Exercices : Suites réelles

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1 Exercices : Suites réelles Exercice : Démontrer par récurrence les résultats suivants : n+. n N, k k = n n+ + n. n N, (k +) = n. Soit a R + fixé, n N, (+a) n +na 4. n, n! n Analyse : Chapitre Exercices Exercice : On considère la suite u définie par u = et n, u n+ = u n u n +. A l aide du calcul des premiers termes, conjecturer l expression de u n en fonction de n puis démontrer cette formule. Exercice : Reconnaitre puis calculer le terme général des suites suivantes :. k > 0, a k+ = a k et a =. n, b n = b n et b =. k > 0, c k+ c k = et c = 0 4. n > 0, d n = d n +4 et d 0 = 5. j N, e j+ e j = et e 0 = 6. n N, f n+ +f n+ f n = 0 et f 0 = f = 7. p N, h p+ = h p et h 0 = et h = 0 8. n N, u n+ = u n+ u n et u 0 = u = 9. p N, g p+ = g p+ et g = Exercice 4: Soit u la suite définie par u 0 = 0 et pour tout entier n N, u n+ = u n + n. On introduit la suite auxiliaire v n = u n n. Montrer que (v n ) n N est une suite arithmético-géométrique. En déduire le terme général de u. Exercice 5: Soit u la suite définie par u 0 = et pour tout entier n N, u n+ = (u n ). On introduit la suite auxiliaire v n = ln(u n ).. Montrer que pour tout n N, u n > 0.. Justifier que la suite (v n ) n N est bien définie puis montrer que c est une suite remarquable.. En déduire le terme général de la suite (u n ) n N. Exercice 6: Soient u et v les suites définies pour tout n N, par u n+ = (u n +v n ) et v n+ = (u n +v n ).. On pose t n = u n v n et s n = u n +v n. Montrer que t et s sont deux suites géométriques.. Exprimer t n en fonction de n et t 0 et s n en fonction de n et s 0.. En déduire l expression de u n et v n en fonciton de n, u 0 et v 0. Analyse : Chapitre Exercices Page Suites réelles

2 Exercice 7: Soit la suite numérique u définie pour tout n N par u n = n(n+) (n+). Montrer que pour tout entier naturel n non nul, 0 < u n <.. Étudier le sens de variation de u.. Montrer que la suite u converge et calculer la limite de u n lorsque n tend vers +. Exercice 8: On considère la suite u définie par : n N ( ) k, u n = k et les suites v et w définie par : n N, v n = u n et w n = u n+.. Montrer que les suites v et w sont adjacentes.. En déduire que la suite u converge. (On ne demande pas sa limite) Exercice 9: Déterminer la limite, si celle-ci existe, des suites suivantes : (. u n = + ) n. u n = n +n+ n n+ n. u n = n ( ) n 4. u n = k n +( ) n n Exercice 0: Déterminer un équivalent simple aux suites suivantes :. u n = n n+. u n = n+ n Exercice :. Dresser le tableau de variations de la fonction f définie sur R + par f(x) = ln(+x) x. En déduire le signe de f.. Soit u la suite définie par u 0 = et n N, u n+ = ln(u n +). a) Démontrer que pour tout entier n, u n est défini et u n > 0. b) Quel est le sens de variation de u? (Penser à se servir de la question.) c) La suite u est-elle convergente? Si oui, préciser sa limite. Exercice : Soit la suite (u n ) n N la suite définie par son premier terme u 0 et la relation u n+ = f(u n ) où f est la fonction définie sur R + par f(x) = x + x.. Prouver par récurrence que pour tout n N, u n est bien défini et u n.. Quel est le sens de variation de (u n )?. Prouver par l absurde que la suite (u n ) ne converge pas. Analyse : Chapitre Exercices Page Suites réelles

3 Exercice : x Soit f la fonction définie sur ] ;] par f(x) = +x.. Calculer la dérivée de f, puis dresser le tableau de variations de f.. Montrer que l équation x = f(x) admet une unique solution l sur le domaine de définition de f.. On considère la suite définie par u 0 = et u n+ = f(u n ) pour tout n N. [ ] a) Montrer que la suite (u n ) est bien définie et que n N, u n ;. b) La suite (u n ) est-elle monotone? 4. a) Prouver qu il existe un réel M < tel que pour tout x b) En déduire que pour tout n N, u n l M n u 0 l. c) Conclure quant à la convergence de a suite (u n ). [ ] ;, f (x) M. Exercice 4: Pour tout entier n non nul, on considère la fonction f n définie sur R + par f n (x) = kx k. Pour tout n, montrer que l équation f n (x) = admet une unique solution sur R + que l on notera u n.. En comparant f n+ (u n ) et f n+ (u n+ ), montrer que la suite (u n ) n est décroissante.. En déduire que la suite (u n ) n est convergente. Analyse : Chapitre Exercices Page Suites réelles

4 Exercice : Correction n+. Montrons par récurrence que la propriété P(n) : k k = n n+ + est vraie pour tout entier n. 0+ Pour n = 0 : d une part k k = = et d autre par =. 0+ Donc on a bien k k = , c est-à-dire P(0) est vraie. Soit n N fixé. Supposons que P(n) est vraie. n+ On veut calculer k k. On a : n+ n+ k k = k k +(n+) n+ = n n+ ++(n+) n+ grâce à P(n) = (n+n+) n+ + = (n+) n+ + = (n+) n+ + = (n+) n+ + n+ On vient donc de montrer que k k = (n+) n+ + c est-à-dire que P(n+) est vraie. n+ Grâce au principe de récurrence on a montré que pour tout entier n, k k = n n+ +. n. Montrons par récurrence que la propriété P(n) : (k +) = n est vraie pour tout n N. Pour n = : d une part (k +) = 0+ = et d autre par =. Donc on a bien (k +) =, c est-à-dire P() est vraie. Soit n N fixé. Supposons que P(n) est vraie. n+ On veut calculer (k +). On a : n (k +) = (k +)+n+ = n +n+ grâce à P(n) = (n+) identité remarquable On vient donc de montrer que (k +) = (n+) c est-à-dire que P(n+) est vraie. n Grâce au principe de récurrence on a montré que pour tout n N, (k +) = n. Analyse : Chapitre Exercices Page 4 Suites réelles

5 . Montrons par récurrence que la propriété P(n) : (+a) n +na est vraie pour tout n N. Pour n = 0 : d une part (+a) 0 = et d autre par +0 a =. Donc on a bien (+a) 0 +0 a, c est-à-dire P(0) est vraie. Soit n N fixé. Supposons que P(n) est vraie. On veut minorer (+a) n+. On a : (+a) n+ = (+a) n (+a) (+na)(+a) grâce à P(n) et car +a > 0 (+a) n+ +a+na+na +(n+)a car na 0 (+a) n+ +(n+)a On vient donc de montrer que (+a) n+ +(n+)a c est-à-dire que P(n+) est vraie. Grâce au principe de récurrence on a montré que pour tout n N, (+a) n +na. 4. Montrons par récurrence que la propriété P(n) : n! n est vraie pour tout n. Pour n = : d une part! = 6 et d autre par = 6. Donc on a bien!, c est-à-dire P() est vraie. Soit n fixé. Supposons que P(n) est vraie. On veut minorer (n+)!. On a : (n+)! = n! (n+) n (n+) grâce à P(n) et car n+ > 0 (n+)! n car n+ (n+)! n On vient donc de montrer que (n+)! n+ c est-à-dire que P(n+) est vraie. Grâce au principe de récurrence on a montré que pour tout n, n! n. Exercice : En calculant les premiers termes de la suite on a l intuition que u n = n. Montrons par récurrence que la propriété P(n) : u n = n est vraie pour tout n N. Pour n = : d une part u = et d autre par =. Donc on a bien u =, c est-à-dire P() est vraie. Soit n N fixé. Supposons que P(n) est vraie. On veut calculer u n+. On a : u n+ = u n u n + On vient donc de montrer que u n+ = n+ = = n + n n +n n grâce à P(n) = n n n+ = n+ c est-à-dire que P(n+) est vraie. Grâce au principe de récurrence on a montré que pour tout n N, u n = n. Analyse : Chapitre Exercices Page 5 Suites réelles

6 Exercice :. (a k ) est une suite géométrique de raison et de premier terme a =. k N, a k = ( ) k. (b n ) est une suite géométrique de raison et de premier terme b =. n N, b n = n. (c k ) est une suite arithmétique de raison et de premier terme c = 0. k N, c k = 0+(k ) = 7+k 4. On peut réécrire la relation donnée sous la forme : d n+ = d n +4. (d n ) est une suite arithmético-géométrique. On résout : x = x +4 x = 4 x = 6 Le cours nous dit que la suite définie par v n = d n 6 est alors géométrique de raison ( ). n Comme v 0 = d 0 6 = 5, on a pour tout entier n, v n = 5 ( ) n Pour finir, pour tout entier n, d n = e j+ e j = e j+ = e j +. (e j ) est une suite arithmético-géométrique. Par la même méthode que précédemment on trouve que ( ) j j N, e j = (f n ) est une suite récurrente linéaire d ordre. L équation caractéristique est x +x = 0 et admet et comme solution. ( ) n Le cours nous dit qu il existe A et B tels que f n = A( ) n +B. On a de plus : { f0 = A+B = f = A+ B = A = B = 4 Pour finir, n N, f n = ( )n + 4 ( ) n. 7. (h p ) est une suite récurrente linéaire d ordre d équation caractéristique x =. p N, h p = ( ) p + ( ) p. 8. (u n ) est une suite récurrente linéaire d ordre d équation caractéristique x x+ = 0. n N, u n = n +0 n =. 9. On peut réécrire la relation de récurrence : g p+ = g p. Donc (g p ) est une suite arithméticogéométrique. p N, g p = ( ) p Analyse : Chapitre Exercices Page 6 Suites réelles

7 Exercice 4: Par définition de la suite v n on a : v n+ = u n+ n+ = u n + n n+ = n v n + n n+ = v n + Donc (v n ) est une suite arithmético-géométrique. Par la méthode vu dans le cours on trouve donc v n = Exercice 5: ( ) n + et on en déduit que u n = n n.. Montrons par récurrence que la propriété P(n) : u n > 0 est vraie pour tout entier n. Pour n = 0 : on sait que u 0 = > 0 donc P(0) est bien vraie. Soit n N fixé. Supposons que P(n) est vraie. On sait que u n+ = (u n ). Or comme u n > 0, (u n ) > 0 et donc u n+ > 0. Ainsi P(n+) est vraie. Grâce au principe de récurrence on a montré que pour tout entier n, u n > 0.. Comme on vient de montrer que pour tout entier n, u n > 0, on peut calculer v n pour tout entier n, ce qui signifie que la suite (v n ) n N est bien définie. Pour tout entier n : v n+ = ln(u n+ ) = ln((u n ) ) = ln(u n ) = v n Donc (v n ) est une suite géométrique de raison et de premier terme v 0 = ln.. On a donc, pour tout entier n, v n = n ln et ainsi u n = e n ln = n. Exercice 6:. t n+ = t n ets n+ = s n.donc(t n )estunesuitegéométriquederaison et(s n)unesuitegéométrique de raison.. t n = t 0 et s n n = s 0.. u n = t n +s n v n = s n t n Exercice 7: ( t0 ) = +s n 0 = = ( s 0 t ) 0 = n ( ) u0 v 0 +u n 0 +v 0 ( u 0 +v 0 u ) 0 v 0 n. Attention : récurrence inutile ici!!!!!!!!! On a pour tout entier n non nul, n(n+) > 0 et (n+) > 0 donc u n > 0. De plus (n+) = n +n+ > n +n = n(n+) donc n(n+) (n+) < et ainsi u n <. n N, 0 < u n <.. u n+ u n = (n+)(n+) n(n+) (n+) (n+) = (n+) (n+) n(n+) n+ = (n+) (n+) (n+) (n+). Donc u n+ u n > 0 ce qui signifie que la suite (u n ) est strictement croissante.. La suite (u n ) est croissante et majorée par donc elle est convergente. On a n(n+) n + n et (n+) n + n donc u n. n + Ainsi la suite (u n ) est convergente et lim n + u n =. Analyse : Chapitre Exercices Page 7 Suites réelles

8 Exercice 8:. v n+ v n = u n+ u n = n+ + n+ = (n+)(n+) > 0. La suite (v n) est donc croissante. w n+ w n = u n+ u n+ = décroissante. w n v n = u n+ u n = n+ Les suites (v n ) et (w n ) sont bien adjacentes. n+ n+ = (n+)(n+) < 0. La suite (w n) est donc donc lim n + w n v n = 0.. D après la question précédente les suites (v n ) et (w n ) convergent et ont la même limite. Donc(u n )et(u n+ )convergentverslamêmelimitecequisignifieque la suite (u n ) est convergente. Exercice 9: Résultats sans tous les calculs. lim u n = e n +. lim u ( /) n n = lim n + n + +( /) = n n. u n = n +n++ n n+ = +/n+/n + /n+/n 4. Donc lim u n =. n + k = n(n+). Donc u n = n+ n Donc lim n + u n =. n + Exercice 0: Astuce : poser x = n. u n = x x x Donc u n. u n = Donc u n et faire un DL car x est au voisinage de 0. +x =... = x +o(x ) = ( ) n +o n n + n. +x x =... = x+o( x) = ( ) +o n x n n + Exercice : n.. f (x) = x, f(0) = 0 et lim f(x) =. +x x + x f (x) 0 + f(x) 0 Analyse : Chapitre Exercices Page 8 Suites réelles

9 On a donc pour tout x R +, f(x) 0.. a) Montrons par récurrence que la propriété P n : u n est existe et u n > 0 est vraie pour tout n N. Pour n = 0 : u 0 est donné dans l énoncé donc u 0 existe et de plus u 0 = donc on a bien u 0 > 0. P(0) est bien vérifiée. Soit n N fixé. Supposons que P(n) est vraie. Comme u n > 0, on peut calculer ln(u n +) (car u n + > 0) et donc u n+ existe bien. De plus, u n > 0 u n + > ln(u n +) > 0 donc u n+ > 0. Donc P(n+) est vraie. Grâce au principe de récurrence, on a montré que pour tout n N, u n existe, c est-à-dire que la suite u est bien définie, et que u n > 0. b) On remarque que u n+ u n = f(u n ) donc d après la question, u n+ u n 0 et donc la suite (u n ) est décroissante. c) La suite (u n ) est décroissante et minorée par 0 donc elle converge vers une limite l. Comme u n+ = ln( + u n ) en faisant tendre n vers + on obtient l = ln( + l) c est-à-dire f(l) = 0. Or d après l étude faite au., la seule solution pour f(x) = 0 est x = 0. Donc (u n ) converge vers 0. Exercice :. Montrons par récurrence que la propriété P n : u n existe et u n est vraie pour tout n N. Pour n = 0 : u 0 est donné dans l énoncé donc u 0 existe et de plus on nous donne u 0. P(0) est bien vérifiée. Soit n N fixé. Supposons que P(n) est vraie.. Comme u n, on peut calculer u n + u n (car u n 0) et donc u n+ existe bien. De plus, u n u n et de plus u n > 0 donc u n + u n, ce qui signifie que u n+. Donc P(n+) est vraie. Grâce au principe de récurrence, on a montré que pour tout n N, u n existe et que u n. u n+ = u n + u u n u n donc comme u n > 0 on a u n+ u n. n La suite (u n ) est croissante.. Supposons que la suite u n converge vers une limite l. Alors l doit être un point fixe de f : f(x) = x x x + = 0 Une solution évidente de cette équation est x =. Cela signifie que l on peut mettre (x + ) en facteur. Pour cela il faut poser la division euclidienne de x x + par x +. On trouve x x + = (x+)(x x+). Donc f(x) = x x = ou x x+ = 0 Or x x + = 0 n admet pas de solution donc la seule limite possible est l = ce qui est impossible car u n. Donc (u n ) ne converge pas, elle diverge vers +. Analyse : Chapitre Exercices Page 9 Suites réelles

10 Exercice :. f est dérivable sur ] ;[ et pour tout x ] ;[ on a f +x (x) = (+x) x Donc f est strictement décroissante sur ] ;] et lim f(x) = +. x x f (x) f(x) + 0. On considère la fonction g définie sur ] ;] par g(x) = f(x) x. Comme les fonctions f et x x sont strictement décroissantes, g est strictement décroissante sur ] ;]. Les fonction x +x et x x sont continues sur ] ;] et comme +x ne s annule pas sur cet intervalle, x x est continue sur ] ;]. +x De plus x x est continue sur R + et x 0 sur ] ;] donc par composition f est continue +x sur ] ;]. Donc g est continue sur ] ;]. D après le théorème de bijection monotone, g réalise une bijection de ] ;] sur g(] ;]) = [g(); lim x g(x)[= [ ;+ [. Or 0 [ ;+ [ donc 0 admet un unique antécédent par g c est-à-dire qu il existe un unique l tel que g(l) = 0 f(l) = l.. a) Montrons par récurrence que la propriété P(n) : u n existe et u n est vraie pour tout n N. Rang 0 : u 0 est donné par l énoncé et on a bien u 0 donc P(0) est vraie. Soit n fixé. Supposons que P(n) est vraie. On sait donc que u n donc u n ] ;] qui est le domaine de définition de f. On peut donc calculer f(u n ) c est-à-dire que u n+ existe. De plus comme f est décroissante : u n f() f(u n ) f ( ) u n+ u n+ Donc P(n+) est alors vérifiée. Grâce au principe de récurrence on a donc montré que pour tout entier naturel n, u n existe et u n e. b) Comme la fonction f est décroissante, la suite (u n ) n est pas monotone. 4. a) f (x) = (+x) x +x x. x+ Analyse : Chapitre Exercices Page 0 Suites réelles

11 x x x x Les deux points précédents nous donnent : +x x +x x x x+ 9 4 (+x) 4 4 (+x) (+x) On a donc 8 f (x) Comme on a bien M = < et f (x) M. b) Montrons par récurrence que la propriété P(n) : u n l M n u 0 l est vraie pour tout n N. Rang 0 : Comme M 0 =, on a bien u 0 l M 0 u 0 l donc P(0) est bien vraie. Soit n N fixé. Supposons que P(n) est [ vraie. ] f est une fonction continue et dérivable sur ; telle que sur cet intervalle f (x) M. Comme [ ] [ ] u n ; et l ;, d après l inégalité des accroissements finis : f(u n ) f(l) M u n l Or d après P(n), M u n l M M n u 0 l donc : u n+ l M n+ u 0 l P(n+) est alors vraie. Grâceauprincipederécurrence onadoncdémontréquepourtoutentier n, u n l M n u 0 l. c) Comme 0 < M <, on a lim n + Mn = 0 donc lim u n l = 0 et donc la suite (u n ) converge n + vers l. Exercice 4:. Lafonctionf n estunefonctionpolynômedoncelleestcontinuesurr +.Depluselleestaussidérivable et f (x) = k x k. Or pour tout x R + et tout k, k x k 0 et x = > 0 donc par somme f n (x) > 0. f n est donc strictement croissante sur R +. D après le théorème de bijection monotone, f n réalise une bijection de R + sur J = f n (R + ) = [f n (0);lim + f n [= [0;+ [. Comme J, admet un unique antécédent par la fonction f n. Pour tout n, l équation f n (x) = admet donc une unique solution dans R +.. On sait par définition que f n+ (u n+ ) =. De plus : n+ f n+ (u n ) = kun k = kun k +(n+)u n n = f n (u n )+(n+)u n n = +(n+)u n n Or u n 0 donc +(n+)u n n 0 et donc ++(n+)un n. Ainsi f n+ (u n ) f n+ (u n+ ) et en composant par fn+ qui est strictement croissante, on obtient u n u n+. La suite (u n ) n est décroissante.. La suite (u n ) n est décroissante et minorée par 0 donc elle est convergente. Analyse : Chapitre Exercices Page Suites réelles

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