Rappels : nombres complexes

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1 INSA Toulouse Cycle Préparatoire IFCI Module Outils Mathématiques Regroupement n Rappels : nombres complexes Nombres complexes Définition Définition Il existe un ensemble C appelé ensemble des complexes tel que : R est inclus dans C, Tout élément z de C est appelé nombre complexe et s écrit de la manière suivante : z = x+iy, où i 2 =, x R désigne la partie réelle de z, notée Re(z), et y R désigne la partie imaginaire de z, notée Im(z) L écriture z = x + iy est appelée forme algébrique et elle est unique : si deux nombres complexes sont égaux alors ils ont même partie réelle et même partie imaginaire Pour tous nombres complexes z = x +iy et = x 2 +iy 2, on a les règles suivantes : Si z = x+iy 0 alors : z + = (x +x 2 )+i(y +y 2 ) C, z = (x x 2 y y 2 )+i(x y 2 +x 2 y ) C z = x 2 +y2(x iy) C 2 Conjugué Définition 2 On appelle conjugué d un complexe z = x+iy C le complexe noté z et défini par z = x iy

2 Proposition 3 Pour tout complexe z, on a : z +z = 2Re(z), z z = 2iIm(z) En particulier, z R si et seulement si z = z, c est à dire Im(z) = 0 Et on dit que z est imaginaire pur si et seulement si Re(z) = 0, c est à dire z +z = 0 Proposition 4 Pour tout couple de complexes (z, ) C 2, on a : z + = z +, z = z Pour tout z C, on a : ( ) = z z Pour tout couple de complexes (z, ) C 2 avec 0, on a : ( z ) = z Pour tout z C, on a : z z = x 2 +y 2 R + 3 Module Définition 5 Pour tout z = x+iy C, on définit le module de z noté z par : z = z z = x 2 +y 2 Si z R, alors le module z coïncide avec la valeur absolue de z Proposition 6 Pour tout z C, z R +, z = 0 si et seulement si z = 0, z = z = z, Re(z) z et Im(z) z 2

3 Proposition 7 Pour tout (z, ) C 2, z = z, si 0, =, z = z Proposition 8 (Inégalité triangulaire) Pour tout (z, ) C 2, on a : z z + z + 4 Forme trigonométrique Définition 9 Si θ R, on note e iθ le nombre complexe défini par : e iθ = cosθ +isinθ C est un nombre complexe de module : e iθ = Remarque Si θ = 0, alors e iθ = Proposition 0 Pour tout nombre complexe z de module z = (on parle de nombre complexe unitaire), il existe θ R tel que z = e iθ Définition On appelle argument de z tout réel θ tel que z = z e iθ On note alors : argz θ[2π] Remarque L argument d un nombre complexe existe toujours puisque z z est de module : il existe donc θ R tel que z z = eiθ d après la proposition précédente Proposition 2 Soit z un complexe non nul et θ 0 un argument de z L ensemble des arguments de z est : θ 0 +2πZ = {θ 0 +2kπ, k Z} Théorème 3 Pour tout z C, il existe un unique couple (ρ,θ) R + [0,2π] tel que z = ρe iθ, où ρ = z est le module de z et θ est appelé argument principal de z La forme z = ρe iθ est appelée forme trigonométrique de z Proposition 4 Soient z et deux complexes non nuls de formes trigonométriques : z = r e iθ et = r 2 e iθ 2 On a les formes trigonométriques suivantes : z = r r 2 e i(θ +θ 2 ) 3 et z = r r 2 e i(θ θ 2 )

4 Corollaire 5 Soient z et deux complexes non nuls On a : argz ( ) argz +arg [2π], z arg argz arg [2π] Soit n un entier non nul et z un complexe non nul, on a : argz n nargz [2π] Quelques formules utiles pour terminer Proposition 6 (Formules d Euler) Pour tout θ R, cosθ = eiθ +e iθ 2 et sinθ = eiθ e iθ 2i Proposition 7 (Formule de Moivre) Pour tout θ R et n Z, on a ( ) e iθ n = e inθ, soit (cosθ +isinθ) n = cosnθ +isinnθ 5 Complément : exponentielle complexe Définition 8 Soit z = x+iy un complexe (avec (x,y) R 2 ) On appelle exponentielle de z le nombre complexe : e z = e x e iy Proposition 9 Etant donné un nombre complexe z, le module de e z est e Re(z) R +, et l un de ses arguments est Im(z) 6 Application à la trigonométrie 6 Linéarisation de cos m θ et sin n θ Cette application est fondamentale en vue du calcul intégral qui sera étudié dans les prochains regroupements L objectif est d exprimercos m θ etsin n θ sous la forme d une combinaison linéaire decoskθ et sinlθ, afin de faciliter la recherche de primitives Pour cela, on remplace cosθ et sinθ grâce aux formules d Euler et on développe Exemple ( ) e iθ cos 5 +e iθ 5 θ = = ( e 5iθ +5e 3iθ +0e iθ +0e iθ +5e 3iθ +e 5iθ) = (cos5θ+5cos3θ +0cosθ) 6 4

5 62 Expression de cos(nθ) et sin(nθ) en fonction de cosθ et sinθ Pour cette applicaiton, on utilise cette fois la formule de Moivre : D où cos5θ +isin5θ = (cosθ+isinθ) 5 cos5θ = Re(cosθ +isinθ) 5 = cos 5 θ 0cos 3 θsin 2 θ +5cosθsin 4 θ, sin5θ = Im(cosθ+isinθ) 5 = 5cos 4 θsinθ 0cos 2 θsin 3 θ +sin 5 θ On pourra utiliser la relation sin 2 θ = cos 2 θ pour n exprimer cos5θ qu en fonction de cos θ par exemple Pour aller plus loin : équations du second degré dans C Proposition 20 Tout complexe non nul admet exactement deux racines carrées opposées Remarque La notation ne sera réservée qu aux nombres réels positifs pour laquelle la distinction entre les deux racines est simple : a est bien défini comme l unique nombre positif b tel que b 2 = a Proposition 2 Etant donnés trois complexes a, b et c, avec a 0 Considérons l équation : a +bz +c = 0, et = b 2 4ac son discriminant Si 0, en appelant δ une racine carrée de, l équation admet deux racines distinctes : z = b±δ 2a Si = 0, l équation admet une racine double z 0 = b 2a 5