Exercice 4 Amérique du Sud. Novembre Le point B est un point d'intersection de la courbe de f et de l'axe des abscisses donc f x B

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1 Ercic 4 Amériqu du Sud. Novmbr 007 La fonction f st défini sur ]0 ; [ par f = ln ln. La figur ci-dssous donn la courb rprésntativ d f. _ Absciss d B. L point B st un point d'intrsction d la courb d f t d l'a ds abscisss donc f B =0. On résout l'équation f =0. ln ln =0 ln =0 ou ln =0 ln = ou ln =ln ln =ln ou = = ou = L point A a pour absciss donc B = _ Limits au borns d l'nsmbl d définition. Limit n 0. ln = = t 0 ln = donc ln = 0 Thirry Vdl pag sur 9

2 D'après l théorèm sur la it d'un produit : ln ln = f = Limit n plus l'infini. ln = = t ln = donc ln = D'après l théorèm sur la it d'un produit : ln ln = f = 3_a_ Fonction dérivé. f = ln ln. f ' = ln ln ln ln f ' = f ' = ln f ' = ln Modèl : u v ' =u ' v u v' u= ln u ' = v=ln v '= 3_b Coordonnés d C t D. Coordonnés d C. La courb rprésntativ d f admt un tangnt parallèl à l'a (O ; ) au point C donc f ' c =0. On résout f ' =0. ln =0 ln =0 ln = ln = = Thirry Vdl pag sur 9

3 f = ln ln f = C a pour coordonnés ;. Coordonnés d D. D st l point d'intrsction d la tangnt au point A d'absciss t d l'a (O ; y) donc D =0. Equation d la tangnt y= f ' f y= Ordonné d D. y D = D y D = D a pour coordonnés 0 ;. 4_a_ Primitiv d f. La fonction g st défini sur ]0 ; [ par g = f ln 4. g st un primitiv d f si g '= f. Fonction dérivé d g. Modèl : u v ' =u' v uv ' u= u'= v= f ln 4 v'= f ' g ' = f ln 4 f ' g ' = f ln 4 ln g ' = f ln 4 ln g ' = f ln 4 ln g ' = f g st donc un primitiv d f. Thirry Vdl pag 3 sur 9

4 4_b_ Calcul d'un intégral. ( Ctt qustion n fait pas parti du contrôl ) f d =[ g ] f d = g g f d = f ln 4 f ln 4 f =0 t f =0 donc : f d = f d =4 L'air compris ntr la courb d f, l'a ds abscisss t ls droits d'équations = t = st égal à 4 unités d'airs (l'unité d'air st l'air du rctangl d côtés i t j. Ercic 4 Antills, Guyan. Sptmbr 007 Sur un trajt quotidin un automobilist rncontr du fu tricolors. Si, l signal st vrt, il pass, si l signal st orang ou roug, il s arrêt. _a_ Probabilité d s'arrêtr au prmir fu. A st l évènmnt : «l automobilist s arrêt au prmir fu». La probabilité qu l prmir fu soit orang st 6, cll qu il soit roug st 3 donc : p A = 6 3 = _a_ Probabilité d passr sans s'arrêtr au prmir fu. p A = p A = Thirry Vdl pag 4 sur 9

5 _a_ Arbr pondéré. A st l évènmnt : «l automobilist s arrêt au duièm fu». Si l automobilist s st arrêté au prmir fu, la probabilité qu il s arrêt égalmnt au duièm fu st donc p A A = S il n s st pas arrêté au prmir fu, la probabilité qu il s arrêt au duièm fu st 3 donc p A A = 3 _b_ Probabilité qu l automobilist n s arrêt pas sur son trajt. p A A = p A p A A = 3 = 3 Thirry Vdl pag 5 sur 9

6 _b_ p A A = p A p A A = = 4 p A A = p A p A A = 3 = 6 p A = p A A p A A = 4 6 = 5 _c_ Probabilité d s'êtr arrêté au r fu sachant qu'il s'st arrêté au m. p A A = p A A = p A 4 5 = 4 5 =3 5 3_a_ Loi d probabilité d la duré du trajt. (Bonus pour l contrôl ) On not D la duré du trajt. Si l automobilist ffctu l trajt sans s arrêtr, clui-ci dur nuf minuts, donc : p D=9 = p A A = 3 S il s arrêt un fois,l trajt dur douz minuts donc : p D= = p A A p A A = 4 6 = 5 S il s arrêt du fois, l trajt dur quinz minuts donc : p D=5 = p A A = 4 Loi d probabilité. Duré : D i 9 5 Total Probabilité : p i _b_ Duré moynn du trajt. E D = = 4 60 L trajt dur mn 45 s n moynn. Thirry Vdl pag 6 sur 9

7 Ercic Nouvll Calédoni 007 La fonction f st défini t dérivabl sur ]0 ; [ Sa courb,, pass par A ;, B ; 0, C ; t D 7 ; 0. E a pour coordonnés ; 3. La droit (AE) st la tangnt n A. La tangnt n C st parallèl à l'a ds abscisss. Thirry Vdl pag 7 sur 9

8 _ L'équation f = admt du solutions. Il faut répondr V. Eplication non dmandé. La fonction st dérivabl donc continu t strictmnt croissant sur I =]0 ; ] f t f D'après l théorèm ds valurs intrmédiairs il y a un solution uniqu sur I. La fonction st dérivabl donc continu t strictmnt croissant sur J =[ ; [ f 5 t f D'après l théorèm ds valurs intrmédiairs il y a un solution uniqu sur J. _ L cofficint dirctur d la droit (AE) st égal à 7. Il faut répondr F. Eplication non dmandé. L cofficint dirctur d la droit st : 3 p= y y E A = E A =7 3_ Ls fonctions f t f ' sont positiv sur [ ; ]. Il faut répondr V. Eplication non dmandé. La fonction f st strictmnt croissant sur [ ; ] donc f ' > 0 La fonction f st strictmnt croissant sur [ ; ] t f =0 donc f 0. 4_ Non dmandé pour l contrôl. Ls primitivs d f sont croissants sur [ ; 7 ]. Il faut répondr V. Eplication non dmandé. La fonction f st positiv sur [ ; 7 ]. La fonction f st la dérivé d ss primitivs donc lls sont croissants. 5_ f =0 donc ln f n'st pas défini n. Il faut répondr F. On put aussi prndr f = comm contr-mpl. 6_ Non dmandé pour l contrôl. La fonction g st strictmnt décroissant sur J =[ ; [ Il faut répondr F. Eplication non dmandé. g = f t f ' = f ' f Thirry Vdl pag 8 sur 9

9 f st st strictmnt décroissant sur J =[ ; [ donc f ' 0.. Un ponntill st toujours positiv donc g ' 0 sur J =[ ; [ Autr raisonnmnt. L'ponntill st croissant donc g = f t f ont l mêm sns d variation. Thirry Vdl pag 9 sur 9