Fiche N 7 : Fonctions usuelles

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1 Lycé Pul Guguin CPGE-EC Anné 04/05 Fich N 7 : Fonctions usulls Fonction ponntill : p Fich7p.ggb Définition : En trminl, on prolongé à l nsmbl fich7c.sqn l suit géométriqu d trm générl un. n q vc q 0 L fonction insi obtnu défini sur pr f() q s st lors pplé fonction ponntill d bs q. Prmi touts cs fonctions, un sul pour nombr dérivé n 0. (Courb n roug) Ctt fonction st lors pplé fonction ponntill d bs t st noté p. L lttr désign ici l nombr img d pr ctt fonction. On,7. Nottion : 0; p : p() Propriétés d l fonction ponntill : (Pr lctur grphiqu) ponntill st défini sur 0 p(0) & p (0) p() ponntill n prnd qu ds vlurs strictmnt positivs : ponntill st continu t dérivbl sur p (0) t plus générlmnt ponntill st strictmnt croissnt sur, 0 p () 0 (l dérivé d l ponntill c st ll-mêm!!) ponntill st un fonction cr s courb 36

2 Lycé Pul Guguin CPGE-EC Anné 04/05 Fich7C.sqn Règls d clcul pour l fonction ponntill : Pour tous réls t y y y y y n n n,, n prticulir (ctt rmrqu st importnt pour ls équtions) Ercic 7. : Ecrir sous l form ls nombrs suivnts : 3 3 b Equtions, inéqutions t ponntill : 4 c 4 3 d 3 ( ) b b k n ps d solution si k 0 0 y dmt un uniqu solution si y 0 c st... b b cr L inéqution 0 Ercic 7. : Résoudr dns ls équtions t inéqutions suivnts : Ercic 7.3 : Ercic 7.4 : ( ) 0 (4 ) 0 Drssr l tblu d vritions d l fonction f défini pr Eprimr n fonction d t l rél n.... ( 3)( ) 0 f() (3 ) 37

3 Lycé Pul Guguin CPGE-EC Anné 04/05 Ercic 7.5 : Ercic d rchrch prsonnll sns ls qustions intrmédiirs. On considèr l fonction f défini pr f (). Drssr son tblu d vrition. On n dvr ps s contntr d un lctur grphiqu. Limits t ponntill : (A connîtr mis vus plus trd) lim... lim... lim , 0, lim... 0, 0, lim... ln() Fonction ponntill d bs : p Définition : Pour tout strictmnt positif, on définit l fonction ponntill à bs pr : 0; p : p ()... On étudir plus n détil cs fonctions un pu plus trd dns l nné mis on rtindr prioritirmnt ls llurs ds courbs qui prmttnt d rtrouvr l mjur prti d résultts à connîtr sur cs fonctions. On rtindr pr contr qu pour tout >0, p p si., p ()... Règls d clcul pour l fonction p : Pour tous réls t b strictmnt positifs t pour tous réls t y y y y y b b b b y y Fonction d l form Rppl d trminl : u où u désign un fonction dérivbl sur un intrvll I Si u st dérivbl sur I lors I f: p(u()) u() st dérivbl sur I t on f () u () u() On put lors conclur qu f t u ont l mêm sns d vrition sur I. 38

4 Lycé Pul Guguin CPGE-EC Anné 04/05 Ercic 7.6 : Fonction Logrithm népérin Etudir l fonction f défini pr f () t g défini pr g() ( ) On doptr ici ncor l définition vu n trminl ES. On vrr n cours d nné qu un utr définition possibl d l fonction logrithm népérin ist. Définition : Pour tout rél strictmnt positif, l rél ln() img d pr l fonction ln st l uniqu solution d y l éqution, d inconnu y. y Autrmnt dit, pour tout rél strictmnt positif, on l équivlnc : ln() y. Ainsi l fonction ln st défini sur 0; 0; ln : y y ln() vc Il st fréqunt d notr l img d pr l fonction ln sous l form ln u liu d ln(). Ct bus st toléré mis on fr bin ttntion à n PAS pnsr lors qu il s git d un produit. Proposition : Grphiqumnt dns un rpèr orthonormé, d éqution y. C p t C ln sont symétriqus pr rpport à l droit fich7c3.sqn Informtiqu : : Dns scilb l fonction ln st noté log (ttntion) Propriété fondmntl : L fonction logrithm népérin trnsform un produit d réls strictmnt positifs n somm d logrithms : 0, b 0, ln( b) ln() ln(b) Propriétés d l fonction ln : ln st défini sur 0; ln() 0 & ln() (rmrqu «ln(0)» n ist ps.donc n jmis écrir c qui précèd ) 39

5 Lycé Pul Guguin CPGE-EC Anné 04/05 ln st continu t dérivbl sur 0; 0, ln () (l dérivé d ln st l fonction invrs ln st strictmnt croissnt sur 0; ln st un fonction cr s courb Ercic 7.7 : Etudir l fonction f défini sur 0; pr f() ln() Règls d clcul pour l fonction ln : Pour tous réls t y strictmnt positifs ln(y) ln() ln(y) ln ln() ln ln() ln(y) y n n,ln( ) n ln() ln ln() 0,, ln( ) ln() (ADMIS) 0, p(ln( )) qui s écrit ussi, lnp() qui s écrit ussi ln() ln( ) Ercic 7.8 : Ecrir à l id d un sul logrithm ls nombrs suivnts : ln(0) 3ln(5) ln() 7ln(4) 3ln() 4ln(8) 4ln() Ercic 7.9 : ln(5) Ecrir plus simplmnt ls nombrs suivnts : ln() ln(3) ln(3 ln( 7) ) ln 4ln() ln(6) ln() 3ln ln( 8) Ercic 7.0 : L fonction logrithm déciml noté log. Pr mpl, n scincs socils, l indic d richss utilis ctt fonction, il st donné pr : ln() L fonction log st défini sur 0; pr log() ln(0). Etudir ls vritions d l fonction log. Montrr qu log suit ls mêms règls d clcul qu ln n 3. Clculr log(0 ) pour n ntir nturl. Qu consttz-vous? log(pib rél)-log(00) log(40 000)-log(00). : Dns scilb, ctt fonction st noté log0. Ercic 7. : En étudint ls vritions d du fonctions bin choisis, montrr qu :, ln() 40

6 Lycé Pul Guguin CPGE-EC Anné 04/05 Equtions, inéqutions t logrithm népérin : Soint t b ds nombrs strictmnt positifs. ln() ln(b) b ln() 0 ln() L éqution ln() y d inconnu dmt toujours un uniqu solution donné pr Pour tout y 0,l éqution ln(y) q 0, q k... ln() ln(b) b cr.. ln() 0... ln()... y d inconnu dmt toujours un uniqu solution donné pr y Ercic 7. : Etudir l sns d vritions ds fonctions f définis pr : f() ln() f () ln() 3 f() 3ln() f() ln() Ercic 7.3 : Résoudr dns ls équtions t inéqutions suivnts : 3ln() 6 0 ln() ln() 0 ln( ) ln( ) ln() ln() 0 ln( ) 0 ln()( ln()) 0 Limits t ln : (A connîtr mis vus plus trd) limln() lim ln()... ln() 0, 0, lim... 0, 0, lim ln()... Ercic 7.4 : Fonction logrithm d bs où désign un rél différnt d. 0; log : ln() log () ln(). Détrminr l dérivé d log t n déduir l étud ds vritions d log. Vérifir qu log trnsform ussi ls produits n somm. 3. Construir l courb rprésnttiv d log (On tindr compt du rôl d ) 4

7 Lycé Pul Guguin CPGE-EC Anné 04/05 Fonction rcin crré Définition : On ppll fonction rcin crré l fonction qui à ssoci l rél positif qui u crré donn. C nombr st noté. 0; 0; : y vc y 0, y 0, y y Informtiqu : : Sous scilb, l fonction rcin s not sqrt. (minuscul obligtoir) Propriétés d l fonction rcin : L fonction rcin st défini sur 0; L fonction rcin st continu sur 0; t dérivbl sur 0; L fonction rcin st strictmnt décroissnt sur 0; (si 0 Si on pos f () pour 0 lors f () pour 0 b lors b ) Règls d clcul pour l fonction rcin : Pour tous réls t y positifs. y y si 0 pour y 0 y y * n n n, L formul y y st n générl FAUSSE!!! mis bin connu ds étudints. 4

8 Lycé Pul Guguin CPGE-EC Anné 04/05 Fonction invrs Propriétés d l fonction invrs : L fonction invrs st défini sur.. L fonction invrs st. (S courb s ppll un hyprbol) L fonction invrs st continu t dérivbl sur ;0 t sur 0; L fonction invrs st strictmnt décroissnt sur ;0 t sur 0; Si 0 b lors (mêm résultt si t b négtifs) b Si pour 0on pos f () lors f () y y Règl bin connu ds étudints.mis Fuss!! Ercic 7.5 : L ssrtion «l fonction invrs st strictmnt décroissnt sur *» st-ll vri? Fonction puissnc n, n Définitions : Pour dns t n ntir nturl, on * Si n t 0, n n n... t n fois 0 pour 0 Ercic 7.6 : Complétr ls églités suivnts : 3 Si n, n ( )... t n ( ) Pour cs fonctions, on rtindr ls llurs d courbs qui prmttnt d rtrouvr ls principls propriétés d cs fonctions. 43

9 Lycé Pul Guguin CPGE-EC Anné 04/05 Fonction puissnc, Définition : Soit. On ppll fonction puissnc l fonction noté f défini sur 0; pr f () ln(). Proposition : f st continu, dérivbl sur sur 0; 0; t : 0; f ()... t f st strictmnt croissnt On grdr n têt ls courbs suivnts : 44

10 Lycé Pul Guguin CPGE-EC Anné 04/05 Régls d clcul : Soint t y du réls positifs t non nuls t t du réls. y y y y Fonction vlur bsolu L fonction vlur bsolu st un fonction ssntill n ECE cr ll st présnt dns l définition du mot limit (suit ou fonction) qu nous vrrons très prochinmnt. Ell intrvindr ssz souvnt dns ds problèms d mjortion (suit, fonction, intégrl ) insi qu dns l énoncé d l importnt théorèm ds ccroissmnts finis. S compréhnsion st donc trêmmnt importnt. Définition : L fonction défini sur qui tout rél ssoci s vlur bsolu noté st défini pr : si 0, si <0 Informtiqu : Ercic 7.7 : : Sous scilb, l fonction vlur bsolu s not bs. Complétr ls églités suivnts :,5 7,5 3, ( 4) Ercic 7.8 : Construir dns l rpèr suivnt l courb rprésnttiv d l fonction vlur bsolu t drssr l tblu d vrition pr lctur grphiqu puis émttr ds conjcturs sur ctt fonction. Proposition : L fonction vlur bsolu st :. Strictmnt décroissnt sur Strictmnt croissnt sur. A vlurs. 45

11 Lycé Pul Guguin CPGE-EC Anné 04/05 Règls d clcul : Pour tous réls t y. m( ;) y y si y 0 y y y y Ctt inéglité port l nom d inéglité tringulir. L formul y y st n générl Fuss mis bin connu ds étudints!! y y Pruv : disjonction d cs. Distnc ntr du nombrs : On considèr ls points A(4), B(-5), C(8) t D(3) t O(0) Clculr ls distncs suivnts AB, AC, CD, DO, CB t DA. On écrit AB=d(4 ;-5)= Vlur bsolu t distnc : Sur un droit grdué, on constt qu l distnc ntr l point A() t B(b) st donné pr b (ou b ) On écrit d(,b) b b Si O rprésnt l origin d ctt droit grdué t si st l bsciss d un point M lors on OM=.. Proposition : Pour tout rél positif t pour tout rél, ou ; ou Empls : 46

12 Lycé Pul Guguin CPGE-EC Anné 04/05 Ercic 7.9 : Résoudr ls équtions t inéqutions suivnts : Dns d nombru problèms sur ls suits intrvint l notion d vlur pproché d un rél. L tblu qui suit rppll ls différnts définitions qu vous srz mnés à rncontrr lors ds concours. Là ncor, l vlur bsolu trouv s plc. Fonction prti ntièr Définition : Soit un rél. On ppll prti ntièr d l plus grnd ntir rltif infériur ou égl à. L prti ntièr d st noté ou ncor Ent(). st insi l uniqu ntir rltif vérifint. On ussi. 47

13 Lycé Pul Guguin CPGE-EC Anné 04/05 Informtiqu : : Sous scilb, l fonction prti ntièr s nomm floor. Ercic 7.0 : Complétr ls églités suivnts :,3 7,4,66 4 Ercic 7. : Construir dns l rpèr suivnt l courb rprésnttiv d l fonction prti ntièr. Ercic 7.: Montrr qu :, Ercic 7.3 : Eprimr n utilisnt l fonction prti ntièr l prmir ntir nturl n tl qu un sitution économiqu simpl où l connissnc d ct ntir st importnt. n,. Proposr Ercic 7.4 : On considèr l fonction f défini sur pr f (). Drssr un tblu d vlur d f.. Montrr qu pour tout rél, f( ) f(). Qull conséqunc put-voir c résultt sur C f? 3. Vérifir votr conjctur émis n. n construisnt C f Fonction du typ v() v()ln(u()) u() vc u() 0 Ls fonctions d c typ sront étudiés tout u long d l nné n fonction d l vncmnt du progrmm. Ercic 7.5 : rprésnttiv. Cs prticulir : Drssr l tblu d vrition d puis construir un ébuch d l courb Autrs fonctions L littértur mthémtiqu contint bin d utrs fonctions, on pourr pr mpl étudir ls fonctions suivnts. ch : ch() sh : sh() th : sh() th() ch() ch : cosinus hyprboliqu sh : sinus hyprboliqu th : tngnt hyprboliqu Bin qu n figurnt ps plicitmnt u progrmm, l étud d cs trois fonctions st très nrichissnt t prmt l mis n plc d bin ds notions du progrmm d ECE qu nous vrrons u fil d l nné. Ells pourront donc srvir d fil roug pour cu qui vulnt pprofondir lur trvil t puvnt fir l étud d un fich. D nombru sujts d concours s sont déjà bsés sur cs fonctions t lurs propriétés. 48

14 Lycé Pul Guguin CPGE-EC Anné 04/05 NON Fit n 04/05 Ercic 7.30 : Sous scilb, on écrit l progrmm suivnt : Qu fit c progrmm? Ercic 7.3 : On considèr l fonction f défini sur 0; pr. Clculr f () puis résoudr f () 0 3. Drssr l tblu d vrition d f puis donnr f ; f() ( 3)ln() Trcr l courb rprésnttiv d f dns un rpèr dpté. 4. Pr lctur grphiqu donnr l nombr d solutions d f() k pour k qui décrit f (0.5);f(.5) Ercic 7.3 : On considèr l fonction f défini sur pr f() 0.5 L courb rprésnttiv d ctt fonction st donné ci-dssous.. Emttr ds conjcturs sur l sign d f t sur ss vritions. Clculr f () t primr f () à l id d g() où g() ( ) 3. Clculr g () t étudir son sign suivnt ls vlurs d. 4. Déduir d 4. L étud ds vritions d g. 5. Justifir qu g st minoré pr - ;0 ; 6. Montrr qu g()=0 n dmt ps d solution sur insi qu sur 7. Montrr qu g()=0 dmt un uniqu solution sur 0; qu vous notrz. 8. Déduir ds qustions précédnts l sign d g suivnt ls vlurs d. 9. Etudir l sign d f () t n déduir l sns d vrition d f. 0. Qu pnsz-vous d votr conjctur sur ls vritions d f rélisé n. 3. Vérifir qu f () ( ). On considèr h défini sur 0; pr. Clculr h () 3 h() ( ) pour 0; puis détrminr l sns d vrition d h sur 0; b. En déduir un ncdrmnt d f() n dmttnt qu : 0, 0,. c. Drssr lors l tblu d sign d f t comprr vc votr conjctur initil sur l sign. Ercic 7.33 : On considèr l fonction défini pr f() 5( ln())(ln() ). Détrminr l domin d définition d f.. Drssr l tblu d sign d f. 3. Drssr l tblu d vrition d f. 4. Justifir qu f dmt un mimum n précisnt s vlur t pour qull vlur il st ttint. 5. Donnr l nombr d solutions d f()=. 49