos s +cott si s Ceci vous doe u moye très simple pour retrouver ces formules trigoométriques. O peut aussi exprimer les foctios trigoométriques e terme des ombres complexes e it et e it e se rappelat que cos est paire et que si est impaire. O procède comme suit : e it cost + i si t (1) e it cost isi t () e additioat (1) et () et e divisat par, oobtiet cos t eit + e it e retrachat de (1) le () et e divisat par i, oobtiet si t eit e it i Ue autre maipulatio suggérée par la otatio expoetielle : Ce qui permet d avoir e it.e it e it it e (cost + i si t)(cos( t)+isi( t)) (cost + i si t)(cos t i si t) cos t i si t cos t +si t Il y a plusieurs autres exemples d utilisatio de cette fabuleuse otatio expoetielle. Comme exemple, oter qu o peut e extraire u très grad ombre d idetités. Rappelez-vous que cos t + i si t e it (e it ) (cost + i si t) 19

21 3.8.3 Notatio expoetielle Calcul différetiel Les foctios de la forme e at cos bt et e at si bt itervieet souvet das plusieurs applicatios. Pour la détermiatio de leurs dérivées, o peut utiliser la formule d Euler et la lois de la dérivatio du produit : d dt (eat cos bt + ie at si bt) d dt (e(a+ib)t ) (a + ib)e (a+ib)t (a + ib)(e at cos bt + ie at si bt) (ae at cos bt be at si bt) + i(be at cos bt + ae at si bt) {z } {z } (e at cos bt) 0 (e at si bt) 0 ce qui doe simultaémet les dérivées des deux foctios : e at cos bt et e at si bt. Cette procédure est très agréable pour la recherche des dérivées d ordre supérieur Notatio expoetielle Equatios différetielles Cette otatio expoetielle iterviet quad o veut résoudre des équatios différetielles à coefficiets costats. Das ce cas, le but état de trouver les réels a et b telles que e at cos bt et e at si bt soiet solutios de telles équatios. Exemple 30 Cosidéros l équatio différetielle : ay +by 0 + cy 0 Celle-ci peut être résolue e cherchat des solutios sous forme y(x) e rx. E substituat das l équatio, o costate qu ue telle foctio est solutio de équatio différetielle si et seulemet si o a : ar + br + c 0 Cette derière équatio algébrique peut admettre des solutios complexes. Das de tels cas, la formule d Euler ous permet d obteir les foctios solutios à valeurs réelles. 0