Version du 16 août 2017 (17h32)

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1 CHAPITRE 3. SYSTÈMES DE RCES Vecteurs caractéristiques d u système de forces Défiitio Vecteur Résultate des forces Vecteur Momet résultat Ivariats d u système de forces Réductio d u système de forces Pricipe orces cocourates (Théorème de Varigo) orces parallèles coplaaires orces coplaaires quelcoques orces quelcoques das l espace Modificatios à l itérieur d u système de forces Chagemet du poit d applicatio d ue force Décompositio d ue force Remplacemet du vecteur momet Versio du 16 août 2017 (17h32)

2 CHAPITRE 3. SYSTÈMES DE RCES 3.1. Vecteurs caractéristiques d u système de forces Défiitio fig Systèmes de forces. appelle système de forces l esemble des forces f i (1 i ) qui agisset simultaémet sur u poit matériel ou sur u solide. Ce système est représeté par u esemble de vecteurs, e gééral glissats, parfois liés (fig. 3.1.). Lorsqu u solide est soumis à u tel système de forces, appliquées e différets poits, il effectue gééralemet u certai mouvemet que l o désire coaître. Les effets possibles de traslatio et de rotatio du solide, associés à chacue de ces forces et à chacu des momets de ces forces, s additioet vectoriellemet. Si u autre système de forces appliqué à ce solide produit le même mouvemet, il est dit équivalet au premier. Le système de forces pourrait dès lors être remplacé par u vecteur force uique et u vecteur momet de force uique, doat les mêmes effets de traslatio et de rotatio du solide. Ces deux vecteurs équivalets au système de forces de départ sot appelés vecteurs caractéristiques du système de forces, il s agit : du vecteur résultate des forces et du vecteur momet résultat. M P J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécaique - Systèmes de forces Page

3 Vecteur Résultate des forces Défiitio : C est la somme vectorielle des forces qui composet le système (fig. 3.2.). f1 f 2 f 3... f i i 1 fig Résultate d u système de forces. a les relatios suivates, das ue base orthoormée xy : f ; f ; f x i x y i y i 1 i 1 i 1 i Remarquos que, vecteur libre costruit à partir de, a pas ecore de poit d applicatio détermié sur le corps solide cosidéré. f i J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécaique - Systèmes de forces Page

4 Vecteur Momet résultat Défiitio : C est la somme vectorielle des momets de chacue des forces par rapport au poit P (fig.3.2.). M m f m f m f m f P P P P P i i 1 Si o calcule le momet résultat par rapport au poit, M, o obtiet : M m f M x i i 1 y, m f 1 m f 1 m f 1 i 1 x i x y i y i m f x i m f m f x y i y 1 1 i 1 i 1 i 1 i 1 M 1 M 1 M 1 x x y y : état le momet résultat par rapport à l axe x (y, ) démotre aisémet la formule de chagemet de cetre des momets résultats : M M P P M m f m f i P f i P P i i 1 i 1 M P fi M P f i M P Ivariats d u système de forces A) est u ivariat vectoriel i 1 i 1 (Voir fig. 3.3.) E effet, (vecteur libre) est idépedat du choix du poit de départ pour sa costructio; il est aussi idépedat du système d axes utilisé. B) M P est pas u ivariat vectoriel Il faut bie préciser le poit P par rapport auquel o calcule le momet résultat du système de forces, car chacu des momets m f chage de valeur et de directio suivat la positio de P. P i J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécaique - Systèmes de forces Page

5 C) M est u ivariat scalaire P E effet, o peut écrire : M P M P M P M 0 Cet ivariat scalaire prouve que, quel que soit le poit P cosidéré, la projectio de directio de est costate ( PQ PQ PQ R ). M P sur la fig Ivariat. Remarques : 1) Pour u système de forces coplaaires das xy, o a : M P 0 (P apparteat au pla des forces) car M P est perpediculaire au pla des forces et doc suivat 1 uiquemet. 2) Si 0 alors M P deviet u ivariat vectoriel : M P M P M P M c est le même vecteur pour tout poit de l espace. J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécaique - Systèmes de forces Page

6 3.2. Réductio d u système de forces Pricipe Réduire u système de forces f i e u poit, c est le remplacer par ses deux vecteurs caractéristiques et M, état u ivariat vectoriel et M dépedat de la positio de. Discutos brièvemet quelques cas particuliers. 1) 0 et M 0 Dès lors : M P M P M 0. Le système de forces est équivalet à 0 au poit et doc e tous poits de l espace. Ce système est susceptible de produire i traslatio, i rotatio autour d u poit quelcoque de l espace. Le poit ou le solide soumis à u tel système de forces est dit e équilibre. 2) 0 et M 0 Dès lors : M M P M 0. P Le système de forces est équivalet au seul vecteur, et ce e tout poit de l espace. Ue telle réductio est obteue das le cas des couples de forces (voir Remarque). Le seul mouvemet possible associé sera u mouvemet de rotatio. M 3) 0 et M 0 Le seul mouvemet possible associé sera u mouvemet de traslatio. 4) 0 et M 0 E u poit P de l espace, o réduit le système de forces f i e et M P format etre eux u agle θ. démotrera l existece de lieux de poits particuliers (pour lesquels M P est ul, ou miimum...) orces cocourates (Théorème de Varigo) Cosidéros le cas de plusieurs forces f 1, f 2,..., f dot les liges d actio sot toutes cocourates e u poit A (fig. 3.4.). Détermios vectoriellemet la résultate, et plaços-la sur ue lige d actio passat par A. Calculos le momet résultat M : M m f i A f i A f i i 1 i 1 i 1 puisque M A m passe par A, suivat la costructio utilisée. J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécaique - Systèmes de forces Page

7 fig Théorème de Varigo. Doc, le théorème de Varigo s éoce de la maière suivate : Das u système de forces cocourates e A, le momet résultat (par rapport à u poit quelcoque) est égal au momet de la résultate (par rapport au même poit), localisée sur ue lige d actio passat par le poit de cocours des forces qui composet le système. forces. Cette positio particulière de la lige d actio de pred le om d axe cetral du système de Das le cas des forces cocourates, pour tout poit P de l axe cetral, o a : M m 0 P P ce qui sigifie que la réductio du système de forces, faite e u poit quelcoque de l axe cetral, se résume e l applicatio de la seule résultate, équivalete au système de forces, à la fois pour la traslatio et pour la rotatio orces parallèles coplaaires Cosidéros u système de forces f 1, f 2,..., f parallèles et coplaaires. Pour simplifier, supposos que leur lige d actio est perpediculaire à l axe x, e des poits d abscisses x 1, x 2, x 3,... x, à partir de l origie (fig. 3.5.). J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécaique - Systèmes de forces Page

8 fig orces coplaaires parallèles. peut écrire : x 0 f f f y f i y 1y i 1 M A1 f1 A2 f 2... A f M x 0 et My 0 M x1 f1 y 1... x f y 1 xi f i y 1 i 1 Remarque : Le sige - apparaît das l écriture du momet avec le sige des momets. M pour toujours être e adéquatio Le théorème de Varigo peut être étedu aux systèmes de forces parallèles (poit d itersectio rejeté à l ifii); dès lors : M m f x x f x x i y i y c i y i i 1 i 1 où x c représete l abscisse de l axe cetral du système de forces, parallèle aussi à l axe y : y c x c xi f i y xi f i y i i M 1 1 y y f i 1 i y J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécaique - Systèmes de forces Page

9 Das le cas gééral où les forces parallèles se trouvet das ue base orthoormée xy, orietée de telle faço que soit parallèle aux forces, les équatios de l axe cetral serot : x c i 1 x f i i et y c i 1 y f i i Cette positio de l axe cetral est idépedate du choix du système d axes (voir exercice supplémetaire 3.01.). La résultate aisi placée est équivalete au système de forces, à la fois pour la traslatio et pour la rotatio. Le momet résultat M P est ul pour tout poit P de l axe cetral; pour tout poit R apparteat pas à l axe cetral, M R est o ul et perpediculaire à (rappel : M R est u ivariat scalaire, ul das ce cas-ci). La réductio du système des, e u poit de l axe cetral, cosiste aisi e la seule force. f i Applicatio 3.1. Das u espace orieté xy, o doe les forces suivates : f , appliquée e A 1 (1; 2; 3); f , appliquée e A 2 (-1; 0; 2); f , appliquée e A 3 (6; 2; 1); f , appliquée e A 4 (1; 2; 0). Détermier la positio de l axe cetral de ce système de force. Solutio : Recherche de la résultate 50 1 i 1 f i Recherche de la positio de l axe cetral x y c c i 1 x f i i i yi f i fig Applicatio 3.1. L axe cetral a aisi pour équatio : x c 1 et y c 0 tel que représeté sur la figure. vérifiera aisémet que pour tout poit P (1; 0; P ) de l axe cetral, M P 0. J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécaique - Systèmes de forces Page

10 Calculos la positio de l AC par les momets 1x 1y 1 1x 1y 1 1x 1y 1 1x 1y 1 M x y G G x 50 1y 0 1 M M M x y M y M x retrouve effectivemet les mêmes coordoées Cas particulier : fig Couples de forces. U système de deux forces opposées (forces parallèles de même module mais de ses cotraires ( f f ) agissat sur u corps, est appelé couple de forces (fig. 3.7.). 1 2 U système de forces qui formet u couple est évidemmet pas e équilibre, bie que la résultate f f f f soit ulle L actio d u couple de force sur u solide se réduit à u effet de rotatio, caractérisé par le momet du couple, qui est idépedat du poit par rapport auquel o le calcule (fig. 3.8.). M m f m f A f et M f1 A si f1 d f 2 d d avec : d la distace ( bras de levier ) etre les deux forces. J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécaique - Systèmes de forces Page

11 De plus : M P M P M et ce pour tout poit P. 0 fig Couple de forces et chagemet de cetre. La directio de de la mai droite. M est perpediculaire au pla des deux forces, so ses est doé par la règle Deux couples de forces serot dits équivalets si ils doet lieu au même momet, ce qui sigifie que ces couples doivet être situés das des plas parallèles, et que le produit f i di doit rester costat (la logueur du bras de levier d i pouvat chager, à coditio que f i s adapte). J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécaique - Systèmes de forces Page

12 orces coplaaires quelcoques Cosidéros u système de forces f i coplaaires (fig. 3.9.). E, le système se réduit à et M. M état perpediculaire au pla de la feuille, o le représetera covetioellemet par u petit arc de cercle fléché tel que représeté sur la figure fig Trouver la positio de l axe cetral reviet à se demader : existe-t-il u lieu de poits P ( P AC ) (c est-à-dire que pour lesquels la réductio du système de forces cosisterait e la seule résultate devrait être ul)? Soit P u tel poit : M 0 M P P M P problème de divisio vectorielle qui admet ue solutio puisque et M sot perpediculaires (voir ) : P M 2 fig orces coplaaires quelcoques. m m R Le lieu des poits aisi défiis est ue droite, parallèle à la résultate, qui portera le om d axe cetral du système de forces. L équatio cartésiee de l axe cetral découle du développemet de l expressio : P M M P J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécaique - Systèmes de forces Page

13 Soit : P (x; y), 1 1 et M M 1 ; x x y y 1x 1y 1 P M x y 0 x y 0 M 1 x y M y x C est l équatio de l axe cetral pour des forces coplaaires (c est ue droite). Remarquos que cette expressio est e parfait accord avec celles qui ot été mises e évidece e Applicatio 3.2. Das u pla orieté xy, o doe les quatre forces suivates : f x, appliquée e A 1 (0; 1); f y, appliquée e A 2 (3; 4); f x, appliquée e A 3 (2; 4); f y, appliquée e A 4 (2; 5). Détermier l équatio de l axe cetral de ce système de force. Solutio : Recherche de la résultate f i 1 i x y x x y y fig Applicatio 3.2. Recherche du momet résultat M m f m f m f m f m f P i i Equatio de l axe cetral x y y x M 300 x 300 y 0 x y vérifiera aisémet que le momet résultat M P est ul pour tout poit P de l axe cetral. Vérificatio du résultat par la formule géérale P M m 0 m 300 1x y J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécaique - Systèmes de forces Page

14 avec : P x 1 y 1 1 x y x 1 y m m 1 x y x y x 300 m y 300 m x y orces quelcoques das l espace Das ce cas, le plus gééral, il est pas toujours possible d écrire que mise e évidece pour les forces cocourates - Théorème de Varigo). M m Q Q (situatio D ailleurs, das beaucoup de cas, et e sot pas perpediculaires. Doc e gééral, u M Q système de forces agissat sur u solide e peut pas se réduire à ue seule force ou résultate égale à la somme vectorielle des forces. La figure fig schématise cette situatio aisi que la réductio du système e différets poits Q et Q" de l espace. et M Q fot etre eux u agle θ Q ; et M Q formet u agle θ Q" ; o a cepedat : M M (Ivariat scalaire) Q Q défiira dès lors l axe cetral du système de force comme état le lieu des poits P pour lesquels et M P sot sur la même lige d actio, ce qui etraîe que M P pred ue valeur miimum (pouvat être ulle). fig orces quelcoques das l espace. J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécaique - Systèmes de forces Page

15 peut calculer cette valeur miimale du momet résultat ( l ivariace scalaire du produit. Soit : M P M M M M P mi Q P mi cos Q M P mi Si cos 1 cela implique que les deux vecteurs et M p mi sot aligés : +1 : si et M p mi sot de même ses; 1 : si et M p mi sot de ses cotraires. M Q M Q cos Q M P mi M Q cos ). Utilisos la propriété de Pour trouver l expressio vectorielle de ce lieu de poits de l axe cetral, exprimos que sot parallèles (produit vectoriel ul). M P 0 M P 0 M P 0 M P P Choisissos, parmi ces poits P, le poit de péétratio de l axe cetral das le pla π perpediculaire à et passat par ; soit P ce poit (fig ). Das ce cas P est à et doc : P 0 et l expressio précédete peut se mettre sous la forme : M M P P P 2 (éq ) 0 Q et M P fig orces quelcoques : axe cetral. J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécaique - Systèmes de forces Page

16 L esemble des poits P costituat l axe cetral peut se défiir vectoriellemet par : P P PP P M m m R 2 E effet, o peut vérifier que M P M P PP M doc toujours aligé avec et P 0 car / / de module miimum. Remarquos que cette expressio vectorielle est strictemet équivalete à celle qui avait été doée pour les forces coplaaires. Soit : M 2 et P (x; y; ) X 1 Y 1 Z 1 x y les équatios paramétriques de l axe cetral sot dès lors : x X m y Y m Z m y x qui, si x, y et sot différets de 0, doet les équatios cartésiees : x X y Y 1 x y x X y Y Z y Y 2 Z x y y x X 3 Z x Ces trois plas se coupet selo l axe cetral (fig ). (Axe cetral = itersectio de 2 plas particuliers). J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécaique - Systèmes de forces Page

17 fig Détermiatio de l axe cetral pour des forces quelcoques. Remarque : La coaissace des deux vecteurs caractéristiques et e u poit Q apparteat pas à l axe cetral permet aussi de détermier l équatio vectorielle de l axe cetral (fig ). M Q P Q QP Q QP m m R Avec P u poit de l axe cetral. fig Axe cetral : autre maière. r QP peut s exprimer sous la forme (voir éq ) : J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécaique - Systèmes de forces Page

18 M QP 2 et aisi P Q doe la droite de l axe cetral. M P Q 2 Q m Géométriquemet, il faut doc, pour trouver le poit P de l axe cetral, se déplacer sur la perpediculaire e Q au pla formé par et, d ue distace d : M Q d QP M M M si Q Q Q Q Q 2 2 si (le ses de déplacemet de d est défii par la règle de la mai droite ( M d )). défiit le momet de trasport comme état : d M Q si Q Q Applicatio 3.3. U pylôe de 40 m de hauteur est soumis aux forces suivates : P 8000 N : poids appliqué e G (0; 0; 16); ses des décroissats; f N : actio du vet, située das les plas 1 18 m et 2 x y 0; ses des x décroissats; f 2 f 3 f N : résultates des poids des câbles, appliquées e A 2 (0; 6; 38), A 3 (0; 6; 32) et A 4 (0; +6; 35); ses des décroissats. E vue du calcul des fodatios, réduire ce système de forces e. Détermier la positio de l axe cetral et le momet miimum sur cet axe cetral. fig Applicatio 3.3. Solutio : Expressio aalytique des forces P J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécaique - Systèmes de forces Page

19 BA f1 f1 1d f1 BA avec, par exemple : B et A 0; 0; 18 1x 1y 0 1 x f x y 2 ; ; f f f Expressio de la résultate i 1 f i x y Expressio du momet résultat (réductio du système e ) 5 M m f i i 1 Equatio de l axe cetral P M x y x y x x x m m x y x X y Y Z x y x y Le premier et le secod terme doe : 1 x y Le premier et le troisième terme doe : x L équatio de l axe cetral état l itersectio de ces 2 plas. Recherche du momet miimum M M P mi 1073 Nm Le () idiquat que et sot de ses cotraire. M P mi J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécaique - Systèmes de forces Page

20 3.3. Modificatios à l itérieur d u système de forces Chagemet du poit d applicatio d ue force Etat doé ue force f appliquée e u poit A et dot la lige d actio est l axe a (fig ), il est souvet itéressat pour la réductio ou pour l étude du mouvemet d u solide, de pouvoir trasporter cette force e u poit B o situé sur l axe a. Ajoutos e B ue force f 1 équipollete à f et f 2 réciproque à f1 (fig b.). Le système compreat f, f 1 et f 2 est équivalet à f, puisque f1 et f 2 ot ue résultate et u momet résultat uls. Mais o peut le cosidérer sous la forme du système de la figure 3.16 c.. toujours équivalet à f et compreat la force f 1 (égal à f trasportée e B) et le couple des deux forces f et f 2 dot le momet par rapport à B se réduit à m f. B peut doc trasporter ue force f d u poit A e u poit B, à coditio d ajouter u couple de forces dot le momet vaut m f, momet par rapport à B de la force f appliquée à l acie poit A. Ce momet m B f B, qui doit apparaître, est appelé couple de trasport. Autre approche : o peut réduire le système de force e B. f M B mb f fig Chagemet de cetre. et et sot équivalets à f. M B L exemple suivat peut illustrer cette otio. Pour maiteir ue barre homogèe AB e équilibre, il faut, de toute évidece, appliquer e so milieu ue force dirigée vers le haut repreat le poids de la barre. J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécaique - Systèmes de forces Page

21 Pour maiteir la barre par so extrémité A, il faut appliquer, outre la force q, u momet de module égal à m q p AB A (fig ). Ces cosidératios sot directemet resseties par la mai 2 de la persoe qui maitiet la barre e équilibre Décompositio d ue force fig Couple de trasport. Sas rie chager aux caractéristiques d u système de forces, il est toujours possible : A) de remplacer ue force f dot la lige d actio passe par u poit A, par deux ou plusieurs forces dot les liges d actio passet égalemet par A pourvu que f f1 f 2... fig Décompositio d ue force e 2 directios o parallèles. B) de remplacer ue force f par deux ou plusieurs forces f 1, f 2,... dot les liges d actio sot parallèles à celle de f pourvu que : J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécaique - Systèmes de forces Page

22 f f1 f 2... M P 0 pour P poit quelcoque de la lige d actio de f. E particulier, pour décomposer f e 2 forces parallèles, o a comme coditios : et f f1 f 2 ( somme algébrique) f1 d1 f 2 d2 fig Décompositio d ue force e 2 directios parallèles Remplacemet du vecteur momet Soit u momet m f appliqué e. peut remplacer ce momet par u couple de forces f et f, das u pla π perpediculaire à m f, espacées d ue distace d telle que f d m f (fig ). Il existe doc ue ifiité de directios de f et ue ifiité de modules de f qui soiet possibles. m f f d f fig Remplacemet d u vecteur momet par u couple de forces. J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécaique - Systèmes de forces Page