LA FONCTION EXPONENTIELLE

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1 LA FONCTION EXPONENTIELLE Nos allons décovrir ne fonction TRES sympathiqe : la fonction eponentielle! Cette fonction se note e o ep(), mais cette deième notation est moins corante. Dans les cas on dit «eponentielle de», «eponentielle» o «e de». 1 / GÉNÉRALITÉS Commençons par tracer la corbe de la fonction : A partir de la corbe on pet voir pas mal de choses intéressantes. Tot d'abord la fonction eponentielle est STRICTEMENT POSITIVE! e >0 Cela va être très pratiqe qand on ara à faire des tablea de signe par eemple, o por trover le signe d'ne fonction. Par aillers, la fonction eponentielle est STRICTEMENT CROISSANTE. On va également s'en servir par la site. On voit également sr la corbe le point A qi est intéressant, il nos dit qe : 0 e >1 Ceci est très logiqe. Porqoi? Parce q'en fait, qand on dit e, cela signifie en réalité «e pissance», ce porqoi le est en hat. «e» correspond en fait à n nombre qi vat, Ce nombre est n pe comme Pi, c'est ne constante qi ne se finit jamais! 0 Donc e vet dire «e pissance 0», ce qi vat 1 car «n'importe qoi» pissance 0 vat tojors 1! 1 Attention! Beacop d'élèves disent e = 0, ce qi est archi-fa! Ils confondent avec la fonction ln, où là 0 oi ln(1)=0, mais por la fonction eponentielle c'est l'inverse, c'est e =1 La fonction eponentielle a également d'atres propriétés à connaître : y e e = e + y + n (e) = e y - y e e = e e - = 1/e

2 Par eemple : e e = e e e 3 = e 3 e 3 3 (e) = e T aras remarqé qe qand on passe l'eponentielle en-dessos o a-desss de la fraction, on change le signe de ce q'il y a à l'intérier de l'eponentielle! Facile non? C'est trop simple même je dirais. Parlons limite maintenant! On voit facilement avec la corbe qe : / LIMITES La sele difficlté ici, c'est qand on a des fonctions composées, mais cela reste assez simple! Voici qelqes eerccies sr les limites de fonctions composées por s'entraîner. De pls, il fat connaître de limites particlières : Normalement ces de limites sont des formes indéterminées, ce porqoi il fat les apprendre par coer. Mais il y a n moyen simple de les retenir : t fais comme si il n'y avait pas, mais selement e!

3 Cela vient d fait qe e "domine", c'est-à-dire qe est négligeable devant e, ce porqoi on fait comme si il n'y avait pas de. On retrove la même propriété por la fonction ln, saf qe là c'est ln qi est négligeable devant, donc on fait comme si il n'y avait pas de ln. A noter qe ces propriétés sont vraies por totes les pissances de, donc, 3, 4, 5... Eemple : 3 / LIEN AVEC LA FONCTION LN Voyons à présent ne fonction qe l'on trove sovent avec eponentielle : la fonction ln! Por pls de précisions sr cette fonction, allez voir le cors sr la fonction ln Mais qel est le rapport avec eponentielle? Et bien tot simplement : ln() e = De même ln(e)= Les de fonctions "s'annlent" entre elles. C'est ce q'on appelle des fonctions réciproqes. D'accord c'est bien bea tot ça mais ça sert à qoi? A plein de choses! Notamment à résodre des éqations o inéqations avec des eponentielles. Par eemple, si on vet résodre : e >3 on appliqe la fonction ln, et on ne change pas le sens de l'inégalité car la fonction ln est croissante!!!!! ln(e) >ln(3) >ln(3) de même, si on a ln()<7

4 on appliqe la fonction eponentielle, et on ne change pas le sens de l'inégalité car la fonction ep est croissante!!!!! ln() 7 e >e < e 7 ATTENTION! Note bien q'il fat absolment jstifier comme on vient de le faire en disant qe la fonction ln o eponentielle est croissante, il serait bête de perdre des points à case de ça, srtot qe les professers adorent qand t jstifies, mais détestent qand t ne jstifies pas. Attention également! Qand t jstifies, t pe dire "car la fonction eponentielle est croissante". Mais bien sûr si t appliqes ne atre fonction comme la fonction racine, il fat également jstifier! Il y a alors ne rédaction à connaître qe t pe tiliser por totes les fonctions. T dis : "car > e est croissante" Il ne fat srtot pas oblier le trait vertical avant le trait horizontal!! En fait, cela signifie " la fonction qi à associe e ", atrement dit la fonction eponentielle. Ne dis srtot pas e est croissante!!! Tot simplement parce qe e est n nombre, ce n'est pas ne fonction. Et n nombre croissant ça ne vet pas dire grand chose... De même, t pe dire : "car > ln() est croissante" "car > est croissante" etc... Comme t le vois, c'est très simple! Entraîne toi avec ces eercices sr les inéqations. 4 / DÉRIVÉE La fonction eponentielle a également ne atre propriété TRES sympathiqe qi va nos faciliter la vie : la dérivée de e est... e! Qand on dérive e, on retrove la même fonction! ( e)'=e Il fat faire cependant attention a fonctions composées!! Si t n'en t'en soviens pls, va voir le chapitre sr les dérivées composées. Regardons qelqes eemples : e +3-4, c'est ne fonction composée : e, avec = +3-4 La dérivée de e est ' e. (e )'=' X e +3-4 Ici ' = +3, donc g'()= (+3) X e C'est comme d'habitde, on dérivé normalement et on mltiplie par '! Rien de méchant. Rappelle toi jste qe la dérivée de e est ' e! Avec le temps et qelqes eercies sr les dérivées composées ça deviendra tot natrel.

5 5/ INTÉGRALE Et por terminer, voyons les intégrales avec des eponentielles! Regarde d'abord le cors sr les intégrales avant de lire cette partie, sinon t risqes de ne rien comprendre. La dérivée de e étant e, la primitive de e est évidemment e! Par contre qand on a des fonctions composées, c'est-à-dire e, ca se compliqe. En fait, la primitive de ' e est e!! Si t as e, il fat donc faire apparaître ' devant. Voyons n petit eemple : On a e avec = + 8 donc ' =. Il fat donc faire apparaître! Comment on fait? Et bien on mltiplie par en hat et en bas! Il n'y a qe le d hat qi nos intéresse, pas celi d bas, et comme c'est ne constante, on pet l e sortir de l'intégrale! On a donc et là on a bien ' e!! Donc

6 Attention, ne pas oblier le 1/ devant l'intégrale!! Il fat sortir les constantes qi ne servent pas à calcler la primitive comme le ½ ici par eemple, mais il ne fat pas oblier de les mettre dans la site d calcl!! Cette partie étant parfois délicate, n'hésite pas à t'entraîner n pe avec ces eercices sr les intégrales d'eponentielle 6 / INTÉRÊT DE LA FONCTION EXPONENTIELLE La fonction eponentielle est ne fonction de référence q'il absolment maîtriser car on la retrove dans de nombre domaines et de nombre chapitres!! Tot d'abord en physiqe, on la trove dans la radioactivité, pisqe la loi de décroissance radioactive est eponenentielle. On retrove assi cette fonction en électricité por la charge et la décharge d'n condensater notamment. En mathématiqes, cette fonction est tilisée dans les éqations différentielles, la soltion des éqations d 1er ordre étant ne fonctionn eponentielle. Dans les complees, la fonction eponentielle sert à eprimer les points d plan d'ne certaine manière. Les probabilités comportent également des fonctions eponentielles por certaines lois de probabilité. Enfin, elle sert comme on l'a v dans certaines éqations avec la fonction ln. Il y a bien sûr d'atres applications de la fonction ln, mais celles-ci sont celles qe t verras en terminale! Bon et bien voilà, c'est tot ce qe t as à savoir sr la fonction eponentielle! Il fat srtot retenir ses propriétés avec les calcls, car on retrove sovent cette fonction dans les intégrales, les étdes de fonctions, les éqations différentielles...