Recherche Opérationnelle Session de rattrapage

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1 École Nationale d Ingénieurs de Monastir ème année, Génie Textile. Année universitaire : 015/016 Enseignant : I. MAHFOUDHI Recherche Opérationnelle Session de rattrapage Epreuve du 09 Juin 016 Durée : heures, les notes de cours, les calculatrices et les téléphones portables sont interdits. La rédaction est très importante, rédigez et justifiez clairement vos réponses. Exercice 1. Soit A R n n une matrice symétrique définie positive, b R n et c R. On considère la fonction f(x) =< Ax,x > < b,x > +c, x R n. 1) Montrer que f admet un minimum sur tout compact K R n. (1 point) ) Vérifier que < f(x),h >=< Ax b,h >, x,h R n. ( point) On suppose que f admet un minimum unique sur R n. ) En déduire que si x 0 est un point de minimum de f alors Ax 0 = 1 b. (1 point) Exercice. Une entreprise de fabrication de caravanes veut déterminer combien de caravanes et de remorques doit elle produire pour faire une utilisation optimale des ressources à sa disposition. L entreprise possède 11 unités d aluminium, 40 unités de bois et 5 semaines-personne de travail. Le tableau ci-dessous donne les montants de chaque ressource nécessaire à la fabrication de chaque caravane et chaque remorque. Aluminium Bois Semaine-personne Par caravane 1 7 Par remorque L entreprise décide de ne pas fabriquer plus de 5 caravanes. Elle fait un profit de 00e par caravane et 400e par remorque. 1) Quelle doit être la production pour optimiser le profit? ( point) ) Écrire le programme linéaire P. ( point) 1

2 Exercice. Soit (P 1 ) le programme linéaire suivant : max[z] = x 1 +x +7x x 1 +x 6x 1 4x 1 x +5x x 1 0,x 0,x 0 1) Écrire le programme P 1 sous la forme canonique (primal).( point) ) Écrire le programme dual du P 1. ( point) Exercice 4. Soit (P ) le programme linéaire suivant : max[z] = x 1 +x x 1 +x 9 x 7 x 1 8 x 1 0,x 0 1) Écrire le programme P sous la forme standard.(1 point) ) Déterminer une solution de base réalisable et les variables de base.(1 point) ) Écrire le premier tableau de résolution du P.(1.5 point) 4) Déterminer le vecteur entrant dans la base et le vecteur sortant ainsi que pivot. (1.5 point) 5) Résoudre le problème par la méthode du simplexe.( point) Bon courage!

3 Correction d examen Recherche Opérationnelle Session de rattrapage Exercice 1. Soit A R n n une matrice symétrique définie positive, b R n et c R. On considère la fonction f(x) =< Ax,x > < b,x > +c, x R n 1) Montrer que f admet un minimum sur tout compact K R n. Réponse : f est continue sur R n donc admet un minimum et maximum sur tout compact K R n.(1 point) ) Vérifier que < f(x),h >=< Ax b,h >, x,h R n. f(x+th) f(x) Réponse : Par définition on a < f(x), h >= lim. t 0 t Il faut d abord calculer f(x + th) et f(x+th) f(x) t = t < Ah,h > + < Ax,h > < b,h > Par passage à la limite on trouve < f(x),h >=< Ax b,h >, x,h R n.( point) On suppose que f admet un minimum unique sur R n. ) En déduire que si x 0 est un point de minimum de f alors Ax 0 = 1 b. Réponse : D aprés l hypothèse le minimum existe. Exercice. On note par x 0 un point de minimum de f alors le gradient s annule en x 0. c-a-d < f(x 0 ),h >= 0 h R n or d aprés question ) < f(x 0 ),h >=< Ax 0 b,h > donc Ax 0 = 1 b. (1 point) Rappel : Tout problème doit être mis en équation avant toute résolution possible. On dit que l on effectue la modélisation. Celle-ci comporte trois étapes : 1. Identification des variables. Formulation des contraintes. Définition de la fonction objectif. Ensuite le problème doit être écrit sous forme standard et résolu par l algorithme du simplexe. 1) Quelle doit être la production pour optimiser le profit?

4 Réponse : la production doit vérifier les conditions sur les contraintes. On note par x 1 le nombre de caravanes et x le nombre des remorques. x 1 +x 11 nombre d unités d aluminium (0.5 point) x (point) 1 +8x 40 nombre d unités en bois (0.5 point) 7x 1 +8x 5 nombre semaine par personne (0.5 point) x 1 5(0.5point) ) Écrire le programme linéaire P. Réponse : Pour écrire le programme linéaire il reste la fonction objectif Z. Le entreprise cherche à maximiser le gain ce qui traduit par Z = 00x x d où le programme suivant ( point) : max[z] = 00x x x 1 +x 11 x 1 +8x 40 7x 1 +8x 5 x 1 5 x 1 0,x 0 Exercice. Soit (P 1 ) le programme linéaire suivant : max[z] = x 1 +x +7x x 1 +x 6x 1 4x 1 x +5x x 1 0,x 0,x 0 1) Écrire le programme P 1 sous la forme canonique (primal). Réponse : x 0 on pose x = x pour vérifier la condition de non négativité des paramétres le programme devient (1 point) : max[z] = x 1 +x 7x x 1 +x +6x 1 4x 1 x 5x x 1 0,x 0,x 0 Il reste à inverser l inégalité de la ligne par on multipliant la ligne par d où le programme canonique suivant (1 point) 4

5 max[z] = x 1 +x 7x x 1 +x +6x 1 4x 1 +x +5x x 1 0,x 0,x 0 ) Écrire le programme dual du P 1. Réponse : Le programme dual du P 1 est le suivant (voir la définition dans le cours) ( point) min[z] = y 1 +y y 1 4y y 1 +y 6y 1 +5y 7 y 1 0,y 0 Exercice 4. Soit (P ) le programme linéaire suivant : max[z] = x 1 +x x 1 +x 9 x 7 x 1 8 x 1 0,x 0 1) Écrire le programme P sous la forme standard. Réponse : On ajouter les variables d écart d où la forme standard du P. (1 point) max[z] = x 1 +x +0.x +0.x 4 +0.x 5 x 1 +x +x = 9 x +x 4 = 7 x 1 +x 5 = 8 x i 0, i = 1,...,5 ) Déterminer une solution de base réalisable et les variables de base. Réponse : une solution de base réalisable est (x 1,x,x,x 4,x 5 ) = (0,0,9,7,8) les variables de base sont : x,x 4,x 5 et les variables hors base sont : x 1,x. (1 point) 5

6 ) Écrire le premier tableau de résolution du P. Réponse : Le premier tableau du programme P (1.5 point) v.base A 1 A A A 4 A 5 B x L 1 x L x L j L 4 4) Déterminer le vecteur entrant dans la base et le vecteur sortant ainsi que pivot. { x : variable entrante Réponse : (0.5 point) Tous les j sont positif sauf = < 0 = A : colonne de pivot On calcul le rapport b i pour chaque x i le plus petit rapport c est la variable sortante. b x : i = 9 = c est le plus petit rapport b Dans ce cas : (0.5 point) x 4 : i = 7 =.5 b x 5 : i = 8 on prend pas 0 = x : variable sortant et L 1 est la ligne de pivot. Le pivot est égale (0.5 point) 5) Résoudre le problème par la méthode du simplexe. Réponse : Par la méthode de simplexe on trouve le deuxième tableau.( point) v.base A 1 A A A 4 A 5 B x 1/ 1 1/ 0 0 L 1 x 4 -/ 0 -/ L x L j L 4 Tous les j sont positif condition d arrêt. Donc la solution est S = (x 1,x,x,x 4,x 5 ) = (0,,0,1,8) est une solution optimale du P (0.5 point) et le maxz = 9. (0.5 point) 6