A. Équations algébriques réciproques

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1 SESSION 22 Concours commun Mnes-Ponts PREMIÈRE EPREUVE. FILIÈRE MP Sot P R n []. Posons P = A. Équatons algébrques récproques n a k k. k= n u n P = n a n k k = a k n k = k= k= n a n k k. u n P est effectvement un élément de R n []. On a montré que u n est ben une applcaton de R n [] dans lu-même. Sot P R n []. u 2 n P = n u n P k= = n np = P. / Donc u 2 n = Id Rn[] et on a monté que u n est une symétre de R n []. n 2 Sot P R[]\{}. Sot n = degp N. Posons P = a k k. Alors u n P = des coeffcents k= n a n k k pus par dentfcaton P P resp. D u n P = P resp u n P = P k,n, a n k = a k resp. k,n, a n k = a k. 3 Sot R P D. Alors R et l este ε {,} tel que u n R = εr. Sot un réel non nul. R = εr = u n R = n R Donc est racne de R s et seulement s est racne de de R. Sot R D. Notons n le degré de R. Pour tout réel non nul, n R = R. Pour =, on obtent R = R et donc R =. k= = R =. Sot R P. On suppose que le degré de R est mpar. On note 2p+, p N ce degré. Pour tout réel non nul, 2p+ R = R. Pour =, on obtent R = 2p+ R ou encore R = R ou fnalement R =. 4 Soent P, Q et R tros éléments de P D tels que P = QR. Notons p, q et r les degrés respectfs de P, Q et R. On a donc p = q+r. Supposons que Q et R soent récproques. On a Q = ε Q q Q et R = ε R r R où ε Q et ε R sont deu éléments de {,}. p P = p Q R = p ε Q qqε R rr = ε p Qε R q rqr = ε Qε R P. http :// c Jean-Lous Rouget, 22. Tous drots réservés.

2 Comme ε Q ε R {,}, le polynôme P est un polynôme récproque. On note de plus que ε P = ε Q ε R et donc que «l espèce obét à la règle des sgnes» : s Q sont de même espèce, P est de premère espèce et s Q et R sont d espèces dfférentes, P est de deuème espèce. Supposons que P et Q soent récproques. P r R = r = r ε P p P ε Q Q q Q = ε P r p+q P ε Q Q = ε Pε Q R, et donc, R est récproque. De même, s P et R sont récproques, alors Q est récproque en échangeant les rôles de Q et R.Ans, dans l égalté P = QR, dès que deu des tros polynômes sont récproques, le trosème l est encore. 5 Sot P P. Le polynôme est dans D d après la queston 2 et donc le polynôme P est dans D d après la queston précédente. Récproquement, sot D D. D est un polynôme non nul admettant pour racne d après la queston 3. Donc, l este un unque polynôme P tel que D = P : P est le quotent de la dvson eucldenne de D par. De plus, P = D est dans P d après la queston précédente. 6 Sot P P de degré mpar. Le polynôme + est dans P d après la queston 2 et donc le polynôme +P est dans P d après la queston précédente. Récproquement, sot Q P de degré mpar. Q est un polynôme non nul admettant pour racne d après la queston 3. Donc, l este un unque polynôme P tel que Q = +P. Enfn, P = Q est dans P. + En résumé, un polynôme Q de degré mpar est dans P s et seulement s l este un unque polynôme P dans P tel que Q = +P. 7 Uncté. Sot p N. Soent P et P 2 deu polynômes tel que P + = P 2 + = p +. En partculer, p pour tout réel [,+ [, P + = P 2 +. Mantenant, quand décrt [,+ [, + décrt au mons [ +, lm + [ = [2,+ [ d après le théorème des valeurs ntermédares. Ans, pour touty [2,+ [,P y = P 2 y + et donc les polynômes P et P 2 coïncdent en une nfnté de valeurs. On en dédut que P = P 2. Estence. Soent p N pus T p le p-ème polynôme de Tchebchev de premère espèce. On sat que T p est un polynôme de degré p tel que pour tout réel θ, T p cosθ = cospθ. Sot P = 2T p. P est un polynôme de degré p. Pour tout 2 réel θ, Ans, les fractons ratonnelles P + P e θ +e θ = P2cosθ = 2T p cosθ = 2cospθ = e pθ +e pθ. et p + coïncdent en une nfnté de valeurs et donc P p Autre soluton. Montrons par récurrence que p N, P p R[] tel que p + p = P p P Y = et P Y = Y convennent. Sot p N. Supposons qu l este P p et P p+ deu polynômes tels que P p + p+ + p+ et de plus degp p = p et degp p+ = p+. p+2 + p+2 = = + p+ + + P p+ + p+ p + p P p + = p + p. + + et de plus, degp p = p. = P p+2 + = p + p et P p+ + = où P p+2 Y = YP p+ Y P p Y est un polynôme. De plus, degp p+2 = degyp p+ P p = degyp p+ = p++ = p+2. Le résultat est démontré par récurrence. http :// 2 c Jean-Lous Rouget, 22. Tous drots réservés.,

3 8 Pusque R n admet pas pour racne, R n est pas dans D d après la queston 3 et donc R est dans P. Pusque R n admet pas pour racne, R n est pas de degré mpar d après la queston 3 et donc R est de degré par. Fnalement, R est un élément de P de degré par. Posons degr = 2p où p N. S p =, le polynôme P = convent. On suppose dorénavant p. On pose R = et les a k sont des réels tels que k,p, a p+k = a p k. 2 k= a k k où a 2p est un réel non nul Sot P = a p + p pr = a k k p +a p + k= = a p + k= k= pour tout réel non nul, R = P 2 k=p+ a p k k + k a k k p = = a p + a p k k +a p + k= k= a p k P p +. a k+p k a p k P p. Alors, pour tout réel non nul, R = p P +. Par sute, P est un polynôme tel que + =. Sot P = 2P. P est un polynôme dstnct de P vérfant : R, R = P + =. Il n y a donc pas uncté du polynôme P. Sot P 2 = P. P 2 est un polynôme de degré dstnct du degré de P. De plus, pour tout réel, P 2 + = + P + = 2 + P + = P + = R =. Il n y a donc pas uncté du degré de P. B. Un problème de dénombrement 9 Sot u S,j. Alors u = et u +u +...+u j = j u j+ j. Donc, u {,,...,} S,j. Ans, S,j S,j u u {,,...,} est ben défne. Sot u,v S +,j S,j. k= u {,,...,} = v u = et k,+, u k N et u +u +...+u + = j et k,, u k = v k k,, u k = v k et u + N et u + = j v +v +...+v k,, u k = v k et u + = j v +v +...+v car v +v +...+v j. Ans, pour toutvdes,j, l este un et un seulu S +,j tel queu {,,...,} = v et donc l applcaton S,j S,j u u {,,...,} est bjectve. Sot,j N 2. s,j+ est le nombre de + uplets u,u,...,u d enters naturels tels que u = et u +u +...+u j+. Ces + uplets sont de l un des deu types dsjonts suvants : er type : les + uplets tels que u +u +...+u = j+ au nombre de s,j+, 2 ème type : les + uplets tels que u +u +...+u j j au nombre de s,j. Cec montre que s +,j+ = s +,j+ +s +,j. Sot,j N. D après la queston 9, les deu ensembles S +,j+ et S,j+ sont équpotents et donc s +,j+ = s,j+ pus On a montré que s +,j+ = s +,j+ +s +,j = s,j+ +s +,j.,j N 2, s +,j+ = s,j+ +s +,j. http :// 3 c Jean-Lous Rouget, 22. Tous drots réservés.

4 +j Montrons par récurrence que pour tout n 2,,j,n 2, s +j = n alors s,j =. Pour n = 2, sot,j,2 2 tel que + j = 2. Alors = j = pus s, = l y a un et un seul couple tel que + + u +u avec u = à savor,. Comme d autre part =, on a ben s, =. +j Sot n 2. Supposons que,j,n 2, s +j = n alors s,j =. Sot,j,n+ tel que +j = n+. S j 2, d après la queston précédente, s,j = s,j +s,j +j +j = + par hypothèse de récurrence car +j = +j = n = +j 2!!j! + +j 2! = +j 2!+j = +j!!j 2!!j!!j! +j =. S j =, l y a eactement un + uplet u,...,u tel que u = et u u j à savor,,...,. Donc + s, = =. Le résultat est démontré par récurrence. +j,j N, s,j =. +j 2 Sot 2. Pour j, s,j = s,j =. D autre part, pour j, s,j est le nombre de couples,u tels que +j 2 j +u = j. Il y en a à savor le couple,j. Comme = =, on a montré que +j 2,j N, s,j =. C. Polynôme caractérstque d un produt de matrces 2 Sot A,B M n R. On suppose que A est nversble. Φ AB = detab I n = det ABA I n A = deta detba I n deta = Φ BA. 3 On suppose mantenant que A n est pas nversble. A admet un nombre fn de valeurs propres dans C. Sot r = Mn{ λ, λ SpA\{}. r est un réel strctement postf. Sot k = E +. k est un enter naturel tel que k > r r ou encore tel que < r. Sot k k. Alors, < k k < r. k Par défnton de r, k n est pas valeur propre de A et donc la matrcea k I n est nversble. D après la queston précédente, Φ A k InB = Φ BA k In. Ans, pour tout k k, Φ A k InB = Φ BA k In. Sot R. Les deu applcatons y deta yi nb I n et y detba yi n I n sont deu polynômes en y qu coïncdent en une nfnté de valeurs de y. On en dédut que ces polynômes sont égau et en partculer qu ls prennent la même valeur en. On obtent alors detab I n = detba I n. Cette égalté est vrae pour tout réel et on a donc montré que detab I n = detba I n ou encore Φ AB = Φ BA. A,B M n R, Φ AB = Φ BA. http :// 4 c Jean-Lous Rouget, 22. Tous drots réservés.

5 D. Étude spectrale de certanes matrces matrces 4 Sot,j,n+ 2. D après la queston, j+ 2 j+ 2 +j 2 s j, = = = = s,j. j +j 2 j Ans, la matrce S est symétrque réelle et en partculer, la matrce S est dagonalsable d après le théorème spectral. 2 S =, S = 2 = et S 2 2 = 2 3 = Φ S =, Φ S = 2 3+ et Φ S2 = = = S est dagonale. S = PDP où D = dag 3 5, 3+ 5, P = et P = Sot P,Q R n [] 2. La foncton t PtQte t est contnue sur [,+ [ et est néglgeable devant en +. On t2 en dédut que la foncton t PtQte t est ntégrable sur [,+ [. Ans, pour tout P,Q R n [] 2, ψp,q este. La blnéarté, la symétre et la postvté de ψ sont clares et de plus, pour P R n [], ψp,p = P 2 te t dt = t Pte t = foncton contnue, postve, d ntégrale nulle t, Pt = P = polynôme ayant une nfnté de racnes. En résumé, ψ est une forme blnéare, symétrque, défne, postve sur R n [] ou encore ψ est un produt scalare sur R n []. 6 B = n est la base canonque de R n [] et donc B =! On sat que pour tout enter naturel n Γn+ = ψb,b j =!j! n t n e t dt = n!. Sot,j,n 2. est une base de R n []. t +j e t dt = +j! +j Γ+j+ = j! = = s +,j+.!j!! Ans, S = ψb,b j,j n+. Donc S est la matrce d un produt scalare dans une base ou encore S est une matrce symétrque défne postve. En partculer, S n admet pas pour valeur propre et donc S est une matrce nversble. Cec montre que rgs = n+. Notons C,..., C n+ resp. C,..., C n+ les colonnes de S resp. S. D après la queston, pour tout,j,n +,n, s,j+ s,j = s,j+ ou encore pour tout j,n +, C j+ C j = C j+. En tenant compte de C = = C, rgs = rgc,c 2,...,C n+ = rgc,c 2 C,...,C n+ C n = rgc,c 2,...,C n+ = rgs = n+. http :// 5 c Jean-Lous Rouget, 22. Tous drots réservés.

6 7 Pour tous et j, l este un polynôme P tel que t R, f j t = Pte t. D après un théorème de crossances comparées,,j,k,n N N, f j t = o t k. t + Sot,n. La formule de Lebnz fournt : où L = f t! e t = e t! k= = k= t k e t k = k k! k! k! 2t k = k=!! k! k! k! k!k! 2tk = L t k= k! k!k! 2k est ben un polynôme. k= 8 On rappelle que d après la queston 7,,j,k,n N N, lm t + fj tt k =. + D autre part, pour tout réel t, f t = t k= f k = et f =! =!.! ψl,b = f te t B te t dt = S, ψl,b =! et. Fnalement, pour, ψl,b = δ,. t k + k! = f t dt =! k= e t dt =. Soent et j deu enters naturels tels que < j. ψl,b j = f! k! t k e t k e t t k. Cec montre que pour tous et k tels que k <, k! [ ] + f t =! t! e ttj j! e t dt =!j! Montrons par récurrence fne que k,j, ψl,b j = k!j k! - Le résultat est vra pour k =. lm t + f t f f tt j dt. f k tt j k dt. = d après - Sot k,j. Supposons que ψl,b j = k f k tt j k dt.!j k! Sot A >. Les deu fonctons t f k t et t t j sont de classe C sur le segment [,A]. On peut donc effectuer une ntégraton par partes qu fournt A [ f k tt j k dt = f k tt j k] A j k A f k tt j k dt. Le crochet est nul en d après car k < et le crochet tend vers quand A tend vers + d après. Quand A tend vers +, on obtent ψl,b j = k!j k! j k Le résultat est démontré par récurrence. f k tt j k dt = j k f k tt j k dt = k+!j k+! Pour k = j, on obtent en partculer ψl,b j = j f j t dt.! [ ] S j <, on obtent ψl,b j = j + f j t = d après et.! S j =, ψl,b =! f t dt =! f k tt j k dt pus t e t dt = et de nouveau ψl,b = δ,j. f k tt j k dt. http :// 6 c Jean-Lous Rouget, 22. Tous drots réservés.

7 Pour tous et j tels que j n, ψl,b = δ,j. ψl,l = ψl,b =. Sot. D après la queston 7, L = j! j!j! 2j = B + j! j!j! B j. l= S k <, L est orthogonal à VectB,...,B k et L k appartent à VectB,...,B k. Donc ψl,l k =. S k =, ψl,l = ψl,b + j! j!j! ψl,b j =. j= En résumé, pour tous et j, ψl,l = et s j, ψl,l j =. Cec montre que L,L,...,L n est une base orthonormée de l espace euclden R n [],ψ. j= 9 T est la matrce de la famlle de polynômes,, 2,..., n dans la base canonque de R n []. Donc n n n n T = n n n n n n L endomorphsme τ est un automorphsme de R n [] de récproque τ : P P+. Par sute, n n U = T = n n n n n n j De manère générale, Pour tout,j,n+, le coeffcent lgne, colonnejde T est j avec la conventon j j usuelle = s > j et celu de U est. j D après la queston 7, pour tout,n, L j = j j! j j!! 2 = j j! j j j!! B = j B. = = = On en dédut que la matrce T est auss la matrce de passage de la base B à la base L pus que U est la matrce de passage de L à B. T = P L B et U = PB L. D après la queston 6, S est la matrce du produt scalare ψ dans la base B et d après la queston 8, la matrce de ψ dans L est I n. Les formules de changement de bases fournssent alors S = Mat B ψ = t P B L MatL ψ P B L = t UI n U = t UU. http :// 7 c Jean-Lous Rouget, 22. Tous drots réservés.

8 On en dédut que dets = detu 2 = n k= 2 k =. k S = t UU. dets =. Ensute, avec les notatons de la queston 6, dets = detc,c 2,...,C n+ = detc,c 2 C,...,C n+ C n = detc,c 2,...,C n+ = dets =. 2 Sot δ l endormorphsme de matrce D dans la base canonque de R n []. δ est défn par :,n, δ k = k k = k. δ coïncde avec l endomorphsme P P sur la base canonque de R n [] et donc δ est cet endomorphsme. DU 2 est la matrce de δτ 2 dans la base canonque. Or, pour tout P R n [], δτp = δp = P pus δτ 2 P = P = P. Donc δτ 2 = Id Rn[] ou encore DU 2 = I n+. S = t UU et donc S = U t U. Mas DU 2 = I n+ U = DUD = D UD car D 2 = I n+ pus S = U t U = D UD t D UD = D UD t D t U t D = D U t UD, car t D = D = D. Donc S est semblable à U t U. 2 En partculer, S a même polynôme caractérstque de U t U ou auss que t UU = S d après la queston 3. Par sute, Φ S = Φ S = dets I n+ = dets n+ det S I n+ = n+ n+ Φ S d après la queston 8 = n+ n+ Φ S. Donc Ψ S est un polynôme récproque, de premère espèce s n est mpar et de deuème espèce s n est par. http :// 8 c Jean-Lous Rouget, 22. Tous drots réservés.