Cours de Terminale S. Giorgio Chuck VISCA 23 novembre 2013 EXPONENTIELLE

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1 Cours de Terminale S Giorgio Chuck VISCA 23 novembre 2013 EXPONENTIELLE 1

2 Table des matières I Fonction exponentielle 3 I.1 Approche numérique I.2 Définition I.3 Notation et premières propriétes fondamentales II courbe et limites 4 II.1 limites en et en II.2 courbe représentative II.3 propriétés II.4 Utiles pour les équations et inéquations III composée et dérivée 5 III.1 Dérivée et primitives de e x III.2 Dérivée et primitive de la composée

3 I FONCTION EXPONENTIELLE I Fonction exponentielle I.1 Approche numérique 1. Résolution d équations du typelnx = a (a) Donner l unique solution de l équation ln x = 1. (b) Sans utiliser la calculatrice, mais uniquement en utilisant les propriétés de ln, donner la valeur exacte deln(e 2 ), ln(e 5 ) et de ln(e ) (c) Proposer une équation dont les nombres e 2,e 5 ete serait solution (d) En utilisant la touche e x de votre calculatrice, donner une valeur approchée dee 2,e 2 ete 1.15 (e) Proposer pour tout x positif strictement, une solution de l équationlnx = a, où a est un réel donné 2. Propriétés graphiques (a) Compléter le tableau suivant à l aide de votre calculatrice en arrondissant à 3 chiffres après la virgule. x e x (b) Faire alors une conjecture sur son ensemble de définition (c) Tracer sa courbe en utilisant votre calculatrice, puis donner, par lecture graphique le sens de variations de cette fonction. Qu appelle-t-on une croissance exponentielle? (d) faire une conjecture sur les limites en et en+ de la fonction exponentielle I.2 Définition N oubliez pas que pour tout réel a, on peut trouver un unique réel b strictement positif tel que :lnb = a Ce nombre b ; qui est tout simplement l antécédent deapar la fonction logarithme est le nombreexp(a) = e a. On le nomme "exponentielle du nombre a". En d autres termes, lorsque l on se pose la question "Quel est le réel dont le logarithme Néperien vaut Schmurz?" On répondra "il s agit bien sûr de "exponentielle Schmurz". Définition La fonction exponentielle, notée exp, est la fonction définie sur R qui à tout nombre réel x associe le nombre réel strictement positif y tel que ln(y) = x. En outre, pour tout x réel,y = exp(x) x = ln(y) exp(0) est le nombre dont le logarithme Néperien vaut0, donc exp(0) = 1. exp(1) est le nombre dont le logarithme Néperien vaut1, donc exp(1) = e avece Pour tout entier naturel, on aln(e n ) = nln(e) = n. En résumé et en étendant cette dernière propriété à tout réel x : I.3 Notation et premières propriétes fondamentales Nouvelle notation On note e le nombre exp(1), on a donc e = exp(1). pour tout réelxon note alors : exp(x) = e x. e est une constante dont une valeur approchée est e 2,718 3 Giorgio...

4 II COURBE ET LIMITES Premières propriétés 1. On a pour tout x réel, e x > 0 2. On a pour tout x réel, ln(e x ) = x 3. On a pour tout x > 0, e lnx = x II courbe et limites II.1 limites en et en + Une petite remarque cher public de TSTI2D : lim x + ex = + et lim x ex = 0 La notion de limite d une fonction numérique sera bien entendu abordée en cours d année, après avoir fait les suites numériques (oui je sais, personne n aime les suites... ), ceci étant nous pouvons juste comprendre le phénomène graphique en remplissant à la calculette le tableau suivant, et en faisant appel à votre sens de la déduction de petits padawans que vous êtes encore : x e x II.2 courbe représentative 9 C exp e Giorgio...

5 II.3 propriétés III COMPOSÉE ET DÉRIVÉE II.3 propriétés pour tous a et b dans R etndansz Propriétés fondamentales x R, (e x ) = (e x ) e 0 = 1 e x > 0 e x 0 e x e x = 1 e (a+b) = e a e b e (a b) = ea e b (e x ) n = e nx II.4 Utiles pour les équations et inéquations équations et inéquations 1. Ces propriétés découlent naturellement de la continuité et de la monotonie de la fonction exponentielle : e a = e b a = b et e a > e b a > b où (a,b) R R 2. Pour tout réel k > 0, e x = k x = lnk. 3. Pour tout réel k, lnx = k x = e k III III.1 composée et dérivée Dérivée et primitives de e x Dérivée et primitive 1. La fonction exponentielle est dérivable sur R et x R, (e x ) = e x 2. Il en découle qu une primitive de la fonction exponentielle sur R est la fonction exponentielle III.2 Dérivée et primitive de la composée Dérivée de la composée Soituune fonction définie et dérivable sur un intervallei, alors la fonction e u est dérivable suri et (e u ) = u e u primitive de la composée Soituune fonction définie et dérivable sur un intervallei, alors la fonction u e u a pour primitives sur I les fonctions e u +k, où k est une constante réelle 5 Giorgio...