ÉCHANTILLONNAGE 1. Moyennes des échantillons de même taille

Transcription

1 Soit X une variable aléatoire qui, à chaque résultat élémentaire d'une expérience aléatoire, associe un nombre a. Dans ce chapitre, l'ensemble des résultats élémentaires est appelé population. Par ailleurs, à chaque fois que nous parlons d'échantillon de taille n extrait de cette population, il s'agit de n résultats élémentaires obtenus au hasard lors de n expériences aléatoires identiques, de telle façon que pour tout a, la probabilité de réalisation de l'événement (X = a) est la même quel que soit son rang chronologique. Cet échantillon est une réalisation de variables aléatoires indépendantes. C'est le cas, par exemple, lorsque l'échantillon est obtenu par tirage non exhaustif (avec remise) des éléments d'un ensemble d'objets. ÉCHANTILLONNAGE 1. Moyennes des échantillons de même taille (;) Exemple : Les cadeaux d'alice Alice veut faire un cadeau à deux de ses amis Max et Lancelot. Elle hésite entre 5 objets : le premier (a) coûte 10 euros, le second (b) coûte 12 euros, les cadeaux (c) et (d) coûtent chacun 20 euros et le dernier (e) coûte 22 euros. Soit l'expérience aléatoire qui consiste à choisir au hasard un cadeau. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque cadeau, associe son coût. La loi de probabilité de X est : Son espérance mathématique est m = 16,8, sa variance 23,36, son écart type ߪ = g23,36. On considère l'expérience aléatoire qui consiste à choisir au hasard deux cadeaux, le premier destiné à Max, le second à Lancelot. Il s'agit d'un tirage avec remise car les deux garçons peuvent recevoir le même cadeau. Chaque couple de cadeaux est un échantillon (non exhaustif) de taille 2. Voici ces 25 échantillons :

2 Soit X 1 la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de deux cadeaux, associe le coût du premier cadeau destiné à Max. Soit X2 la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de deux cadeaux, associe le coût du deuxième cadeau destiné à Lancelot. Soit M2 la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de deux cadeaux, associe la moyenne des deux coûts. On a M2 = Recherchons les lois de probabilité de ces trois variables aléatoires dans le but de découvrir les liens entre leurs paramètres. Les trois tableaux suivants donnent les valeurs de X 1, X2 et M2, associées à chacun des 25 échantillons. On constate que X 1 et X2 ont la même loi de probabilité : La loi de probabilité de M2 est :

3 Théorème THÉORÈME Soit X1, X2,..., X n, n variables aléatoires indépendantes ayant même espérance mathématique m et même écart type σ, alors la variable aléatoire M n, (moyenne des X 1, X2,..., X,,,) définie par :M n= 1 2 n X X... X n a pour espérance mathématique m et pour écart type σ/ n Pour une population sur laquelle est définie une variable aléatoire d'espérance mathématique m et d'écart type a, M n est la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de taille n, associe sa moyenne.

4 X X... X F n = 1 2 n n

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6 LOI FAIBLE DES GRANDS NOMBRES Examinons sur un exemple l'effet de l'augmentation de la taille des échantillons sur l'écart existant entre p et les valeurs prises par F n. Reprenons l'urne qui contient 100 boules numérotées de I à 100, indiscernables au toucher. Nous allons simuler, avec une calculatrice, le tirage aléatoire avec remise d'échantillons de 20 boules, puis de 40 boules, puis de 80 boules, puis de 100 boules. Pour chaque échantillon, nous déterminerons la fréquencef n des boules qui portent un numéro inférieur ou égal à 37 et nous calculerons l'écart entre 0,37 et cette fréquence. Puis recommencez pour n = 40, n = 80, n = 100. Ces observations sont précisées par le théorème suivant que nous admettons où F,, est la variable aléatoire définie par : F = X1 X 2... X n n Cette loi indique que la fréquence d'apparition des succès se stabilise lorsque le nombre des tirages indépendants devient très grand. Le constatez-vous lors de votre simulation?

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8 Dans les diagrammes en bâtons de ces 4 variables aléatoires, la hauteur de chaque bâton d'abscisse x est la probabilité pour que la variable aléatoire prenne la valeur x. Ces diagrammes sont accompagnés d'histogrammes pour lesquels les valeurs ont été regroupées en classes d' amplitude I. De cette façon, la hauteur d'un rectangle construit sur un intervalle est la probabilité pour que la variable aléatoire appartienne à l'intervalle. L'observation de ces 4 histogrammes montre comment, lorsque n croît, il y a un remplissage progressif d'une zone dans laquelle se dégage une valeur maximale, qui prend une position centrale autour de laquelle les autres valeurs se répartissent en décroissant. Lorsque n est grand et que les rectangles de l'histogramme sont construit sur des intervalles d'amplitude faible, on obtient approximativement une courbe de Gauss : c'est le théorème de la limite centrée, que nous admettons. N(m ;σ/ n)

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