Saïd Chermak. Master 2012 MAGE. Statistique descriptive à une variable

Transcription

1 Statstque descrptve à ue varable LES SAVOIRS La statstque est ue méthode scetfque qu recuelle, ordoe, aalyse et terprète des doées umérques. Pour ue melleure lsblté, ces doées sot représetées graphquemet. La statstque est utlsée das des domaes auss varés que la bologe, l écoome, l agroome,... A Vocabulare L esemble sur lequel porte l étude statstque est appelé : populato. Les élémets la composat sot appelés dvdu ou uté statstque. Lorsque la populato est trop mportate, o peut pour des rasos écoomques y prélever u échatllo représetatf, d ue plus pette talle. Exemple : l esemble des caddats au CRPE est ue populato. Chaque caddat est ue uté statstque. A chacue de ces utés statstques peut être assocé, u caractère ou ue varable statstque, mesurable ou pas. Exemple : la ote obteue e mathématques, l âge, la sére au bac Les valeurs prses par la varable statstque sot appelées : modaltés. Ue varable statstque est sot qualtatve sot quattatve. ) Caractère ou varable statstque.) Caractère qualtatf Ue varable qualtatve, est ue varable qu est pas mesurable. Exemple : sexe, départemet de assace, meto obteue au bac Ue varable est qualtatve ordale lorsque les modaltés qu lu sot assocées peuvet être hérarchsées. Exemple : apprécato d ue prestato par les modaltés : «mauvase, moyee, boe». Ue varable est qualtatve omale lorsque les modaltés qu lu sot assocées e peuvet pas être hérarchsées. Exemple : couleur des yeux : «bleus, marros, verts, ors.» fomaths.com.) Caractère quattatf Ue varable quattatve est ue varable qu est mesurable. Exemple : ombre de frères et sœurs, ote obteue au bac, âge, talle

2 Ue varable est quattatve dscrète, s elle peut predre des valeurs solées. Exemple : ombre d efats par foyer,0,,, 3.. Ue varable est quattatve cotue, s elle peut predre toutes les valeurs d u tervalle appelé classe. Exemple : âge, talle, salare. ) Effectfs et fréqueces La modalté est otée Pour p modaltés o a : x, x, x3... x p x L effectf d ue modalté oté Pour p modaltés o a :,, 3... p L effectf total : N = p O peut auss écrre : Après avor ragé les N = p = = est le ombre d dvdus assocé à x das l ordre crossat(ou décrossat) et e addtoat les effectfs successfs des x, o obtet les effectfs cumulés crossats ( ou décrossats). O peut écrre : N k = = k = L a fréquece f d ue modalté est le rapport de l effectf correspodat à l effectf total N. O a alors f = N avec f = f+ f fp = = p = O peut auss calculer les fréqueces cumulées crossates ou décrossates, selo l ordre de ragemet des x. O a F k = k = f = Les doées peuvet être cosgées das u tableau au format suvat : x x x 3 fomaths.com x x p 3 p x Total f f f f f 3 p N

3 N F k k = k = = = k = = f + f f+ f f f f N + + Ue varable cotue est représetée das u tableau au format suvat : Classes [ a ; a ] [ a ; a ] [ ; ] Effectfs 0 a a 3 3 p Ce tableau est esute complété, e calculat le cetre de chaque classe : a0 + a a+ a a p ap x = ; x = ;...; x + p = O obtet alors : Cetre x x x x 3 p de classe x Effectfs 3 B) Sére statstque et ses paramètres. Ue sére statstque est l esemble des couples {(, )}. ) Paramètres de posto. Le mode a ; p a Total p p N Total x où x est la modalté, d effectf fomaths.com Le mode d ue sére statstque, est la valeur de la varable assocée au plus grad effectf ou à la plus grade fréquece. Das le cas d ue varable cotue dot les classes sot de même ampltude, la classe assocée au plus grad effectf rectfé est appelée classe modale. Le mode est le cetre de cette classe. Les otes obteues das ue classe de 0 élèves sot : N 3

4 Notes x Total Effectfs Le mode est 0 car à cette ote est assocée le plus grad effectf 7.. Les moyees.. La moyee arthmétque. La moyee arthmétque de observatos est le quotet de leur somme par l effectf total p. x+ x x Sot x = ou = x = x = «lre somme des x, varat de à» Exemple. Les âges des sept joueurs d ue équpe de hadball sot : 8, 9, 0,,, 5 et 9 as L âge moye de l équpe est égal à : sot x = as 7.. La moyee arthmétque podérée. La moyee arthmétque d ue sére {(, )} par les effectfs. Sot x x + x + x N... p p = ou x, otée x est la moyee des x podérés = p x N = = p x = avec N = = O peut auss calculer la moyee x, e podérat les x par leur fréquece respectve O a doc x = xf + xf +... x fp ou Exemple. x = = p fomaths.com Les otes obteues das ue classe de 0 élèves sot : Notes x Total Effectfs La moyee est: = xf p = f. 4

5 x = sot x = 8, 0..3 La moyee géométrque La moyee géométrque de valeurs postves G = x x... x = ( x x... x ) x, est la race ème de leur produt. Exemple Le prx d u artcle a sub tros hausses de 5 %, 6 % et 8 % et deux basses de 3 % et 4 %. Pour détermer l augmetato moyee, l faut d abord calculer la moyee géométrque G, des coeffcets multplcatfs assocés aux augmetatos et dmutos successves : G = 5,05,06,08 0,97 0,96 = (,05,06,08 0,97 0,96) =,08 L augmetato moyee est doc égale à,8 %. L ordre das lequel terveet les augmetatos et les dmutos a aucue cdece sur le calcul de la moyee géométrque des coeffcets multplcatfs car la multplcato est ue opérato commutatve...4 La moyee harmoque La moyee harmoque de valeurs postves arthmétque des verses de ces valeurs. Sot = ( ) ou H x x x H x, est le ombre H dot l verse est la moyee = x x x Exemple U cyclste a parcouru 4 étapes de 80 km chacue à la vtesse respectve de 0 km/h, 0 km/h, 6 km/h et 3 km/h. Quelle est sa vtesse moyee? Ce est certaemet pas la moyee arthmétque des vtesses, mas la moyee harmoque des vtesses E effet, sa vtesse moyee est égale à la dstace totale parcourue, sot 30 km dvsée par la somme des durées mses à parcourr chacue de ces étapes. O e dédut la vtesse moyee : Après smplfcato par 80 o obtet : H = 6,4 km/h fomaths.com harmoque. La vtesse moyee du cyclste est doc 5 qu est autre que la moyee 5

6 .3 Les quatles. Ce sot les valeurs du caractère x qu partaget la sére statstque e séres de même effectf. Selo la valeur de, les quatles sot appelés : Médae, M e s = Quartles, Q, Q et Q s = 4 Décles, D, D..., D s = 0 9 Cetles, C, C,..., C99 s = 00 3 Pour calculer u quatle, l sufft de suvre la même méthode que celle développée plus bas pour le calcul de la médae..3. La médae. Les modaltés x, x, x3... xp dovet être ragées das u ordre crossat. La médae M e, est la valeur de x qu partage la sére statstque e deux séres de même effectf. Il y a doc autat de valeurs féreures à la médae que de valeurs supéreures à la médae. S le caractère est dscret, o peut détermer la médae de la maère suvate : S l effectf total N est mpar, la médae est la valeur du caractère x stuée au rag N + Exemple U élève a obteu les otes suvates : 6 ; 7 ; 8 ; 0 ; 5. La médae est la valeur stuée au rag 3, sot M = e 8 S l effectf total N est par, la médae est la moyee arthmétque des valeurs de x de N N rag et de rag + U élève a obteu les otes suvates : 5 ; 8 ; 8 ; 0 ; ; ; 3 ; 6 La médae est la moyee des valeurs stuées au rag 4 et au rag 5, sot 0 + M e = = Remarque S le caractère est cotu, o retedra la classe assocée à l effectf cumulé crossat, représetat au mos 50% de l effectf total. La médae appartet alors, à cette classe et peut être calculée à l ade d ue terpolato affe. fomaths.com 6

7 .3. Les quartles Les quartles d'ue sére statstque sot les tros valeurs Q, Q et Q 3 du caractère qu partaget la sére statstque e quatre partes de même effectf : 5 % au mos de l effectf total a ue valeur féreure à Q ; 75 % au mos de l effectf total a ue valeur féreure à Q 3. Le deuxème quartle Q est égal à la médae M e. S l effectf total N est pas u multple de 4, alors les quartles Q et Q 3 sot les termes N 3N de rag mmédatemet supéreurs à et à respectvemet. 4 4 Exemple U élève a obteu les 0 otes suvates : 5 ; 6 ; 8 ; 0 ; ; 3 ; 4 ; 5 ; 7 ; 8 Comme 0 =,5 alors Q = 8 (ote de rag 3 ) comme = 7, 5 alors Q 3 = 5 (ote de rag 8). 4 S l effectf total N est u multple de 4 alors les quartles Q et Q 3 sot les termes de rag N 3N et respectvemet. 4 4 Exemple U élève a obteu les 8 otes suvates : 3 ; 5 ; 7 ; 0 ; ; 3 ; 5 ; 8 8 Comme = alors Q = 5 (ote de rag ) Comme = 6 alors Q 3 = 3 (ote de rag 6) Les décles Les décles d'ue sére statstque sot les euf valeurs D, D,., D 9 du caractère qu partaget la sére statstque e dx partes de même effectf : 0% au mos de l effectf total a ue valeur féreure premer décle D ; 90 % au mos de l effectf total a ue valeur féreure au euvème décle D 9. ) Paramètres de dsperso. Etedue L étedue d ue sére statstque, otée e est la dfférece etre la plus grade valeur x et la plus pette valeur x m du caractère. e= x x max fomaths.com m max 7

8 Exemple. O a relevé das ue classe les dx otes suvates : 4 ; ; 7 ; ; 0 5 ; ; 8 ; ;8 L étedue e = 5 4, sot e =. Itervalle terquartle [ Q ; Q 3] est appelé, tervalle terquartle d ue sére statstque. Il cotet 50 % de l effectf total. Q3 Qest appelé, écart terquartle. Il mesure la dsperso des valeurs x autour de la médae. Plus cet écart est pett, plus les valeurs apparteat à l tervalle terquartle sot proches de la médae. L écart terquartle est u paramètre de dsperso (au même ttre que l'étedue). Il a l avatage de tégrer que 50% de l effectf total, ce qu a pour effet d élmer l fluece des valeurs extrêmes, souvet margales..3 Ecart absolu moye Défto : l écart absolu moye est la moyee arthmétque des écarts à la moyee, comptée postvemet c'est à dre e valeur absolue. E x = x x Auss, s o fat la moyee algébrque des écarts ( x x car les écarts égatfs vot compeser les écarts postfs. ), alors cette moyee sera ulle fomaths.com x ( ) = = = = 0 Preuve : x x ( x x) x ( x x ) Pour cette raso, o effectue la moyee des valeurs absolues des écarts à la moyee. Il faut oter que le calcul de l écart absolu moye se prête mal à la programmato formatque à cause justemet de la présece des valeurs absolues. O lu préférera u autre paramètre de dsperso appelé l écart type. 8

9 .4 Varace et écart type La varace est la moyee des carrés des écarts à la moyee. V ( x) = ( x x) L écart type est la race carrée de la varace ou ecore. σ ( x) = ( x x) σ ( x) == V( x) L écart type mesure la dsperso des x autour de la moyee x. Il s exprme das la même uté que carré. Formule de Kög Pour les calculs o utlsera la forme développée de la varace. V( x) = ( x x) = x x Preuve : V ( x) = ( x x) V ( x) = ( x x x + x V ( x) = ( x x x + x x, cotraremet à la varace qu s exprme das l uté au ) ) fomaths.com 9

10 V( x) = x x x + x V( x) = x xx+ x V x = x xx+ x ( ) V x = x x + x ( ) V( x) = x x Le coeffcet de varato CV est u paramètre de dsperso relatve. Il est égal au rapport de l écart type à la moyee. Il est doc sas uté et s exprme le plus souvet e pourcetage. Il permet de comparer des séres statstques exprmées das des utés dfféretes. Plus la valeur du coeffcet de varato est élevée, plus la dsperso autour de la moyee est grade. CV σ = x C) Représetato graphque Il exste pluseurs types de graphque dot la ature est lée à la qualté de la varable statstque. ) Varables qualtatves Ue etreprse ved des produts catalogués A, B, C, D et E. Les vetes du mos ot été regroupées das le tableau suvat : Produt A B C D E Quatté vedue fomaths.com Fréquece 0,4 0,36 0,4 0,0 0,6 0

11 . Dagramme à secteurs Le secteur A a ue mesure de 360 x0,4 sot 86,4. Les mesures des secteurs B, C, D et E sot respectvemet de 9,6, 50,4, 36 et 57,6. fomaths.com. Dagramme à bades

12 ) Varable quattatve dscrète O a relevé les otes d u élève sur u trmestre. fomaths.com Notes Effectfs

13 Dagramme e bâtos 3) Varable quattatve cotue L hstogramme est u dagramme composé de rectagles cotgus dot l are est proportoelle à l effectf de chaque classe. Il faut evsager le cas où les ampltudes des classes sot égales et le cas où ces ampltudes sot égales. E gééral, pour costrure l hstogramme d ue sére statstque ([ a, a+ [, ) à varable cotue, l faut assocer à chaque classe [ a, a + [,u rectagle dot la largeur est a + a et dot l'are est proportoelle à l'effectf assocé à cette classe. fomaths.com 3.) Classes d ampltudes égales. La répartto des employés d ue etreprse selo l âge est la suvate. 3

14 Ages [ 0 ; 5 [ [ 5 ; 30 [ [ 30 ; 35 [ [ 35 ; 40 [ [ 40 ; 45[ [45 ; 50[ Effectfs Les classes sot toutes d ampltudes égales à 5. fomaths.com 4

15 3.) Classes d ampltudes égales. La répartto auelle des salares versés par ue etreprse e mllers d euros est la suvate : Salares [0 ; 4 [ [4; 6 [ [6 ; 30 [ [30 ; 38 [ [38 ; 40 [ [40 ; 50 [ Effectfs Ampltude Effectfs rectfés Comme les ampltudes sot égales, l faut que l are de chaque rectagle sot proportoelle à l effectf de chaque classe. S l ampltude est prse comme uté, alors l faut dvser par, par 4 et par 5 les effectfs des classes d ampltudes respectves 4, 8 et 0 pour obter les effectfs rectfés, hauteurs des rectagles. fomaths.com 5

16 Méthodes Pour calculer les quatles l faut calculer les effectfs cumulés crossats ou les fréqueces cumulées crossates. Notes Effectfs Fréquece ECC FCC 0,50% 0,50% 4 7 6,75% 37 9,5% 5 48,00% 85,5% ,00% 45 36,5% ,50% 9 54,75% 88,00% ,75% 46,50% ,5% 4 9 7,5% 38 95,50% 5 0,50% 39 98,00% 7 8,00% ,00% Total 400 ECC : Effectfs cumulés crossats FCC : Fréqueces cumulées crossates Méthode Calculer les fréqueces. Pour calculer la fréquece d ue modalté : dvser l effectf de cette modalté par l effectf total. multpler le résultat par 00 pour exprmer la fréquece e %. La somme des fréqueces est égale à. Exemple : 50 automobles ot été répartes e focto de leur cosommato éergétque e quatre classes A, B, C,D. Il y a 7, 8, et 4 véhcules de classe A, B, C et D respectvemet. fomaths.com La fréquece des automobles de classe A est : La fréquece des automobles de classe B est : La fréquece des automobles de classe C est : La fréquece des automobles de classe D est : 7 f = =0, f = =0,6 50 f = =0, 50 4 f = =0,8 50 A ou 34% B ou 6% C ou % D ou 8% 6

17 f + f + f + f = et ou 00%. A B C D Méthode Calculer les effectfs cumulés crossat s ECC et les effectfs cumulés décrossats ECD: Pour calculer l effectf cumulé crossat d ue modalté (ou classe) : Ajouter à l effectf de cette modalté (ou de cette classe) la somme des effectfs des modaltés (ou des classes) précédetes. Pour calculer l effectf cumulé décrossat d ue modalté (ou classe) : Ajouter à l effectf de cette modalté (ou de cette classe) la somme des effectfs des modaltés (ou des classes) suvates. Exemple. Températures relevées pedat 300 jours. Températures Effectfs ECC ECD [ 0 ; 5 ] = 300 [ 5 ; 0 ] = = 37 [ 0 ; 5 ] = = 40 [ 5 ; 0 ] = = 5 [ 0 ; 5 ] = Méthode 3 Calculer les fréqueces cumulées crossates FCC et les fréqueces cumulées décrossates FCD: Pour calculer la fréquece cumulée crossate ou la fréquece cumulée décrossate d ue modalté (ou classe) : Calculer la fréquece de chaque modalté. Pus repredre les étapes de la méthode e remplaçat effectf par fréquece. Méthode 4 Pour calculer la moyee arthmétque smple d ue sére statstque : addtoer toutes les valeurs du caractère de la sére. dvser la somme obteue par l effectf total de la sére Exemple : 5,, 7, 9,0 est le relevé des températures e degré cq jours de sute La température moyee est égale à, sot 0,6 5 Pour calculer la moyee arthmétque podérée d ue sére statstque : addtoer les produts des effectfs par les valeurs correspodates du caractère. dvser la somme obteue par l effectf total Exemple :fomaths.com 7

18 Le tableau c dessous cotet les otes de mathématques obteues par les 50 élèves de trosème lors d u exame :. Notes Effectfs La ote moyee à cet exame est : 8,48 Méthode 5. Calculer la médae Pour calculer la médae d ue sére,: Ordoer les doées das l ordre crossat ou décrossat. Calculer l effectf total N. N + S l effectf total N est mpar, la médae est la valeur stuée au rag S l effectf total N est par, la médae est la moyee arthmétque des valeurs N N de rag et de ra g + Exemple. U élève a obteu les otes suvates : 6 ; 7 ; 8 ; 0 ; 5. N + 5+ Comme N = 5 effectf total mpar, alors la médae est le terme de rag = La médae est doc la valeur stuée au rag 3, sot M = 8 Exemple U élève a obteu les otes suvates : 5 ; 8 ; 8 ; 0 ; ; ; 3 ; 6 Comme N = 8 effectf total par, alors la médae est est la moyee arthmétque des fomaths.com N N 8 8 valeurs de rag et de rag +, sot de rag et de rag + La médae est doc la moyee des valeurs stuées au rag 4 et au rag 5, sot 0 + M e = = e sot 8

19 Méthode 6. Calculer les quartles, l tervalle terquartle et l écart terquartle. Pour calculer le premer quartle Q : Ordoer les doées das l ordre crossat. Calculer l effectf total N. N Calculer 4 S N est u multple de 4, alors le premer quartle Q est le terme de rag S N est pas u multple de 4, alors le premer quartle Q est le terme de rag égal à la parte etère du quotet de par 4 majorée de. N Pour calculer le trosème quartle Q3 : Repredre toutes les étapes ayat perms le calcul de Q, e calculat 3 N. 4 L tervalle terquartle est l tervalle : [ Q; Q 3] Pour calculer l écart terquartle : Calculer Q3 Q Exemple : Sot la sére de valeurs ragées das l ordre crossat : 6, 8, 5, 5, 5, 9, 3, 7. Comme l effectf total, et N N = 8 =, alors le premer quartle Q est la valeur de rag 4, sot Q=8 et le trosème quartle Q3 est la valeur de rag 6, sot Q3 = 9. Exemple: Sot la sére de valeurs : 7, 0, 3, 5, 5,, 3, 7, 9, 3, 40. L'effectf total. N = N Comme = =,75, alors le premer quartle Q est le terme de rag (+) = 3. Sot 4 4 Q = 3 Comme 3 N 3 = = 8,5, alors le trosème quartle Q3 est le terme de rag fomaths.com Sot Q3 = 9 Le deuxème quartle Q est égal à la médae. Q=Me =, terme de rag 6 L tervalle terquartle est l tervalle :[ 3 ; 9 ] L écart terquartle égal à Q3 Q= 9 3, sot 6. N 4 9

20 Méthode 7. Calculer les décles. Pour calculer le premer quartle D : Ordoer les doées das l ordre crossat. Calculer l effectf total N. Calculer Calculer 0 N N S N est u multple de 0, alors le premer décle D est le terme de rag 0 S N est pas u multple de 0, alors le premer décle D est le terme de rag égal à la parte etère du quotet de par 0 majorée de. N Exemple: Sot la sére de valeurs :,5,7,7,0,0,0,,,, 3,4,4,5,5,5,6,8 L effectf total N = 8. N 8 Comme = =,8, alors le premer décle D est la valeur de rag. Sot D = Comme 9 N 9 = 8 = 6,, alors le euvème décle D9 est le valeur de rag 7. Sot 0 0 D9 = 6. Méthode 8. Pour tracer le polygoe ou courbe des effectfs cumulés crossats ECC : Tracer u repère avec e abscsse les classes et e ordoée les ECC. Placer chaque pot dot l abscsse est la bore supéreure de la classe et l ordoée l effectf cumulé crossat assocé à cette classe. Jodre tous les pots par ue lge brsée e ajoutat le pot d abscsse égale à la bore féreure de la plus pette classe et d ordoée 0. Pour tracer le polygoe ou courbe des effectfs cumulés décrossats ECD : Placer chaque pot dot l abscsse est la bore féreure de la classe et l ordoée l effectf cumulé décrossat assocé à cette classe. Jodre tous les pots par ue lge brsée e ajoutat le pot d abscsse égale à la bore supéreure de la plus grade classe et d ordoée 0. Exemple : fomaths.com Repreos l éocé développé das la méthode. Températures relevées pedat 300 jours. 0

21 Températures e C Effectfs ECC ECD (Nombre de jours) [ 0 ; 5 ] [ 5 ; 0 ] [ 0 ; 5 ] [ 5 ; 0 ] [ 0 ; 5 ] Méthode 9. Pour détermer la médae et les quartles graphquemet : Tracer le polygoe des effectfs cumulés crossats ECC. N L abscsse du pot de la courbe d ordoée est la médae, Me. L abscsse du pot de la courbe d ordoée L abscsse du pot de la courbe d ordoée 3 4 Méthode 0. N est le premer quartle Q. 4 N est le trosème quartle Q3. fomaths.com Pour tracer u dagramme e boîte : Calculer le premer quartle Q, la médae Me et le trosème quartle Q3. Tracer au dessus d ue drote graduée u rectagle délmté par le premer quartle Q,le trosème quartle Q3 et coupé par la médae Me. Ce rectagle costtue le dagramme e boîte. Tracer esute deux segmets délmtés par les valeurs extrêmes. Les extrémtés des deux segmets peuvet auss être le premer et le euvème décle.

22 Exemple Note mmale, ote maxmale 7, Q = 8, Me = 0 et Q3 =. ENTRAINEMENT A L EPREUVE Auto évaluato ) Patrck a relevé les températures moyees jouralères du mos d avrl : Température moyee e C fomaths.com Nombre de jours La température moyee du mos d avrl est égale à : a) 4,85 b) 4,94 c) 4,5 d) 5,5 Corrgé Moyee = Sot 4,94

23 La boe répose est la b) ) E utlsat le relevé des températures doé e ), la température médae est égale à : a) b) 4,5 c) 4, d) 7 Corrgé 3 + L effectf total est égal à 3. La médae est doc la valeur de rag = 6. La valeur de rag 6, est 7. D où Me = 7 La boe répose est la d) 3) E utlsat le relevé des températures doé e ), l écart terquartle est égal à : a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 Corrgé 3 L écart terquartle = Q3 Q =, sot la valeur de rag 8. O a doc Q = 3 Q est la valeur de rag 7, Q3 est la valeur de rag 3 = 3,5, sot le rag 4. O a doc Q3 = 7 4 O e dédut que l écart terquartle est égal à 7, sot 5 La boe répose est la c) 4) Lors d u exame, 4 caddats ot passé la même épreuve. les tros premers ot obteu 0, et 3 sur 0 respectvemet. La moyee des quatre caddats est de,75/0. La ote obteue par le quatrème caddat est égale à : a) 7/0 b) 5/0 c) 3/0 d) o e peut pas la calculer Corrgé 4 fomaths.com x S x est la ote du quatrème caddat, o a alors =,75 4 Sot x = 4,75 (0+ + 3). D où x = 7 La boe répose est la a) 5) La moyee arthmétque de 8 ombres est 3. E retrat l u de ces ombres la moyee est alors égale à. Le ombre retré est égal à : 3

24 a) 8 b) 6 c) 0 d) Corrgé 5 Le total des ombres est égal à 8 3= x S x est le ombre retré alors =, car l e reste plus que 7 ombres. 7 O e dédut que x = 0 La boe répose est la c) 6) La moyee à u devor, d ue classe de 5 élèves présets état de /0. U élève abset ayat composé le ledema a relevé la moyee de la classe à,5/0. La ote obteu par le 6 ème élève est égale à : a) 9 b) c) 5 d) 6 Corrgé 6 Le total des pots obteu par les 5 élèves présets est égal à : 5 = x S x est la ote obteue par le 6 ème élève, alors =,5 6 O e dédut que x = 6 La boe répose est la d) 7) L étedue de la sére de ombres suvate : 6 ; 7 ; 5 ; 3 ; 0 ; ; ; 9 est égale à : a) 5 b) c) d) 3 Corrgé 7 L étedue e d ue sére statstque est la dfférece etre la valeur maxmale et la valeur mmale. O a doc e = 5 3 = La boe répose est la b) 8) La médae de la sére de 5 ombres suvate :, ;,8 ;,9 ;, ; ;,9 ;, ;,8 ;,9 ;,7 ; ;,4 ; ;,7 ; est égale à : a),8 b),9 c) d), fomaths.com Corrgé 8 O ordoe la sére das u ordre crossat.,7 ;,7 ;,8 ;,8 ;,9 ;,9 ;,9 ; ; ; ; ;, ;, ;, ;, La médae est la valeur de rag = 8. Sot Me = La boe répose est la c) 4

25 9) Le mode d ue varable statstque est : a) La modalté ayat le plus pett effectf b) La modalté ayat le plus grad effectf c) Le plus grad des effectfs Corrgé 9 La boe répose est la b) 0) E augmetat toutes les otes des élèves d ue classe de pot, la ote moyee de la classe augmetera de pot. a) vra b) faux c) O e pas coclure Corrgé 0 La boe répose est la a) ) E augmetat toutes les otes des élèves d ue classe de pot, la ote médae de la classe augmetera de pot. a) vra b) faux c) O e peut pas coclure Corrgé E augmetat toutes les otes de pot le ombre de valeurs reste chagé. La médae est doc la valeur de même rag majorée de pot. La boe répose est la a) ) Sot les valeurs ragées das l ordre crossat : ; 4 ; 4 ; 6 ; 7 ; 7 ; 8 ; 9 ; 9 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; ; ; ; 3 ; 3 ; 3 ; 4 ; 5 Le trosème quartle Q3 est égal à : a) 0 b) c) d) 3 Corrgé fomaths.com L effectf total est égal à. Q3 est la valeur de rag 3 = 5,75, sot la valeur de rag

26 O a Q3 =. La boe répose est la c) 3) U test effectué sur u échatllo de composats électroques a doé les résultats suvats : Durée de ve e heures Nombre de composats [800 ; 000 [ 40 [000 ; 00 [ 34 [00 ; 400 [ 850 [400 ; 600 [ 6 [600 ; 000 [ 80 La durée de ve moyee d u composat est égale à : a) 83,50 b) 75,7 c) 85,65 d) 93,68 Corrgé 3 Après avor calculé le cetre de chaque classe, o e dédut la ve moyee : La boe répose est la d), sot 93,68 4) E repreat le test précédet, est l exact d affrmer que 5% au plus des composats ot ue durée de ve féreure à 400 h. vra b) faux Corrgé 4 Le ombre de composats dot la durée de ve est féreure à 400 h est égal à , sot Le pourcetage correspodat est égal à : Sot 70,%. L affrmato est fausse fomaths.com La boe répose est la b) 6

27 Etraîemet aux exercces et aux problèmes de mathématques. Exercce Corrgé. Les otes ragées par ordre crossat sot les suvates : Notes Total Effectfs Effectfsxotes fomaths.com N =. L effectf total de ce groupe est : 8 3. La moyee des otes de cette classe est : 89 x =. Sot x = 0,3 à 0, près Comme l effectf total 8 est par alors la médae est la moyee des 4 et 5 e valeurs, sot 4 et 5 respectvemet. D où 4+ 5 Me = = 4,5 ème èm 7

28 5. Comme l y a 5 otes supéreures ou égales à 0 et 8 otes au total alors la probablté que la ote de cette cope sot supéreure ou égale à 0 est égale à : 5 8. Exercce Corrgé ) Le temps moye d attete aux casses est : x = 00 Sot u temps moye d attete de 4,08 m. ) La médae est la moyee des valeurs de rag 50 et 5, sot 3 et 4 respectvemet. La médae est doc égale à 3,5. 00 Le premer quartle est la valeur dot le rag est supéreure ou égal, Q est la 5ème fomaths.com valeurs, sot Q=. 3 Le trosème quartle est la valeur dot le rag est supéreure ou égal 00 4 valeurs, sot Q3= 6. 3) Dagramme e boîte 4, Q3 est la 75ème 8

29 Exercce 3 ANNEXE Fgure fomaths.com 9

30 Corrgé 3.. Les résultats ragés par ordre crosat sot les suvats : Nveau de brut e db (A) a) Le veau moye de brut sur la pérode étudée est : x = = 63 b) Les valeurs extrêmes sot 50 pour la valeur mmale et 79 pour la valeur maxmale. L étedue est alors. e = = 9 c) La médae est la valeur de la varable séparat la sére e deux séres de même effectf. Comme l effectf total est, eter par alors la médae est la moyee des valeurs de rag 6 et 7 respectvemet égale à 64 et 64. D où Me = = 64. Le premer quartle Q est la valeur dot le rag est le plus pett eter supéreure ou égal à: N = = 3, valeur de rag 3. Sot Q = fomaths.com Le trosème quartle est la valeur dot le rag est le plus pett eter supéreure ou égal à : 3 N = 3 = 9, valeur de rag 9. Sot Q3 = L écart terquartle est : e = 73 5 =. a) Vor ANNEXE Fgure 30

31 b) Le veau soore est mos dspersé doc, plus costat das la rue Beausolel que das la rue Bellepomme car l étedue y est plus rédute. Le veau soore das la rue Beausolel est plus fable que celu de la rue Bellepomme car la médae et la valeur maxmale y sot plus pettes. A l ade des dfféretes doées, o peut affrmer que les habtats de la rue Beausolel jousset d u melleur cadre de ve. ANNEXE Fgure Exercce 4 Le tableau c dessous doe le relevé des précptatos atmosphérques sur 60 jours das ue régo doée. Hauteur de plue (e mm) Nombre de jours [0 ; 5[ [5 ; 0[ [0 ; 5[ [5 ; 0[ [0 ; 5[ [5 ; 30[ ) Calculer le mode, la moyee. ) Détermer graphquemet, la médae et les quartles. 3) Représeter le dagramme e boîte. Corrgé 4 fomaths.com Hauteur des précptatos (e mm) Cetre de classe x Effectfs Effectfs cumulés crossats EEC *x [ 0 ; 4 [

32 [ 4 ; 8 [ [8 ; [ [ ; 6[ [ 6 ; 0[ [ 0 ; 4[ Total Comme les classes sot ampltudes égales alors la classe modale est la classe assocée au plus grad effectf, sot la classe [ 0 ; 4 [. le mode est égal au cetre de classe, sot La moyee x 600 x = = sot 0 mm N 60. O trace la courbe des effectfs cumulés crossats. La médae est l abscsse du pot de la courbe d ordoée 60/, sot la moté de l effectf total. Par lecture graphque o a: Me 9,3. Le premer quartle Q et le trosème quartle Q3 sot les abscsses des pots de la courbe d ordoées respectves : = 3 et =. Par lecture graphque o a : Q = 3,5 et Q3 = 6,3. fomaths.com 3

33 fomaths.com Dagramme e boîte 33

34 P Ecart absolu moye Défto : l écart absolu moye est la moyee arthmétque des écarts par rapport à la tedace cetrale, exprmée e valeur absolue. E x = x Eclarcssemet : fomaths.com x Pour ue observato, Ecart par rapport à la tedace cetrale : ( moyee (elle peut être auss la médae) x x ), avec x la 34

35 Pourquo écart absolu x x? C est ue mesure de dstace e mathématque (valeur observée valeur moyee e absolue). Ce qu compte c est l écart et o pas le sge de cet écart. Exemple : Imagos qu ue moyee est de. L écart d ue observato 3, par rapport à la moyee est : 3 ( ) = =. U écart c est, par essece, ue valeur absolue. x x Auss, s o fat la moyee des écarts ( ) sas predre les valeurs absolues alors cette moyee sera de 0. Car l va y avor des valeurs égatves (féreurs à la moyee) et des valeurs postves (supéreurs à la moyee) qu vot s équlbrer. x 0 Démostrato : ( x x) = ( x x) = x = 0 D où l utlté de fare ue moyee de valeurs absolues des dfféreces à la moyee (écarts) fomaths.com 35