Chapitre 4 : Fonctions exponentielles

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1 Chapitre 4 : Fonctions exponentielles I. Activité : Construction de la fonction : avec > 0 Soit > 0 un réel strictement positif, ( ) est la suite géométrique définie pour tout entier par =. Comme ( ) est une suite géométrique, pour tous entiers naturels et on a : = = = On considère le nuage de points représentatif de la suite 1) Etape 1 : Prolongement sur les négatifs Sachant que pour tout réel > 0 et pour tout entier, =, on complète le graphique à l aide de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison. On définit ainsi une fonction telle que pour tout entier relatif, ()=. Pour tous entiers relatifs et : () () = = = (+) Marilyn ZAGO Chapitre 4 : Fonctions exponentielles Terminale ES 1

2 2) Etape 2 : Prolongement par dichotomie Rappel : Trois réels,!" # sont dans cet ordre trois termes consécutifs d une suite géométrique si et seulement si est la moyenne géométrique de et # (c est-à-dire : = #) A partir de %(; ' ) et (( ; ) ) deux points de la courbe représentative de la fonction on obtient le point ') * ;+' ) appartenant à la courbe., + 2. = +' ) = ') * = ' * ) * = 2, 2. La fonction vérifie la relation (+/) = () (/) Marilyn ZAGO Chapitre 4 : Fonctions exponentielles Terminale ES 2

3 II. Activité : Des fonctions «transformant les sommes en produits» Soit une fonction continue vérifiant pour tous réels et / : () 0 0 (+/)=() (/) 1) En écrivant que pour tout réel,()= * +, montrer que pour tout réel, * ()>0 2) En écrivant que pour tout réel, (+0)=(), calculer (0) 3) Démontrer que pour tout réel, ( )= 3() 4) On pose (1)= a. Calculer (2) (3)!" (0.5) Marilyn ZAGO Chapitre 4 : Fonctions exponentielles Terminale ES 3

4 b. Calculer ( 1) et ( 2) 5) Démontrer que la suite ( ) définie pour tout entier naturel par = () est une suite géométrique III. Fonction exponentielle de base q 1) Propriété et définition Propriété et définition : désigne un nombre réel strictement positif. On considère le nuage de points représentatif de la suite géométrique ( ). Il existe une unique fonction définie sur R et qui satisfait aux conditions suivantes : 1. La courbe représentative de réalise un prolongement continu de ce nuage ; 2. est dérivable sur R ; 3. Pour tous nombres réels!" / (+/) = () (/) (on dit qu il s agit d une relation fonctionnelle). Cette fonction s appelle la fonction exponentielle de base. On note pour tout nombre réel, () =. Marilyn ZAGO Chapitre 4 : Fonctions exponentielles Terminale ES 4

5 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0, Remarque : La touche ^ de la calculatrice permet d obtenir la puissance quelconque d un nombre réel donné. Exemple : 1,21 *,9 1,55. Cas particuliers : ; = 1 = = 1 = 1. Pour tout nombre réel, 2) Conséquences de la relation fonctionnelle Propriétés : 1. Pour tous nombres réels!" /, < = < (transformation des sommes en produits). 2. Pour tous nombres réels!"/, = 1= et < = = <. 3. Pour tous nombres réel, > Pour tous nombres réel, >? = +, en particulier, = Pour tous nombres réel et pour tout nombre entier relatif, ( ) = = ( ). Marilyn ZAGO Chapitre 4 : Fonctions exponentielles Terminale ES 5

6 3) Sens de variation et limites 0 B 1 Propriété : Le sens de variation de la fonction est le même que celui de la suite géométrique associée. 1. Si 0 B B 1, la fonction est strictement décroissante sur Si 1, la fonction est constante sur Si 1, la fonction est strictement croissante sur 8. Conséquence : Si 1 1, alors pour tous nombres réels!" : ' ) si, et seulement si,. Propriété : Lorsque 0 B B 1, on a : lim F et lim F 0 Lorsque 1, on a : lim F 0 et lim F. 4) Convexité : Propriété : Toute fonction exponentielle de base est convexe sur 8. Marilyn ZAGO Chapitre 4 : Fonctions exponentielles Terminale ES 6

7 IV. La fonction exponentielle de base e 1) La fonction H I H Propriété définition : Il existe une unique fonction qui admet pour nombre dérivé 1 en 0. On note! la base de cette fonction exponentielle et! 2,718. On dit que la fonction exponentielle de base! est la fonction exponentielle. Elle se note exp:!. Conséquences : La fonction exponentielle est dérivable sur R, et son nombre dérivé en 0 est 1 : exp (0)=1. exp(0)=! ; =1 exp(1) =! =! exp( 1) =! = P exp(0,5) =! =! Pour tout nombre réel,! > 0.! > 1 donc la fonction exponentielle est strictement croissante sur R. On en déduit que pour tous nombres réels!" :! ' =! ) si et seulement si =! ' <! ) si et seulement si <. Propriétés algébriques : Pour tous nombres réels!" / et pour tout nombre entier relatif :! < =!! <! * =!! = 1!!< =!! < (! ) =! = (! ) 1. Dérivée de la fonction exponentielle : Propriété : La fonction exponentielle est égale à sa fonction dérivée. Ainsi pour tout nombre réel, exp () =!. Marilyn ZAGO Chapitre 4 : Fonctions exponentielles Terminale ES 7

8 2. Courbe représentative : D après ce qui précède le tableau de variation de la fonction! est le suivant : x exp 0 1 exp 1! Applications : 1. est la fonction définie sur 8 par!. a) Avec la calculatrice, conjecturer le signe de suivant les valeurs de puis le sens de variation de. b) Démontrer vos hypothèses. 2. Résoudre l équation! *! 9 puis l inéquation! ²*9 1. Marilyn ZAGO Chapitre 4 : Fonctions exponentielles Terminale ES 8

9 2) Fonctions du type H I R(H) Notation : soit une fonction : () définie sur un intervalle réel S. La fonction exp (()) est elle aussi définie sur S et on la note! T. 1. Fonction dérivée de! T : Propriété : Si la fonction est dérivable sur un intervalle S, alors la fonction! T est dérivable sur S et pour tout nombre réel de S : (! T ) U () = U ()! T(). Conséquence : les fonctions et! T ont le même sens de variation sur l intervalle S. (en effet pour tout réel,! T() > 0, donc la dérivée de! T est du même signe que ()). Exemple : soit :! V > définie sur ]0; + [. est de la forme! T, avec :. Or est strictement décroissante sur ]0; + [, donc est strictement décroissante sur ]0; + [. Application : Calculer les expressions des dérivées des fonctions suivantes : :! 9 +2 Y: 10! h:! [:!? Marilyn ZAGO Chapitre 4 : Fonctions exponentielles Terminale ES 9

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