2. CINEMATIQUE DU POINT

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1 2. CINEMATIQUE DU POINT

2 Cinématique Étude du mouvement d un corps en fonction du temps, indépendamment de toute cause pouvant le provoquer ou le modifier. Le mouvement s effectue le long d une trajectoire, la trajectoire se trouve sur une courbe (droite, arc, )

3 Cinématique Mouvement : modification de la position d un corps pendant un intervalle de temps. On attribue à la position du corps une ou plusieurs valeurs numériques (coordonnées) qui situent le corps en fonction du temps dans un référentiel. Trajectoire : l ensemble des positions successives du corps dans l espace.

4 Différents types de mouvements Mouvement rectiligne uniforme : la trajectoire se trouve sur une droite, la vitesse est constante en direction et en norme. Le vecteur vitesse V est constant, en direction et en norme. Mouvement rectiligne uniformément accéléré : la trajectoire se trouve sur une droite, la direction du déplacement est constante, mais la norme de la vitesse varie au cours du temps (augment ou diminue). L accélération (ou la décélération) est constante. Le vecteur vitesse V est constant en direction, mais sa norme varie.

5 Différents types de mouvements Mouvement rectiligne varié : l accélération n est pas constante dans le temps. Mouvement circulaire uniforme : la trajectoire se trouve sur un cercle ou un arc de courbe. La norme du vecteur vitesse V est constante, mais sa direction change. Mouvement curviligne : la trajectoire se trouve sur une courbe. La norme du vecteur vitesse et sa direction changent au cours du temps.

6 Notion de référentiel La description du mouvement d un point matériel exige de connaître sa position dans l espace à tout instant. Pour cela, nous devons définir : Un repère d espace Une horloge L ensemble repère horloge constitue un référentiel. Tout observateur est muni d un temps t associé à une horloge et d un espace affine E (ou vectoriel) orienté à 3 dimensions. À tout instant t, il existe un point M(t) de l espace E avec lequel coïncide le point matériel à l instant t (point coïncidant). Dans l espace à 3 dimensions, il faut trois données (coordonnées) pour définir la position d un point M.

7 Accélération 7

8 Mouvement à une dimension v( t) 1 ( x1 t 1 x) x t t 1 1 x t

9 Équation du mouvement : équation horaire L équation horaire d un mouvement rectiligne, uniformément accéléré s écrit : x( t) v t o x o Cette équation est obtenue par intégration de la définition de l accélération : d où dv C soit dv dt dt ste v(t) dt dt t K

10 Équation du mouvement : équation horaire De même :

11 Systèmes de coordonnées

12 O x z y j i k m k z j y x i OM M z y x j y x i Om av k z Om OM ec

13 M OM u r O u r Angle polaire u r = vecteur unitaire (vecteur radial) Axe polaire Dans l espace à 3 dimensions, on ajoute la coordonnée z : OM Les 3 coordonnées de M sont alors : u r z k M z Les relations entre coordonnées cartésiennes et cylindriques sont : z y x cos sin z

14 Dérivée d un vecteur tournant par rapport à son angle polaire u ur M dt du r u dt dr dt dom v u r OM r r r ) cos sin ( sin cos j i dt d dt d d du dt du j i u r r r Or : u j i j i ) 2 sin( ) 2 cos( cos sin D où : u u dt d dt u d r Finalement : u r u r u dt d r u dt dr dt dom v r r x y O i j

15 Le vecteur OM est représenté dans la base, u, u ) Avec r = OM toujours positif = (OZ, OM) ( u r j j = (OX, OM) Le vecteur OM s écrit : OM r u r Les coordonnées de M sont : M r j Les relations entre coordonnées cartésiennes et sphériques de M sont : x y z r r r sin j sin cos sinj cos

16 Produit vectoriel (rappel) Sa grandeur est : A B A B sin( A, B) A B sin Sa direction est telle que A B A, B et A B forment un trièdre direct (règle de la main droite ou encore règle du tire bouchon) B A B A

17 Produit vectoriel (rappel) Sa grandeur est : sin ), sin( B A B A B A B A B A A B A B Expression analytique k A B A B j A B A B i A B A B B A x y y x z x x z y z z y ) ( ) ( ) (

18 Mouvement dans l espace : expression des vecteurs vitesse et accélération dans un référentiel galiléen Cartésiennes : v d OM dt dx dt i OM dy dt ( x i y j z k) j dx dt k x i y j où dx dy v dx x, vy et v dt dt dt z Sont les composantes du vecteur vitesse dans la base ( i, j, k) où d d y i j d k dt v d 2 dt x 2 2 dt dt z d 2 dt x 2 d y dt 2 d 2 x, 2 y et 2 dt x x i z y j z k z k Sont les composantes du vecteur accélération dans la base ( i, j, k)

19 Mouvement de Translation Rectiligne Uniformément Varié MRUV Il sert de modèle à de nombreuses études simplifiées. Pour ces mouvements, accélérés (a>0) ou décélérés (a<0), l accélération reste constante au cours du temps Soient : ti : instant initial a=ai : l accélération (m/s²) xi : le déplacement initial, à t=ti (m) Vi : la vitesse initiale (m/s) x(t) : le déplacement à l instant t (m) V(t) : la vitesse à l instant t (m/s)

20 Mouvement de Translation Rectiligne Uniformément Varié MRUV

21 Mouvement de Translation Rectiligne Uniformément Varié MRUV Cas particulier : Equations horaires du mouvement sans déplacement initial et sans vitesse initiale

22 Mouvement de Translation Rectiligne Uniformément Varié MRUV Dans le cas où l accélération est uniforme on démontre que : On peut aisément exprimer ainsi l accélération en fonction de la position et de la vitesse.

23 Exercices d interprétation graphique

24 Exercices d interprétation graphique

25 Exercices d interprétation graphique Exemple 3 : Soit le graphique de la vitesse en fonction du temps de l'exemple précédent. Quel est le déplacement du mobile durant ce mouvement?

26 Exercice 1 Exercice 1 Un chariot de masse 2 tonnes est tracté sur des rails à une vitesse de 0,2 m/s. Calculer la tension du câble (on néglige les frottements).

27 Exercice 1 - corrigé Exercice 1 Un chariot de masse 2 tonnes est tracté sur des rails à une vitesse de 0,2 m/s. Calculer la tension du câble (on néglige les frottements). formule : PFD : F = m. a Application : T mgcos40 = 0 T = mgcos40 T =2000x10xcos40 =15321N

28 Exercice 2 Une automobile de masse 850 kg est arrêtée sur une route horizontale. Au démarrage, elle est propulsée par une force constante dont la composante horizontale a pour intensité 200 dan. 1) Quelle est la nature du mouvement? Calculer l accélération de la voiture. 2) Quelle distance aura-t-elle parcourue après 5 secondes? 3) Quelle sera sa vitesse à cet instant?

29 Exercice 2 - corrigé

30 Exercice 3 (pour vous entraîner) Ernst Jünger conduit une voiture à 50 km/h dans une rue horizontale. La voiture a une masse de kg. Soudain, il freine pour s arrêter. En supposant que la décélération est constante pendant tout le freinage (a = -2 m/s²) : 1) Indiquer la direction et le sens de la force exercée sur la voiture, calculer son intensité 2) Calculer la durée du freinage 3) Calculer la distance du freinage

31 Exercice 3 - corrigé Ernst Jünger conduit une voiture à 50 km/h dans une rue horizontale. La voiture a une masse de kg. Soudain, il freine pour s arrêter. En supposant que la décélération est constante pendant tout le freinage (a = -2 m/s²) : 1) Indiquer la direction et le sens de la force exercée sur la voiture, calculer son intensité La force de frottement est horizontale et s oppose au déplacement de la voiture. formule : PFD : Somme des Forces = m. a Application : Fr = m.a = 1060 x 2 = 2120 N 2) Calculer la durée du freinage formule : t = (V-V 0 ) / a Application : t = (0 50/3,6) / -2 = 6,94 s 3) Calculer la distance du freinage formule : X = ½.a.t 2 + v 0.t + X 0 Application : X = ½x(-2)x6, (50/3,6)x6,94 = 48,23m

32 Exercice 4 (pour vous entraîner) Une automobile avec son conducteur a une masse de kg. Pour simplifier on admettra, dans tout le problème, que la somme de toutes les forces de frottement est constante, parallèle au déplacement et égale à 150 N. 1) L automobile monte une pente de 2,5 % (tan a = 0,025) à la vitesse de 72 km/h. Au cours de cette montée le chauffeur débraye (force motrice nulle). A quelle distance du point où il a commencé le débrayage, la voiture s arrête-t-elle? 2) Au cours de cette même montée, la voiture roulant toujours à 72 km/h, le chauffeur débraye et freine en même temps. La voiture s arrête après 50 m. Calculer la valeur de la force résistante due au freinage.

33 Exercice 4 - corrigé

34 34 3 LES LEVIERS ACTION DES MUSCLES 3 Bio-physique H. Delaprée

35 35 Avant-propos Ce diaporama est celui présenté en cours Une bibliographie est donnée en fin de diaporama

36 36 3 Les leviers Étudier un mouvement en vue de l'optimiser, nécessite de : 1 - déterminer la direction du déplacement, ce qui va déterminer le type de mouvement. 2 - situer le point d'appui fixe (A), c'est à dire l'articulation 3 - situer le point d'application de la résistance (R), c'est à dire le centre de gravité de l'ensemble. 4 - situer le point d'application et la direction de la force musculaire (F), c'est à dire le point d'insertion du muscle.

37 37 3. Les leviers différents types Levier inter-appui : le pied de biche Levier inter-résistant : la brouette

38 38 Moment d une force Le moment de force est l'aptitude d'une force à faire tourner un système mécanique autour d'un point donné, que l'on nomme pivot (ou axe). Les composantes et la norme d'un moment de force sont exprimées en newton-mètre (Nm), dans le système international d'unités Le moment est dit positif si la rotation engendrée est anti-horaire (sens trigonométrique). Le moment est dit négatif si la rotation engendrée est horaire.

39 39 Moment d une force Le moment de la force F par rapport à l axe o ( MF ) est égal au produit de la distance d de l axe à la droite d action de la force par l intensité de cette force en newton. Il s exprime en mètre newton (mn). d x o F M F F d

40 40 A retenir Le moment d une force est égal au produit de l intensité de cette force par la distance de cette force à l axe de rotation. A l équilibre, la somme des moments des forces qui font tourner le solide dans un sens est égale à la somme des moments des forces qui le font tourner dans le sens contraire.

41 41 Cas de nullité du moment d une force Puisqu'il s'agit ensuite d'établir la somme nulle des moments, on peut naturellement s'intéresser aux cas de nullité individuelle des moments de force ; de par les propriétés du produit vectoriel : 1. la force est nulle 2. le bras de levier est de longueur nulle. La force est donc appliquée sur l axe de rotation 3. La force est colinéaire au vecteur levier, la droite d'action passe par l axe, ce qui inclut aussi le cas précédent.

42 Méthode simplifée du calcul du moment d une force On peut utiliser le produit vectoriel mais une méthode plus simple consiste à prendre les 2 composantes de la force dans un repère où un des axes est le levier et l autre axe est orthogonal au premier. 42 Le moment de la composante de la force portée par l axe sera nul, on n en tient donc pas compte. Le moment de la force par rapport à l axe sera donc égal à au produit de la norme de la composante orthogonal par la distance à l axe du point d application de la force.

43 43 Autre méthode en utilisant le bras de levier Cette méthode est très bien décrite dans le document suivant : TP forces et moments

44 44 Rappels trigonométriques document avec exercice sur les forces

45 45 Moment d une force Un levier est un solide très léger dont la forme est assimilable à une barre. Il est soumis à trois forces : la réaction du point d appui R, la force à vaincre ou résistance Fr, la force motrice F appelée aussi parfois à tort Puissance (au sens de force de puissance) Selon la position relative de ces trois forces, on distinguera trois sortes de leviers : levier inter-appui : l appui est au centre levier inter-résistant : la résistance ou la charge est au centre levier inter-moteur ou inter-puissant : la force exercée est au centre

46 Leviers 46 1 er genre Levier inter-appui R Fr. OA = F. OB d où Fr A O B F F = Fr. ( OA / OB ) et R = Fr + F On voit que plus la distance OB est grande par rapport à OA, plus l effort F sera petit pour vaincre une même force Fr. Applications : barre à mine, pied de biche, tenailles, cisailles à main, diable, chariot à bouteilles (1er temps). Attention, c est au point d appui que la force exercée est la plus grande!

47 Leviers 47 2 ème genre Levier inter-résistant R Fr O A B F Fr. OA = F. OB d où F = Fr. ( OA / OB ) et R = Fr - F On voit que plus la distance OB est grande par rapport à OA, plus l effort F sera petit pour vaincre une même force Fr. Applications : brouette, cisaille à levier, casse noix, diable, chariot à bouteilles (2ème temps).

48 Leviers 48 3 ème Genre Levier inter-moteur ou inter-puissant R Fr Fr. OA = F. OB d où F = Fr. ( OA / OB ) O B F A et R = F - Fr On voit que plus la distance OB est petite par rapport à OA, plus l effort F devra être grand pour vaincre une même force Fr. Applications : étaux à chaud, brucelles, pince à épiler

49 Équilibre 49 Un système est en équilibre si : - la somme des forces est nulle (force résultante = 0), - la somme algébrique des moments des forces est nulle. A 20 N 30 N 1 m 2 m B C 10 N La barre ne tourne pas, on a donc en A une force dont le moment s oppose à celui de la force exercée en C. L ensemble ne chute pas, on a donc en B une force opposée à la résultante des deux autres forces. On peut constater que, quel que soit le point de rotation choisi (A B C ou un autre), la somme des moments est nulle.

50 50 Exercice sur les moments des forces Une poutre de 100 N et de 1 m de longueur supporte une charge de 300 N à son extrémité droite. Un câble relié à un mur maintient la poutre en équilibre. (a) Quelle doit être la tension dans le câble? (b) Quelles sont les composantes (horizontale et verticale) de la force exercée par le mur sur la poutre? Solutions : attention il faut prendre en compte le poids de la poutre!! (a) 484 N (b) R x = 371 N et R y = 89,3 N

51 51 Exercice sur les moments des forces Un exercice similaire à celui fait en cours : Une personne soulève une caisse posée sur le sol

52 Solution sur de l exercice sur les moments des forces Une poutre de 100 N et de 1 m de longueur supporte une charge de 300 N à son extrémité droite. Un câble relié à un mur maintient la poutre en équilibre. (a) Quelle doit être la tension dans le câble? (b) Quelles sont les composantes (horizontale et verticale) de la force exercée par le mur sur la poutre? 52

53 53 compléments Un complément de cours intéressant : Cours sur les leviers osseus

54 54 bibliographie Bibliographie Physique ; Mpsi. Pcsi. Ptsi Editeur : Hachette Education Collection : H Prepa Biophysique. Cours, Exercices, Annales Et Qcm Corrigés, 2e édition Auteur : Salah Belazreg, Rémi Perdrisot, Jean-Yves Bounaud Editeur : DUNOD Edisciences - collection : 100% 1re année Santé