BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Nombrescomplexes

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1 BTS Mécanique Automatismes Industriels Nombrescomplexes, Année scolaire 008/009

2 Table des matières Nombres complexes.lesdifférentesécritures Forme algébriqued unnombre complexe.... Représentationgéométrique d unnombre complexe Forme trigonométrique, forme exponentielle.....opérations dansl ensemble C Conjugaison, nombre complexeconjugué..... Opérations sous forme algébrique..... Additionmultiplication Inverse quotient dedeux nombrescomplexes Opérations sous forme trigonométrique Produit,produits itérés Inverse quotient Avecla notation exponentielle Interprétations géométriques Addition, soustractionde deuxcomplexes Multiplicationd uncomplexe parunréel Quelques propriétésdela conjugaison desnombres conjugués Quelques propriétéssur les modules Quelques propriétéssur les arguments Équations du second degréàcoefficients réels Formules de Moivre d Euler Calculderacines carréesdans C Équations du second degréàcoefficients dans C....5 Nombres complexes : exercices

3 . Les différentes écritures Nombres complexes. Forme algébrique d un nombre complexe On désigne par i le nombre tel que type i =, on appelle nombre complexe tout nombre z ayant une écriture du z = a + ib où a b sont des nombres réels. Cte écriture est appelée forme algébrique, ou encore forme cartésienne, du nombre complexe z, les nombres a b sont respectivement appeléspartieréelle partieimaginaire du nombre complexe z. On note : a = Re(z) b = Im(z) On désigne par C l ensemble des nombres complexes. Il contient l ensemble R des nombres réels (on note R C). Deux nombres complexes z = a + ib z = a + ib sont égaux si seulement si a = a b = b.. Représentation géométrique d un nombre complexe Dans le plan muni d un repère orthonormal (O, u, v), on associe à tout nombre complexe z = a + ib le point M de coordonnées (a, b). Ce point M(a, b) est appelé image du nombre complexe z, z est appelé affixe du point M. De même, Le vecteur OM est nommé vecteur image du nombre complexe z, z est appelé affixe du vecteur OM. L axe des abscisses (O, u) est dit axe réel; l axe des ordonnées (O, v) est dit axe des imaginaires. Remarques: Le point O est l image du nombre 0. Un nombre z réel a pour image un point de l axe (O, u) Un nombre z imaginaire pur (c est à dire de la forme z = ib avec b réel) a pour image un point de l axe (O, v) Les nombres z z ont pour images deux points M M symétriques par rapport à O..3 Forme trigonométrique, forme exponentielle Soit le nombre complexe z = a + ib son point image M dans le plan rapporté à un repère orthonormal (O, u, v). Le point M, s il est différent de l origine O, est entièrement déterminé par les données de la distance r de l angle θ, où r = OM θ = ( u, OM). Ce qui nous donne une autre écriture pour le nombre complexe z. On notera z = [r, θ] ou z = re iθ qui sont respectivement appelées forme trigonométrique forme exponentielle du nombre complexe z. On appellemodule de z, on note z, le nombre z = r. On appelle argument de z, on note Arg(z), toute mesure de l angle θ. L argument d un nombre complexe n est donc défini qu à kπ près. On en donne généralement la détermination principale qui est la mesure appartenant à l intervalle ] π, π]. En conséquence, les nombres z = [r, θ] z = [r, θ ] sont égaux si seulement si r = r θ = θ + kπ, où k Z. M a b O r O b θ a M

4 Pour passer d une écriture à une autre, on utilise les résultats suivants : si z = a + ib, on a z = r = a + b. en considérant les projections orthogonales du point M sur les axes de coordonnées, on obtient les relations a = r cos θ, b = r sin θ. On peut alors déterminer θ en utilisant le fait que cos θ = a r sin θ = b r Réciproquement, si on a la forme exponentielle z = re iθ, on détermine la forme algébrique avec la relation : z = re iθ = r(cos θ + i sin θ) = a + ib. Remarque: On a donc en particulier e iθ = cos θ + i sin θ.. Opérations dans l ensemble C. Conjugaison, nombre complexe conjugué Soit z = a + ib un nombre complexe. On appelleconjugué de z, on note z le nombre z = a ib. b M Si deux nombres complexes z z sont conjugués, alors leurs points images respectifs M M sont symétriques par rapport à l axe des abscisses. O θ θ a Si la forme trigonométrique de z est z = [r, θ] = re iθ, on vérifie immédiatement que l on a z = [r, θ] = re iθ b M. Opérations sous forme algébrique.. Addition multiplication Les calculs s effectuent comme dans l ensemble R des nombres réels. Il suffit de remplacer i par. Il en résulte en particulier que les identités remarquables restent valables pour les nombres complexes. On a ainsi, si A B sont deux complexes quelconques : (A + B) = A + AB + B (A B) = A AB + B (A + B) 3 = A 3 + 3A B + 3AB + B 3 (A B) 3 = A 3 3A B + 3AB B 3 A B = (A B)(A + B) Et on a en plus l égalité A + B = (A ib)(a + ib).. Inverse quotient de deux nombres complexes Soit z = a + ib avec z 0, alors z = z z z = a ib a + b. Le quotient de deux nombres est défini par z/z = z /z..3 Opérations sous forme trigonométrique On ne peut utiliser la forme trigonométrique pour additioner ou soustraire deux nombres complexes. Par contre, il est très aisé de multiplier, de diviser, ou d élever à une puissance entière en utilisant cte écriture.

5 .3. Produit, produits itérés Soit n un nombre entier positif ou négatif. On pose z = [r, θ] z = [r, θ ]. On vérifie alors facilement (avec le formulaire de trigonométrie) les relations z z = [r, θ] [r θ ] = [r r, θ + θ ] z n = [r, θ] n = [r n, n θ]..3. Inverse quotient On pose z = [r, θ] z = [r, θ ]. On vérifie alors facilement (avec le formulaire de trigonométrie) les relations lorsque z Avec la notation exponentielle z = [r,θ] = [ r, θ] z z Soient z = re iθ z = re iθ. Les règles de calcul précédentes s écrivent alors = [r,θ] [r θ ] = [ r r, θ θ ] z = r e iθ, zz = rr e i(θ+θ ) z n = r n e inθ, z z = r r ei(θ θ ).4 Interprétations géométriques.4. Addition, soustraction de deux complexes N(z C + z D ) D(z D ) B(z B ) M(z B z A ) C(z C ) v A(z A ) O u Soit z C z D deux nombres complexes de points images respectifs C D. Alors le nombre z N = z C + z D est l affixe du vecteur OC + OD. Soit z A z B deux nombres complexes de points images respectifs A B. Alors le nombre z M = z B z A est l affixe du vecteur AB. On a donc en particulier, AB = z B z A.4. Multiplication d un complexe par un réel ( u, AB) = Arg(z B z A ) La multiplication d un complexe par un nombre réel correspond à la multiplication des vecteurs par un nombre réel. Plus précisément : si a un nombre complexe de vecteur image OA α un nombre réel quelconque, alors αa est l affixe du vecteur α OA. 3

6 3. Quelques propriétés de la conjugaison des nombres conjugués Soit z z deux nombres complexes. On vérifie immédiatement les relations On a en outre, si z = a + ib avec a b réels, z + z = z + z z z = z z z + z = a z z = ib zz = a + b = z On en déduit les parties réelles imaginaires du nombre z : Re(z) = (z + z) Im(z) = (z z) i 4. Quelques propriétés sur les modules Comme on l a vu dans le paragraphe concernant les opérations sous forme trigonométrique, le module est compatible avec la multiplication la division. Autrement dit, si z z sont deux nombres complexes, si n est un entier relatif, on a z z = z z z n = z n z = z z z = z z Le module n est pas compatible avec l addition. On a néanmoins une majoration du module d une somme : z + z z + z Cte relation est connue sous le nom d inégalité triangulaire. 5. Quelques propriétés sur les arguments Comme pour les module, on a des relations simples concernant les arguments dans le cas du produit ou du quotient de deux nombres complexes : si z z sont deux nombres complexes, si n est un entier relatif, on a Arg(z z ) = Arg(z) + Arg(z ) (mod π) Arg(z n ) = n Arg(z) (mod π) ( ) ( ) z Arg = Arg(z) (mod π) Arg z z = Arg(z) Arg(z ) (mod π) De plus, si z A, z B z C sont respectivement les affixes des points A, B C dans le repère (O, u, v), alors on a Arg(z B z A ) = ( u, ( ) zc z A AB) Arg = ( AB, AC) z B z A 6. Équations du second degré à coefficients réels On considère l équation polynômiale d inconnue complexe z : (E) az + bz + c = 0 où a, b c sont des constantes réelles avec a 0. Posons az + bz + c). Alors Si = 0, l équation (E) adm une solution réelle double : Si > 0, l équation (E) adm deux solutions réelles : x = b a = b 4ac ( est appelé discriminant du polynôme x = b a x = b + a Si < 0, l équation (E) n adm pas de solution réelle, mais elle adm deux solutions complexes : z = b i a z = b + i a 4

7 7. Formules de Moivre d Euler Soit z = e iθ. Le nombre z n (pour n N) a pour module pour argument nθ. On en déduit la formule de Moivre (cos θ + i sin θ) n = cos(nθ) + i sin(nθ) soit (e iθ ) n = e inθ De plus, des relations on déduit lesformules d Euler e iθ = cos θ + i sin θ e iθ = cos θ i sin θ cos θ = (eiθ + e iθ ) sin θ = i (eiθ e iθ ) Ces formules permtent la linéarisation des formules trigonométriques (c est à dire la transformation d un produit de fonctions trigo en somme de fonctions trigo). Par exemple, on a cos 3 θ = 3 (eiθ + e iθ ) 3 = ( e 3iθ + 3e iθ e iθ + 3e iθ e iθ + e 3iθ) 8 = ( e 3iθ + e 3iθ + 3 ( e iθ + e iθ)) 8 = 8 ( cos 3θ + 3 cos θ) soit cos3 θ = 4 cos 3θ cos θ La linéarisation est souvent employée pour déterminer une primitive d un produit de fonctions trigonométriques. 8.Calcul de racinescarréesdans C L ensemble des nombres complexes possède une propriété remarquable : toute équation polynômiale de degré n y possède exactement n racines (en comptant les ordres de multiplicité). En particulier, si a est un nombre complexe quelconque, l équation Z a = 0 possède deux solutions complexes z z. On aura donc z = z = a, z z seront appelées les racines carrées du nombre complexe a. Résolution pratique Par exemple, cherchons les deux racines carrées de 3 + 4i. On pose z = a + bi l inconnue solution de l équation Z = 3 + 4i. Il vient : { (a + ib) = 3 + 4i a b + iab = 3 + 4i a b = 3 ab = 4 D autre part, comme z = 3 + 4i, on a également a + b = = 5. Finalement, nous avons donc à résoudre le système { a b = 3 { a = 8 { a = 4 a + b = 5 ab = 4 b = ab = 4 b = ab = 4 En remarquant que a b sont de même signe puisque le produit ab est positif, on en déduit que les deux racines carrées de 3 + 4i sont z = + i z = i. 9. Équations du second degré à coefficients dans C Soit l équation (E) az + bz + c = 0, où a, b, c C. On appelle discriminant de cte équation le nombre complexe = b 4ac. Soit δ une racine carrée de. Alors l équation (E) adm les deux racines z = a ( b δ) z = ( b + δ). a 5

8 Nombres complexes : exercices sin π/3 3π/4 π/ π/3 π/4 5π/6 0,5 π/6 π 0,5 0,5 0 cos 5π/6 0,5 π/6 3π/4 π/3 π/ π/4 π/3 x 0 cos x sin x 0. Calculs sous forme algébrique Exercice : Calculs sous forme algébrique On considère la fonction polynôme P définie sur C par π 6 3 π 4 P(z) = z 5z + 6i. π 3 3 π 0 Calculer P(0), P(i), P(i), P(i + ). Exercice : Calcul sous forme algébrique Déterminer les parties réelles imaginaires de z = + i z = i + i z 3 = 3i 4 5i z 4 = i 3 + 3i. Exercice 3: Calculs sous forme algébrique Mtre sous la forme algébrique a + bi les nombres complexes suivants : Exercice 4: Impédance complexe a) i + 3i, b) i + i, c) On note j le nombre complexe de module d argument π/. On donne le nombre complexe avec R = 900, Z = 00 j, Z = 600 j. α = Z Z (Z + R) + Z R, Mtre le nombre complexe α sous la forme algébrique a + b j. 6 ( ) 3i + i

9 Exercice 5: Impédance complexe On note j le nombre complexe de module d argument π/. L impédance complexe d un circuit est telle que avec Z = + j, Z = + 3 j Z 3 = j. Mtre Z sous la forme algébrique a + b j.. Forme exponentielle Z = Z Z Z + Z + Z 3, Exercice 6: Forme algébrique à partir de la forme exponentielle Déterminer la forme algébrique du complexe z A = e 3iπ 4. Exercice 7: Forme algébrique à partir de la forme exponentielle Déterminer la forme algébrique du complexe z B = e iπ 4. Exercice 8: Forme trigonométrique ou exponentielle Déterminer les formes trigonométriques des nombres z = 3i, z = 5, z 3 = i z 4 = + i 3 Exercice 9: Calcul sous forme trigonométrique Déterminer les formes trigonométrique des nombres, i, i. Déterminer la forme algébrique de ( + i) 008 Exercice 0: De l utilité de la forme trigonométrique: racines nièmes de l unité Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O, u, v). Les quatres questions ci-dessous sont indépendantes, on fera un dessin distinct par question.. Soit M le point d affixe z = M le point d affixe z. a) Déterminer les formes trigonométriques exponentielles de z z. b) Calculer les coordonnées des points M M. c) Représenter M M dans le plan complexe.. Soit M le point d affixe z = ( + i 3), M le point d affixe z, M 3 le point d affixe z 3. a) Déterminer les formes trigonométriques exponentielles de z, z z 3. b) Calculer les coordonnées des points M, M M 3. c) Représenter M, M M 3 dans le plan complexe. 3. Soit M le point d affixe z = i, M le point d affixe z, M 3 le point d affixe z 3, M 4 le point d affixe z 4. a) Déterminer les formes trigonométriques exponentielles de z, z, z 3 z 4. b) Calculer les coordonnées des points M, M, M 3 M 4. c) Représenter M, M, M 3 M 4 dans le plan complexe. 4. Soit M le point d affixe z = ( + i ), M, M 3, M 4, M 5, M 6, M 7, M 8 les points d affixes respectives z, z 3, z 4, z 5, z 6, z 7, z 8. a) Déterminer les formes trigonométriques exponentielles de z, z 3, z 4, z 5, z 6, z 7, z 8. b) Calculer les coordonnées des points M, M, M 3, M 4, M 5, M 6, M 7 M 8. c) Représenter M, M, M 3, M 4, M 5, M 6, M 7 M 8 dans le plan complexe. 7

10 Exercice : Module argument d une puissance On considère les nombres complexes : z = 3 i, z = i, A = z4 z 3 (où i désigne le nombre complexe de module d argument π/).. a) Déterminer le module un argument des nombres complexes z, z, z 4, z3 A. b) En déduire la forme algébrique des nombres complexes z 4, z3 A.. Déduire des questions précédentes les valeurs exactes de cos π sin π. Vérifier les résultats obtenus avec votre calculatrice. 3. Équations dans C Exercice : Équations dans C Soit f la fonction de C dans C définie par f (z) = [( + i)z ](iz + ).. Déterminer la forme développée de f.. a) Résoudre dans C l équation ( + i)z = 0. b) Résoudre dans C l équation iz + = 0. c) Déduire des questions précédentes les solutions dans C de l équation f (z) = Montrer que, pour tout nombre complexe z, on a f (z) = (i )(z + i)(z i). Exercice 3: Équations du second degré à coefficients réels Résoudre dans C les équations a) z = 6 b) z = 3 c) z = 5 Exercice 4: Équations du second degré à coefficients réels Résoudre dans C les équations a) z + 3z + = 0 b) z z + = 0 Exercice5: Équationdu seconddegrédans C(Bacsti gm, juin 999) On désigne par i le nombre complexe de module d argument π/.. On considère le nombre complexe z = 3 + i. Calculer le module de z un argument de z.. a) Résoudre dans l ensemble des nombres complexes l équation suivante : z z + 4 = 0. b) Écrire les solutions sous forme trigonométrique. 3. Le plan est muni d un repère orthonormal direct (O, u, v) d unité graphique cm (ou grand carreau). On considère les nombres complexes z = + i z 3 = i on note M, M M 3 les points d affixes respectives z, z z 3. a) Montrer que les points M, M M 3 appartiennent au cercle de centre O de rayon. b) Placer les points M, M M 3 dans le plan. 8

11 Exercice 6: Racine carrée dans C Résoudre dans C l équation z = 3 4i. Exercice 7: Èquation du second degré à coefficients dans R. Résoudre dans C l équation z z + 4 = 0.. Déterminer le module un argument de chacune des solutions. Exercice 8: Èquation du second degré à coefficients dans C Calculer (3 i) puis résoudre dans C l équation z + z + 3i = 0. Exercice 9: Èquation du second degré à coefficients dans C Calculer (5 3i) puis résoudre dans C l équation z + (5 i)z + + 5i = 0. Exercice 0: Équation du second degré dans C[X] Résoudre dans C l équation z (5 + 3i)z i = 0. Exercice : Équation dans C[X] triangle On donne le polynôme de la variable complexe z : P(z) = z 3 (7 + 3i)z + (6 + 5i)z + 36i où i désigne le nombre complexe de module d argument π/.. a) Calculer P(i). b) En déduire une factorisation de P(z) en admtant que, dans C comme dans R, si un polynôme s annule pour z = a, alors il peut s écrire sous la forme (z a)q(z) où Q(z) est un polynôme.. Résoudre dans C l équation P(z) = a) Placer dans le plan complexe les points A, B C d affixes respectives z = i, z = 3 i, z 3 = 4 + 3i. b) Calculer la valeur exacte de la longueur de chaque côté du triangle ABC. Exercice : Équations géométrie. On considère le polynôme P défini, pour z C, par a) Calculer P( ). En déduire une factorisation de P(z). b) Résoudre dans C l équation z 3 3z + 3z + 7 = 0. P(z) = z 3 3z + 3z Le plan complexe est muni d un repère orthonormal (O, u, v) (unité graphique cm ou grands carreaux). On note A, B C les points d affixes respectives, i 3 + i 3. a) Placer ces trois points. b) Montrer que le triangle ABC est équilatéral. 9

12 Exercice 3: Équation dans C Déterminer la solution complexe z 0 de l équation z + z = + i. Exercice 4: Système d équations dans C Déterminer les nombres complexes z z tels que { z + z = 4 iz + z = 0 4. Linéarisation Exercice 5: Linéarisation Utiliser les formules d Euler pour transformer en somme l expression suivante : f (x) = sin(x) sin(3x) Exercice 6: Linéarisation Linéariser l expression sin 3 (x). Exercice 7: Équation trigonométrique linéarisation Le but de c exercice est la résolution dans l intervalle [0, π[ de l équation sin x sin 3x = 0.. Soit x un nombre réel : a) Développer (e ix e ix ) 3 montrer que (e ix e ix ) 3 = (e 3ix e 3ix ) 3(e ix e ix ). b) Transformer l égalité précédente à l aide des formules d Euler, en déduire que : 4 sin 3 x sin x = sin x sin 3x.. Résoudre dans l intervalle [0, π[ les équations suivantes : a) sin x = 0, b) sin x =, c) sin x =. 3. En déduire les solutions appartenant à l intervalle [0, π[ de l équation sin x sin 3x = 0. 0