Méthode de décomposition de domaine et conditions aux limites artificielles en mécanique des fluides:

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1 Méthode de décomposition de domaine et conditions aux limites artificielles en mécanique des fluides: méthode Optimisée d Orde 2. Caroline Japhet To cite this version: Caroline Japhet. Méthode de décomposition de domaine et conditions aux limites artificielles en mécanique des fluides: méthode Optimisée d Orde 2.. Mathematics. Université Paris-Nord - Paris XIII, French. <tel > HAL Id: tel https://tel.archives-ouvertes.fr/tel Submitted on 24 Jan 2011 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

2 UNIVERSITÉPARIS13 THESEjjjjjjjjjjj Noattribuéparlabibliothèque DOCTEURDEL'UNIVERSITÉPARIS13 Discipline:Mathématiquesappliquées pourobtenirlegradede présentéeetsoutenuepubliquement CarolineJAPHET par le3juillet1998 METHODEDEDECOMPOSITIONDEDOMAINEET CONDITIONSAUXLIMITESARTIFICIELLESEN Titre: METHODEOPTIMISEED'ORDRE2. MECANIQUEDESFLUIDES: MY.Achdou MY.Maday JURY MF.Nataf MmeL.Halpern(Rapporteur) MF.Rogier MF.X.Roux MM.Bredif MJ.C.Nedelec MJ.C.Guillot

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4 Â Ø Ò Ö Ñ Ö Ö Ú ÒØØÓÙØÑÓÒ Ö Ø ÙÖ Ø Ä ÙÖ Ò À ÐÔ ÖÒº Ê Ñ Ö Ñ ÒØ È Ö ÓÒ Ð ÒÓÙÖ Ñ ÒØ Ð ØÙÖ ØØ ÒØ Ú ÔÔÖ Ø ÓÒ ÓÒ ÓÙØ Ò ÔÓÒ Ð Ø ÒØ ÐÐ ÓÒ ÒØ ÓÙ Ñ Ø ÓÒ Ò º Â Ö Ñ Ö Ò Ò Ñ ÒØ Ö Ö Æ Ø ÓÒØг Ò Ö Ñ ÒØ Ø ÒØ Ð Ø ÓÒ ÜÔ Ö Ò ÐРѳ Ô ÖÑ ³ ÓÑÔÐ Ö ØØ Ø ºÂ Ð Ö Ñ Ö ÔÓÙÖ ÓÒÔÓÙÖÐ Ö Ö ÔÖ Ò Ø ÓÒ Ò ÕÙ Ò Ø ÒØ Æ Ð Ñ³ÓÒØ Ø ³ÙÒ Ö Ò ÓÙÖ º ÔÓÙÖÐ Ö Ù Ø ØÖ Ú ÐºÄ Ö ÒØ ÐÐ Ô ¹ ѳ ÔÔÓÖØ ºÁÐѳ Ô ÖÑ ÒÓÑÑ Ò Ö ØÖ Ú Ðº Å Ö Ö Ò Ó ¹ Ú ÖÊÓÙÜÔÓÙÖѳ ÚÓ Ö Ö ÓÙ Ö ÒÓÑ Ö Ñ Â Ø Ò Ö Ñ Ö Ö Ö Ò Ó ÊÓ ÖÔÓÙÖ ÓÒ Ò Ö Ñ ÒØ ØØÓÙØ ÕÙ³ Ð Â Ö Ñ Ö Å Ö Ö ÔÓÙÖ ÕÙ Ð Ø ÙÑ Ò Ø ÒØ ÕÙ ÓÒ Ô¹ ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÓÑÔ Ø Ò Ø ÓÒ ÒØ ÓÙ Ñ º ÒÑ Ò ÕÙ Ù º ÂÙÐ ØØ ÊÝ Òѳ ÙÓÙÔ Ò ÑÓÒØÖ Ú Ð Ô Ö ÓÒ ÒØ Ö ÔÓÒ ¹ ÔÓÖØ Ò ØØ Ø ØÔÓÙÖѳ ÚÓ Ö Ø ÓÙÚÖ Ö ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒÖ Ø Ð Ø ÒØ ÐÐ Ø ÓÑÔ Ø Ò ºÂ ÐÙ Ò Ù ØÖ Ö ÓÒÒ ÒØ º ÒØ ÐÐ ØгÓÔÔÓÖØÙÒ Ø ÕÙ³ Ðѳ Ó«ÖØ Ô ÖØ Ô Ö ÓÒ Ö Ò¹ Ø ÖÒ Ø ÓÒ Ùܺ ÕÙ Ó«Ö ÙÒ ÒÚ ÖÓÒÒ Ñ ÒØ ØÖ Ú ÐÙÒ ÕÙ ºÅ Ö ÔÓÙÖ ÓÒ Ò Â³ Ó Ñ Ö Ñ Ö Ñ ÒØ È ÖÖ Ä ÔÓÙÖ ÓÒ Ù Ð Ò ÓÒ ÕÙ Ô Å Ö ÅÓÒ ÙÖÆ Ð Ñ³ ÚÓ Ö Ù ÐÐ Ù Ò Ð³ ÕÙ Ô Ù Å Èº Â Ø Ò Ö Ñ Ö Ö ÙÒ Ñ Ñ Ö Ù ÙÖÝ Ä ÈÖÓ ÙÖ ÚÓÒÅ Ý Ø Ú ÓÙ ÕÙ ÓÒØ ÙÐ ÒØ ÐÐ Ö ÔÔÓÖØ Ö ØØ Ø Ö Ô Ñ ÒØ ÅÓÒ ÙÖÆ Ð ÅÓÒ ÙÖ Ù ÐÐÓØÕÙ ÓÒØ ÔØ Ô ÖØ Ô Ö ÙÖÝ Ò ÓÙ Ð ÖÄ ÙÖ Ò À ÐÔ ÖÒ Ö Ö

5 Â Ö Ñ Ö Ð ÈÖÓ ÙÖ ÕÙ Ê ÔÔ ÞÕ٠ѳ Ø ÓÙÚÖ ÖÐ Ñ Ø Ó Æ Ø Ö Ò Ó ÊÓ Ö Ö Ò Ó ¹ Ú ÖÊÓÙÜ ØÅ Ö Ö º Ø ÓÒ ØÐ³Ó ÓÒÕÙ³ РѳÓÒØ ÓÒÒ ÐÓ Ù Ö Ú Ö ÙÖ Ò Å Ö ÚÓÒÅ Ý Ö Ð Ö Ø ØÅ ÖÝÏ Ð ÖÔÓÙÖÐ ÙÖ ÒÚ Ø ¹ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÓÑ Ò Ø Ò ÕÙ ØØ Ø Ò³ ÙÖ ØÔ ÚÙÐ ÓÙÖº ÓÑ Ò ØÖ Ú Ö º Ö Ö ÔÓÙÖÐ ÙÖ ÔÖ Ù ØÐ ÙÖ ÓÒÒ ÙÑ ÙÖº ÔÓÙÖÒÓ ÐÓÒ Ù ÓÒÚ Ö Ø ÓÒ ÙÖ ÕÙ ØÐ Ñ ÙÜ Ì ÖÖÝ ËØ Ô Ò ÅÙÐ Ö ÕÙ Ö ÓÐÙØÓÙ Ñ ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ ºÅ Ö È Ð ÔÔ º  ҳÓÙ Ð Ô Ð ÓÒ Ð È Ð ÔÔ ³ Ò Ö Ý Ð Ò Ó ÒÙ Ù Ø Ö ØÓÔ ØÓÒ ºÅ Ö Ù ÄÝ ÔÓÙÖ ÓÒ ÓÙØ Ø ÓÒ ÔÔÓÖØ Ò ÑÓÒØÖ Ú Ðº ÓÒ Ð Ñ Ñ Ò Ø Ö Ò Ø ÙÐØ ØÖÓÙÚ ÖØÓÙ ÓÙÖ ÙÒ ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ä³ Ñ Ø Ô ÖØ Ú Ø Ö Ò Äº Ø ÒÖ ÒØ ºÅ Ö ÔÓÙÖØ ÝÑÔ Ø º Ð Ñ Ö ÙÓÙÔÔÓÙÖØ ÒØ ÐÐ ØØÓÒ ºÂ³ Ñ Ö Ø Ô Ø Ö ÓÙ Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ØÓÙ ÓÙÖ Ú Ð ÓÙÖ Ö ºÅ Ö Ð Ñ ÒØ Ó ËÓÔ ØÆ Ñ Ö ÔÓÙÖÚÓØÖ Ö ÓÒ ÓÖØºÅ Ö Å Ñ ÙÝÔÓÙÖ Â ÒÒ ÊÓ ÖØ ËÝÐÚ ÒÒ Ð Ä Ð Î Ò ÒØź Ö Ò Ó ºººÔÓÙÖÐ ÙÖ Ð Ù Ø ÓÒ Ø Ò ÔÓ Ø Ú ºÅ Ö Ù Æ Ø Ð Ø Ö Ð Ö Ø Ö Ò º Ø Ð Ü º Å Ö Ñ Ô Ö ÒØ ÔÓÙÖÐ ÙÖ Ô Ø Ò Ò ³ ÓÙØ Ð ÙÖ ÓÙØ Ò ØÐ ÙÖ Ñ Ö ØÓÙ ÓÙÖ Ö Ö Ñ Ñ Ò Ð ÑÓÑ ÒØ Æ Ð ºÂ³ Ñ Ö Ñ Ö Ò ¹Ô Ö ÒØ ÔÓÙÖÐ ÙÖÚÓÐÓÒØ ³ Ý Ö ÓÑÔÖ Ò Ö ÑÓÒØÖ Ú Ðº Å Ö Ñ Ñ ÐÐ ÒÔ ÖØ ÙÐ Ö ÖÐ ÑÑ ÒÙ ÐÐ Î Ò Ø Ð Ü ÔÓÙÖ ÑÓÙÖ ÕÙ Ñ ÓÒÒ ÒØØ ÒØ Ø Ø Ô Ö Ú Ö Ò º ÓÖ Ô Ò ÒØÐ ÖÒ Ö ÑÓ ØØ Ø º Ò Ò Ñ Ö ØÓ Ê Ø Ö Ò Ó Ú ÚÖ Õ٠ѳ ÔÓÖØ ØÓÙØ Ù ÐÓÒ ÑÓÒØÖ Ú Ð Ø ÓÒÒ ÙÓÙÖ ÓÒ ÓÒ ºÅ Ö ÔÓÙÖØ ÔÖ Ò ÙÔÖ ÑÓ Ø ÐÐ ÙÔ Ø ØÐÓÛÒ Õ٠ѳ ÓÒÒ ÒÓÖ ÔÐÙ

6 Cetravailapourobjetledéveloppementetl'étuded'uneméthodededécompositiondedomaine,laméthodeOptimiséed'Ordre2(OO2),pourlaréso- Résumé lutiondel'équationdeconvection-diusion.sonatoutprincipalestdeper- mettred'utiliserundécoupagequelconquedudomaine,sanssavoiràl'avance oùsontsituéslesphénomènesphysiquestelsquelescoucheslimitesoules zonesderecirculation.laméthodeoo2estuneméthodededécomposition sous-domaine,avecdesconditionsderaccordspéciquessurlesinterfaces dessous-domaines.cesontdesconditionsdiérentiellesd'ordre1dansla dedomainesansrecouvrement,itérative,parallélisable.ledomainedecalcul estdiviséensous-domaines,etonrésoutleproblèmededépartdanschaque directionnormaleetd'ordre2dansladirectiontangenteàl'interfacequi Schwarzconduitàunproblèmed'interface.Celui-ciestrésoluparuneméthodeitérativedetypeKrylov(BICG-STAB,GMRES,GCR). Laméthodeestappliquéeàunschémaauxdiérencesniesdécentré,puis suiteintroduitetétudié,danslebutd'avoiruneconvergenceindépendantedu blèmesnon-symétriquesd'unpréconditionneurutilisépourdesproblèmes del'interfacenécessited'ajouterdesconditionsderaccordauxpointsdecroi- symétriques.enn,l'utilisationdeconditionsdiérentiellesd'ordre2lelong nombredesous-domaines.cepréconditionneurestuneextensionauxpro- Articielles(CLA).L'utilisationdesCLAendécompositiondedomainepermetdedénirdesalgorithmesstables.Unereformulationdelaméthodede approchent,paruneprocédured'optimisation,lesconditionsauxlimites àunschémavolumesnis.unpréconditionneurbassesfréquencesesten- Motsclés:Décompositiondedomaine,conditionsauxlimitesarticielles, montrerquelesproblèmesdanschaquesous-domainesontbienposés. sementdessous-domaines.uneétudeestmenéeacesujet,quipermetde formance. thodedevolumesnis,préconditionneur,calculparallèle,calculhauteper- méthodeoptimiséed'ordre2(oo2),problèmesdeconvection-diusion,mé- Laboratoiresd'accueil: CMAP,EcolePolytechnique,91128PALAISEAUCedex. O.N.E.R.A.,ServiceDTIM/CHP,29AvenuedelaDivisionLeclerc,BP 72,92322CHATILLONCedex.

7 Thepurposeofthisworkisthedesignandstudyofadomaindecomposition method,theoptimizedorder2(oo2)method,inordertosolveconvection- Abstract diusionequation.itsmainadvantageisthatitisageneraldomaindecom- positiontechnique,withnoaprioriknowledgeoftheboundarylayersorthe recirculationzoneslocation.theoo2methodisaniterativenonoverlapping domaindecompositionmethod.thedomainisdividedintosubdomains,and areoptimizedapproximationsofarticialboundaryconditions(abc).the maldirectionandoforder2inthetangentialdirectiontotheinterface,which theinterfaces.theseconditionsaredierentialequationsoforder1inthenor- thephysicalproblemissolvedineachsubdomain,withspecicconditionsat usedwithanupwinddierencescheme,andanitevolumescheme.alow Krylovtypealgorithm(BICG-STAB,GMRES,GCR).TheOO2Methodis mulationoftheschwarzalgorithmleadstoaninterfaceproblem,solvedbya useofabcindomaindecompositionproducesstablealgorithms.areformetricproblems.alongwiththeuseofdierentialconditionsoforder2along convergenceindependentofthenumberofsubdomains.thispreconditioner isanextensiontonon-symmetricproblemsofapreconditionerusedforsym- wavenumberpreconditionerisintroducedandstudiedinordertomakethe subdomains. ofonetypeofcross-pointsconditionsleadstowell-posedproblemsinthe theinterface,weneedtoaddconditionsatinterfacecross-points.astudy Keywords:Domaindecompositionmethods,articialboundaryconditions, OptimizedOrder2(OO2)method,convection-diusionproblems,nitevolumemethods,preconditioner,parallelcomputing,HighPerformanceComputing.

8 TABLEDESMATIÈRES 1 Tabledesmatières Introduction I Dénitiondesconditionsd'interface 155 1Introduction 2Outilsgénéraux:conditionsd'interfaceprovenantdesconditionsauxlimitesarticielles(CLA) RappelsurlesCLAexactes:casde2sous-domaines LesCLAexactesentantqueconditionsd'interface Ecrituredel'algorithmedeSchwarz DesCLAapprochéesentantqueconditionsd'interface Convergencedel'algorithmedeSchwarzaveclesCLAapprochées ExtensionàKsous-domaines Casde2sous-domaines Remarquesuruneautreapproche Conditionsd'interfaceoptimiséesOO2:étudesurleproblèmecontinu constructiondesconditionsd'interfaceoo2etétudedela Motivationetdénition Casde2sous-domainesetd'unopérateuràc cientsconstants: convergence Estimationsdutauxdeconvergence Convergencedel'algorithmedeSchwarzaveclesconditionsOO Minimisationdutauxdeconvergence...38

9 Résultatsnumériquessurletauxdeconvergence...54 TABLEDESMATIÈRES 4Conditionsd'interfaceoptimisées(OO2)h:étudesurleproblèmediscret OO Méthodologiedecalculdesconditionsd'interfaceoptimisées 4.2AlgorithmedeSchwarzetconditionsd'interface:casdiscret, 4.1Décompositiondudomaineetnotations...72 sansrecouvrement DénitiondesCLAexactesdiscrètes:casde2sous-domaines Convergenceoptimaledel'algorithmedeSchwarzavecles 4.4.1Casde2sous-domaines Casd'undécoupagedudomaineenbandes...81 CLAexactesdiscrètes Remarque:lienentrelesCLAexactesdiscrètesetlamatrice 4.5.2LienaveclesCLAexactesdiscrètes Rappel:méthodeducomplémentdeSchur...89 ducomplémentdeschur Compléments 5.1Minimisationsurdeuxparamètresdutauxdeconvergence 4.6Lesconditions(OO2)h...92 danslecasde2sous-domaines Introduction briqueetrésultatsnumériques. II MéthodeOptimiséed'Ordre2.Formulationalgé MéthodeOptimiséed'Ordre2 2.1Formulationalgébrique:écritureduproblèmecondensé RésolutionduproblèmecondenséparunalgorithmedeKrylov Matricesd'interfaceB1etB Ecrituredel'algorithmedeSchwarzsousformed'un problèmecondensésurl'interface...121

10 TABLEDESMATIÈRES 3Applicationdelaméthodeàunschémaauxdiérencesnies 3 3.2Résultatsnumériques décentré 3.1Positionduproblème Découpagedudomaineenbandes:comparaisondes Conclusions Découpagedudomaineenrectangles conditionsoo2discrétiséeset(oo2)h Applicationdelaméthodeàunschémavolumesnis 4.3Discrétisationenespace:méthodedevolumesnis Discrétisationdudomainedecalcul Discrétisationentemps RésolutionparlaméthodeOO Stabilitéduschéma Discrétisationd'uneconditionauxlimitesdetypeNeumann Discrétisationdesconditionsauxpointsdecroisement 4.4.1Discrétisationdesconditionsd'interface Résultatsnumériques Maillagecartésienàpasconstant Ecoulementautourd'uncylindreissud'uncalculNavier- dessous-domaines III Méthodesdepréconditionnement Stokes Introduction 189 2Préconditionneurbassesfréquences 2.1Introduction Leproblèmed'interfaceprojeté Dénitiondelacontrainte Résolutionparl'algorithmeGCRprojeté Leproblèmed'interfaceprojeté...199

11 43Résultatsnumériques:l'équationdeconvection-diusion TABLEDESMATIÈRES 3.1Inuencedelaconditionderaccordauxpointsdecroisement 3.2Vitessedeconvectionnulle:opérateursymétrique dessous-domaines Solutionconstantedansledomaineglobal Vitessedeconvectiondecisaillement Vitessedeconvectiontournante IV3.6Conclusion Introduction sementdessous-domaines Etudedeconditionsderaccordauxpointsdecroi Problèmeslocauxbiensposés Dénitionduproblèmelocaletétudedel'existenceetdel'unicitéd'unesolution Notations Conclusion 245

12 Introduction 5

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14 pourlecalculscientique,carilsorentunegrandepuissance,quecesoiten teinteparlamultiplicationdesperformancesd'unprocesseurparlenombre termedeplacemémoireouderapiditédescalculs.cettepuissanceestat- Lescalculateursàarchitectureparallèlesontdevenusunoutilmajeur deprocesseurs.cettepercéeinformatiquesoulèvedenouvellesquestions:la 7 recherchedeméthodesnumériquesquisoientecacesetparallélisables. sous-domaines.onpeutainsitraiterdesproblèmesdegrandetaillepourlesquelsaucunordinateurn'auraitàluiseuluneplacemémoiresusante.par unereformulationduproblème,celui-cipeutêtretransforméenunproblème équivalentdontlesinconnuessontdesfonctionsdéniessurlesinterfaces dessous-domaines(méthodesditesdesous-structurationoudetypeschur). Larésolutionduproblèmed'interfaceparuneméthodeitérative(detype lescalculateursparallèles:chaquesous-domaineestattribuéàunproces- gradientconjugué)s'eectuepardesrésolutionssuccessivesdeproblèmeslogorithmesperformantsetadaptésauxmachinesparallèles.ellesconsistentà partagerledomainederésolutiond'uneéquationauxdérivéespartiellesen Lesméthodesdedécompositiondedomainepermettentdedénirdesal- locale.lorsdelarésolutionduproblèmed'interface,lesinteractionsentre seurquirésoutsonproblèmeàl'aidedesdonnéescontenuesdanslamémoire caux(parsous-domaine)indépendants,cequipermetd'utiliserecacement seurs.pourquelavitessedeconvergencesoitprochedel'optimum,ilest nécessairedechoisirdebonnesconditionsderaccordsurlesinterfacesdes sous-domaines,ainsiquedespréconditionneursspéciques. sous-domainessonttraitéesparlesphasesdecommunicationentreprocesmaine: -d'abordcellesavecrecouvrementdessous-domainestelleslaméthodede Ondistinguedeuxgrandstypesdeméthodesdedécompositiondedo- Schwarz[44](H.A.Schwarz,1870)dontlaconvergenceaétéétudiéepar H.A.Schwarz,puisP.L.Lions[26](P.L.Lions,1988).Lesméthodesavecrecouvrementontl'inconvénientdecompliquerénormémentlamiseen uvre numérique,surtoutdanslecasdeproblèmes3d.deplus,pourdesgéométriestrèscomplexes,ilestdicilevoireimpossiblededénirdeszonesde recouvrement.unautretypedeméthodeaainsiétédéveloppé:

15 8 d'avoirdesconditionsd'interfacespéciquespourquelaméthodeconverge. Parexemple,uneextensiondelaméthodedeSchwarzaucassansrecouvrementaétéintroduitedans[27](P.L.Lions,1989),puis[10](B.Desprès, 1991),[7](P.Charton,F.NatafetF.Rogier,1991),[5](C.CarlenzolietA. thodesdesous-structuration[25](p.letallec,1994). Quarteroni,1995).L'algorithmedeSchwarzestuncasparticulierdesmé- -cellessansrecouvrementdessous-domaines.danscecas,ilestimpératif tionsdelamécaniquedesuidescompressibles. mainesansrecouvrement,itératives,parallélisables,pourleséqua- Danscetravail,ondéveloppedesméthodesdedécompositiondedonaireestcalculéparlinéarisationetl'utilisationd'unschémaimpliciteen temps.celapermetdelimiterlenombred'itérationsnécessaire.l'équation debasedansceprocessusestalorsl'équationdeconvection-diusion: Danscecadre(équationsnonlinéairesdeNavier-Stokes),l'étatstation- triquedel'opérateurencauseiciposedesproblèmesspéciques.eneet, u=f [38](F.X.Roux,1995)enremplaçantl'algorithmedugradientconjuguépar modications.parexemple,onpeututiliserlesméthodesdetypeschurdual lesalgorithmesconçuspourlessystèmeslinéairessymétriques,avecquelques lorsqueletermedediusionestdominant,onpeututiliserdefaçonecace etlesrésultatsthéoriquessontmoinsnombreux. unalgorithmegmres[43](y.saadeth.schultz,1986)oubicg-stab [46](H.A.VanderVorst,1992)pourrésoudreleproblèmecondensé.Cependant,lorsquelaconvectionestgrande,cesméthodessontmoinsperformantesique,aumoyendelatechniquedeconditionsauxlimitesarticielles(CLA). Nousallonsdécriresuccintementpourunproblèmegénéralleprincipedela méthodedeschwarzadditiveclassique,puislesidéesdéveloppéesdansce LestravauxprésentésiciétendentlaméthodedeSchwarzadditiveclas- travail.

16 Méthodededécompositiondedomainesansrecouvrement: 9 Supposonsquel'onchercheàrésoudreleproblème: oùestunouvertbornédeir2,cunopérateurdiérentieldebord(par L(u)=fdans (2) (1) exemplec(u)=upouruneconditiondedirichlet),lunopérateurdiérentiel,etfetgdesfonctionsdonnées.ondécoupeledomainedecalculglobal ensous-domainesdelafaçonsuivante:=[ki=1i,aveci\j=;;i6=j. Onnote ijl'interfaceentrelessous-domainesietj;i6=j(voirgure tangentunitaire. 1).Onnotenilanormaleextérieureàunsous-domainei,etilevecteur Ω Ω 1 4 Fig.1:Décompositiondudomaine Ω Ω 2 3 sous-domainei;1ik.l'algorithmedeschwarzs'écritdansi: Soitupil'approximationdelasolutionude(1)-(2)àl'itérationpdanschaque Γ Bi(up+1 L(up+1 i)=f;dansi 23 oùbiestunopérateurd'interface.l'algorithmeoriginaldeschwarzadditif C(up+1 i)=bi(upj);surchaque ij;j6=i (3) [26](P.L.Lions,1988),avecdesconditionsd'interfacedeDirichlet(Bi=Id), neconvergequelorsquelessous-domainesserecouvrent.dans[27](p.l. Lions,1989),lesconditionsd'interfacesontdesconditionsplusgénéralesde

17 10 typefourierourobin(b couvrement. 1990),[7](P.Charton,F.NatafetF.Rogier,1991),[5](C.Carlenzoliet [19](T.Hagstrom,R.P.TewarsonetA.Jazcilevich,1988),[9](B.Desprès, estfondamentale.diversestechniquesontétéproposées(voirparexemple Laquestiondesconditionsderaccordauxinterfacesdessous-domaines quelconquessanssavoiràl'avanceoùsontsituéslesphénomènesphysiques àcaractèreparabolique,enparticulierpermettantdetraiterdesdécoupages desconditionsrobustes,permettantderésoudreecacementdeséquations A.Quarteroni,1995),[45](K.H.TanetM.J.A.Borsboom,1994)).Ilfaut comprendrelesmécanismesmathématiquesenjeuauxinterfaces,etainside telsquelescoucheslimitesouleszonesderecirculation.lanotiondeconditionsauxlimitesarticielles(cla)(l'approchedéveloppéedans[11] (B.EngquistetA.Majda,1977),puis[21](L.Halpern,1986))permetde proposerdesalgorithmesstablesetperformants. TechniqueConditionsauxLimitesArticielles(CLA): terfaceconduit,pourundécoupagedudomaineenbandes,àunrésultat deconvergenceoptimal.celajustiepleinementl'activitédéveloppéeautour Sturler,1995)quel'utilisationdesCLAexactesentantqueconditionsd'in- Enpremierlieu,ilaétédémontrédans[32](F.Nataf,F.RogieretE.de del'utilisationdecesnotions. quement.c'estpourquoi,anderesterprochedelaconvergenceoptimale,on auxdérivéespartielles,etsontdoncd'unemploicoûteuxetdicilenuméri- recherchedesopérateursd'interfacesouslaformed'opérateursauxdérivées LesopérateursintervenantdanslesCLAexactesnesontpasdesopérateurs d'ordre0,1ou2desclaexactes(remarquonsquelesconditionsd'interface [7](P.Charton,F.NatafetF.Rogier,1991),[31](F.NatafetF.Rogier, partiellesquiapprochentceuxintervenantdanslesclaexactes.ainsi,dans de[9](b.desprès,1990)et[5](c.carlenzolieta.quarteroni,1995)peuvent 1995),lesconditionsd'interfacesontdesapproximationsbassesfréquences êtreinterprétéescommedesapproximationsbassesfréquencesd'ordre0des CLAexactes). Lesapproximationsbassesfréquencesd'ordre2desconditionsauxlimites

18 articiellesexactesconduisent,danslaplupartdescas,àdesgainstrèsimportantsenvitessedeconvergenceparrapportauxconditionsd'interface d'ordre0oucellesdedirichlet,danslecadredeladécompositionavecre- lente,voirimpossible. d'unevitessedeconvectiontangenteauxinterfaces,laconvergenceesttrès 11 couvrement(voir[31](f.natafetf.rogier,1995)).néanmoins,danslecas donné,toutenrestantstables.cesdernièresserontalorsmoinssensiblesauxdiérentsparamètresintervenantdansl'algorithme(paramètres physiques,angledelavitessedeconvectionparrapportauxinterfaces,paterfacebisontcherchéssouslaformramètresdediscrétisation).pourêtreunpeuplusprécis,lesopérateursd'in- approximationsdesclaexactes,pourunintervalledefréquence d'ordre2enlavariabletangentielledemanièreàêtredebonnes Ilnousaparuintéressantdechercherdesconditionsd'interface ietj,unerelationentrebietbjassurelastabilitéetlaconvergence. avecdesmaillagesnoncoïncidentsauxinterfaces.cettetechniqueservaità F.Nataf,1995)pourlarésolutiond'unproblèmeelliptiquedetypeStokes d'optimisationdutauxdeconvergenceaétéutiliséedans[1](y.achdouet NousdésignonscesconditionsparOptimiséesd'Ordre2(OO2).L'idée minimiserleconditionnementd'unematricedepréconditionnementdansle casdeméthodesnonconformes. Algorithme: surlesinterfaces.pouraccélérerlaconvergence,ceproblèmed'interfacepeut alorsêtrerésolu(suivant[32](f.nataf,f.rogierete.desturler,1995)) terpréecommeunalgorithmedejacobiappliquéàunproblèmecondensé Dupointdevuedel'algorithme,laméthodedeSchwarzpeutêtrein- 1996)),aulieud'unalgorithmedeJacobi. parunalgorithmedetypekrylov(gmresoubicg-stab,[42](y.saad,

19 12 Nousutiliseronsainsilaméthodesuivante: Cetteméthodeestdéniedelafaçonsuivante:leproblèmed'interfacepro- méthodesdedécompositiondedomainesansrecouvrement,itératives. venantdelareformulationdelaméthodedeschwarzestrésoluparunalgo- rithmedetypekrylov(bicg-stab,gmresougcr).lesconditionsde LaméthodeOptimiséed'Ordre2(OO2)s'inscritdanslecadredes duitesci-dessus. raccordsurlesinterfacesdessous-domainessontlesconditionsoo2intro- lenombredesous-domainesaugmente.eneet,lorsducalculduproduitde lement,àtraverslesinterfacesdessous-domaines.orlaprésenceduterme lamatriceinterfaceparunvecteur,l'échanged'informations'eectueloca- DanslecasdelaméthodedeJacobi,laconvergencesedégradelorsque sous-domainedépenddelavaleurdusecond-membrefenchaquepointdu dansl'opérateurdeconvection-diusionfaitquelasolutiondansun baleentrelessous-domaines,and'avoiruneconvergenceindépendantedu domaineglobal.ainsi,ilestnécessairedetransmettreuneinformationglo- ainsiétédéveloppées(voirparexemple[6](t.chanett.p.mathew,1994)). Celles-cisontbaséssurl'utilisationd'unegrillegrossière(méthodesmultigrilles).Néanmoinssilaconvectionestgrande,cettegrillegrossièredoitêtre nombredesous-domaines.diérentestechniquesdepréconditionnementont J.MandeletF.X.Roux,1998)pourlesproblèmessymétriquesetdansle Roux,1994),[14](C.FarhatetJ.Mandel,1998),[15](C.Farhat,P.S.Chen, deplusenplusneetdoncdeplusenpluscoûteusenumériquement.une cadredelaméthodedeschurdual.elleconsisteàdénirunespacegrossier autreapprocheaétédéveloppéedans[13](c.farhat,j.mandeletf.x. et,àchaqueitérationdel'algorithme,àprojeterlessolutionsdansl'orthogonaldecetespacegrossier.nousgénéralisonscettetechniquedeprojection dansl'orthogonald'unespacegrossierauxproblèmesnon-symétriques.cet espacegrossieresticichoisidesortequ'àchaqueitérationoncapturela partiebassesfréquencesdelasolution,ceciand'avoiruneconvergence indépendantedunombredesous-domaines. lesconditionsderaccordauxpointsdecroisementdessous-domainesqu'il Uneétudeestégalementmenée,danslecasdedécoupagesgénéraux,sur

20 fautajouterpourqueleproblèmelocaldetype(3)dansunsous-domainesoit 13 bienposé.eneet,l'utilisationdeconditionsd'interfaced'ordredeuxdans ladirectiontangentiellenécessitel'ajoutdetellesconditions,and'avoirdes problèmeslocauxbienposés.pourcetteétude,nousutilisonslesrésultatsde [35](F.Nataf,1998). créeàl'étudedesconditionsd'interface,lapartieiiàlaprésentationde l'algorithmeetsonapplicationàdiérentsschémas,lapartieiiiàl'étude depréconditionneurs,etlapartieivàl'étudedeconditionsderaccordaux Cetravailsedécoupeainsidelamanièresuivante:lapartieIestconsa- pointsdecroisementdessous-domaines. L'étudethéoriquedesconditionsd'interface(partieI)estcomposéedela façonsuivante: d'interfaceoptimisées.ladéterminationdesconditionsd'interfacesoptimi- d'interfaceutiliséesendécompositiondedomainepourrésoudreunproblème DanslechapitreI.2,nousfaisonsunrappelbibliographiquedesconditions séesfaitl'objetdeschapitresi.3,surleproblèmecontinuenespace(condi- tionsoo2),eti.4,surleproblèmediscretenespace(conditions(oo2)h).les deconvection-diusion.cesconditionsontmotivélechoixdesconditions conditions(oo2)hproviennentdeconditionsd'interfacearticiellesexactes discrètesetsontdistinctesdeladiscrétisationdesconditionsoo2. Ladeuxièmepartietraitedeladescriptiondel'algorithmeOO2,desamise en uvre,etdesonapplicationàdiérentsschémasdediscrétisation: LechapitreII.2apourobjetlaprésentationdel'algorithmeOO2,enparticulierl'écritureduproblèmecondenséàl'interfaceetsarésolutionparun algorithmedetypekrylov.nousexposonsensuite,auxchapitresii.3etii.4, schémad'eulerimplicite,etenespaceparunschémaauxdiérencesnies desrésultatsnumériquessurl'équationdeconvection-diusionen2d.au chapitreii.3,laméthodeesttestéesuruncodedecalculexistant(avecune maillederecouvrement),danslecasd'unediscrétisationentempsparun appliquonslaméthodeàunschémautilisédanslecodedecalculaerolog décentré.auchapitreii.4,danslecadred'unecollaborationavecmarcbrédif(matrabaedynamicsfrance,départementd'aérodynamique),nous

21 14 [3](C.BorelandM.Bredif,1992).Leschémaentempsimpliciteprovientdu nis. Pourcesdeuxapplications,lesrésultatsdeconvergenceobtenusavecles schémadelax-wendro,etladiscrétisationenespaceestdetypevolumes conditionsoo2et(oo2)hsontcomparésàceuxdonnésparlesdiérentes conditionsd'interfaceintroduitesauchapitrei.2.(bassesfréquencesd'ordre 0ou2).Nousmettonsenévidencelaréductiondunombred'itérationsde ordre0,ordre2),puisquel'utilisationdeconditionsd'ordre2n'augmente rationestlemêmequellequesoitlaconditiond'interfaceutilisée(dirichlet, réductiondutempsdecalculglobal.eneet,letempsdecalculdansuneité- l'algorithme(bicg-stab,gmres,gcr)aveclaméthodeoo2,etdoncla paslalargeurdebandedesmatriceslocales. symétriques.auchapitreiii.2,nousdénissonsunespacegrossieretla dans[13](c.farhat,j.mandel,f.x.roux,1994)auxproblèmesnon- projectiondansl'orthogonaldecetespace.lessolutionssontalorsprojetées Latroisièmepartieapourobjetl'extensiondupréconditionneurdéveloppé bassesfréquences,c'est-à-direceuxquisepropagentàl'ensembledessousdomaines.auchapitreiii.3nousprésentonsdesrésultatsnumériquesdansle casdel'équationdeconvection-diusion,discrétiséeparleschémavolumes- àchaqueitérationdel'algorithme,cequipermetdeltrerlesphénomènes Laquatrièmepartieconcernel'étudedeconditionsderaccordauxpointsde nisduchapitreii.4. croisementdessous-domainesandemontrerl'existenceetl'unicitéd'une solutionduproblèmelocaldansunsous-domaine.

22 15 Premièrepartie Dénitiondesconditions d'interface

23

24 TABLEDESMATIÈRES 17 Tabledesmatières 1Introduction 2Outilsgénéraux:conditionsd'interfaceprovenantdesconditionsauxlimitesarticielles(CLA) LesCLAexactesentantqueconditionsd'interface Ecrituredel'algorithmedeSchwarz DesCLAapprochéesentantqueconditionsd'interface RappelsurlesCLAexactes:casde2sous-domaines Convergencedel'algorithmedeSchwarzaveclesCLAapprochées ExtensionàKsous-domaines Casde2sous-domaines Remarquesuruneautreapproche Conditionsd'interfaceoptimiséesOO2:étudesurleproblèmecontinu constructiondesconditionsd'interfaceoo2etétudedela Casde2sous-domainesetd'unopérateuràc cientsconstants: 3.1Motivationetdénition...35 convergence Convergencedel'algorithmedeSchwarzaveclesconditionsOO Minimisationdutauxdeconvergence Méthodologiedecalculdesconditionsd'interfaceoptimisées 3.2.4Résultatsnumériquessurletauxdeconvergence Estimationsdutauxdeconvergence...49 OO2...68

25 184Conditionsd'interfaceoptimisées(OO2)h:étudesurlepro- blèmediscret sansrecouvrement TABLEDESMATIÈRES 4.1Décompositiondudomaineetnotations AlgorithmedeSchwarzetconditionsd'interface:casdiscret, 4.3DénitiondesCLAexactesdiscrètes:casde2sous-domaines Convergenceoptimaledel'algorithmedeSchwarzavecles 4.5Remarque:lienentrelesCLAexactesdiscrètesetlamatrice 4.4.2Casd'undécoupagedudomaineenbandes Casde2sous-domaines...80 CLAexactesdiscrètes Lesconditions(OO2)h LienaveclesCLAexactesdiscrètes Rappel:méthodeducomplémentdeSchur...89 ducomplémentdeschur Compléments 5.1Minimisationsurdeuxparamètresdutauxdeconvergence danslecasde2sous-domaines...97

26 19 Chapitre1 Introduction stablesetperformants. interfacesdessous-domainesestfondamentalpourobtenirdesalgorithmes Endécompositiondedomaine,lechoixdesconditionsderaccordaux terfacepermettantderésoudreecacementlesproblèmesdetypeconvection- diusion.l'équationdeconvection-diusionquenousconsidéronsdanscette Aussi,cettepartieapourobjetl'étudeetladéterminationdeconditionsd'in- parties'écrit: oùa=a;bestlechampdevitessesdeconvection,laviscosité,fune u=f (I.1.1) doncdelimiterlenombred'itérationsentempsnécessaire. d'unschémaimplicitepermetdeprendredeplusgrandspasdetemps,et implicite(enparticulierc=0correspondàl'étatstationnaire).l'utilisation desconditionsd'interfaceditesoptimiséesd'ordre2(oo2).ladéterminationdecesconditionsd'interfacefaitl'objetdeschapitresi.3eti.4:l'étudtiondeconvection-diusion(chapitrei.2).cesconditionsontmotivélechoitionsd'interfaceutiliséesendécompositiondedomainepourrésoudrel'équa- Pourcetteétude,nousfaisonsd'abordunrappelbibliographiquedescondi- estréaliséed'abordsurleproblèmecontinuenespace(chapitrei.3).unepremièreraisonestquelesschémasdediscrétisationsontsouventcompliqués alorsquel'écritureauniveaucontinuestsimple.deplus,lesalgorithmes

27 20obtenusvontrestervalablespourtoutediscrétisationquiconservelescarac- téristiquesessentiellesduproblèmephysique(schémasauxdiérencesnies CHAPITRE1.Introduction tionsd'interfaceoo2,etétudionslaconvergencedel'algorithmedeschwarz décentrés,méthodesdevolumesnisouméthodesd'élémentsnisdetype streamlinediusion).nousdonnonsuneméthodedeconstructiondescondi- aveccelles-ci.cependant,ilpeutêtreintéressantdetenircompteduschéma Nousdénissonsdesconditionsd'interfacearticiellesexactesdiscrètes,qui danscertainessituations.c'estpourquoil'étudedel'optimisationdesconditionsd'interfaceaétéensuiteétendue,auchapitrei.4,auproblèmediscret. conduisentàuneconvergenceoptimaledel'algorithmedeschwarz.cesconditionspermettentdedénirdesconditionsd'interfaceoo2discrètesque nousnotons(oo2)h.

28 21 Chapitre2 Outilsgénéraux:conditions d'interfaceprovenantdes (CLA) conditionsauxlimitesarticielles mentaledecettedémarcheestqu'ellepermetuneconvergenceoptimale(voir ticiellesetsonutilisationpourl'écrituredesconditionsd'interface,comme dans[30],[31](f.natafetf.rogier1994,1995).lacaractéristiquefonda- Danscechapitre,nousexposonslanotiondeconditionsauxlimitesar- [32](F.Nataf,F.RogieretE.deSturler,1995)). estnotéeni,etiestlevecteurtangentunitairedénicommesurlagure Danstoutcequisuit,lanormaleextérieureàunsous-domaineideIR Ω Ωi j Fig.2.1:Interfaceentre2sous-domaines τ i n i Γ ij

29 222.1 RappelsurlesCLAexactes:casde2sousdomaines CHAPITRE2.Outilsgénéraux:conditionsd'interface... tiquepourrésoudredesproblèmesphysiquesposésdansdesdomainesnon Lesconditionsauxlimitesarticielles(CLA)sontutiliséesencalculscien- exemplel'écoulementd'airautourd'unavion).sil'onconsidèreunediscrétisationdetypevolumesnis,diérencesniesouélémentsnis,iln'est bornésousigrands,qu'onnesouhaitepaslesmodéliserenentier(par qu'ilsatureraitlamémoiredel'ordinateur.ilestnécessairedetronquerledomainedecalculparunefrontièrearticiellesurlaquelleilfautsedonnerun êtretellequelasolutionobtenuedansledomainetronquésoitlarestriction conditionauxlimitesditearticielle.demanièreidéale,cetteconditiondoit paspossibledeprendreencompteundomaineinniouundomainesigrand seraitd'unemploitrèscoûteuxnumériquement.ceciamotivélarecherche exacte.engénéral,cetteconditionestintégraleentempsetenespaceet qu'unetelleconditionauxlimitesestuneconditionauxlimitesarticielle delasolutionquel'onauraitcalculéedansledomainenontronqué.ondira faitl'objetdenombreuxtravaux(voir[23](s.i.hariharan,1985)).ici,nous declaquiapprochent(entempsetenespace)lesclaexactes.cecia rappelonsbrièvementl'approchedéveloppéedans[11],[12](b.engquistet A.Majda,1977,1979)pourl'équationdesondesetétenduedans[21](L. Supposonsquel'onveutrésoudrel'équation: Halpern,1986),[22](L.HalpernetM.chatzman,1989)enmécaniquedes uides.nousreprenonslesnotationsde[33](f.nataf,1995). aveclesupportdefcontenudansledemi-plangaucheir IR. L(u)=fdansIR2 Ω 1 Ω 2 Fig.2.2:Décompositiondudomaine=IR2 y x Γ 12

30 2.1.RappelsurlesCLAexactes:casde2sous-domaines Onborneledomainedansladirectiondesxpositifsenintroduisantcomme 23 frontièrearticielleladroitex=0.onnote1=ir IRet2=IR+IR, Poincarédudemi-plandroit : avec L(w)=0;x>0 w(0;y)=u0(y) wbornéàl'inni enx=0 (I.2.3) (I.2.2) (I.2.1) Onchercheàmettreuneconditionauxlimitesenx=0quisoitexactec'està-direquel'onchercheunopérateurBtelquelasolutionvduproblème soitlarestrictiondeuàir IR. L(v)=f;x<0 CommeuvérieL(u)=0surIR+IR,d'aprèsladénitionde etpar B(v)=0;x=0 unicitéde(i.2.1)-(i.2.3)nousavons: sibienquelacondition(i.2.4)estuneconditionauxlimitesarticielleexacte. )(u)=0enx=0 plangauche+: L(w)=0;x<0 w(0;y)=u0(y) wbornéàl'inni enx=0 (I.2.7) (I.2.6) (I.2.5) parunicitéde(i.2.5)-(i.2.7),lacondition dansledemi-plandroitir+ir. estuneconditionauxlimitesarticiellesexacte,silesupportdefestinclus +)(u)=0enx=0 (I.2.8) LorsqueLestàc cientsconstants,lesymbole (resp.+)de (resp.

31 24+)peutêtredéterminéexplicitement: CHAPITRE2.Outilsgénéraux:conditionsd'interface... Ondésignepar^wlatransforméedeFourierpartielleparrapportàydew, etklavariabledefourier: PrenonslatransforméedeFourierpartielleparrapportàyde(I.2.1): etf 1 kdésignelatransforméedefourierinverse. ^wx;k=zire ikywx;ydy (I.2.9) Ainsi,nousavonsdeuxpossibilitéspourik: c+a+ibk 2+k2 k;a;b=a pa2+4c+4ibk+4k22 +k;a;b=a+pa2+4c+4ibk+4k22 2 (I.2.10) étantbornéeàl'inni,letermeenfacteurdee+kxdoitêtrenul.nousavons Lorsquec6=0,alorsRe+>0etRe <0.Lasolution^wde(I.2.9) 2 (I.2.11) ainsi^wx;k=^u0ke kx(d'après(i.2.2)),et yde(i.2.5),l'équationquienrésulteapoursolution^wx;k=^u0ke+kx Demême,sinousprenonslatransforméedeFourierpartielleparrapportà u0=f 1 k k^u0k et constants,enprenantunetransforméedefourierpartielledelparrapport Remarque2.1FactorisationdeL.DanslecasoùLestàc cients +u0=f 1 k+k^u0k ày,onpeutlefactorisersouslaforme

32 2.1.RappelsurlesCLAexactes:casde2sous-domaines Lesopérateursintervenantdanslesconditionsauxlimitesarticiellesexactes 25 variables,onpeutaussirelierlafactorisationdelauxconditionsauxlimites articiellesexactes(voir[33](f.nataf,1995))). (I.2.4)et(I.2.8)sontlestermesdelafactorisationdeL(pourLàc cients Lesopérateursintervenantdanslesconditionsauxlimitesarticiellesexactes a pa2+4c a pa2+4c a+pa2+4c 2 +0d'après(I.2.10)et(I.2.11). 2 a+pa2+4c Lesopérateurs et+nesontpasdesopérateursauxdérivéespartielles. 2 teursauxdérivéespartiellesquiapprochent et+.cecirevientàappro- cher et+parunpolynômeenk.dans[30](f.natafetf.rogier,1994) teusesetdicilesàmettreen uvre.c'estpourquoionrecherchedesopéra- Desconditionsd'interfacefaisantintervenircesopérateursseraientdonccoû- laclaexacte(i.2.4): a intervenantdans 2 + b pa2+4c1+ b2 mationestfaiteparrapportàpetit,cequiestéquivalentàlafairepourk petit,danslecasoùc=0dans(i.1.1)). terfaceontétédéveloppéesàpartirdesconditionsauxlimitesarticielles. PourlesméthodesdetypeSchwarzouKrylov,diérentesconditionsd'in- Avantd'introduirecesconditions,nousrappelonsl'algorithmedeSchwarz.

33 262.2 Ecrituredel'algorithmedeSchwarz CHAPITRE2.Outilsgénéraux:conditionsd'interface... neconvergequelorsquelessous-domainesserecouvrent.l'algorithmeest étenduauxcasd'undécoupagesansrecouvrementdans[27](p.l.lions, (P.L.Lions,1988),avecdesopérateursd'interfacedeDirichlet(Bi=Id) L'algorithmeoriginaldeSchwarzadditif[44](H.A.Schwarz,1870),[26] disjoints1et2séparésparuneinterface 12. uneconstante).c'estcetalgorithmequenousrappelonsici.noussupposons, proximationinitialedelasolutionude(i.1.1)danschaquesous-domaine,et Algorithme2.1Schwarz,sansrecouvrement.Soit(u0i)i=1;2uneap- deschwarzadditifprésentédans[27](p.l.lions,1989)s'écrit: soit(upi)i=1;2lavaleurdel'approximationdeuàl'itérationp.l'algorithme B1(up+1 L(up+1 L(up+1 1)=B1(up2)sur 12 1)=f;dans1 oùb1etb2sontdesopérateursd'interface. B2(up+1 2)=B2(up1)sur 12 2)=f;dans2 cesopérateursd'interface. Diérentsopérateursd'interfaceBiontétédéveloppésàpartirdesconditionsauxlimitesarticielles.Nousprésentons,danslessectionssuivantes, 2.3 LesCLAexactesentantqueconditions étéfaitepourlapremièrefoisdans[19](t.hagstrom,r.p.tewarsoneta. L'utilisationdeCLAexactescommeconditionsd'interfacea,semble-t-il, d'interface Jazcilevich,1988),pourleproblèmedeconvection-diusion. prendcommeopérateursd'interfaceceuxintervenantdanslesclaexactes, +,l'algorithmedeschwarz2.1convergeen2 Remarque2.3.Danslecasoù1=IR IRet2=IR+IR,sil'on

34 2.4.DesCLAapprochéesentantqueconditionsd'interface itérations,cequiestoptimal.eneet,leséquationsdel'algorithme2.1étant 27 et+).lesecondmembredel'algorithme2.1dénissantu2i=0estdonc nul,cequiimpliquequeu2i=0;i=1;2. etl(u12)=0dans2,nousavonsb1(u1)=b2(u12)=0(pardénitionde linéaires,onpeutconsidérerlecasoùf=0.alors,commel(u1)=0dans1 Cerésultatsegénéraliseaucasd'undécoupagedudomaineenbandes[32] mitesarticiellespourladécompositiondedomaine. (F.Nataf,F.RogieretE.deSturler,1995). sontpasutiliséscommeopérateursd'interface.eneet,onavuquedansle Cerésultatjustiepleinementl'étudeetl'utilisationdeconditionsauxli- auxdérivéespartielles,etsontdonccoûteuxetdicilesàutiliserdansun Néanmoins,engénéral,lesopérateursintervenantdanslesCLAexactesne formed'opérateursauxdérivéespartiellesquiapprochentceuxintervenant codedecalcul.ceciaconduitàlarecherched'opérateursd'interfacesousla casoùl'onauneformeexplicite,cesopérateursnesontpasdesopérateurs Dansleparagraphesuivant,nousrappelonsdesopérateursd'interfacequi danslesclaexactes. d'ordreinférieurouégalà2. ontétédéveloppésdanscetesprit,etquisontdesopérateursdiérentiels 2.4 tionsd'interface DesCLAapprochéesentantquecondifaceontétéintroduitscommedesapproximationsbassesfréquencesd'ordre Nousexpliquonsbrièvementladémarchequipermetd'obtenircesopérateurs 0,1ou2desopérateursintervenantdanslesCLAexactes. Dans[30],[31](F.NatafetF.Rogier,1994,1995),lesopérateursd'inter- d'interface. Démarche 2sous-domaines1=IR IRet2=IR+IR(voirgure2.2),etqueles c cientsdans(i.1.1)sontconstants. Noussupposons,dansunpremiertemps,que=IR2estdécomposéen

35 28Lesopérateursd'interfacede[30],[31](F.NatafetF.Rogier,1994,1995) CHAPITRE2.Outilsgénéraux:conditionsd'interface Plusprécisément,notons+let l,l=0,1ou2,lesdéveloppementsde et(i.2.8).cesontlesapproximationsquenousavonsconsidéréàlasection quencesdefourier,desopérateursintervenantdanslesclaexactes(i.2.4) sontdesapproximationsdetaylord'ordre0,1ou2,pourlesbassesfré- Alors,lesopérateursd'interfacesont: l,l=0,1ou2,lesopérateursdont+let lsontlessymboles. Taylord'ordrelauvoisinagedek=0de+et.Notonsensuite+let (nousnenotonspascesopérateursb1;letb2;lpourdesraisonsdesimplicité). +l a pa2+4c 2 + b pa2+4c1+ a 2 + b pa2+4c1+ b2 Cesexpressionssontensuitegénéraliséesàunproblèmeàc ApproximationsdeTaylord'ordre0desCLAexactes a:ni pa:ni2+4c 2 ;i=1;2 (I.2.12) ApproximationsdeTaylord'ordre2desCLAexactes a:ni pa:ni2+4c 2 a:i2+ (I.2.13)

36 2.5.Convergencedel'algorithmedeSchwarzaveclesCLAapprochées Remarque2.4.Dans[9],[10](B.Desprès,1990,1991)pourleproblème 29 dehelmholtz,et[5](c.carlenzolieta.quarteroni,1995)pourleproblème deconvection-diusion,lesopérateursd'interfaceutiliséssontlesapproximationsdetaylord'ordre0desclaexactes(opérateurs(i.2.12)). l=0,1ou2, Remarquefondamentale2.1.LorsqueLestàc cientsconstants,pour Demême,lesopérateurs(I.2.12)et(I.2.13)s'écriventsouslaforme Parconséquent,B2peutêtreobtenuàpartirdeB1enutilisant(I.2.14). +l+ l=++ =a (I.2.14) @1 LelienentreB1etB2faiten(I.2.16)(lienaveclesCLAexactes)estcrucialpourobtenirdesalgorithmesquiconvergent,commelemontrelasection etc4=c1 a:n1 ;c5=c2(a:n2;a:2);c6=c3(a:n2;a:2)(i.2.16) c1=c1(a:n1;a:1);c2=c2(a:n1;a:1);c3=c3(a:n1;a:1) suivante. 2.5 aveclesclaapprochées Convergencedel'algorithmedeSchwarz dans[37](f.natafetf.nier,1997).nousreprenonslesnotationsdela section2.1. Danscettesection,nousrappelonsunrésultatdeconvergencemontré deuxsous-domaines1=ir IRet2=IR+IR(voirgure2.2),etoù Considéronsdenouveaulecasoùledomaine=IR2estdécomposéen Casde2sous-domaines lesc cientsdans(i.1.1)sontconstants.

37 30L'algorithmedeSchwarzadditifs'écrit(voirsection2.2): CHAPITRE2.Outilsgénéraux:conditionsd'interface... B1(up+11)=f;dans1 L(up+1 L(up+1 1)=B1(up2)sur 12 (I.2.18) (I.2.17) Nousétudionslaconvergencedel'algorithmedeSchwarz(I.2.17)-(I.2.20) B2(up+12)=f;dans2 2)=B2(up1)sur 12 (I.2.20) etc22ir;c3>0nedépendentquedea:n1eta:1commeen(i.2.16),et c1=a:n1 p(a:n1)2+4c c4;c5;c6quivérient(i.2.16). 2 OnpeutalorsdécomposerB1etB2comme: où apapoursymbole: B2= +ap) ap etb2estobtenuàpartirdeb1àl'aidedelarelation ap(k)= (0) c2ik c3k2 (I.2.21) calculéexplicitement: Letauxdeconvergencedel'algorithmedeSchwarz(I.2.17)-(I.2.20)peutêtre +ap+ ap=++ =a (I.2.22)

38 2.5.Convergencedel'algorithmedeSchwarzaveclesCLAapprochées Tauxdeconvergence 31 Ondénitletauxdeconvergencedel'algorithmedeSchwarz(I.2.17)-(I.2.20) paronnoteepil'erreurupi uàl'interface 12deiàl'étapep,i=1;2. Onpeutfairelescalculsexplicitementdanslesvariables(x;k),etlarelation (I.2.22)permetdesimpliersouslaforme: ^ep+2 1=^ep1;p1 Eneet,leséquations(I.2.17),(I.2.19)et(I.1.1)étantlinéaires, (k;c2;c3)= (k) ap(k) +(k) ap(k)2 (I.2.23) L(ep1)=0;dans1 L(ep2)=0;dans2 (I.2.24) et(i.2.25),lessolutionss'écriventsouslaforme^ep1(x;k)=p1(k)e+kxet EnprenantlatransforméedeFourierpartielleparrapportàyde(I.2.24) (I.2.25) Lesconditionsd'interface(I.2.18)àl'étapep+2et(I.2.20)àl'étapep+1 donnentalors ^ep2(x;k)=p1(k)e kx(voirlasection2.1). Commepardénitionk;c2;c3=p+2 p+2 1k+k apk=p+1 2k k +apk=p1k+k +apk 2k k apk (I.2.26) p1k,lesrelations(i.2.26)et(i.2.27) (I.2.27) impliquentque k;c2;c3= k apk +k apk+k +apk k +apk Larelation(I.2.22)entraîneque+k +apk= k apkainsique k +apk=+k apketparsuite k;c2;c3= k apk +k apk2

39 32Alorsnousavonslerésultatsuivant[37](F.NatafetF.Nier,1997): CHAPITRE2.Outilsgénéraux:conditionsd'interface... Théorème2.1.SoitCl'ensembledesnombrescomplexes. Pourtout>0;c0;a2IR;b2IR;c22IR;c30,etpourtoutk2IR, j(k;c2;c3)j<1() ap a sgn(re(z1))=sgn(re(z2))etsgn(im(z1))=sgn(im(z2))=)re(z1 Notonsquepourz1;z22C,nousavonslarelationsuivante: a 2fz2C:Re(z)>0g[f1g OriciRe( a lefaitquenousavonssupposéc3>0.deplus,sgn(im( (k)))= sgn(bk), pourk2ird'après(i.2.10)etsgn(im( ap(k)))= sgn(c2k),pourk2ir 2)<0d'après(I.2.10),etRe( ap a 2)<0d'après(I.2.21)et z2)>0. Alors,8>0;c0;a2IR;b2IR;c22IR;c30, Corollaire2.1.SupposonsqueLestàc cientsconstants. d'après(i.2.21).parconséquent,d'aprèslethéorème2.1,nousavons: Enparticulier,cecipermetdemontrerlaconvergencedel'algorithmede Schwarz2.1aveclesconditionsd'interfacedeTaylord'ordre0(I.2.12)oùde 8k2IR;sgn(c2)=sgn(b)=)j(k;c2;c3)j< Taylord'ordre2(I.2.13). culantexplicitementletauxdeconvergence.danslecasplusgénérald'un Danslecasdedeuxsous-domaines,laconvergenceestprouvéeencal- ExtensionàKsous-domaines enfonctiondutauxdeconvergenceducasàdeuxsous-domaines.laconvergenceestprouvéeenutilisantdestechniquesissuesdelatheoriedeslangages formelsdans[37](f.natafetf.nier,1994)): Théorème2.2.Soitledomaine=IR2décomposéenKbandesverticales (i)1ikdelargeuraumoinslsansrecouvrement.onnoteulasolution découpageenksous-domaines(bandes)letauxdeconvergenceestestimé deschwarzconvergedanslesensoù c>0dépendantdebaetde domaineiàl'itérationpdel'algorithmedeschwarz.alors,ilexisteunréel duproblèmedeconvection-diusion(i.1.1)etupil'estimationdeudansle n!1jjuni ujjh2(i)=0 limca2telquesial>cetf2l2(ir2),l'algorithme

40 2.6.Remarquesuruneautreapproche Remarquesuruneautreapproche 33 gence.commeleproblèmedeminimisationsurlesquatreparamètresesttrès c cientsc1;c2;c4;c5sontchoisisdefaçonàminimiserletauxdeconverfaced'ordre1sontintroduits,pourlesquelsc3=c6=0dans(i.2.15).les Dans[45](K.H.TanetM.J.A.Borsboom,1994),desopérateursd'inter- coûteux,unproblèmedeminimisationapprochéestrésolu,maisceciconduit, pourobtenirdesalgorithmesconvergents. entreb1etb2faiten(i.2.16)(lienaveclesclaexactes)estfondamental danscertainscas,àunedivergencedel'algorithme.celamontrequelelien

41 34 CHAPITRE2.Outilsgénéraux:conditionsd'interface...

42 35 Chapitre3 Conditionsd'interfaceoptimisées continu OO2:étudesurleproblème laplupartdescas,àdesgainstrèsimportantsenvitessedeconvergencepar 3.1Lesconditionsd'interfacedeTaylord'ordre2(I.2.13)conduisent,dans Motivationetdénition rapportauxconditionsdetaylord'ordre0(i.2.12)oucellesdedirichletdans lecasd'undécoupageavecrecouvrement(voir[31](f.natafetf.rogier, tions(i.2.13)sedétériorelorsquelavitessedeconvectiondevienttangente 1995)). Cependant,danslecasoùc=0dans(I.1.1),laconvergenceaveclescondi- premièreetsecondedans(i.2.13)deviennentinnislorsquec=0eta:ni=0. àl'interface.cecivientdufaitquelesc cientsdesdérivéestangentielles C'estpourquoi,danscetravail,nouscherchonsdesopérateursd'interfacesous Rappelonsquelecasc=0estintéressantcarilreprésentel'étatstationnaire del'équationdeconvection-diusion. donné.cecisigniequelesopérateursd'interfacesontcherchésdefaçonà seulementpourlesbassesfréquences,maispourunintervalledefréquence bonneapproximationdesopérateursintervenantdanslesclaexactes,non laformed'opérateursdiérentielsd'ordre2commeen(i.2.15)quisoientune minimiserletauxdeconvergencedel'algorithmedeschwarz.

43 36 CHAPITRE3.Conditionsd'interfaceoptimiséesOO2... Dénitiondesconditionsd'interfaceOO2 Lesopérateursintervenantdanslesconditionsd'interfacesontd'ordre2dans Casde2sous-domaines: c4;c5;c6sontxéspar: c1=c1(a:n1;a:1);c2=c2(a:n1;a:1);c3=c3(a:n1;a:1); c1estdénipar:c1=a:n1 p(a:n1)2+4c c4=c1 a:n1 ;c5=c2(a:n2;a:2);c6=c3(a:n2;a:2) (I.3.1) detellesortequelesconditionsd'interfacesoitexactespourlafréquence k=0.notonsquedansuncasunidimensionnel,cechoixdec1donne desopérateursd'interfaceb1etb2quisontceuxagissantdanslescla 2 Enn,nouscalculonsc2etc3enminimisantletauxdeconvergence exactes(voirremarque2.2). Dénition3.1(Opérateursd'interfaceOO2).Lesopérateursd'interfaceOO2intervenantdanslesconditionsdetransmissionsurlebordd'un Extensiondanslecasgénéral: (I.2.23)del'algorithmedeSchwarz2.1. a:ni p(a:ni)2+4c opérateurl(dénien(i.1.1))àc cientsconstants.

44 3.2.Casde2sous-domainesetd'unopérateuràc cientsconstants...37 l'algorithmedeschwarzestassurée. Remarque3.1Avantages.D'aprèslasectionI.2.5,aveclesconditions Remarque3.2.Nousneconsidéronspas,commeconditionsd'interface, (I.3.1)(etenajoutantuneconditionsurlesignedec2)laconvergencede pluscomplexesàmettreen uvre. problèmesauxlimitescorrespondants,danschaquesous-domaine,seraient desapproximationsdetaylord'ordresupérieurà2(oudepadé),carles techniquedecalculpermettantd'atteindreleminimumdanscecasestéten- L'étudeduproblèmedeminimisationdutauxdeconvergenceesteectuée, due,àlasection3.3,aucasdec cientsvariablesetd'undécoupagequel- conquedudomaine. 3.2 àc cientsconstants:constructiondes conditionsd'interfaceoo2etétudedela Casde2sous-domainesetd'unopérateur constants.cecipermetd'étudieranalytiquementletauxdeconvergence.la danslasectionsuivante,danslecasdedeuxsous-domainesetdec cients supposésconstants(a2ir;b2ir). Danscettepartie,lesc cientsdel'opérateurldénien(i.1.1)sont convergence Ledomainedecalcul=IR2estdécoupéen2sous-domaines,sansrecouvrement,1=IR IRet2=IR+IR(voirgure3.1). Ω 1 Ω 2 y x OnreprendlesnotationsduchapitreI.2. Fig.3.1:Décompositionen2sous-domaines Γ 12

45 38L'étudeduproblèmedeminimisationdutauxdeconvergencedel'algorithme CHAPITRE3.Conditionsd'interfaceoptimiséesOO2... faceoo2.nousdonnonsensuitedesestimationsetdesrésultatsnumériques deschwarzpermetdedénirunetechniquedecalculdesconditionsd'inter- surletauxdeconvergence. AlgorithmedeSchwarz L'algorithmedeSchwarzadditifs'écrit Minimisationdutauxdeconvergence B1(up+11)=f;dans1 L(up+1 B2(up+12)=f;dans2 L(up+1 1)=B1(up2)sur 12 2)=B2(up1)sur 12 (I.3.2) LesopérateursB1etB2intervenantdanslesconditionsd'interfaceOO2s'inscriventdanslecadredesopérateursd'interfacedelasectionI.2.5: où apapoursymbole: B2= +ap) ap etb2estobtenuàpartirdeb1àl'aidedelarelation ap(k)= (0) c2ik c3k2 c2etc3sontalorschoisisdefaçonàminimiserletauxdeconvergence(déni en(i.2.23))del'algorithme(i.3.2). +ap+ ap=++ =a (I.3.3) Problèmedeminimisation donnée,kmax>0(danslecasdiscret,kmax=hoùhestlepasdumaillage tionk!(k;c2;c3)surl'intervallejkjkmaxoùkmaxestuneconstante Lesc cientsc2etc3sontobtenusenminimisantlemaximumdelafonc-

46 3.2.Casde2sous-domainesetd'unopérateuràc cientsconstants...39 eny(voirparexemple[16](c.a.j.fletcher,1991))). suivant: Quandb=0, estpairedoncc2=0,etc3estobtenuaveclerésultat Casd'unevitessedeconvectionnormaleàl'interface 12(b=0) Alors,pourkmax>0,ilexisteununique c30quiréalisele Théorème3.1.Onsupposequea2IR;a6=0;b=0etc0dans(I.1.1). Deplus, c3estl'uniquesolutiondans[ 0 kmax min c30max 0kkmaxj(k;0;c3)j k2max ; pa2+4c]del'équation (I.3.4) (k1;0;c3)6=0(voirgure3.2). oùk1=k1(c3)estlaracinedeladérivéedek!(k;0;c3)telleque (k1(c3);0;c3)=(kmax;0;c3) 1 OPTIMISE ORDRE 2 TAYLOR ORDRE 2 TAYLOR ORDRE TAUX DE CONVERGENCE Fig.3.2:TauxdeconvergenceenfonctionduparamètredeFourierk 0.2 a=1;b=0;=0:01;c=0;h=1 0kkmax=h _ k int k 1 NOMBRE DE FOURIER k k Ladémonstrationseferaendeuxétapes,d'aborddanslecasoùc=0dans Preuveduthéorème max

47 40(I.1.1)(casstationnaire),puisdanslecasc0. CHAPITRE3.Conditionsd'interfaceoptimiséesOO2... Onconsidèrelecasdel'équation 1)Casc=0 Enposantx=(2k u=f;a6=0 (x;)= 1+p1+x x 2,letauxdeconvergences'écrit: 1+p1+x+x2 valentauproblèmedeminimisationsuivant: et,enposantxmax=(2kmax a)2,leproblèmedeminimisation(i.3.4)estéqui- min 0max 0xxmaxj(x;)j (I.3.5) Lafonction(x;)2IR+IR+!(x;)estC1,positive,etpour0 xé,lim Recherchedumaximumdex!(x;)sur[0;xmax],pour0xé: x!1(x;)=1. 0<<12 Nousdistingueronstroiscassur:0<<12,=0,et12. Onposex1()=1 2 Supposonsxéavec0<<12. tionx!(x;)estcroissantesur[0;x1()][[xint();xmax],décroissante etxint()=1 2 2.Lesracinespositivesdex!(x;)

48 3.2.Casde2sous-domainesetd'unopérateuràc cientsconstants rho (x,gamma) Fig.3.3:Tauxdeconvergencex2[0;xmax]!(x;),xmax=600et 0.02 Nousavonsainsitroispossibilitéspourlemaximumdex!(x;)sur =0: x 100 x x [0;xmax]: 1 int x Soitesttelquexmaxx1()f(xmax),avecf(x)=1 Soitesttelquex1()xmax1 2 Alors,lemaximumdex!(x;)sur[0;xmax]estatteintenxmax, 2f(xmax)g(xmax), x+2. Soitesttelquexmax1 2 avecg(x)= 1+p1+x estatteintenx1(), x.alors,lemaximumdex!(x;)sur[0;xmax] Oncherchedoncle dex!(x;)sur[0;xmax]estatteintsoitenx1(),soitenxmax. 2g(xmax).Alors,lemaximum min( 0<fxmax(xmax;); min gxmax<12((x1(););(xmax;))) min 4xp1+x 1+p1+x x 1+p1+x+x3 ;x0;0<<12.en minfxmaxgxmax(x1(););

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